第七章三角函數(shù)《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式》課件學(xué)習(xí)目標(biāo)

重點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.難點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在解題中的靈活運(yùn)用和對學(xué)生進(jìn)行思維靈活的培養(yǎng).知識梳理一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的這兩個公式，可以由已知的一個三角函數(shù)值求出同角的其余兩個三角函數(shù)值，還可以進(jìn)行同角三角函數(shù)式的恒等變換，化簡三角函數(shù)式或證明三角恒等式.四、更多三角函數(shù)及關(guān)系式（拓展）

由上述定義可知，當(dāng)α的終邊在y軸上時，secα沒有意義；當(dāng)α的終邊在x軸上時，cotα，cscα沒有意義.

類似地，還能得到cot2α+1＝csc2α.習(xí)慣上，人們經(jīng)常借助如圖所示的六邊形圖形來記憶三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及上述三角函數(shù)關(guān)系式：圖中六邊形的每一條紅色對角線上的兩個元素之積為1，即cosαsecα＝1，sinαcscα＝1，tanαcotα＝1.每一個倒立的綠色正三角形中，上方兩個頂點(diǎn)元素的平方和等于下方頂點(diǎn)元素的平方，即sin2α+cos2α＝1等.一、利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值

1.已知角的某個三角函數(shù)值，求該角的其余三角函數(shù)值?？碱}型例1

已知：sinθ＝a（a≠0），且tanθ>0.求cosθ，tanθ.【解】∵tanθ>0，∴角θ的終邊在第一或第三象限內(nèi)，

∴a≠±1.點(diǎn)撥：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，其最基本的應(yīng)用是“知一求二”.知弦求值時，一般需要用到平方關(guān)系，應(yīng)注意角的終邊所在的象限，當(dāng)角的終邊所在的象限不確定時，要注意分類討論.DD

2.利用弦切互化求值【解題提示】先求tanα，再將sin2α-sinαcosα添加分母sin2α+cos2α，然后分子、分母同時除以cos2α，轉(zhuǎn)化為關(guān)于正切的關(guān)系式.◆知切求弦常見的兩類問題的解法1.求關(guān)于sinα，cosα的齊次式值的問題，如果cosα≠0，則可將被求式化為關(guān)于tanα的表達(dá)式，然后整體代入tanα的值，從而完成被求式的求值問題.2.若不是sinα，cosα的齊次式，可利用方程組的消元思想求解.如果已知tanα的值，求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值，注意將分母的1化為sin2α+cos2α，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanα的表達(dá)式后求值.

【答案】2訓(xùn)練題AB

A

◆利用sinα±cosα與sinαcosα之間的關(guān)系求值的方法：sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，利用此關(guān)系求sinα+cosα或sinα-cosα的值時，要注意判斷它們的符號.訓(xùn)練題

B

二、利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡◆三角函數(shù)式的化簡過程中常用的方法①化切為弦，即把非正弦、非余弦的函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的.②對于含有根號的三角函數(shù)式，常把根號下的式子化成完全平方式，然后去根號，達(dá)到化簡的目的.③對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α+cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的.注意：對三角函數(shù)式化簡的原則：①使三角函數(shù)式的次數(shù)盡量低.②使式中的項(xiàng)數(shù)盡量少.③使三角函數(shù)的種類盡量少.④使式中的分母盡量不含有三角函數(shù).⑤使式中盡量不含有根號和絕對值符號.⑥能求值的要求出具體的值，否則就用三角函數(shù)式來表示.

訓(xùn)練題B

三、利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明1.一般三角恒等式的證明

2.條件三角恒等式證明

例7已知tan2α＝2tan2β+1，求證：sin2β＝2sin2α-1.◆條件三角恒等式的證明方法含有條件的三角恒等式的證明的基本方法同前面，但應(yīng)注意條件的利用，常用方法有：1.直推法：從條件直推到結(jié)論；2.代入法：將條件代入到結(jié)論中，轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明；3.換元法.小結(jié)1.已知一個角的某種三角函數(shù)值，利用三角函數(shù)基本關(guān)系式，可求其余兩種三角函數(shù)值，在利用平方關(guān)系時，要根據(jù)角所在的象限確定三角函數(shù)值的符號.