課題：必修4§3.1.1兩角差的余弦公式

授課類型：新授課日期：年月日授課老師：高一數(shù)學

一、教學目標

掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運用，使學生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和

(差)公式打好基礎(chǔ).

二、教學重、難點

1.教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式：

2.教學難點：探索過程的組織和適當引導，這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識是否已

經(jīng)具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等.

三、教學過程：

(一)導入：我們在初中時就知道cos45°=白，cos30'=手，由止匕我們能否得至ijcosl50=cos(45°—30)=?

大家可以猜想，是不是等于cos45。-cos30呢？

根據(jù)我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式

cos(a-⑶=?

(-)探討過程：

在第一章三角函數(shù)的學習當中我們知道，在設(shè)角a的終邊與單位圓的交點為耳，cosa等于角a與單位圓交點

的橫坐標，也可以用角a的余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角用和角c-月？(注意：要與它們的正弦線、余

弦線聯(lián)系起來.)

展示多媒體動畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關(guān)系探索cos(a-0與cosa、cos尸、sine、sin尸

之間的關(guān)系，由此得到(\%(￡一/7)=以%￡以%/7+5山￡5皿/7,認識兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu).

思考：我們在第二章學習用向量的知識解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？

提示：1、結(jié)合圖形，明確應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？

2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計算公式得到探索結(jié)果？

展示多媒體課件

比較用幾何知識和向量知識解決問題的不同之處，體會向量方法的作用與便利之處.

思考：cos(a+?)=?,cos(a+/?)=cos[a—(―夕)],再利用兩角差的余弦公式得出

cos(?+/?)=cos[a-(-/?)]=cosacos(-/?)+sinasin(-/?)=cosacos夕一sinasinp

(三)例題講解

例1、利用和、差角余弦公式求cos75。、cosl5"的值.

解：分析：把75、15構(gòu)造成兩個特殊角的和、差.

V2V3721V6-V2

cos75'=cos（45。+30）=cos450cos300-sin45°sin30--X-------X—=-------

22224

.-o。八。.Ae.o.々八。O6V21V6+5/2

cos150=cos（45°-30°）=cos45cos30+sin45sin30=——x——+——x—=-------

22224

點評：把一個具體角構(gòu)造成兩個角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：cosl50=cos(60-45j,要學會

靈活運用.

例2、已知sina=1,a€]1,4),8$夕=一5,/?是第三象限角，求cos(a-/?)的值.

解：因為aw,sina=一由此得cosa=-Jl-sin2a—=——

2）5Y⑸5

又因為cos是第三象限角，所以sin/?=.Jl—cos2?=—Jl12

33

所以cos（a一,）=cosacos/?+sinasinp

65

點評：注意角a、夕的象限，也就是符號問題.

(四)小結(jié)：本節(jié)我們學習了兩角差的余弦公式，首先要認識公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導過程，熟知由此衍

變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角a、夕的象限，也就是符號問題，學會靈活運用.

(五)作業(yè)：習題3.1A組2,3,4

四、教學反思

課題：必修4§3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

授課類型：新授課日期：年月日授課老師：高一數(shù)學

一、教學目標

理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導兩角和、差正弦和正切公式的方法，體會三角恒等變換特點的過程，理

解推導過程，掌握其應用.

二、教學重、難點

1.教學重點：兩角和、差正弦和正切公式的推導過程及運用；

2.教學難點：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運用.

三、教學過程：

（一）復習式導入：大家首先回顧一下兩角和與差的余弦公式：

cos（a+￡）=cosacosp—sinasinp；cos（6z—yff）=coscos/?+sincrsin/3.

這是兩角和與差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和與差的正弦公式是怎樣的呢？

提示：在第一章我們用誘導公式五（或六）可以實現(xiàn)正弦、余弦的互化，這對我們解決今天的問題有幫助嗎？

讓學生動手完成兩角和與差正弦和正切公式.

sin(<?+/)=cos=cosI--a1+p=cosl-lcos/?+sinl-Isin/3

=sinacos/?+cosasin[3.

sin（a—夕）=sin[a+（—/?）]=sinacos{-/3）+cosasin（-yff）=sincosJ3-cosasin/3讓學生觀察認識兩角

和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式.（學生動手）

sin(a+￡)_sinacosp+cosasinf3

tan(a+，)

cos(a+/?)cosacos/?-sinsin/3

通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有tana、tan夕的形式呢？（分式分子、分母同時除以cosocos/7,

得到tan(a+0Jana+ta/

1-tanatanP

注忌：a+夕w耳+k7T,aw萬■+kzr,〃w,+k7T(kGZ)

以上我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式呢？

tana+tan(-/?)tana-tan/?

tan(a-/?)=tan[a+(一/)]=

1-tanciftan(-7?)1+tanatan

?）（

注意：a+。豐刁+kji、a+w萬+左乃（2GZ）.

（二）例題講解

37t7t

例1、已知sina=—]，。是第四象限角，求sin。卜05《+。卜an[a的值.

44

解：因為sina=-（,a是第四象限角，得cosenjl-sin%=4

5

_3

sina53

tana=-----==——

cosa44

5

71=Sin^cos?-cos^sina=^xi-^xpkZ^

于是有sin---a

444252510

[兀71\冗.71.V24V23、772

cos—■\-a-cos—cosa-sin—sina---X-------X

4442525；10

兩結(jié)果一樣，我們能否用第一章知識證明？

71

tan-tan—一1

tanIa-54二r

,乃

1+tancrtan—1+

4

例2、利用和（差）角公式計算下列各式的值:

(1)、sin72°cos42°-cos720sin42°；(2)、cos20"cos700-sin200sin70°；(3)、","n'

1-tan15°

解：分析：解此類題首先要學會觀察，看題目當中所給的式子與我們所學的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪

個相象.

sin72。cos42°-cosITsin42°=sin(72°-42°)=sin300=g

⑴、

⑵、cos20"cos70-sin200sin70=cos(200+70)=cos90°=0；

1+tan150tan45°+tan15

(3)、=tan(45°+15j—tan60°—>/3.

l-tanl501-tan45°tan15°

例3、化簡血cosx-V6sinx

解：此題與我們所學的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？

16?]

5/2cosx-瓜sinx=2\/2—cosx-——sinx=2-72(sin300cosx-cos30sinx)=2^2.sin(30°—x)思考：

27

我們是構(gòu)造一個叫使它的正、余弦分別等于L和立的.

2血是怎么得到的？2亞

22

(三)小結(jié)：本節(jié)我們學習了兩角和與差正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

學會靈活運用.

(四)作業(yè)：

1、課本Pe練習：2,3,4,5(1)(2)(3)6(1)(2)

2、已知tan(a+夕)=],tan[/?—求+的值.(^)

rr

3、己知0</?<2<a(求sin(a+/J)的值.

4、

四、教學反思:

課題：必修4§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式

授課類型：新授課日期：年月日授課老師：高一數(shù)學

一、教學目標

以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導過程，掌握其應用.

二、教學重、難點

教學重點：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導二倍角正弦、余弦和正切公式；

教學難點：二倍角的理解及其靈活運用.

三、教學過程：

(一)復習式導入：大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式，

sin(a+/?)=sinacos(3+cosasinp；

cos(cz+/?)=cos?cos/?-sintzsin/?；

tan(")=tana+tanJ

1-tan6ZtanP

我們由此能否得到sin",cos%,tan2a的公式呢？(學生自己動手，把上述公式中￡看成。即可)，

(二)公式推導：

sin2。=sin(a+a)=sinacosa+cosasin。=2sinacosa；

cos2a=cos(a+a)=coscrcosa-sinasina=cos2a-sin2a；

思考：把上述關(guān)于cos2a的式子能否變成只含有sina或cosa形式的式子呢？

cos2a=cos2a-sin2a=1-sin2a-sin2=1-2sin2?；

cos2a=cos2<z-sin2a=cos2a—(1-cos2a)=2cos2a-\.

//xtana+tana2tana

tan2a=tan(a+a)=----------------=-------；—

1—tanatanal-tan-a

注意：2a手5+k7i,a手5+k冗(kez

(三)例題講解

例1、已知sin2a=—,—<a<求sin4a,cos4a,tan4a的值.

1342

解：由—<。<—,得—<2a<7C.

422

12

又因為sin2a=—cos2a=-Vl-sin22a=

1313

12

于是sin4a=2sin2acos2a=2x-x

13I13

120

cos4cr=l-2sin22a=l-2x\—\-119――sin4a一一旃_120

-169：

I13jcos4aH9119,

169

例2、已知tan2a=',求tana的值.

3

2fanzy1

/德ir?r?tlaninlZ.UC—「一,ttjT'j"tIndnll2r(rJ-Ck\6Ot1n<n1I/1ytZ11—0U解得tana=-2+5/5或tana=-2-加

1-tan-a3

（四）小結(jié)：本節(jié)我們學習了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,

學會靈活運用.

（五）作業(yè)：課本Pi35練習：2,3,4,5

四、教學反思：

課題：必修4§3.2簡單的三角恒等變換（3個課時）

授課類型：新授課日期：年月日授課老師：高一數(shù)學

一、教學目標

通過例題的解答，引導學生對變換對象目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何

根據(jù)問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學思想方法的認識，從而加深理解

變換思想，提高學生的推理能力.

二、教學重點與難點

教學重點：引導學生以已有的十一個公式為依據(jù)，以推導積化和差、和差化積、半角公式的推導作為基本訓練，

學習三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會三角變換的特點，提高推理、運算能力.

教學難點：認識三角變換的特點，并能運用數(shù)學思想方法指導變換過程的設(shè)計，不斷提高從整體上把握變換過程

的能力.

三、教學過程：

學習和（差）公式，倍角公式以后，我們就有了進行變換的性工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加

豐富，這為我們的推理、運算能力提供了新的平臺.下面我們以習題課的形式講解本節(jié)內(nèi)容.

例1、試以cosa表示sin24,cos2@,tan2g?.

222

ryzy

解：我們可以通過二倍角cosa=2cos2----1和cos=l-2sin2—來做此題.

22

因為cosa=l-2sin24,可以得到=-cosa,

222

。2al-ri、1，曰32al+c°sa

因為cosa=2cos----1,可以得到cos~—=-----------.

222

.a

sin2--［

▼2a2l-cosa

又因為tarr—=------2=----------

2cos2-1+cosa

,2

思考：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同？

代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換.對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的

差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包

含的各個角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點.

例2、求證：

(1)、sinacos尸=5卜in(a+尸)+sin(c-')］；

/°、(

(2)、si-n，n+,s-in°=2csi?n-e+y^e-cos—o~—p.

證明：（1）因為sin（c+夕）和sin（a-￡）是我們所學習過的知識，因此我們從等式右邊著手.

sin(a+/?)=sinacosP+cosasin(3：sin(a-77)=sina8s力一cosasinP.

兩式相加得2sinacos/?=sin(a+^)+sin(a—6)；

即sinacos0=；［sin(a+/?)+sin(a-y9)］；

(2)由(1)得sin(a+A)+sin(a—尸)=2sinacos尸①；設(shè)a+/7=(9,a—尸=°,

那么￡=/4=

22

把a,4的值代入①式中得sin6+sine=2sincos'J.

思考：在例2證明中用到哪些數(shù)學思想？

例2證明中用到換元思想，（1）式是積化和差的形式，（2）式是和差化積的形式，在后面的練習當中還有六個

關(guān)于積化和差、和差化積的公式.

例3、求函數(shù)y=sinx+6cosx的周期，最大值和最小值.

解：y=sinx+百cosx這種形式我們在前面見過，v=sinx+V3cosx=2—sinx+^^、

COSX2sin[x+—j,

227

所以，所求的周期T=±=2萬，最大值為2,最小值為—2.

（0

點評：例3是三角恒等變換在數(shù)學中應用的舉例，它使三角函數(shù)中對函數(shù)丁=Asin（⑦x+0）的性質(zhì)研究得到延伸,

體現(xiàn)了三角變換在化簡三角函數(shù)式中的作用.

小結(jié)：此節(jié)雖只安排一到兩個課時的時間，但也是非常重要的內(nèi)容，我們要對變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公

式等數(shù)學思想方法加深認識，學會靈活運用.

作業(yè)：

四、教學反思：

課題：必修4§3.2《三角恒等變換》復習課（2個課時）

授課類型：新授課日期：年月日授課老師：高一數(shù)學

一、教學目標

進一步掌握三角恒等變換的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式與二倍角公式，對三角函數(shù)式進行化簡、

求值和證明：

二、知識與方法：

1.11個三角恒等變換公式中，余弦的差角公式是其它公式的基礎(chǔ)，由它出發(fā),用-8代替B、工±6代替B、a=

2

8等換元法可以推導出其它公式。你能

根據(jù)下圖回顧推導過程嗎？

2.化簡，要求使三角函數(shù)式成為最簡：項數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號

內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的求出值來；

3.求值，要注意象限角的范圍、三角函數(shù)值的符號之間聯(lián)系與影