保密★啟用前

2023新高考名師模擬卷（1）

數(shù)學(xué)

注意事項：

i.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、單選題（共40分）

1.已知集合4=卜卜'<1},B={x|x+lX）},則AcB=（）

A.（-1,1]B.（0,1]C.[-1,1]D.[0,1]

2.已知復(fù)數(shù)z=（a+2）-（a+3）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為（）

A.S-2）B.（-2,-3）C.（-2收）D.S-3）

3.設(shè)％,'R,則"x<l且y<i”是“x+y<2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若圓錐的母線長為2百，側(cè)面展開圖的面積為6萬，則該圓錐的體積是（）

A.瘋rB.3萬C.3岳D.9兀

5.已知sin(c+?T則sin2a的值為（）

A.gBc.此D.一等

-42

6.如圖，某建筑物是數(shù)學(xué)與建筑的完美結(jié)合.該建筑物外形弧線的一段近似看成

雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為

3,離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

7.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會（北京冬奧會）計劃于2022年2月4日開幕,

共設(shè)7個大項.現(xiàn)將甲、乙、丙3名志愿者分配到7個大項中參加志愿活動，

每名志愿者只能參加1個大項的志愿活動，則有且只有兩人被分到同一大項的

情況有（）.

A.42種B.63種C.96種D.126種

8.已知等比數(shù)列｛4｝各項均為正數(shù),且滿足：0<4<l,a17alg+l<al7+alg<2,記

Tn=ata2La?,則使得（>1的最小正數(shù)〃為（）

A.36B.35C.34D.33

二、多選題（共20分）

9.給出下列說法，其中正確的是（）

A.若數(shù)據(jù)演，々，…，%的方差S?為0,則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一

B.已知一組數(shù)據(jù)2,3,5,7,8,9,9,11,則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為6

C.一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是單峰的且形狀是對稱的，則該組數(shù)據(jù)的平

均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多

D.經(jīng)驗(yàn)回歸直線R晟+d恒過樣本點(diǎn)的中心伍亍），且在回歸直線上的樣本點(diǎn)越多，

擬合效果越好

10.已知向量?！?（1,2）,將。尸繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)-30。，30°,60。到函函演的位置,

則（）.

A.OP「OR=oB.冏=|明

C.OPOP3=OPYOP2D.點(diǎn)々坐標(biāo)為（亨，號"

\/

11.若圓C：X2+）2=1與圓G：（萬一力+（k6『=1的公共弦A3的長為1,則下列結(jié)

論正確的有（）

A.CT+b2=1

B.直線AB的方程為2or+2勿-3=0

C.A8中點(diǎn)的軌跡方程為Y+y2=]

D.圓G與圓C2公共部分的面積為用一半

12.對圓周率萬的計算幾乎貫穿了整個數(shù)學(xué)史.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前

287—公元前212）借助正96邊形得到著名的近似值：片.我國數(shù)學(xué)家祖沖之

（430-501）得出近似值言后來人們發(fā)現(xiàn)卜一言卜I。'這是一個“令人吃驚的

好結(jié)果”.隨著科技的發(fā)展，計算"的方法越來越多.已知

萬=3.141592653589793238462643383279502,定義/（〃）（〃《%）的值為萬的小數(shù)點(diǎn)后第〃個

位置上的數(shù)字，如/⑴=1,44）=5,規(guī)定"0）=3.記/（"）=〃"），

尸（加尸（〃叫（丘N*）,集合4為函數(shù)「（祖〃N）的值域，則以下結(jié)論正確的有（）

A.A={0,123,4,5,6,7,8,9}B.A={1,2,34,5,6,9}

C.對D.對以eN,,從中至少有兩個元素

第II卷（非選擇題）

三、填空題（共20分）

13.（釬24的展開式中W的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

14.已知等比數(shù)列{4},其前〃項和為S..若％=4,1=14,則“3=.

22

15.已知雙曲線十￡=1（。＞0油＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為6、尸2,過原點(diǎn)的直線/

與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為A、3,4A6=60。，四邊形然陰的

周長〃與面積S滿足/=喑5,則該雙曲線的離心率為.

16.已知函數(shù)〃無）=b-巴若函數(shù)Mx）=〃x-4）+x,則函數(shù)/心）的圖象的對稱中心

為;若數(shù)列{叫為等差數(shù)列，4+生+%++&=44,-⑷+/?（%）++/?（%）=

四、解答題（共70分）

17.（本題10分）已知S“是數(shù)列｛%｝的前〃項和，S?=n2.

⑴求數(shù)列｛5｝的通項公式；

（2）求數(shù)列的前"項和九

18.（本題12分）在①&c=asinC+c8sA,②sin（B+C）=&-l+2sirr,，③

0cosc-A）=sin2A這三個條件中任選一個作為已知條件，然后解答問題.記ABC

的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,—ABC的面積為S,已知.

⑴求A；

⑵若S=6,h=3,求4.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

19.（本題12分）新冠疫情在西方國家大流行，國際衛(wèi)生組織對某國家進(jìn)行新型

冠狀病毒感染率抽樣調(diào)查.在某地抽取〃人，每人一份血樣，共份，為

快速有效地檢驗(yàn)出感染過新型冠狀病毒者，下面給出兩種方案：

方案甲：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)〃次；

方案乙：混合檢驗(yàn)，把受檢驗(yàn)者的血樣分組，假設(shè)某組有〃（丘N1Z2）份，分別

從2份血樣中取出一部分血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則說明這2

個人全部為陰性，因而這2個人的血樣只要檢驗(yàn)這一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽

性，為了明確這々個人中究竟哪些人感染過新型冠狀病毒，就要對這4個人的血

樣再逐份檢驗(yàn)，因此這女個人的總檢驗(yàn)次數(shù)就為2+i.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人中，每個人血樣檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨(dú)立的，

且每個人血樣的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性的概率為

⑴若〃=5,p=0.2,用甲方案進(jìn)行檢驗(yàn)，求5人中恰有2人感染過新型冠狀病毒

的概率；

（2）記《為用方案乙對攵個人的血樣總共需要檢驗(yàn)的次數(shù).

①當(dāng)％=5,P=0.2時，求E《）；

②從統(tǒng)計學(xué)的角度分析,P在什么范圍內(nèi)取值，用方案乙能減少總檢驗(yàn)次數(shù)？（參

考數(shù)據(jù)：00=0.41,0.85=0.33,0.86=0,26）

20.體題12分）如圖，在四棱錐VT8C0中，底面A8CZ）為矩形，AB=2BC=4,

E為8的中點(diǎn)，且AV3c為等邊三角形.

（1）若丫8,4￡,求證：AE±VE；

（2）若二面角A—3C—V的大小為30,求直線AV與平面VCZ）所成角的正弦值.

22

21.（本題12分）在平面直角坐標(biāo)系x。），中，雙曲線0*-a=1（“>0力>0）的離心率

（1）求C的方程；

（2）如圖，點(diǎn)A為雙曲線的下頂點(diǎn)，直線/過點(diǎn)P（OJ）且垂直于y軸（尸位于原點(diǎn)

與上頂點(diǎn)之間），過。的直線交。于G,〃兩點(diǎn)，直線AG,A”分別與/交于M,

N兩點(diǎn)，若O,A,N,M四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

22.(本題12分)已知函數(shù).f(x)=e'-or-a,aeR.

(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)〃=1時，令8(月=竽.

①證明：當(dāng)x>0時，g(x)>l；

②若數(shù)列｛xJ(〃eN*)滿足西=(,e""=g(x")，證明：2"(ex"-l)<l.

保密★啟用前

2023新高考名師模擬卷(1)解析版

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷(選擇題)

一、單選題(共40分)

1.已知集合人二[,<]},8={蟲+1>0},則AcB=()

A.(-1,1]B.(0,1]C.[-1,1]D.[0,1]

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的解法求集合AB,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解.

[詳解]；A={x|x3M]}={用<]},8=卜,+1>0}={犬上>_1}

/.AnB={x|-l<x<l)

故選：A.

2.己知復(fù)數(shù)z=(a+2)-(a+3)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(—℃,—2)B.(-2,-3)C.(—2,+oo)D.(―℃,—3)

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)z確定點(diǎn)z的坐標(biāo)，再根據(jù)第二象限坐標(biāo)的特點(diǎn)，解關(guān)于。的一元一次不等式組即可求出。

的范圍.

【詳解】復(fù)數(shù)z=(a+2)-(a+3)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(a+2,-(a+3)),根據(jù)第二象限坐標(biāo)的特

點(diǎn)可得|。-(+“2+<30)>。即可得

故選：D.

3.設(shè)x,yeR,則“x<l且y<l"是“x+y<2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】依據(jù)“x<i且y<r'與“》+”2”之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)即可解決.

【詳解】由x<l且y<l,可得x+y<2

當(dāng)x=2,y=T時，滿足x+y<2,但不滿足X<1且y<l

則“x<1且y<1”是“X+y<2”的充分不必要條件

故選：A

4.若圓錐的母線長為2百，側(cè)面展開圖的面積為6乃，則該圓錐的體積是()

A.B.31C.36兀D.97r

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積和體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)圓錐的高為人底面半徑為，

則gx21廠x2百=61，解得r=VL

所以/z=J(2G)~—(G)=3.

則圓錐的體枳V=gx3乃x3=3;r.

故選：B

5.已知sin(c+?)=-等，則sin2c的值為()

A.1B.--C.3D.-近

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式計算作答.

【詳解】因sin(a+工)=-且，所以sin2c=-cos(2a+W)=-cos2(c+&)=2sin2(c+2)-l

42244

=2(一堂)2-14

故選：A

6.如圖，某建筑物是數(shù)學(xué)與建筑的完美結(jié)合.該建筑物外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且

此雙曲線，?-.=1(4>0力>0)的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

n2%2Dy2r

A.--x2=1B.y"-----crXD.------------=1

339339

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到宜線距離公式及離心率公式求出“，。即可作答.

-《=1的漸近線方程為：◎土切=0,設(shè)雙曲線下焦點(diǎn)為(0,-c)(c>0),

【詳解】雙曲線

bebe22

則有7^=^^=—="，依題意，〃=3,離心率e=￡a+h1+乂=2,解得〃2=3,

W+trca

所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為小得5

故選：D

7.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會（北京冬奧會）計劃于2022年2月4日開幕，共設(shè)7個大項.現(xiàn)將甲、

乙、丙3名志愿者分配到7個大項中參加志愿活動，每名志愿者只能參加1個大項的志愿活動，則有且只

有兩人被分到同一大項的情況有（）.

A.42種B.63種C.96種D.126種

【答案】D

【分析】此題屬于分組分配問題，現(xiàn)將3人分成兩組，然后再分配可得.

【詳解】先將3人分成兩組，共備種，再在7個大項種選擇2個項目安排這兩組，共4種，所以有且只

有兩人被分到同大項的情況共有=126種.

故選：D.

8.已知等比數(shù)列｛《,｝各項均為正數(shù)，且滿足：0<q<1,a17alg+l<al7+a18<2,記,則使

得4>1的最小正數(shù)〃為（）

A.36B.35C.34D.33

【答案】B

【分析】先山已知條件判斷出的，須，4洶8的取值范圍，即可判斷使得北>1的最小正數(shù)〃的數(shù)值.

【詳解】由47%+1<4+48得：（的一1）（%-1）<°，T］或1

an>0,0<at<1,0<al7<1<als,又.的％+1<2,,analg<1

=（4<（2）2=<^7<1<0=（"134）=（a17ai8）

Ti）7。

3535

紜=（q每）=（曦尸=若>1，則使得方>1的最小正數(shù)〃為35.

故選：B.

二、多選題（共20分）

9.給出下列說法，其中正確的是（）

A.若數(shù)據(jù)引，演....當(dāng)?shù)姆讲頢2為0,則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一

B.已知一組數(shù)據(jù)2,3,5,7,8,9,9,11,則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為6

C.一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是單峰的且形狀是對稱的，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上

差不多

D.經(jīng)驗(yàn)回歸直線》=良+/恒過樣本點(diǎn)的中心（工?。?，且在回歸直線上的樣本點(diǎn)越多，擬合效果越好

【答案】AC

【分析】依據(jù)方差定義及眾數(shù)定義去判斷選項A：求得第40百分位數(shù)去判斷選項B；依據(jù)中位數(shù)定義和平均數(shù)定義去判斷

選項C：依據(jù)回歸直線擬合效果判斷標(biāo)準(zhǔn)去判斷選項D.

［詳解】選項A:由方差/=\［（不一可2+（/_可2+（/一5）〔=0

可得X1=W==X“=無，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一,判斷正確：

選項B：數(shù)據(jù)2,3,5,7,8,9,9,11.共有8個數(shù)，由8x40%=3.2可知，該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第4個數(shù)為7.

判斷錯誤；

選項C：依據(jù)中位數(shù)定義和平均數(shù)定義，一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是單峰的且形狀是對稱的，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和

中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多.判斷正確；

選項D：回歸直線的擬合效果看殘差平方和，殘差平方和越小，擬合效果越好，不是看回歸直線上的樣本點(diǎn)多，擬合效果越

好.判斷錯誤.

故選：AC

10.已知向量OP=（1,2）,將OP繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)-30。，30°,60。到的位置，則（）.

A.0/06=0罔

c.opyop,sD.點(diǎn)勺坐標(biāo)為與L匕芋

\7

【答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的夾角判斷A,再由全等三角形可判斷B,根據(jù)向量的數(shù)量積的定義判斷C,根據(jù)向量

的模相等判斷D.

【詳解】因?yàn)?尸繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)-30。，30°,60。到

所以麗與浜的夾角為90。，故O6-OQ=0,A選項正確；

由題意知，△。歷三△。叫，所以理=理，即=W冏，故B正確；

因?yàn)?lt;0》,02>=60。,<麗，麗>=60°■|OP|=|OP31=|OPt|=|OP21.

所以由數(shù)量積的定義知,故C正確；

若點(diǎn)4坐標(biāo)為（亭，匕I走］，則訪=也擔(dān)1=辦|=石,故D不正確.

故選：ABC

11.若圓G：f+y2=i與圓G：（犬一4）2+（〉_32=1的公共弦48的長為1,則下列結(jié)論正確的有（）

A.a2+b2=1

B.直線48的方程為2ox+2by-3=0

C.AB中點(diǎn)的軌跡方程為V+y2=3

D.圓C1與圓C?公共部分的面積為網(wǎng)-正

32

【答案】BC

【分析】兩圓方程相減求出直線的方程，進(jìn)而根據(jù)弦長求得足+〃=3,即可判斷AB選項；然后由圓

22

的性質(zhì)可知直線C,C2垂直平分線段AB，進(jìn)而可得G（0,0）到直線2ax+2by-a-h=0的距離即為中點(diǎn)

與點(diǎn)C1的距離，從而可求出A8中點(diǎn)的軌跡方程，因此可判斷C選項；對應(yīng)扇形的面積減去三.角形的面積

乘以2即可求出圓G與圓C?公共部分的面積，即可判斷D選項.

【詳解】兩圓方程相減可得直線AB的方程為M+U—2ox-2勿=0,HP2ax+2by-a2-b2=0,

因?yàn)閳AC1的圓心為G(0,0),半徑為1,且公共弦48的長為1,則C1(0,0)到直線2奴+2切-/-從=0的

、巧a2+b2G

距離為奇，所以而77而=萬，解得〃+尸=3，

所以直線AB的方程為2奴+2力-3=0,故A錯誤，B正確：

由圓的性質(zhì)可知直線GG垂直平分線段AB，所以G(0.0)到直線2辦+2⑦，=0的距離即為A8中點(diǎn)

與點(diǎn)G的距離，設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),因此J(x-0『+(y-0)2邛,即V+y2=1,故C正確；

jr7[

因?yàn)锳B=GA=GB=1,所以NBGA=§,即圓4中弧.所對的圓心角為：，所以扇形的面積為

左，三角形C42的面積為_Lxlxlx《l=@，所以圓G與圓C?公共部分的面積為

丁X7TX1=-224

2兀o

.(Tt)71yfi,,……

2x——--=—一--,故D錯哄.

\643/2

故選：BC.

【點(diǎn)睛】圓的弦長的常用求法：

(1)幾何法：求圓的半徑為〃弦心距為乩弦長為/,則/=2，7萬；

(2)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：|AB|=VT7F|X,-%2|.

12.對圓周率乃的計算幾乎貫穿了整個數(shù)學(xué)史.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287—公元前212)借助

22355

正96邊形得到著名的近似值：y.我國數(shù)學(xué)家祖沖之(430—501)得出近似值后來人們發(fā)現(xiàn)

355

＜10-6,這是一個“令人吃驚的好結(jié)果”.隨著科技的發(fā)展，計算"的方法越來越多.已知

7T=3.141592653589793238462643383279502,定義/(")(〃eN)的值為萬的小數(shù)點(diǎn)后第〃個位置上的數(shù)

字，如/⑴=1,44)=5,規(guī)定"0)=3.記＞(〃)=/("),,(〃)=①(“叫(4M),集合如為函

數(shù)/(〃)("€")的值域，則以下結(jié)論正確的有()

A.A={0,123,4,5,6,7,8,9}B.A={123,4,5,6,9}

C.對D.對超e川,&中至少有兩個元素

【答案】AC

【分析】對于A：根據(jù)定義，直接求出A={。，1，2,3,4,5,6,7,8,9},即可判斷；

對于B：根據(jù)定義，直接求出產(chǎn)(“)的值域?yàn)?a,34,5,9},即可判斷：

對于c：求出尸＜1)=尸(〃1))=…=_r(4i))=y⑴=1,即可判斷；

對于D：求出無=10時，/9（〃）的值域?yàn)閧",即可否定結(jié)論.

【詳解】對于A：由題意，集合4為函數(shù)產(chǎn)（〃）（〃€“）的值域，所以集合a為函數(shù)/（〃）的值域.

所以由/（"）="〃）可得:/'（1）=/（1）=1,/⑹=1（6）=2,/'（9）=/（9）=3,/'（2）=/（2）=4,

r（4）=/（4）=5,r⑺=八7）=6,/'（13）=/（13）=7,/'（11）=/（11）-8,]（5）=45）=9,

/'（32）=/（32）=0,故A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.故A正確.

對于B：由題意，集合4為函數(shù)/"（"）（〃€”的值域，所以集合A3為函數(shù)/的值域.

規(guī)定"0）=3.記/（“）=〃〃），尸”（〃）=尸（.“叫（丘”）,

所以/（"）=尸（/（"））,令〃，。=加，〃zw{0』,2,3,4,5,6,7,8,9},則r（"）=/（〃?）=/（〃,"）），

因?yàn)椤?）=3J⑴=1J（2）=4J（3）=1J（4）=5J（5）=9J⑹=2J⑺=6,

/⑻=5,〃9）=3,

所以尸（。）=/'（/（0））=/（3）=1,/2（1）=/'（/（1））=/（1）=1,

尸（2）=r（/（2））="4）=5，r（3）=r（/（3））=/⑴=|，

/（4）=/'（/（4））="5）=9,尸⑸=/'（/（5））=49）=3,

f2⑹=f1（〃6））=〃2）=4,/（7）=/'（/（7））="6）=2,

尸⑻=/（/⑻）=/（5）=9,r（9）=/'（/（9））=〃3）=1,所以r⑺的值域?yàn)閧123,4,5,9}.故B錯誤.

對于C因?yàn)?所以/?”（1）=/（/（1））==尸（/（1））=/（1）=1,所以對▼2€2*,]€4.故（2正確；

對于D：

由c的推導(dǎo)可知：r+i（i）=/（/（1））==/'（/（i））=/o）=i.

因?yàn)?'（?）=/（?），〃（〃）=fk（/（〃》伏eN*）,

所以「'（，。"'（/⑺），令,“〃）=機(jī)，機(jī)?0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},則/°（"）=/（加）=/（/、（，"）），

因?yàn)?⑼=3,〃1）=1J（2）=4J（3）=1J（4）=5J（5）=9J（6）=2J⑺=6,

〃8）=5,〃9）=3,

所以/⑼=/（/（。））=/8（3）=f（/⑶）=f⑴=1,

0=1，

r（2）=r（/（2））=r（4）=r（/（4））=r（5）=r（/（5））=r（9）=r（/（9））=/⑶=r（/⑶）=r⑴=i,

片3）=/8（"3））=,%1）=1,

r（4）=r（/（4））=r（5）=/（〃5））=〃（9）=r（/（9））="⑶=f（/⑶）=r⑴=i,

r（5）=f（Z（5））=/8（9）=/7（/（9））=f（3）=/6（/（3））=/6（l）=l,,

r（6）=r（/（6））=r（2）=f（/⑵）=f（4）=r（f⑷）=r⑸=r（/⑸）=f5⑼=/4（〃9））=r⑶=r（/⑶）=

r⑺=r"⑺）=r（6）=r"⑹，=『⑵=的（/（2））=f⑷=『（/（4））=r⑸=r（/（5））=尸⑼=p，/⑼）=

r（8）=r68））=r（5）=/7（〃5））=/7（9）=r（〃9））=/Y3）=/5（/（3））=Hl）=i,

r（9）=r（/（9））=r（3）=/7（,/（3））=/7（i）=i

即hio時,f"〃）的值域?yàn)閧1}.故D錯誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：

（1）仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；

（2）根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.

第II卷（非選擇題）

三、填空題（共20分）

13.（x-2y）5的展開式中Yy?的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】-80

【分析】由二項式定理可得（x-2y）s的展開式的通項公式，由通項公式結(jié)合條件可得答案.

【詳解】（x-2y）s的展開式的通項公式為J=。；產(chǎn),（_2燈=（一，

令/*=3可得（-2）3《X2y3=-80父,3

所以（x-2y）'的展開式中》2y3的系數(shù)是一80

故答案為：-80

14.已知等比數(shù)列{《,},其前〃項和為S”.若%=4,$3=14,則%=.

【答案】2或8

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,進(jìn)而得2d-5q+2=0,再解方程得q=2或q=g,進(jìn)而得答案.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為4,因?yàn)?=4,53=14,

所以4+%=10,即&+。應(yīng)=10,

q

所以2,-54+2=0,解得4=2或g=；,

所以當(dāng)4=2時，%=8;

當(dāng)q時，%=2

所以，%=2或%=8.

故答案為：2或8

22

15.已知雙曲線*?-方=1（〃>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡、尸一過原點(diǎn)的直線/與雙曲線在第一象限

和第三象限的交點(diǎn)分別為A、8,〃AK=60。，四邊形”叫的周長p與面積S滿足/=咨巨S,則該

9

雙曲線的離心率為.

【答案】也

2

【分析】由雙曲線的定義及三角形周長為P，可得1曲|=。+孑，IAg地-“，再由S=|A"?|4瑪"訪60。及

2

P=空叵S可得/=g,在』A6尸中利用余弦定理可建立“，c，。關(guān)系式，再由/=且消去。即可得出

96464

離心率.

【詳解】由題知，IAKI-IA瑞|=2a,四邊形A耳85的是平行四邊形，|A用+|4"|=5，

聯(lián)立解得，

\AFx\=a+^,\AF2\=^-a,

AF,AF2=60°,

S=|A幣.IA6I-sin60。=冬(a+爭((一a)=爭//),

由余弦定理可得（2cf=（a+與）2+（與-a）2-2（“+與遇-a）cos60°,

16.已知函數(shù)〃x)=e-，e',若函數(shù)/z(x)=/(x-4)+x,則函數(shù)〃(x)的圖象的對稱中心為；若數(shù)

列｛《,｝為等差數(shù)列，九⑷+為％)+

at+a2+a3+...+aII=44,+/z(all)=.

【答案】(4,4)44

【分析】根據(jù)題意計算〃(x+4)+〃(4-x)的值，從而可求出其對稱中心，由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合

可得再利用等差數(shù)的性質(zhì)和力⑴的對稱性可求出

ax+a2+a.++4=44,6=4,

.+〃(即)的值

/?(aI)+/?(a2)+

【詳解】因?yàn)镸x)=/(x—4)+x,

所以h(x+4)+A(4-x)

=/(4+x-4)+4+x+f(4-x-4)+4-x

=/(x)+/(-x)+8

e'x-ev+eA-e-x+8=8，

所以〃（X）的圖象的對稱中心為（<丁44-4，引，即為（4,4）,

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛%｝中，at+a2+a3+.+%=44,

所以2a6x5+%=44,得％=4,

因?yàn)榱Γ▁）的圖象的對稱中心為（4,4）,

所以〃（卬）+力（q］）=2x4=8,//（%）+力（4（））=2X4=8,//（%）+"（見）=2x4=8,h（a4）+h（&）=2x4=8,

〃（6）+〃（%）=2x4=8,

因?yàn)榱Γ?）=〃（4）=/（。）+4=4,

所以/?⑷+〃（％）++//（4J=5x8+4=44,

故答案為：（4,4）,44

四、解答題（共70分）

17.（本題10分）已知S,,是數(shù)列｛q｝的前”項和，S"=〃2.

⑴求數(shù)列｛叫的通項公式；

（2）求數(shù)列\(zhòng)|的前〃項和Tn.

【答案】⑴?！?2〃-1

IS.,?=1

【分析】（D利用4=；。、。求得冊.

（2）利用裂項求和法求得7?

（1）

當(dāng)”..2時,由5“=心得S,i=（”-1）2,

貝=S"-S,i=〃°-（"T）2=2〃-L

當(dāng)”=1時，有SI=l=q,符合上式.

綜上,a?=2n-l.

（2）

,1I1f11

由（1）得，------=有~，?=/「―一7

%4+i+212〃-12〃+1

1A11111111

“211335572n-l2n+lJ

4-

2（2n+lJ2n+l*

18.體題12分）在①&c=asinC+ccosA，②sin（8+C）=拒-l+Zsin',,③&cos（彳-4）=sin2A這

三個條件中任選一個作為已知條件，然后解答問題.記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,ABC

的面積為S,已知.

⑴求4；

（2）若5=6,6=3,求a.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）5；

4

（2）717.

【分析】（1）若選①，先用正弦定理進(jìn)行邊化角，進(jìn)而結(jié)合輔助角公式求得答案；若選②，先通過誘導(dǎo)公

式和二倍角公式化簡，進(jìn)而通過輔助角公式求得答案：若選③，先通過誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡，進(jìn)而

求得答案；

（2）先通過三角形的面積公式求出c,進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得答案.

（1）

若選①，由正弦定理可得&sinC=sinAsinC+sinCcosA，因?yàn)椤?lt;。<兀，所以sinCVO,貝lj

V2=sinA+cosA=5/^sin（A+7]=sin（A+?）=l,而0vA<7t,于是A=（.

若選②，山題意，sin（7C-A）=>/2-cosAsinA+cosA=\p2,則Qsin（A+?]=5/^=sin（A+2]=l,

而0vA<7t,于是A=￡.

4

若選③，由題意，^2sinA=2sinAcosA>因?yàn)?<4<兀，所以sinArO,則.

24

（2）

由題意，S=—￡>csinA=—cx-^^=6=>c=4\/2,山余弦定理cosA=>十一一~-f==a=-^\7.

2222x3x4夜2

19.（本題12分）新冠疫情在西方國家大流行，國際衛(wèi)生組織對某國家進(jìn)行新型冠狀病毒感染率抽樣調(diào)查.在

某地抽取〃人，每人一份血樣，共〃（〃eN"）份，為快速有效地檢驗(yàn)出感染過新型冠狀病毒者，下面給出兩

種方案：

方案甲：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)〃次；

方案乙：混合檢驗(yàn)，把受檢驗(yàn)者的血樣分組，假設(shè)某組有左小€”,%22）份，分別從女份血樣中取出一部

分血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則說明這k個人全部為陰性，因而這k個人的血樣只要檢驗(yàn)

這一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這4個人中究竟哪些人感染過新型冠狀病毒，就要對這％個

人的血樣再逐份檢驗(yàn)，因此這人個人的總檢驗(yàn)次數(shù)就為火+1.

假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人中，每個人血樣檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨(dú)立的，且每個人血樣的檢驗(yàn)結(jié)果是

陽性的概率為

(I)若〃=5,p=0.2,用甲方案進(jìn)行檢驗(yàn)，求5人中恰有2人感染過新型冠狀病毒的概率；

(2)記，為用方案乙對《個人的血樣總共需要檢驗(yàn)的次數(shù).

①當(dāng)A=5,p=0.2時，求E(7)；

②從統(tǒng)計學(xué)的角度分析，p在什么范圍內(nèi)取值，用方案乙能減少總檢驗(yàn)次數(shù)？(參考數(shù)據(jù)：

0.84=0.41,0.85=0.33,0.86=0.26)

【答案】(1)0.2

⑵①E4)=4.35②0<”1

【分析】(1)利用每個人的血樣檢驗(yàn)結(jié)果的獨(dú)立性解題.

(2)分別計算出總檢驗(yàn)次數(shù)為1與％+1時的概率，即可列出分布列，進(jìn)而求得Eg)；如果用方案乙能減

少總檢驗(yàn)次數(shù)，則以4)<無，化簡后即可求解.

(1)

對5個人的血樣進(jìn)行檢驗(yàn)，且每個人的血樣是相互獨(dú)立的，設(shè)事件A為“5個人的血樣中恰有2個人的檢

驗(yàn)結(jié)果為陽性”，則P(A)=C；X0.22X0.83=0.2

(2)

①當(dāng)左=5,。=0.2時，5個人的血樣分別取樣再混合檢驗(yàn)，結(jié)果為陰性的概率為0g,總共需要檢驗(yàn)的次

數(shù)為1次；結(jié)果為陽性的概率為l-OW,總共需要檢驗(yàn)的次數(shù)為6次；所以4的分布列為：

416

P0.851-O.85

所以E(^)=1X0.85+6X(1-0.85)=4.35.

②當(dāng)采用混合檢驗(yàn)的方案時E(€)=lx(l_p)*+(&+l)[l_(l_p)[=%+l_Ml_py,

根據(jù)題意，要使混合檢驗(yàn)的總次數(shù)減少，則必須滿足￡偌)<%,

即氏+1-左(1-0)"’<后，化簡得0</?<1-祗，

所以當(dāng)尸滿足0<°<1-@,用混合檢驗(yàn)的方案能減少檢驗(yàn)次數(shù).

20.(本題12分)如圖，在四棱錐丫-ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=2BC=4,E為C￡>的中點(diǎn)，且△MBC

為等邊三角形.

V

，二喉C

AB

(1)若求證：AE.LVE；

(2)若二面角A—8C—V的大小為30，求直線AV與平面VCD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵匝

14

【分析】(1)先證明線面垂直，再證明線線垂直即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，以向量的方法去求直線AV與平面VCO所成角的正弦值.

(1)

因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以AD=DE=2,所以△AOE為等腰直角三角形，

所以ZA￡￡>=45.同理，NBEC=45°.所以AE_LBE.

又因?yàn)閂BJ_AE,且VBcBE=B,VBu面VBE,BEu面VBE,

所以4瓦1面VBE.

因?yàn)閂Eu面所以AE_LVE.

(2)

取8c中點(diǎn)O,4)中點(diǎn)G、連接OG,VO,則OG_L3C.

又△V8C為等邊三角形，所以V0_L8C,

所以NGOV為二面角A-BC-V的平面角.所以NGOV=30

以O(shè)B，G。方向分別作為x，y軸正方向，建立空間宜角坐標(biāo)系O—xyz.

于是A(1,—4,0),C(—1?0,0),D(—1,—4,0),V0,—

DC=(o,4,o),cvAV=-《岑?

令〃=(x,y,z)為平面VCD的一個法向量,

4y=0

則/°?！?，即，36,令z=2,得〃=(-G,0,2).

n-CV=Ox一三丁+0=。1)

i22

設(shè)直線AV與平面VCD所成的角為a,則

|AV'N|_2A/3_V42

sina=|COS^AV,77^|=

卜叩“Fx花?R

故直線AV與平面VCZ）所成角的正弦值為叵.

14

22

21.（本題12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C:￡j=l（a>0,，>0）的離心率為0,實(shí)軸長為4.

（1）求C的方程；

（2）如圖，點(diǎn)A為雙曲線的下頂點(diǎn)，直線/過點(diǎn)P（0/）且垂直于y軸（尸位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過P的直

線交C于G,H兩點(diǎn)，直線AG,AH分別與/交于M,N兩點(diǎn)，若0,A,N,M四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2

【答案】（1）二

44

(2)(0,1)

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率結(jié)合實(shí)軸長，可求得。力，即得答案；

（2）根據(jù)0,4,N,M四點(diǎn)共圓結(jié)合幾何性質(zhì)可推出原”心用=1,設(shè)G（%，x）,”（電,必），用。材，加），

從而可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出t,再設(shè)直線GH:y=h+r,聯(lián)立雙曲線與直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系式,

代入r的表達(dá)式中化簡，可得答案.

【詳解】（1）因?yàn)閷?shí)軸長為4,即2a=4,a=2,

又￡=夜，所以c=20，尸=/-/=4,

a

故C的方程為《-《=1.

44

（2）由0,4,N,M四點(diǎn)共圓可知，ZANM+ZAOM=7T,

又NMOP+NAOM=兀,B|JZA7W=ZMOP,

故tanZ.ANM-tanZ.MOP=---------

tan/OMP

,1_

即一“AN==~,所以kAN，k0M=1,

設(shè)GQ,%),"(XJ,%)，M(X,W'Xw)>

由題意可知A(0,—2),貝IJ直線4G:y=X±2x-2,直線4":y=叢±2*-2,

X\X2

1

因?yàn)镸在直線/上，所以％=r，代入直線AG方程，可知/=('+2產(chǎn),

X+2

((r+2)x),/(>1,+2)

故M坐標(biāo)為1—9，r,所以自M=，；、』,

(y+2)。+2)西

kk1

又AN=An=，由kAN-k0M=1，則=，

x2(1+2)玉x2

整理可得蟲=3+2心+2),

tx,x2

當(dāng)直線GH斜率不存在時，顯然不符合題意，

22

故設(shè)直線G〃：y="+f,代入雙曲線方程：21一三=1中