張家口市2022－2023學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)補集運算求出，然后求交集即可得到.【詳解】由已知得，且且，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得出復(fù)數(shù).【詳解】由已知可得，因此，.故選：A.3.已知是1，3，3，5，7，8，10，11上四分位數(shù)，在1，3，3，5，7，8，10，11中隨機取兩個數(shù)，這兩個數(shù)都小于的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)百分位數(shù)的計算公式求出，再根據(jù)古典概型的計算方法求解即可.【詳解】上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)，因為，所以.8個數(shù)中有6個數(shù)小于9，所以隨機取兩個數(shù)，這兩個數(shù)都小于的概率為.故選:C.4.已知函數(shù)為偶函數(shù)，定義域為R，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于0，得到偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而對不等式變形后得到，解出解集.【詳解】因為當(dāng)時，，故偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，故變形為：，所以，顯然不滿足不等式，解得：，故.故選：B5.石碾子是我國傳統(tǒng)糧食加工工具，如圖是石碾子的實物圖，石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成．碾盤中心設(shè)豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達(dá)到碾軋加工糧食作物的目的．若推動拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動2周，碾滾的外邊緣恰好滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（）A.3：2 B.5：4 C.5：3 D.4：3【答案】B【解析】【分析】繞碾盤轉(zhuǎn)動2周的距離等于碾滾滾動5圈的距離，列出方程即可求解.【詳解】由題意知，；故選：B.6.已知等差數(shù)列的首項，而，則（）A.0 B.2 C.-1 D.【答案】A【解析】【分析】由，代入即可化簡求值.【詳解】等差數(shù)列的首項，，則.故選：A7.過點作圓的切線，則切線方程為（）A. B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】由題意可得點在圓上，根據(jù)切線的性質(zhì)求切線斜率，進(jìn)而求切線方程.【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，∵，∴點在圓上，又∵，則切線的斜率，∴切線方程為，即.故選：C.8.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作差后利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性比較大小．【詳解】，∴，，，設(shè)，則，時，，即在上遞減，，，，所以，，即，綜上，．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.以下命題正確的有（）A.一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越大，這組數(shù)據(jù)的離散程度越小B.一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定小于中位數(shù)C.樣本相關(guān)系數(shù)的大小能反映成對樣本數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)的程度，而決定系數(shù)的大小可以比較不同模型的擬合效果D.分層隨機抽樣所得各層的樣本量一定與各層的大小成比例【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)方差,中位數(shù),平均數(shù)，相關(guān)系數(shù)，分層抽樣等知識點分別判斷即可.【詳解】對于:數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越大，這組數(shù)據(jù)的離散程度越大,故錯誤;對于:根據(jù)圖可知,中位數(shù)靠右大于平均數(shù),故正確;對于:樣本相關(guān)系數(shù)是指樣本數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度，而決定系數(shù)是比較不同模型的擬合效果,故正確;對于:分層隨機抽樣所得各層的樣本量不一定與各層的大小成比例,

等比例分層隨機抽樣所得各層的樣本量一定與各層的大小成比例,故錯誤;故選:10.已知橢圓的左、右焦點分別為、，點，直線與橢圓交于、兩點，則（）A.的最大值為B.的內(nèi)切圓半徑C.的最小值為D.若為的中點，則直線的方程為【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式可判斷A選項；利用分析可得，求出面積的最大值，可判斷B選項；利用橢圓的定義、數(shù)形結(jié)合可判斷C選項；利用點差法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，在橢圓中，，，則，即點、，由橢圓的定義可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為，A對；對于B選項，，當(dāng)點為橢圓的短軸的頂點時，取最大值，，B錯；對于C選項，由橢圓的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)點為射線與橢圓的交點時，等號成立，故的最小值為，C對；對于D選項，，則點在橢圓內(nèi)，設(shè)點、，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，由題意可得，由已知可得，兩個等式作差可得，即，所以，直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，D錯.故選：AC11.正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，H分別為AD，DD1，BB1的中點，則（）A.直線平面 B.直線平面C.三棱錐的體積為 D.三棱錐的外接球的表面積為9π【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)M為AA1的中點，則，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得與BE不垂直可判斷A，根據(jù)線面平行及面面平行的判定定理可判斷B，根據(jù)錐體的體積公式可判斷C，由題可得FB為三棱錐的外接球的直徑，進(jìn)而可判斷D.【詳解】如圖，設(shè)M為AA1的中點，則，由題意，得，，所以EM與BE不垂直，即與BE不垂直，所以直線與平面BEF不垂直，所以A錯誤；因為E，F(xiàn)，H分別為AD，DD1，BB1的中點，所以，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面∥平面，又平面，所以直線平面，所以B正確；因為F，H分別為DD1，BB1的中點，所以BH⊥FH，又BH=1，，所以，易得點E到平面BFH的距離為，所以三棱錐H－EFB的體積，所以C正確；因為BC⊥平面，平面，所以，又，故FB為三棱錐的外接球的直徑，又，所以三棱錐的外接球的表面積，所以D正確.故選：BCD.12.已知，方程，在區(qū)間的根分別為，以下結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】題意說明分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，利用這三個函數(shù)圖象都關(guān)于直線對稱得，，直接變形判斷AB，利用不等式知識判斷C，由零點存在定理確定，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性，由單調(diào)性判斷D．【詳解】已知兩方程化為，，所以分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，易知和的圖象關(guān)于直線對稱，而函數(shù)的圖象可以看作是由的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到的，因此的圖象也關(guān)于直線對稱，所以點與關(guān)于直線對稱，，，，A正確；又，所以，，從而，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，由于，而，因此，等號不成立，即，C錯誤，，設(shè)，則，，，所以，所以，時，減函數(shù)，所以由得，所以，D正確．故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，解題關(guān)鍵是確定分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標(biāo)，利用這三個函數(shù)圖象都關(guān)于直線對稱得出的關(guān)系．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13已知向量，則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因為，所以，解得，故答案為：14.已知雙曲線的右焦點到的一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為___________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件求出a，b，c即可.【詳解】∵漸近線的方程為，，又，由點到直線的距離公式知：，，∴雙曲線C的方程為：；故答案為：.15.已知直線是函數(shù)與函數(shù)的公切線，若是直線與函數(shù)相切的切點，則____________．【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，，由得切線方程，設(shè)圖象上的切點為，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線方程，兩直線重合求得，從而得值．【詳解】，，又，所以切線的方程為，即，設(shè)直線與相切的切點為，，所以切線方程為，即，所以，解得，所以．故答案為：．16.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，且，則面積的最大值是________；若分別為的內(nèi)切圓和外接圓半徑，則的范圍為_________________．【答案】①.；②..【解析】【分析】對于第一空，利用余弦定理表示出，再表示出，再利用可得答案；對于第二空，利用可得答案.【詳解】因在三角形中，則由三角形三邊關(guān)系可得，又利用余弦定理有：，又，則.得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.則面積的最大值是；對于第二空，因，則，又，則，因，則.令，其中，因，則在上單調(diào)遞增，故，得.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.因疫情防控需要，某社區(qū)每天都要在上午6點到8點之間對全社區(qū)居民完成核酸采集，該社區(qū)有兩個居民小區(qū)，兩小區(qū)的居住人數(shù)之比為9：11，這兩個小區(qū)各設(shè)有一個核酸采集點，為了解該社區(qū)居民的核酸采集排隊時間，用按比例分配分層隨機抽樣的方法在兩小區(qū)中隨機抽取了100位居民，調(diào)查了他們一次核酸采集排隊時間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖．（1）由直方圖分別估計該社區(qū)居民核酸采集排隊時間的平均時長和在一次核酸采集中排隊時長超過16分鐘的居民比例；（2）另據(jù)調(diào)查，這100人中一次核酸采集排隊時間超過16分鐘的人中有20人來自小區(qū)，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，填寫完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為排隊時間是否超過16分鐘與小區(qū)有關(guān)聯(lián)？排隊時間超過16分鐘排隊時間不超過16分鐘合計A小區(qū)B小區(qū)合計附表：0.1000.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】（1）；.（2）是【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計算代入即可得出答案；頻率分布直方圖中每個矩形的面積表示落在該組內(nèi)的頻率，由此可估計排隊時長超過16分鐘的居民比例（2）利用獨立性檢驗公式計算，對照附表得出結(jié)論.【小問1詳解】由直方圖估計該社區(qū)居民核酸采集排隊時間的平均時長為：（分鐘）直方圖分別該社區(qū)居民在一次核酸采集中排隊時長超過16分鐘的居民比例為：.【小問2詳解】這100人中小區(qū)的人有（人），100人中B小區(qū)的人有（人），由題意知，排隊時長超過16分鐘的居民有（人），其中20人來自于小區(qū)，10人來自于B小區(qū)，排隊時長不超過16分鐘的居民有（人），其中人來自于小區(qū)，人來自于B小區(qū)，填表如下：排隊時間超過16分鐘排隊時間不超過16分鐘合計A小區(qū)202545B小區(qū)104555合計3070100零假設(shè)為:排隊時間是否超過16分鐘與小區(qū)相互獨立，即排隊時間是否超過16分鐘與小區(qū)無關(guān)，則由獨立性檢驗，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，能認(rèn)為排隊時間是否超過16分鐘與小區(qū)有關(guān)聯(lián)，這種推斷犯錯誤的概率小于.18.已知為數(shù)列的前項和,．（1）證明:數(shù)列為等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)先求出,根據(jù),寫出,,兩式相減即可得,要證數(shù)列為等比數(shù)列,只需證明為一個常數(shù),將代入即可;(2)由(1)得出數(shù)列的通項公式,若求前項和,需要進(jìn)行分組求和,先利用錯位相減求出的前項和,再求等差數(shù)列的前項和,即可得.【小問1詳解】證明:由題知,,解得:故,由,可得,,兩式相減可得:,,所以,,所以,,所以數(shù)列是以6為首項,2為公比等比數(shù)列;【小問2詳解】由(1)得數(shù)列是以6為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,故,則,設(shè),其前n項和為,則①,②,①-②可得:,所以,所以,綜上:.19.在中，內(nèi)角的對邊分別為，．（1）求；（2）如圖，在所在平面上存在點，連接，若，，，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用正弦定理和余弦定理求解；（2）由（1）的結(jié)論，運用正弦定理和條件計算出，再用面積公式計算.【小問1詳解】，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，，又是三角形內(nèi)角，；【小問2詳解】令，四邊形內(nèi)角和為，由（1）的結(jié)論知：…①，在中，由正弦定理得：，在中，，又，將①代入得：，，即，，，；綜上，，.20.如圖，在四棱錐，，為棱的中點，．（1）證明：；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析.（2）.【解析】【分析】（1）通過證明線面垂直面來證明線線垂直；（2）以PD的中點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算可得結(jié)果.【小問1詳解】取PD的中點G，連接EG、CG，如圖所示，則，，∵∴四邊形ABCD為菱形，∴∴，∴四邊形BEGC為梯形，∴BE與GC相交，又∵，∴，又∵，∴又∵，，、面，∴∴又∵，BE與GC相交，、面，∴面，∴【小問2詳解】在中，，∴，由（1）知，，又∵，∴，∴在中，，取BC的中點F，連接GF，則且，∴四邊形BEGF為平行四邊形，∴又∵，∴由（1）知，面，∴以G為原點，分別以GE、GF、GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系G－xyz，如圖所示，則，，，，∴，，，設(shè)面PDC一個法向量為，則取，則，，∴，設(shè)面PBC的一個法向量為，則取，則，，∴，∴∴平面PDC與平面PBC夾角的余弦值為.21.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分、與討論求解單調(diào)性即可；（2）可轉(zhuǎn)化為，令，即證明.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可證明.【小問1詳解】，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.③當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；