7.3兩條直線的位置關(guān)系(一)1.平行和垂直2.兩條直線的夾角如果 ,那么直線和 在y軸上的截距不相等,即 ,但它們的傾斜角相等,即

設(shè)直線和 分別有如下的斜截式的方程: 也就是反過來,如果 ,則 和不重合.又如果 ,也就是結(jié)論:

當(dāng)直線和

有斜截式方程

時(shí),直線

的充要條件是:

且

那么由并利用正切函數(shù)的圖象,可知例一已知直線方程求證:證明:把

,的方程寫成斜截式

例2求過點(diǎn)

A(1,-4)且與直線2x+3y+5=0平行的直線的方程

解:已知直線的斜率是,因?yàn)樗笾本€與已知直線平行,因此它的斜率也是.根據(jù)點(diǎn)斜式,得到所求直線的方程是2x+3y+10=0.設(shè)直線和 斜率分別是 和 ,則直線有方向向量 ,直線 有方向向量

,根據(jù)平面向量的有關(guān)知識(shí)

即結(jié)論:如果兩條直線的斜率為和,那么,這兩條直線垂直的充要條件是

7.3兩條直線的位置關(guān)系兩條直線垂直(p.46)

設(shè)直線和 斜率分別是 和 ,則直線有方向向量 ,直線 有方向向量

,根據(jù)平面向量的有關(guān)知識(shí)即結(jié)論:

如果兩條直線的斜率為和,那么,這兩條直線垂直的充要條件是

例3已知兩條直線

求證:

證明:

的斜率

,的斜率

例4求過點(diǎn)A(2,1),且與直線垂直的直線 的方程.解:直線 的斜率是-2,因?yàn)橹本€ 與已知直線垂直,所以它的斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式,得到 直線的方程是:即兩條直線l1和l2相交構(gòu)成四個(gè)角.把直線l1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角θ1,叫做l1到l2的角.(θ1>0,θ2>0,θ1+θ2=π)求斜率為k1、k2的兩條直線l1到l2的角

.所以,當(dāng)直線l1⊥l2時(shí),直線l1和l2的夾角是

如果1+k1k2=0,即

k1k2=-1,那么

設(shè)己知直線的方程分別是

設(shè)l1、l2的傾斜角分別是

和

,則下面研究1+k1k2≠0的情形.或或當(dāng)

時(shí),直線l1到直線l2的角

是銳角;當(dāng)

時(shí),直線l1到直線l2的角

是鈍角;把其中的銳角叫做兩條直線的夾角當(dāng)直線l1⊥l2時(shí),直線l1和l2的夾角是解:由兩條直線的斜率k1=-2,k2=1,得例:求直線l1:y=-2x+3,l2:y=x-的夾角(用角度制表示).例6:己知直線和,直線l1到直線l2的角是.求證:證明:設(shè)兩條直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,則例7:

等腰三角形一腰所在直線

l1的方程是

x–2y–2=0,底邊所在直線

l2的方程是

x+y–1=0,點(diǎn)(-2,0)在另一腰上(如圖),求這條腰所在直線l3的方程.解:設(shè)l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,l1到l2的角是

1,l2到l3的角是

2,

則因?yàn)閘1,l2,l3所圍成的三角形是等腰三角形,所以將k2=-1代入,得因?yàn)?/p>

l3經(jīng)過點(diǎn)

(-2,0),斜率為2,寫出其點(diǎn)斜式方程為y=2[x-(-2)],得

2x–y+4=0,這就是直線

l3的方程.；uyd19vau了！”“還有，榆皮毛拉絮如若浸泡時(shí)間過長，使用起來并無大礙，盡可以放心地早早泡上。因此，每次使用完了上一桶石灰膏中加的拉絮，就應(yīng)該把下一桶石灰膏中準(zhǔn)備加的拉絮泡上?！毙∏嗦牭焦⒗系绱苏f，趕快又要打開一小包榆皮毛拉絮。耿老爹笑著說：“要是上午，這樣做是對(duì)的；但我們今兒個(gè)下午也只能上完這一盆兒石灰泥了，所以現(xiàn)在就不要泡了，到晚上臨睡以前再泡吧！”小青不好意思地笑了。耿老爹站起來舒展一下腰背，爽快地說：“咱們現(xiàn)在就開始干吧，先亮最西邊那一間的頂棚！”于是，耿老爹和耿正把多半盆攪拌好的石灰泥合抬到最西邊新屋的地中央。然后，耿老爹站到放在北邊靠近墻角處的高架長凳上，對(duì)小青說：“青丫頭，你把水盆邊上搭的那塊毛巾浸滿水遞給我，我得先把眼前的這一片吊頂竹簾子充分打濕了才能上面呢?！苯舆^浸滿水的毛巾，耿老爹一邊用力地摩擦吊頂?shù)闹窈熥?，一邊說：“屋內(nèi)上面必須做得非常仔細(xì)，尤其頂棚的上面操作是非常要功夫、要手力的。正兒，你以前沒有做過，還是先給我打下手吧，用泥托子給我遞石灰泥就行了。等到墻壁上面時(shí)，你倒是可以試著干干的。”“噢！”耿正點(diǎn)點(diǎn)頭，用小鏟子往泥托子上鏟了一些石灰泥，抬手遞給爹；同時(shí)接過濕毛巾交給小青。耿老爹對(duì)耿正說：“上面是個(gè)速戰(zhàn)速?zèng)Q的活兒，越短期內(nèi)完成越好。你估摸著我快要用完這個(gè)泥托子上的石灰泥了，就早點(diǎn)兒給我裝好另一個(gè)泥托子上的石灰泥！”耿正再次點(diǎn)點(diǎn)頭說：“我知道了！”大家都屏息抬頭看著。只見耿老爹左手端著泥托子，右手緊緊抓著泥葉子。每用泥葉子鏟上一些石灰泥時(shí)，就迅速地用力抹在已經(jīng)打濕了的吊頂竹簾子上；抹幾次后，再返回來將剛抹好那一片用力打平；如果發(fā)現(xiàn)有不平整的地方，快速地再加一點(diǎn)石灰泥反復(fù)用力抹平幾下。很快，泥托子上的石灰泥全部用完了，他就把空的泥托子遞給小青，耿正趕快把另一個(gè)已經(jīng)裝上石灰泥的泥托子遞給爹。耿英看到打濕了的吊頂竹簾子快抹完了，趕快把濕毛巾再一次浸足了水。小青又將浸足了水的毛巾遞給耿老爹面前的頂棚上完了，耿老爹就跳下高架長凳，舒展一下腰身；然后往前面挪一挪高架長凳，馬上再上去了繼續(xù)操作放石灰泥的盆兒擋手了，耿正就挪一挪如此，頂棚上面緊張而有條不紊地進(jìn)行著。耿直個(gè)子還小，幫不了其