2023年高考數學模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用

均勻投點實現統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現向一邊長為2。的正方形模

型內均勻投點，落入陰影部分的概率為〃，則圓周率,“（）

A.4〃+2B.4〃+1

C.6-4/?D.4，+3

03

3.^a=log80.2,b=log034,c=4,則()

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.h<a<c

4.下列與2；的終邊相同的角的表達式中正確的是()

4

9

A.2*7t+45°(*GZ)B.A-3600+-7T(*GZ)

4

5元

C.*-360°-315°(*GZ)D.kn+—(A￡Z)

5.已知數列{叫的首項4=a（awO）,且%+1=3“+上其中人teR,〃GN*，下列敘述正確的是（）

A.若{4}是等差數列，則一定有％=1B.若{%}是等比數列，則一定有r=0

C.若{4}不是等差數列，則一定有k=lD.若{%}不是等比數列，則一定有

6.給出下列三個命題：

①“玄。eR,片—2x0+l<0”的否定；

萬

②在△ABC中，“8>30°”是“cosfi<—”的充要條件；

2

③將函數y=2cos2x的圖象向左平移己個單位長度，得到函數y=2cos（2x+：J的圖象.

其中假命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

7.若圓錐軸截面面積為26，母線與底面所成角為60。，則體積為（）

A6RV6「26n276

3333

8.設集合A={X|X2—X-2>0},fi={x|log2x<2},則集合（C>4）n8=

A.{x|-l〈x?2}B.{R0<X42}C.1X|0<X<4}D.{司-14%〈4}

9.由曲線y=/與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為（）

124

A.1B.-C.—D.一

333

10.已知函數/3（XGR）滿足/⑴=1,且則不等式/（Ig2x）<lg2x的解集為（）

A?〔啕B.|《？（K）,?）C.[±,10）D.（10,H

11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

正(主)視圖側(左)視圖

33

12.設萬，］是非零向量,若對于任意的;LeR,都有卜一同邛一同成立，則

A.al!bB.albC.他一很)1■6D.^a-bj±b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數/(x)=4cosoxsin(5-力+0(。>0)的最大值與最小正周期相同，則/(x)在［-1,1］上的單調遞增區(qū)間為

14.已知向量1=(2,加)，5=(1,—2),且￡1.人則實數小的值是.

15.已知向量滿足=—1，。彳2。一萬)=3,則卜卜.

2

16.已知雙曲線3—y2=］(a>0)的一條漸近線方程為x+y=0,則。=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，四棱錐ABC。中，四邊形ABC。是矩形，AB=—AD,△24。為正三角形，且平面

2

平面ABC。，E、尸分別為PC、PB的中點.

(1)證明：平面AD￡E_L平面P8C；

(2)求二面角B—￡>E—C的余弦值.

18.(12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面24。為等邊三角形，且垂直于底面A3CD,

AB=BC=1,ZBAD=ZABC=90\ZADC=45°,”,N分別是A￡),的中點.

(1)證明：平面CMN//平面Q43；

—2—

(2)已知點E在棱PC上且CE=§CP,求直線NE與平面Q鉆所成角的余弦值.

Y—、/3coso(

,(a為參數)，以原點。為極點，以x軸正

(y=sina

TT

半軸為極軸，建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕sin(e+")=2.

6

(1)求曲線G的普通方程與曲線G的直角坐標方程；

7T

(2)設A8為曲線G上位于第一,二象限的兩個動點，且NAOB=耳，射線QA08交曲線。2分別于2C,求MOB

面積的最小值，并求此時四邊形A8C。的面積.

20.(12分)已知函數/'(x)=msinx+J^cosx。”>0)的最大值為2.

(I)求函數/(x)在?兀］上的單調遞減區(qū)間；

(H)AA8C中,/(A—工)+/(6—工)=4#sinAsin8,角A,B,C所對的邊分別是a/,c,且C=60°,c=3,求

44

A4BC的面積.

21.(12分)已知函數/(x)=|2x+a|-|x-3|(aeR).

(1)若a=—l,求不等式/(x)+l>0的解集；

(2)已知a>(),若/(x)+3a>2對于任意xeR恒成立，求。的取值范圍.

22.（10分）如圖，在四棱錐R45C。中，平面ABCZ）,ZABC=ZBAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為

PC的中點.

p

(l)求異面直線AP,5M所成角的余弦值；

4

(2)點N在線段AO上，且AN=3若直線MN與平面網。所成角的正弦值為二,求7的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由題可得函數fM的定義域為{xIx#±1},

因為/(-x)=ln|F|=-ln|2H|=-/(x),所以函數f(x)為奇函數，排除選項B；

1+X1-X

又/(Ll)=ln21>l,./'⑶=ln2<l,所以排除選項A、C,故選D.

2.A

【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.

【詳解】

為=腐一左2=曰...萬=4p+2.

S正4a24

故選：A

【點睛】

本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎題.

3.D

【解析】

結合指數函數及對數函數的單調性，可判斷出-1<a<0,。<-1,c>1，即可選出答案.

【詳解】

由logo.34<log03T=-1,即人<—1,

又一1=logs0125<logs0.2<logs1=o,即一1<a<0,

4。3>1,即C>1,

所以Z?<a<c.

故選:D.

【點睛】

本題考查了幾個數的大小比較，考查了指數函數與對數函數的單調性的應用,屬于基礎題.

4.C

【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.

【詳解】

與空的終邊相同的角可以寫成2E+空(AGZ),但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.

44

故答案為C

【點睛】

(1)本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與。終邊相同的角

夕=H360°+a其中左GZ.

5.C

【解析】

根據等差數列和等比數列的定義進行判斷即可.

【詳解】

A：當左=0/=。時，a,*=a,顯然符合｛4｝是等差數列，但是此時k=1不成立，故本說法不正確；

B：當k=0"=。時，an+]=a,顯然符合｛4｝是等比數列，但是此時f=0不成立，故本說法不正確；

C：當左=1時，因此有“用-4=垢“+?-%=r=常數，因此｛4｝是等差數列，因此當｛4｝不是等差數列時，一定

有攵H1,故本說法正確；

D：當/時，若攵=0時，顯然數列｛4｝是等比數列，故本說法不正確.

故選：C

【點睛】

本題考查了等差數列和等比數列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎題.

6.C

【解析】

結合不等式、三角函數的性質對三個命題逐個分析并判斷其真假，即可選出答案.

【詳解】

對于命題①，因為片—2x°+1=5—1)&0,所以“九eR,片-2玉)+1V0”是真命題，故其否定是假命題，即①是假命

題；

對于命題②，充分性:AABC中，若B>30°,則30°<B<180，由余弦函數的單調性可知,cos180°<cosB<cos30°,即

-1<COSB<—，即可得到cosB<—，即充分性成立;必要性:AABC中,0°<B<180°，若cosB<—，結合余弦函數

222

的單調性可知,cos1800<cosB<cos30°,即30°<B<180°，可得到B>30°,即必要性成立.故命題②正確；

對于命題③,將函數y=2cos2x的圖象向左平移器個單位長度,可得到y(tǒng)=2cos21+酬=2cos[2x+"的圖象，即命

題③是假命題.

故假命題有①③.

故選:C

【點睛】

本題考查了命題真假的判斷，考查了余弦函數單調性的應用，考查了三角函數圖象的平移變換，考查了學生的邏輯推理能

力,屬于基礎題.

7.D

【解析】

設圓錐底面圓的半徑為小由軸截面面積為26可得半徑一，再利用圓錐體積公式計算即可.

【詳解】

設圓錐底面圓的半徑為「，由已知，gx2rxGr=2G,解得尸=血，

所以圓錐的體積^=:乃產x6r=區(qū)5萬.

33

故選：D

【點睛】

本題考查圓錐的體積的計算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.

8.B

【解析】

先求出集合A和它的補集，然后求得集合B的解集，最后取它們的交集得出結果.

【詳解】

對于集合A,(x-2)(x+l)>0,解得x<—l或x>2,故CRA=[-1,2].對于集合8,唾2%42=噢24,解得0<.4.

故(。/?4)八3=(0,2].故選B.

【點睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數不等式的解法，考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元

二次不等式的解法是：先將二次項系數化為正數，且不等號的另一邊化為0,然后通過因式分解，求得對應的一元二

次方程的兩個根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.

9.B

【解析】

首先求得兩曲線的交點坐標，據此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.

【詳解】

聯(lián)立方程：f2可得：八，廠

[凹=0[>2=1

結合定積分的幾何意義可知曲線￥=爐與曲線y2=x所圍成的平面圖形的面積為：

本題選擇B選項.

【點睛】

本題主要考查定積分的概念與計算，屬于中等題.

10.B

【解析】

構造函數g(x)=/(x)-x,利用導數研究函數的單調性，即可得到結論.

【詳解】

設g(x)=/(X)—X,則函數的導數g(x)=/(%)-l,Q/(x)<l,g'(x)<0,即函數g(x)為減函

數,；/(I)=1,g⑴=/(I)-1=1一1=0,則不等式g(x)<0等價為g(x)<g(l),

則不等式的解集為x>1,即/(X)<x的解為x>1,Q§無，由ig2x>1得總8〉1或Igx<-1,解得％>10

或0<xv

故不等式的解集為（o,5卜（10,+8）.故選:從

【點睛】

本題主要考查利用導數研究函數單調性，根據函數的單調性解不等式，考查學生分析問題解決問題的能力，是難題.

11.A

【解析】

根據三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.

【詳解】

由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：

D

B匕----------------------

可知該幾何體是底面在左側的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4,

故V=；x（4x4）x4號.

故選：A

【點睛】

本題考查了三視圖的簡單應用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎題.

12.D

【解析】

畫出萬，B，根據向量的加減法，分別畫出3-XB）的幾種情況，由數形結合可得結果.

【詳解】

由題意，得向量（2-5）是所有向量（2-%5）中模長最小的向量，如圖，

當AC_LBC,即@-時，|AC|最小，滿足卜一耳4.一/1可，對于任意的/IGR,

所以本題答案為D.

【點睛】

本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于

基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13,

13.r——,-]

44

【解析】

利用三角函數的輔助角公式進行化簡，求出函數的解析式，結合三角函數的單調性進行求解即可.

【詳解】

V/(%)=4coscox(-^-sincox一一^cos6yx)+夜

=2V2sincoxcoscox-2>/2cos2cox+6

V2sin2CDX->/2cos2cox

7T

=2sin(269X--),

則函數的最大值為2,周期7=棄=工

2。CD

???/(X)的最大值與最小正周期相同,

7C

=2,得Y

0)

jr

貝!I/(x)=2sin(乃x---),

4

當-啜k1時，-也顫X-工—,

444

則當—軍領bx-匹工時，得一-^!k—,

24244

13

即函數/(x)在［T,1］上的單調遞增區(qū)間為［—：,=］，

44

故答案為：.

【點睛】

本題考查三角函數的性質、單調區(qū)間，利用輔助角公式求出函數的解析式是解決本題的關鍵，同時要注意單調區(qū)間為

定義域的一個子區(qū)間.

14.1

【解析】

根據M即可得出M/=2-2〃z=0，從而求出m的值.

【詳解】

解：：al.bt

??a-b-2-2m-0?

工m=l?

故答案為：1.

【點睛】

本題考查向量垂直的充要條件，向量數量積的坐標運算.

15.1

【解析】

首先根據向量的數量積的運算律求出/,再根據問=后計算可得；

【詳解】

解：因為方?(2￡-5)=3,

所以21M=3

又a石=-1

所以片=1

所以,卜=1

故答案為：1

【點睛】

本題考查平面向量的數量積的運算，屬于基礎題.

16.1

【解析】

根據雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程，結合題意可求得正實數。的值.

【詳解】

雙曲線3—y2=ig>o)的漸近線方程為一土y=。，

a~ci

由于該雙曲線的一條漸近線方程為x+y=O,.?.'=1,解得a=l.

a

故答案為：1.

【點睛】

本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數，考查計算能力，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)巫

4

【解析】

(D取AO中點。，BC中點H,連接P。，OH,PH.設EF交PH于G,則G為P”的中點，連接。G.

通過證明證得OG_L平面P8C,由此證得平面AZ)EF_L平面

(2)建立空間直角坐標系，利用平面OEC和平面的法向量，計算出二面角B—￡>E—C的余弦值.

【詳解】

(1)取AD中點。，BC中點H,連接PO,OH,PH.

設EF交PH于G,則G為P”的中點，連接。G.

設AD=2,則48=6，PO=6，：,OG工PH.

由已知AD_LPO,AD_LO“，.?./!￡)，平面POH,.??AOLOG.

VEF//-BC//-AD,；.EFLOG,

=2=2

VEFcPH=G,：.OG1平面PBC,

■:OGu平面ADEF，，平面ADEF，平面PBC.

(2)由(1)及已知可得PO1平面ABC。，建立如圖所示的空間坐標系。一型，設AT>=2,則P(0,0,G}

C（6,1,0）,￡）（0,1,0）,6（百,-1,0）,E,DE=,力C=（百,0,0）,BD=（—6,2,0,

\[3x=0

令y=6得根=（0,6,1）.

設平面DEC的法向量為〃?=(x,y,z),W31「

——x——yd-----z-（）

I22-2

1

百_n

—xo--yo+—zn=0

設平面B￡>E的法向量為〃=(%0，%"0),令無。=2得”=倒,6,-1卜

-6x。+2%=0

【點睛】

本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

18.(1)證明見解析；(2)

2

【解析】

(1)由平面幾何知識可得出四邊形A8CM是平行四邊形，可得CM//4B=CM〃面Q46,再由面面平行的判定

可證得面面平行;

(2)由(1)可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標系，可求得面R15的法向量，再運用線面角的向

量求法，可求得直線NE與平面Q鉆所成角的余弦值.

【詳解】

(1)?.?N8AO=NA8C=90,AD//3C,又Z/WC=45°，AB-BC^X,:.AD=2,

而M、N分別是AD、PD的中低，：.MN"PA,故MN//面PAB,

又AM//8C且AM=3C,故四邊形A3CM是平行四邊形,，CM//AB=>C0//面

又MN,CM是面CMN內的兩條相交直線，故面CMN//面Q鉆.

(2)由(1)可知，兩兩垂直，故建系如圖所示，則

40,-1,0),3(1,-1,0),C(l,0,0),D(0,l,0),m0,也),N(0,1,

.2.]1八2百、

AB=(L0,0),PA=(0,-1,-73),"CE=-CP,：.E-,0,—■11

33),NE=5「3’

x=0

設〃=（x,y,z）是平面PAB的法向量＜

_y_杷z=0

73

T+6

令z=1,則〃=(0,-G,1),|cos(NE,〃)=—=@,

1111~~2"

2.—+—+—

9412

、2

直線NE與平面Q46所成角的余弦值為

2

7

本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.

2Q

19.（1）—+/=1；x+&y-4=0（2）AAOB面積的最小值為士；四邊形的面積為多

3-44

【解析】

（1）將曲線G消去參數即可得到G的普通方程，將》=/^0$6,y=Qsin。代入曲線G的極坐標方程即可;

TTTT

（2）由（1）得曲線c的極坐標方程，設A（g,e）,。（外,6）,c（p,^+-）

B（P2,O+~）,4

114211413

利用方程可得F+F=Z，再利用基本不等式得——^—+—=T,即可得5M。8=彳月夕，27，根據題意知

P\?3PgP「Pl321-4

SABCD=S&COD-SMOB,進而可得四邊形ABCD的面積.

【詳解】

x=6cosa?為參數）消去參數得二+/=]

（1）由曲線G的參數方程為

y=sina3

TT-rrrr

曲線C的極坐標方程為夕sin(6+—)=2,即psin6^cos—+/?cossin—=2,

666

所以，曲線G的直角坐標方程x+百y—4=0.

22n

(2)依題意得G的極坐標方程為巨苧金+「"抽2。=1

TTTT

設A(q,e),53,6+9,。3,6)，

222114

p.cos02.2z,,Asin322/).+(,,_

則--------1-p,sin(9=1,-------1-p；cos0-\,w.~2+~~2

3132P「Pi3

2114萬

——^―+—=-,當且僅當g(即6=：)時取“=”，

PxPiPiPl34

133

故S.=-p,p2>-,即MOB面積的最小值為-.

G_1_1____2__________2____4_

此時,ACOD-2AA-2.7~二下_T_'7t_,

sin(—+—)cos(—+—)cos—

46463

329

故所求四邊形的面積為

SABCD=S&COD-SMOB=8-^—.

【點睛】

本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數的單調性，考查

了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

20.(I)(II)hl

L4」4

【解析】

____________jr

(1)由題意，f(x)的最大值為Jm?+2,所以Jn?+2=2.而m>0,于是m=0,f(x)=2sin(x+i).由正弦函數的單調性可

TT7T3471、冗

得X滿足2k》+—<x+—W2k萬+—(k6Z),即2k?+—4x<2k萬+—(kGZ).所以f(x)在［0,也上的單調遞減

24244

■JT

區(qū)間為，捫.

4

(2)設△ABC的外接圓半徑為R,由題意，得2R=—^=」一=2"化簡B(A—馬+f(B-%)=4#sinAsin?,

sin?C組n6044

得sinA+sinB=2"sinAsinB.由正弦定理，得2R(a+b)=2，^ab,a+b=J^ab.①由余弦定理，Wa2+b2-ab=9,即

(a+b)2-3ab-9=0(2)

將①式代入②，得2（abR3ab-9=0,解得ab=3或ab=—。（舍去），故S’absinC=上叵

2AABC24

21.(1)或X>1｝；(2)(2,+oo).

【解析】

(1)。=-1時，分類討論，去掉絕對值，分類討論解不等式.

(2)。>0時，分類討論去絕對值，得到/(x)解析式，由函數的單調性可得/(力的最小值，通過恒成立問題，得

到關于a的不等式，得到“的取值范圍.

【詳解】

c1

—x—2,x<一

2

(1)因為。=一1,所以/(九)?3x-4,—<x<3,

2

x+2,x>3

1

XV一-<x<3x>3

所以不等式〃力+1>0等價于.：:2或v2或<

x+2+1>0

-x-2+1>03x-4+l>