定積分的概念

求由連續(xù)曲線y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法(2)取近似求和:任取xi

[xi-1,xi]，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高為f(xi)而寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx近似之。(3)取極限:，所求曲邊梯形的面積S為取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在區(qū)間[a,b]上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間:每個(gè)小區(qū)間寬度⊿x一、定積分的定義如果當(dāng)n

∞時(shí)，S的無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.定積分的定義：

定積分相關(guān)名稱：

———叫做積分號(hào)，

f(x)——叫做被積函數(shù)，

f(x)dx—叫做被積表達(dá)式，

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。

按定積分的定義，有

(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為(2)設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)，則此物體在時(shí)間區(qū)間[a,b]內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s為定積分的定義：1xyOf(x)=x2Ovt121.與的差別3．定積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有4．規(guī)定：

是的全體原函數(shù)是函數(shù)是一個(gè)和式的極限是一個(gè)確定的常數(shù)注：2.當(dāng)?shù)臉O限存在時(shí)，其極限值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與區(qū)間的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)。f(x)[a,b]

定積分的幾何意義：Oxyaby

f(x)x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

當(dāng)f(x)

0時(shí)，由y

f(x)、x

a、x

b

與x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，xyO=-．a(chǎn)by

f(x)y

-f(x)=-S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。

定積分的幾何意義：=-Saby

f(x)Oxy探究:根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?aby

f(x)Oxy三:定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.三:定積分的基本性質(zhì)

定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)3.Oxyaby

f(x)Ｃ

例1：利用定積分的定義,計(jì)算的值.

例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3：解：xyf(x)=sinx1-1

利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分值的正、負(fù)號(hào)。利用定積分的幾何意義，說明下列各式。成立：