第3講分類與整合思想1.分類整合思想的含義分類與整合思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度；分類研究后還要對討論結(jié)果進(jìn)行整合．2.分類與整合思想在解題中的應(yīng)用(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類．有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等．(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論．有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等．(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)變化引起的分類．如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等．(4)由圖形的不確定性引起的分類討論．有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等．3.分類方法與原則(1)簡化分類討論的策略：分類討論的思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的策略．①消去參數(shù)；②整體換元；③變更主元；④考慮反面；⑤整體變形；⑥數(shù)形結(jié)合；⑦縮小范圍等．(2)分類討論遵循的原則是：①不重不漏，科學(xué)地劃分②標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明，分清主次，不越級討論．③能不分類的要盡量避免，決不無原則的討論．4.解題時把好“四關(guān)”(1)要深刻理解基本知識與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)”；(2)要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把好“分類關(guān)”；(3)要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”；(4)要注意對照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)”．5.高考以解答題的方式考查分類與整合思想，主要是函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題、數(shù)列題和解析幾何解答題等．應(yīng)用1由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論核心知識·精歸納1.有許多核心的數(shù)學(xué)概念是分類的，由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論，如絕對值的定義、二次函數(shù)的定義、分段函數(shù)的定義、異面直線所成角的定義、直線的斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等．2.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式，等比數(shù)列的求和公式在不同的條件下有不同的結(jié)論，或者在一定的限制條件下才成立，應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論．3.有些分類討論的問題是由運(yùn)算的需要引發(fā)的．比如除法運(yùn)算中分母能否為零的討論；解方程及不等式時，兩邊同乘一個數(shù)是否為零、正數(shù)、負(fù)數(shù)的討論；二次方程運(yùn)算中對兩根大小的討論；求函數(shù)單調(diào)性時，導(dǎo)數(shù)正負(fù)的討論；排序問題；差值比較中的差的正負(fù)的討論；有關(guān)去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等．典例研析·悟方法典例1(1)(2023·河南校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知a＝ln1.1，b＝lneq\f(12,11)，c＝eq\f(1,11)，則下列判斷正確的是(D)A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．b<c<a【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識確定正確答案．【解析】①比較a，b的大?。阂?yàn)?.1>eq\f(12,11)，所以ln1.1>lneq\f(12,11)，所以a>b.②比較b，c的大小：令f(x)＝lnx－(x－1)，則f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x).當(dāng)0<x<1時，f′(x)>0；當(dāng)x>1時，f′(x)<0，所以當(dāng)x>0時，f(x)≤f(1)＝0，即lnx≤x－1，所以lneq\f(12,11)<eq\f(1,11)，即b<c.③比較a，c大?。阂?yàn)閘nx≤x－1，所以lneq\f(1,x)≤eq\f(1,x)－1，即lnx≥1－eq\f(1,x)，所以ln1.1＝lneq\f(11,10)>1－eq\f(10,11)＝eq\f(1,11)，即a>c.綜上，a>c>b.故選D.方法技巧·精提煉比較對數(shù)式的大小，結(jié)合的是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，此時要注意對數(shù)函數(shù)y＝logax的底數(shù)a的取值范圍對單調(diào)性的影響．比較對數(shù)式和實(shí)數(shù)的大小，可考慮分段法或構(gòu)造函數(shù)法來進(jìn)行求解．(2)(2022·全國模擬預(yù)測)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝eq\f(1,4)(an＋1)2，記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，bn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2an,2022)))＋1.若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則使得Tn≥2022成立的n的最小值為(A)A．1180 B．1179C．2020 D．2021【分析】利用通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系求出{an}數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)n的取值討論bn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2an,2022)))＋1并判斷Tn≥2022即可．【解析】Sn＝eq\f(1,4)(an＋1)2①，令n＝1，得4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.Sn－1＝eq\f(1,4)(an－1＋1)2，n≥2②，由①－②可得an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,4)(an＋1)2－eq\f(1,4)(an－1＋1)2，整理得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，根據(jù)an>0可知an－an－1＝2(n≥2)，則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*.∴bn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2an,2022)))＋1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4n－2,2022)))＋1，n∈N*，當(dāng)n∈[1,505]時，4n－2<2022，bn＝1；當(dāng)n∈[506,1011]時，2022≤4n－2≤4042，bn＝2，當(dāng)n∈[1012,1517)時，4044<4n－2<6066，bn＝3.∵T1011＝505＋506×2＝1517，(2022－1517)÷3≈168.3，∴使Tn≥2022成立的n的最小值為1011＋169＝1180.故選A.應(yīng)用2由圖形位置或形狀引起的分類討論核心知識·精歸納1.一般由圖形的位置或形狀變動引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變動；函數(shù)問題中區(qū)間的變動；函數(shù)圖象形狀的變動；直線由斜率引起的位置變動；圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變動或由離心率引起的形狀變動；立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變動等．2.圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時，常按焦點(diǎn)的位置不同來分類討論．3.相關(guān)計算中，涉及圖形問題時，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論．典例研析·悟方法典例2(1)(多選)(2023·梅河口市第五中學(xué)校考一模)長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，則(AC)A．A到平面A1BD的距離為eq\f(6,7)B．A到平面A1BD的距離為eq\f(4,7)C．沿長方體的表面從A到C1的最短距離為3eq\r(2)D．沿長方體的表面從A到C1的最短距離為2eq\r(5)【分析】利用體積相等求出點(diǎn)A到平面A1BD的距離即可判斷選項(xiàng)A和B；求A點(diǎn)到C1的最短距離，由兩點(diǎn)之間直線段最短，想到需要把長方體剪開再展開，把A到C1的最短距離轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，根據(jù)實(shí)際圖形，應(yīng)該有三種展法，展開后利用勾股定理求出每一種情況中AC1的長度，比較三個值的大小后即可得到結(jié)論，進(jìn)而判斷C和D.【解析】如圖，連接A1D，DB，A1B，因?yàn)锳B＝3，BC＝2，BB1＝1，所以A1B＝eq\r(1＋32)＝eq\r(10)，A1D＝eq\r(1＋22)＝eq\r(5)，BD＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，在△A1BD中，由余弦定理可得：cos∠BA1D＝eq\f(A1D2＋A1B2－BD2,2A1D·A1B)＝eq\f(10＋5－13,2×\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),10)，所以sin∠BA1D＝eq\r(1－cos2∠BA1D)＝eq\r(1－\f(1,50))＝eq\f(7\r(2),10)，則S△BA1D＝eq\f(1,2)A1B·A1Dsin∠BA1D＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×eq\r(5)×eq\f(7\r(2),10)＝eq\f(7,2)，又S△ABD＝eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(1,2)×2×3＝3，設(shè)點(diǎn)A到平面A1BD的距離為h，由體積相等可得：VA1－ABD＝VA－A1BD，即eq\f(1,3)S△ABD×AA1＝eq\f(1,3)S△A1BD×h，所以eq\f(1,3)×3×1＝eq\f(1,3)×eq\f(7,2)×h，解得：h＝eq\f(6,7)，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B錯誤；長方體ABCD－A1B1C1D1的表面可能有三種不同的方法展開，如圖所示：AB＝3，BC＝2，BB1＝1，表面展開后，依第一個圖形展開，則AC1＝eq\r(1＋22＋32)＝3eq\r(2)；依第二個圖形展開，則AC1＝eq\r(3＋22＋12)＝eq\r(26)；依第三個圖形展開，則AC1＝eq\r(3＋12＋22)＝2eq\r(5)；三者比較得：A點(diǎn)沿長方體表面到C1的最短距離為3eq\r(2)，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯誤，故選AC.(2)(2023·貴州貴陽高三統(tǒng)考期末)設(shè)點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1表面上的動點(diǎn)，點(diǎn)M是棱A1D1的中點(diǎn)，N為底面ABCD的中心，則下列結(jié)論中所有正確結(jié)論的編號有_①③④__.①當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動時，三棱錐P－C1D1M的體積為定值eq\f(2,3)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動時，異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))；③當(dāng)點(diǎn)P在線段A1D1上運(yùn)動時，平面PAN⊥平面BDD1B1；④當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)運(yùn)動時，若P到棱A1B1的距離等于它到棱BC的距離，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分．【分析】對于①，根據(jù)點(diǎn)P到平面C1D1M的距離即為點(diǎn)P到平面A1B1C1D1的距離為2即可判斷；對于②，異面直線AP與A1D所成角即為直線AP與B1C所成角，轉(zhuǎn)化為在△AB1C中，AP與B1C所成角即可判斷；對于③，根據(jù)N為底面ABCD的中心和正方體的性質(zhì)，證明得AN⊥平面BDD1B1即可得到結(jié)論；對于④，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)運(yùn)動時，根據(jù)A1B1⊥平面BCC1B1，則P到棱A1B1的長度等于PB1的長度，結(jié)合拋物線定義即可判斷．【解析】對于①，當(dāng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動時，點(diǎn)P到平面C1D1M的距離即為點(diǎn)P到平面A1B1C1D1的距離為2，則VP－C1D1M＝eq\f(1,3)S△C1D1Mh＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×1＝eq\f(2,3)，故①正確；對于②，如圖：點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動時，因?yàn)锳1D∥B1C，所以異面直線AP與A1D所成角即為直線AP與B1C所成角．因?yàn)锳C＝AB1＝B1C＝2eq\r(2)，所以△AB1C為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)P在線段B1C的中點(diǎn)時，AP⊥B1C，即直線AP與B1C所成角為eq\f(π,2)，當(dāng)點(diǎn)P向兩個端點(diǎn)運(yùn)動時，直線AP與B1C所成角越來越小，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B1或點(diǎn)C重合時，直線AP與B1C所成角為eq\f(π,3)，所以直線AP與B1C所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，即異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，故②錯誤；對于③，如圖：∵N為底面ABCD的中心，∴AN⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，AN?平面ABCD，∴AN⊥BB1，又BD∩BB1＝B，BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1，∴AN⊥平面BDD1B1，∵AN?平面PAN，∴平面PAN⊥平面BDD1B1，故③正確；對于④，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)運(yùn)動時，∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴P到棱A1B1的距離等于PB1的長度，∴P到棱A1B1的距離等于它到棱BC的距離即為點(diǎn)P到B1的距離等于點(diǎn)P到棱BC的距離，根據(jù)拋物線的定義，又點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1內(nèi)運(yùn)動，∴點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分．應(yīng)用3由變量或參數(shù)引起的分類討論核心知識·精歸納含有參數(shù)的分類討論問題主要包括：(1)含有參數(shù)的不等式的求解；(2)含有參數(shù)的方程的求解；(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題；(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等．求解這類問題的一般思路是：結(jié)合參數(shù)的意義及參數(shù)對結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論．討論時，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．典例研析·悟方法典例3(2023·湖南株洲高三株洲二中?？茧A段練習(xí))數(shù)列{an}滿足eq\f(1,3a1)＋eq\f(1,5a2)＋eq\f(1,7a3)＋…＋eq\f(1,2n＋1an)＝eq\f(n,2n＋1).(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(an＋1,2an)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn.若對于任意正整數(shù)n，均有(3n＋4)m≥(2n－5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)－Sn))·2n恒成立，求m的最小值．【分析】(1)當(dāng)n＝1時，求出a1＝1，當(dāng)n≥2時，利用eq\f(1,3a1)＋eq\f(1,5a2)＋…＋eq\f(1,2n－1an－1)＝eq\f(n－1,2n－1)求出an＝2n－1，檢驗(yàn)后得到答案；(2)利用錯位相減法得到Sn，不等式轉(zhuǎn)化為m≥eq\f(4,9)×eq\f(2n－5,2n)，令Tn＝eq\f(2n－5,2n)，作差法得到Tn的單調(diào)性，從而得到Tn的最大值，得到m的最小值．【解析】(1)取n＝1，由eq\f(1,3a1)＝eq\f(1,2×1＋1)，得a1＝1；當(dāng)n≥2時，由eq\f(1,3a1)＋eq\f(1,5a2)＋…＋eq\f(1,2n＋1an)＝eq\f(n,2n＋1)，得eq\f(1,3a1)＋eq\f(1,5a2)＋…＋eq\f(1,2n－1an－1)＝eq\f(n－1,2n－1)，兩式相減得eq\f(1,2n＋1an)＝eq\f(n,2n＋1)－eq\f(n－1,2n－1)＝eq\f(1,2n＋12n－1)，整理得an＝2n－1；當(dāng)n＝1時，a1＝1也適合上式．綜上，an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝eq\f(2n－1＋1,22n－1)＝n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n－1，得Sn＝1＋eq\f(2,4)＋eq\f(3,42)＋…＋eq\f(n,4n－1)，eq\f(1,4)Sn＝eq\f(1,4)＋eq\f(2,42)＋…＋eq\f(n－1,4n－1)＋eq\f(n,4n)，兩式相減得eq\f(3,4)Sn＝1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,4n－1)－eq\f(n,4n)＝eq\f(1－\f(1,4n),1－\f(1,4))－eq\f(n,4n)＝eq\f(4,3)－eq\f(4,3)×eq\f(1,4n)－eq\f(n,4n)，整理得Sn＝eq\f(16,9)－eq\f(3n＋4,9×4n－1).由題意對于任意正整數(shù)n，均有(3n＋4)m≥(2n－5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)－Sn))·2n恒成立，則(3n＋4)m≥eq\f(2n－53n＋4,9×4n－1)×2n，即m≥eq\f(4,9)×eq\f(2n－5,2n)恒成立．設(shè)Tn＝eq\f(2n－5,2n)，由Tn＋1－Tn＝eq\f(2n－3,2n＋1)－eq\f(2n－5,2n)＝eq\f(7－2n,2n＋1)，則當(dāng)n≤3時，Tn＋1－Tn>0，即Tn＋1>Tn；當(dāng)n≥4時，Tn＋1－Tn<0，即Tn＋1<Tn.于是Tn的最大值為T4＝eq\f(3,16)，所以m≥eq\f(4,9)×eq\f(3,16)＝eq\f(1,12)，即m的最小值是eq\f(1,12).典例4(2022·全國高三專題練習(xí))設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x－a)2＋|x－a|－a(a－1)．(1)若f(0)≤1，求a的取值范圍；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)當(dāng)a>2時，討論f(x)＋|x|在R上的零點(diǎn)個數(shù)．【分析】(1)寫出f(0)＝|a|＋a≤1，討論a的取值情況，解得答案；(