2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.三棱錐S—ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在求。的表面上，且AABC是等邊三角形，Ml底面ABC,S4=4,AB=6,

若點(diǎn)。在線段54上，且AO=2SO,則過點(diǎn)。的平面截球。所得截面的最小面積為（）

A.34B.4萬(wàn)C.8乃D.134

2.設(shè)集合A=3y=2，-1,xGR},B={x|-2￡r<3,xGZ},貝!]AC8=（）

A.（-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

3.設(shè)拋物線：/=4x上一點(diǎn)P到丁軸的距離為4,到直線/：3x+4y+12=0的距離為人，貝！14+4的最小值為

()

D.3

〉；，.則集合（電A）p|8等于（

4.設(shè)全集U=R,集合A={x[(x-l)(x—3)20},)

A.(1,2)B.(2,3]C.(1,3)D.(2,3)

5.若點(diǎn)Gj，池于由曲線.\=8-2|+/與》=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則」的取值范圍是（）

x-2

A.[-3,1]B.[-3,5]C.（-00,-3]U[5,+oo）D.（-oo,-3]〃[[,+oo）

6.設(shè)等差數(shù)列{4}的前”項(xiàng)和為S“，若2+%=4+%，則S?=（）

A.28B.14C.7D.2

7.等差數(shù)列{qj中，4+%=10,4=7,則數(shù)列{4}前6項(xiàng)和S6為（）

A.18B.24C.36D.72

8.甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A,B,。可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參

加同一個(gè)小組的概率為（）

9.已知集合4={1|1<%<24},5==,——>,則G8=（）

y]-x2+6x-5.

A.{x|x>5}B.1x15<x<24}

C.{x|xWl或x?5}D.1x15<x<24}

10.小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在一起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作

業(yè)本的概率為()

12118

A.—B.-C.-D.—

77335

x3〃InX

11.已知函數(shù)，(無(wú))=——3+-----〃在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

Inxx

A.(e,3)U(3,+oo)B.[O,e)C.(e2,+oo)D.(~<?,e)U{3}

12.設(shè)y=/(x)是定義域?yàn)镠的偶函數(shù)，且在[0,+8)單調(diào)遞增，a=log()20.3,/7=log20.3,貝！j()

A.f(a+b)>f(ab)>f(,0)B./(a+Z?)>/(0)>/(")

C./(6t/?)>/(a+Z>)>/(0)D.f(ab)>f(0)>f(a+b)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

lx2+5x+4|,x<0.,

13.已知函數(shù)/(x)=1,1，若函數(shù)y=/(%)—ax恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是_________.

2|x-2|,x>0

14.如圖，機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從A地移動(dòng)到8地，每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則亮亮從A移動(dòng)到8最近的走

法共有一種.

15.正方體ABCO—AgGR中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面CDQG上的動(dòng)點(diǎn)，且黑尸//平面AfE,記用與產(chǎn)

的軌跡構(gòu)成的平面為a.

①三尸，使得B/J.CA；

②直線BF與直線8C所成角的正切值的取值范圍是

③a與平面CDRG所成銳二面角的正切值為2a；

④正方體ABCO-AgG。的各個(gè)側(cè)面中，與a所成的銳二面角相等的側(cè)面共四個(gè).

其中正確命題的序號(hào)是.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

16.已知非零向量〃，B滿足同=2同，且，一4/，則￡與坂的夾角為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)/（x）=k|-2|x-a]（a〉0）

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求不等式的解集；

（2）若〃x）Wl,求a的取值范圍.

.1,

18.（12分）已知函數(shù)/（%）=5以-一（a+l）x+lnx,aeR.

（1）當(dāng)。=0時(shí)，求曲線/（“）在點(diǎn)（2,7（2））的切線方程；

（2）討論函數(shù)/（幻的單調(diào)性.

22

19.（12分）已知橢圓。：二+二=1的右頂點(diǎn)為。，E為上頂點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn).

43

（1）若求直線AD與）'軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)尸為橢圓C的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)“（4,0）與x軸垂直的直線為/。，尸M的中點(diǎn)為N,過點(diǎn)A作直線的垂線，垂

足為B,求證：直線Af與直線BN的交點(diǎn)在橢圓。上.

20.（12分）已知王,天,玉G（0,+oo）,且滿足百+*2+W=3中2鼻，證明：x,x2+x2xi+x3x,>3.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=x+a4+Inx（。為常數(shù)）

（I）當(dāng)。=一5時(shí)，求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（H）若/（x）為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)"的取值范圍.

x=2下>+at

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的的參數(shù)方程為〈廣（其中?為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

y=4+>/3f

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,f],直線/經(jīng)過點(diǎn)A.曲線C的極坐標(biāo)方程為

psin2^=4cos^.

（1）求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;

（2）過點(diǎn)P（月,0）作直線/的垂線交曲線C于兩點(diǎn)（。在x軸上方），求嬴一窟的值?

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由題意畫出圖形，求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑，再求出外接球球心到。的距離，利用勾股定理求得過點(diǎn)。的

平面截球。所得截面圓的最小半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖，設(shè)三角形A8C外接圓的圓心為G,貝咳卜接圓半徑AG=|x3g=26,

設(shè)三棱錐S-A8C的外接球的球心為O,則外接球的半徑R=也可+2?=4

取SA中點(diǎn)E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,

所以O(shè)D=J（2可+9=V13.

則過點(diǎn)D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為"一（何=百

所以過點(diǎn)D的平面截球O所得截面的最小面積為71.（省/=3萬(wàn)

B

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的外接球問題，還考查了求截面的最小面積，屬于較難題.

2.C

【解析】

先求集合A,再用列舉法表示出集合8,再根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】

解：?.?集合4=U|y=2*-LxG/?)={jly>-1},

B={x\-2<x<3,x€Z}={-2,-1,0,1,2,3},

.,.AnB={0,1,2,3},

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.A

【解析】

分析：題設(shè)的直線與拋物線是相離的，4+4可以化成4+1+4-1，其中4+1是點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，也就是P到

焦點(diǎn)的距離，這樣我們從幾何意義得到4+1+出的最小值，從而得到4+d2的最小值.

v2=4-x

詳解：由「①得到3y2+i6y+48=0,A=256-12x48<0,故①無(wú)解，

3x+4y+12=0

所以直線3x+4y+12=0與拋物線是相離的.

由4+%=4+1+4-1,

而4+1為。到準(zhǔn)線x=t的距離，故4+1為P到焦點(diǎn)廠(1,0)的距離，

11x3+0x4+121

從而4+1+4的最小值為F到直線3x+4y+12=0的距離J一二_彳1=3,

V32+42

故4+4的最小值為2,故選A.

點(diǎn)睛：拋物線中與線段的長(zhǎng)度相關(guān)的最值問題，可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動(dòng)線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離

來(lái)求解.

4.A

【解析】

先算出集合毛A,再與集合B求交集即可.

【詳解】

因?yàn)锳={x|xN3或1}.所以,A={x|1<x<3},又因?yàn)?={x12*<41={x\x<2}.

所以(電A)c8={x[l<x<2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.

5.D

【解析】

畫出曲線x=ly-2l+/與x=3圍成的封閉區(qū)域，匕」表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)小，切和定點(diǎn)(2,-“連線的斜率，然后結(jié)合圖形

x-2

求解可得所求范圍.

【詳解】

設(shè)上=也，結(jié)合圖形可得/、？跖4或k<kpB，

x-2

由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為,43@,8〃,2%

.12-(-1)

??kN1或k3,

V+J

A--的取值范圍為(---3]U[lt+oo).

x-2

故選D.

【點(diǎn)睛】

解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題，即把y^4一-J看作兩點(diǎn)間連線的斜率；二是要正確畫出兩曲

x-2

線所圍成的封閉區(qū)域.考查轉(zhuǎn)化能力和屬性結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)&+%=4+%并結(jié)合已知可求出?4，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得S1=7"4)=7%,即可求

出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)椋?%=包+。5，所以2+4=4+%，所以%=2,

所以$=7(4；勺)=76=14,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得%=5,根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式S6=%愛*6=氣幺x6可得結(jié)果.

【詳解】

???等差數(shù)列{叫中，q+%=1°，，2。3=10，即%=5,

...S=^L1^X6=^^X6=5X6=36,

6222

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】依題意，基本事件的總數(shù)有3x3=9種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有3種，故概率為3

93

9.D

【解析】

首先求出集合B,再根據(jù)補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；

【詳解】

2

W：V-%+6%-5>0,解得1<X<5

8={x|1<X<5},/.dAB={x15<x<24).

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

V)

利用P=上計(jì)算即可，其中%表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)，n為基本事件總數(shù).

n

【詳解】

從7本作業(yè)本中任取兩本共有C；種不同的結(jié)果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有C；種不同結(jié)果，

C21

由古典概型的概率計(jì)算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為T=一.

C；7

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率計(jì)算問題，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

函數(shù)八尤)=上-3+辿丫-。的零點(diǎn)就是方程=匚-3+網(wǎng)吧-。=0的解，設(shè)g(x)=—匚，方程可化為

\nxx\nxxInx

(g(x)-3)(g(x)-a)=0,即g(x)=3或g(x)=a,求出g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由

此可根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)得出?的范圍.

【詳解】

X3〃InxX

由題意得——3+----------。=0有四個(gè)大于1的不等實(shí)根，記g(x)=——，則上述方程轉(zhuǎn)化為

InxxInx

(3、

(g(x)-3)+a---1=0,

Ig(x))

即(g(x)-3)(g(x)-a)=0,所以g(x)=3或g(x)=a.

因?yàn)間(無(wú))=黑，，當(dāng)xe(l,e)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(e,4w)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

所以g(x)在x=e處取得最小值，最小值為g(e)=e.因?yàn)?>e,所以g(x)=3有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解，故

X3〃Inx

f(x)=-——3+---------。在區(qū)間(1,內(nèi))上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn)，需〃>e且。工3.

Inxx

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn).考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本

題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力.

12.C

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較|。+目,|聞即可.

【詳解】

lgO-31lg0.3

解:|a+b|=|log020.3+log,0.3|=

lg0.2lg2

lg0.3xlg|

Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\=|log020.3xlog20.3|=

-lgO.3xlgO.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

Tg0.3x(-lgO3)

Ig5xlg2

l,g0c.c3xl.g—10

Ig5xlg2

顯然Iggvlgg,所以卜+同<卜問

y=/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在［0,+8)單調(diào)遞增,

所以f(ab)>f(a+b)>/(0)

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(1,3)

【解析】

函數(shù)y=/(x)—“W恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)f(x)與函數(shù)y=a國(guó)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，利用

數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】

函數(shù)y=/(x)-a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)y=aN的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如下圖

故答案為:(1,3)

【點(diǎn)睛】

本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.

14.80

【解析】

分三步來(lái)考查，先從A到C，再?gòu)腃到。，最后從。到B,分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù)，然后利用分步

乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.

【詳解】

分三步來(lái)考查：①?gòu)腁到C,則亮亮要移動(dòng)兩步，一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有C；種

走法；

②從C到。，則亮亮要移動(dòng)六步，其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有C；種走法；

③從。到8,由①可知有C；種走法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有C；C；C；=80種不同的走法.

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】

本題考查格點(diǎn)問題的處理，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題.

15.①@③④

【解析】

取CO中點(diǎn)G,和。中點(diǎn)M,CG中點(diǎn)N，先利用中位線的性質(zhì)判斷點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN,平面^MN即為平面

?，畫出圖形，再依次判斷:①利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷;②直線BF與直線所成角即為直線BF與直線

所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,進(jìn)而求解;③由MN//EGMF為中點(diǎn)，則MN±C.F,MN1則ZB,FC,即為。

與平面CDD?所成的銳二面角，進(jìn)而求解；④由平行的性質(zhì)及圖形判斷即可.

【詳解】

取CD中點(diǎn)G,連接EG,則EG//CD,，所以EGIIAB,所以平面ABE即為平面ABGE,

取CQ中點(diǎn)M,CG中點(diǎn)N,連接用則易證得用M〃BG，4N〃4E,

所以平面與MN〃平面AQGE,所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN,平面與MN即為平面a.

①取F為MN中點(diǎn)，因?yàn)?MN是等腰三角形，所以B、F工MN，又因?yàn)镸N//CDt，所以B,F±CR,故①正確；

②直線BF與直線8C所成角即為直線B}F與直線4G所成角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,當(dāng)點(diǎn)F為MN中點(diǎn)時(shí)，直線B.F

與直線B￡所成角最小，此時(shí)6尸=走,tanNG=牛=也；

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M或息N重合時(shí)，直線B.F與直線B?所成角最大，此時(shí)tanZC,B,F=；,

所以直線BF與直線8C所成角的正切值的取值范圍是，②正確;

③a與平面CDD.C,的交線為EG,且MN//EG,取F為MN中點(diǎn)，則MN1C,F,MN±耳F,即為a與平

面CDD?所成的銳二面角,tanN6/G=等=2逝，所以③正確；

④正方體ABCD-ABCQI的各個(gè)側(cè)面中，平面ABC。,平面A4G2，平面BCC向，平面A。。A與平面a所成的角

相等,所以④正確.

故答案為:①@③④

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面的空間位置關(guān)系，考查異面直線成角，二面角，考查空間想象能力與轉(zhuǎn)化思想.

16.y(或?qū)懗?0°)

【解析】

設(shè)Z與坂的夾角為。，通過伍-山”，可得僅-小￡=0,化簡(jiǎn)整理可求出cos。，從而得到答案.

【詳解】

設(shè)￡與石的夾角為。

可得(B-a),a=0,

a-b-[a^=0

故|a|.W.cose—問2=0,將問=2同代入可得

得到cos。=',

2

于是￡與B的夾角為?.

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能

力及計(jì)算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)I，3(2)(0,1]

【解析】

(1)通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可.

⑵去絕對(duì)值將函數(shù)/(X)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由/(x)w1恒成立求得結(jié)果.

【詳解】

解：(1)當(dāng)a=l時(shí),/(x)=|x|-2|x-l|,/(x)N—1即

x<0[0<x<l[x>l

[x-2>-l[3x-2>-l[-x+2>-l

解之得或l<x43,即

33

?..不等式的解集為I，3.

x-2a,(x<0)

(2)由題意得：/(x)=?3x-2a,(OKx?a)

一x+2a,(x〉a)

二當(dāng)x<0時(shí)f(x)=x-2a(a>0)為減函數(shù)，顯然〃x)W1恒成立.

當(dāng)OWxWa時(shí)，/(x)=3x-2。為增函數(shù)，

.f(x)01ax=/(a)=aKl，，0<a<l

當(dāng)x>。時(shí)，/(x)=-x+2a為減函數(shù)，/(a)=a<l

.-.0<a<l

綜上所述：使/(x)Wl恒成立的"的取值范圍為(0,1].

【點(diǎn)睛】

本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

18.(1)x+2y+2-21n2=0；(2)當(dāng)4,0時(shí),/(x)在。1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)()<。<1時(shí),八幻

在(0,1)和,+8)上單調(diào)遞增，在11,j上單調(diào)遞減；當(dāng)a=1時(shí),f(x)在(0,+刃)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí),/(x)在

(0,()和(1,”)上單調(diào)遞增，在1)上單調(diào)遞減.

【解析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

⑵易得函數(shù)定義域是(0,+O))，且r(x)=3T)(H).故分w,(),0<a<1和a=1與a>1四種情況，分別分析得極值

x

點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】

(1)當(dāng)a=0時(shí),/(x)=—x+Inx,f'(x)=-1+■，則切線的斜率為/⑵=-\+-=-^.

x22

又/(2)=-2+In2,則曲線/(x)在點(diǎn)(2](2))的切線方程是y-(-2+In2)=—；(x-2),

即x+2y+2—21n2=0.

1°

(2)/(均二］以？一(4+1)犬+吊工的定義域是(0,+8).

，八1加一(。+1)%+1(6(x-l)(x-l)

/(x)=ar-(?+l)+—=---------------=------------

xxx

①當(dāng)6,0時(shí)，依-1<0,所以當(dāng)xw(0,l)時(shí),/'(x)>0；當(dāng)XG(1,+OO)時(shí),/'(x)<0,

所以fM在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+s)上單調(diào)遞減;

②當(dāng)0<a<l時(shí),—>1,所以當(dāng)xe(0』)和[5，+oo1時(shí)J，(x)>0；當(dāng)5時(shí),/'(x)<0,

所以f(x)在(0,1)和上單調(diào)遞增，在(1，：)上單調(diào)遞減；

③當(dāng)。=1時(shí)」=1,所以/(無(wú))..0在(0,+g)上恒成立.所以,f\x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

a

④當(dāng)a>1時(shí),0<,<1,

a

所以和(1,”)時(shí)J'(x)>0；%6(：,11時(shí),/'(幻<0.

所以/(X)在,,口和(1,”)上單調(diào)遞增，在刀上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)自,0時(shí),/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時(shí),/(X)在(0,1)和［：,+8］上單調(diào)遞

增，在(I,}上單調(diào)遞減；當(dāng)。=1時(shí),/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),/(X)在同］和—上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性討論，需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)

系分類討論即可.屬于常考題.

(向

19.(1)［°，一半(2)見解析

【解析】

(1)直接求出直線AE方程，與橢圓方程聯(lián)立求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線AO方程，得其與)'軸交點(diǎn)坐標(biāo);

(2)設(shè)4%,%),則8(4,%),求出直線BN和A/的方程，從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上,

即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程.代入驗(yàn)證即可.注意分題=1和%彳1說明.

【詳解】

解：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合,

(1)由題知0(2,0),E(0,V3),則曝=一日.因?yàn)镈E’AE,所以旗小孑

y孚+648

x=----

25

則直線AE的方程為y二羊x+日聯(lián)立4、可得《

773

y=~25~

故A?貝~^7^-=—>直線AZ）的方程為y=立（》一2）.令x=0,

[2525IDA-481414

25

得)=—也，故直線AO與)'軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

7

(2)證明：因?yàn)?1,0),M(4,0),所以N(g,0).設(shè)點(diǎn)A(Xo，%)，則B(4,%)?

設(shè)

當(dāng)天=1時(shí)，設(shè)在］?}貝"(4,1:此時(shí)直線AE與x軸垂直,

其直線方程為x=l,

直線BN的方程為y—即y=x_*.

4-2V2）2

2

在方程y=x-g中，令x=l,得'=一|，得交點(diǎn)為顯然在橢圓C上.

同理當(dāng)4（1,一|］時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓C上.

當(dāng)飛片1時(shí)，可設(shè)直線BN的方程為〉

直線AF的方程為＞=

消去）'得等卜-1卜告jd），化簡(jiǎn)并解得）=年!

將》=要二|代入y7a-1）中，化簡(jiǎn)得y=m、.

2x0-5x0-12x0-5

所以兩直線的交點(diǎn)為二1,.

-52x0-5）

_25%Q-8Oxo+64_25x；-80x（,+64+12y：

2

4（2x0-5）（2%—5『4（2/—5/

?22

又因?yàn)椤?+號(hào)=1,所以44=12—3片，

則25片-80%+64+12尤_44-20%+25_（2%_5『_】

2

“4（2——5『-（2x0-5）-（2x0-5）2-

所以點(diǎn)在橢圓C上.

綜上所述，直線A尸與直線BN的交點(diǎn)在橢圓。上.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓相交問題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線

方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線.本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

20.證明見解析

【解析】

將%+七+毛=3%%內(nèi)化簡(jiǎn)可得；V+Tr+YjuS,由柯西不等式可得證明.

【詳解】

解：因?yàn)閮?nèi),€(0,”)，%+占十七=3%工2七，

所以~'—~~—?—■-=3,

“2*3*3*1Aj/

又(玉々+X2X3+X3X])*_L_+J_L>(1+1+1)2=9,

X2X3尤3%XjX2

所以為赴+赴*3+三為23,當(dāng)且僅當(dāng)％=々=芻=1時(shí)取等號(hào)?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，相對(duì)不難，注意已知條件的化簡(jiǎn)及柯西不等式的靈活運(yùn)用.

21.(I)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,；｝(4,+co)；單調(diào)遞減區(qū)間為(ID[-4.+CO).

【解析】

(I)對(duì)函數(shù)/(X)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性即可；

(H)對(duì)函數(shù)“X)進(jìn)行求導(dǎo)，由題意知,/(x)為增函數(shù)等價(jià)于『(司之()在區(qū)間((),+。)恒成立，利用分離參數(shù)法和

基本不等式求最值即可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

(I)由題意知，函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?0,+。)，

當(dāng)a=—5時(shí)，/(x)=2*二5西+2=(26-1)(五-2),

2x2x

令.f'(x)=。，得x=；,或x=4,

所以f(x)，隨犬的變化情況如下表:

X4（4,+oo）

（。高4

/'（X）+0—0+

9,）