第一部分：平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算一.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1．向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或稱(chēng))平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向或的非零向量0與任一向量或共線(xiàn)共線(xiàn)向量的非零向量又叫做共線(xiàn)向量相等向量長(zhǎng)度且方向的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度且方向的向量0的相反向量為02.向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3.共線(xiàn)向量定理 向量a(a≠0)與b共線(xiàn)的條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.二.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1．向量的兩要素向量具有大小和方向兩個(gè)要素．用有向線(xiàn)段表示向量時(shí)，與有向線(xiàn)段起點(diǎn)的位置沒(méi)有關(guān)系．同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段都表示同一向量．或者說(shuō)長(zhǎng)度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而沒(méi)有誰(shuí)大誰(shuí)小之說(shuō)，即向量不能比較大?。?．向量平行與直線(xiàn)平行的區(qū)別向量平行包括向量共線(xiàn)(或重合)的情況，而直線(xiàn)平行不包括共線(xiàn)的情況．因而要利用向量平行證明向量所在直線(xiàn)平行，必須說(shuō)明這兩條直線(xiàn)不重合．三．基礎(chǔ)自測(cè)1．化簡(jiǎn)－＋－的結(jié)果等于________．2．下列命題：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線(xiàn)向量；④相等向量一定共線(xiàn)．其中不正確命題的序號(hào)是_______．3．在△ABC中，＝c，＝b.若點(diǎn)D滿(mǎn)足＝2，則＝________(用b、c表示)．4．如圖，向量a－b等于() A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2 C．e1－3e2D．3e1－e25．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是 ( ) A．A、B、DB．A、B、C C．B、C、DD．A、C、D四．題型分類(lèi)深度剖析題型一平面向量的有關(guān)概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確的序號(hào)是________．變式訓(xùn)練1判斷下列命題是否正確，不正確的請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)若向量a與b同向，且|a|＝|b|，則a>b；(2)若|a|＝|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a與b方向相同，則a＝b；(4)由于零向量的方向不確定，故零向量不與任意向量平行；(5)若向量a與向量b平行，則向量a與b的方向相同或相反；(6)若向量與向量是共線(xiàn)向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線(xiàn)上；(7)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；(8)任一向量與它的相反向量不相等題型二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算例2如圖，以向量＝a，＝b為邊作?OADB，＝eq\f(1,3)，＝eq\f(1,3)，用a、b表示、、.變式訓(xùn)練2△ABC中，＝eq\f(2,3)，DE∥BC交AC于E，BC邊上的中線(xiàn)AM交DE于N.設(shè)＝a，＝b，用a、b表示向量、、、、、.題型三平面向量的共線(xiàn)問(wèn)題例3設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.(1)求證：A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)若＝3e1－ke2，且B、D、F三點(diǎn)共線(xiàn)，求k的值．變式訓(xùn)練3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn)，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線(xiàn)．五．思想與方法5．用方程思想解決平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題試題：如圖所示，在△ABO中，＝eq\f(1,4)，＝eq\f(1,2)，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)＝a，＝b.試用a和b表示向量.六．思想方法感悟提高方法與技巧1．將向量用其它向量(特別是基向量)線(xiàn)性表示，是十分重要的技能，也是向量坐標(biāo)形式的基礎(chǔ)．2．可以運(yùn)用向量共線(xiàn)證明線(xiàn)段平行或三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題．如∥且AB與CD不共線(xiàn)，則AB∥CD；若∥，則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)．失誤與防范1．解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿(mǎn)足條件．要特別注意零向量的特殊性．2．在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤．七．課后練習(xí)1．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；③λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線(xiàn)．其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為()A．1B．2 C．3D．42．若A、B、C、D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：＋＝＋；②＋=；③－＝+.其中正確的有()A．0個(gè)B．1個(gè) C．2個(gè)D．3個(gè)3.已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)C，滿(mǎn)足=0，則等于()A.－B.＋2C.－eq\f(1,3) D.＋eq\f(2,3)4.如圖所示，在△ABC中，＝eq\f(1,2)，＝3，若＝a，＝b，則等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b B．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b5.在四邊形ABCD中，＝a＋2b,＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是()A．矩形B．平行四邊形C．梯形D．以上都不對(duì)6.＝8，＝5，則的取值范圍是__________．7．給出下列命題：①向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；⑤向量與向量與向量是共線(xiàn)向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線(xiàn)上．其中不正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________．8.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N.若＝m，＝n，則m＋n的值為_(kāi)_______．9．設(shè)a與b是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，且向量a＋λb與－(b－2a)共線(xiàn)，則λ＝________.10.在正六邊形ABCDEF中，＝a，＝b，求，.11.如圖所示，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM的值．12.已知點(diǎn)G是△ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn).（1）求＋＋；(2)若PQ過(guò)△ABO的重心G,且＝a,＝b，＝ma，＝nb，求證：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.第二部分：平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示一．基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1．兩個(gè)向量的夾角定義范圍已知兩個(gè)向量a，b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角(如圖)向量夾角θ的范圍是,當(dāng)θ＝時(shí),兩向量共線(xiàn)，當(dāng)θ＝時(shí)，兩向量垂直，記作a⊥b.2.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝.其中，不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組．(2)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示把一個(gè)向量分解為兩個(gè)的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐標(biāo)表示①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使a＝xi＋yj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，把有序數(shù)對(duì)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝，其中叫做a在x軸上的坐標(biāo)，叫做a在y軸上的坐標(biāo)．②設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是的坐標(biāo)，即若＝(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為，反之亦成立．(O是坐標(biāo)原點(diǎn))3．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝，||＝.4．平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?.二．難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1．基底的不唯一性只要兩個(gè)向量不共線(xiàn)，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線(xiàn)性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．2．向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí)，向量不變即＝＝(x，y),但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化．三．基礎(chǔ)自測(cè)1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與b平行，則k＝________.3．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向線(xiàn)段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d＝____________.4．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2) D．(1,3)5．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b()A．平行于y軸B．平行于第一、三象限的角平分線(xiàn)C．平行于x軸D．平行于第二、四象限的角平分線(xiàn)四．題型分類(lèi)深度剖析題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知＝c，＝d，試用c，d表示，.變式訓(xùn)練1如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足條件＋2＋3＝0，設(shè)Q為CP的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB的交點(diǎn)，令＝p，試用p表示.題型二向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求滿(mǎn)足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．變式訓(xùn)練2(1)已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(2，－4)、B(0，6)、C(－8,10)，求向量＋2－eq\f(1,2)的坐標(biāo)；(2)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求：①3a＋4b；②a－3b；③eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b.題型三平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算例3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求滿(mǎn)足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；(3)若d滿(mǎn)足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d.變式訓(xùn)練3已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)求|a＋3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，ka－b與a＋3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？五．易錯(cuò)警示8．忽視平行四邊形的多樣性致誤試題：已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．六．思想方法感悟提高方法與技巧1．平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解．2．向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理，從而向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問(wèn)題．3．在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．失誤與防范1．要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.同時(shí)，a∥b的充要條件也不能錯(cuò)記為x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．七．課后練習(xí)1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(1＋m,1－m)，若a∥b，則實(shí)數(shù)m的值為()A．3 B．－3 C．2 D．－22．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b等于()A．(－2，－4) B．(－3，－6)C．(－4，－8) D．(－5，－10)3.設(shè)向量a＝(3，eq\r(3))，b為單位向量，且a∥b，則b等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))4.已知向量a＝(1，－m)，b＝(m2，m)，則向量a＋b所在的直線(xiàn)可能為()A．x軸B．第一、三象限的角平分線(xiàn)C．y軸D．第二、四象限的角平分線(xiàn)5．已知A(7,1)、B(1,4),直線(xiàn)與線(xiàn)段AB交于C,且2，則實(shí)數(shù)a等于()A．2 B．1 C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,3)6．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線(xiàn)，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值等于________．7．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值為_(kāi)_______．8．若向量a與相等，其中A(1,2)，B(3，2)，則x＝________.9．若平面向量a，b滿(mǎn)足|a＋b|＝1，a＋b平行于y軸，a＝(2，－1)，則b＝______________.10．a(chǎn)＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？11．三角形的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，設(shè)向量m＝(3c－b，a－b)，n＝(3a＋3b，c)，m∥n.(1)求cosA的值；(2)求sin(A＋30°)的值．12．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，已知向量m＝(a，b)，向量n＝(cosA，cosB)，向量p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)sin\f(B＋C,2)，2sinA))，若m∥n，p2＝9，求證：△ABC為等邊三角形．第三部分：平面向量的數(shù)量積一．基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1．平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量_______叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作________________.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_(kāi)___.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是，兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是.2．平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影_________的乘積．3．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)e·a＝a·e＝；(2)非零向量a，b，a⊥b?；(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝，a·a＝a2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|____|a||b|.4．平面向量數(shù)量積滿(mǎn)足的運(yùn)算律(1)a·b＝(交換律)；(2)(λa)·b＝＝(λ為實(shí)數(shù))；(3)(a＋b)·c＝.5．平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝，由此得到(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝或|a|＝.(2)設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|=＝.(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?.二．難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1．向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦值有關(guān)，在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍．2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不滿(mǎn)足向量間的結(jié)合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線(xiàn)的向量，而a(b·c)表示一個(gè)與a共線(xiàn)的向量，而c與a不一定共線(xiàn)．三．基礎(chǔ)自測(cè)1．已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝________.2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=,則＝______.3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為_(kāi)_____．4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，則向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．25．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c滿(mǎn)足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，則c等于 ()A．(2,1) B．(1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))) D．(0，－1)四．題型分類(lèi)深度剖析題型一求兩向量的數(shù)量積例1(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，試求(a－2b)·(2a＋3b)．變式訓(xùn)練1(1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正東方向，且|a|＝|b|＝1，則(－3a)·(a＋b)＝______.(2)如圖，在△ABC中，AD⊥AB，＝eq\r(3)，||＝1，則等于()A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)題型二求向量的模例2已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)(a－2b)·(a＋b)．變式訓(xùn)練2設(shè)向量a，b滿(mǎn)足|a－b|＝2，|a|＝2，且a－b與a的夾角為eq\f(π,3)，則|b|＝________.題型三利用向量的數(shù)量積解決夾角問(wèn)題例3已知a與b是兩個(gè)非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．變式訓(xùn)練3設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60°，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角．題型四平面向量的垂直問(wèn)題例4已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求證：a＋b與a－b互相垂直；(2)若ka＋b與a－kb的模相等，求β－α.(其中k為非零實(shí)數(shù))變式訓(xùn)練4已知平面內(nèi)A、B、C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求實(shí)數(shù)m，n的值．五．答題規(guī)范5．思維要嚴(yán)謹(jǐn)，解答要規(guī)范試題：設(shè)兩向量e1、e2滿(mǎn)足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．六．思想方法感悟提高方法與技巧向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則不具備結(jié)合律，但運(yùn)算律和實(shí)數(shù)運(yùn)算律類(lèi)似．如(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(λa＋μb)·(sa＋tb)＝λsa2＋(λt＋μs)a·b＋μtb2(λ，μ，s，t∈R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算．3．利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法技巧．失誤與防范1．(1)0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非沒(méi)有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系．2．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b.3．一般地，(a·b)c≠(b·c)a即乘法的結(jié)合律不成立．因a·b是一個(gè)數(shù)量，所以(a·b)c表示一個(gè)與c共線(xiàn)的向量，同理右邊(b·c)a表示一個(gè)與a共線(xiàn)的向量，而a與c不一定共線(xiàn)，故一般情況下(a·b)c≠(b·c)a.4．a(chǎn)·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c.即消去律不成立．5．向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì)，比如正三角形ABC中，〈〉應(yīng)為120°，而不是60°.七．課后練習(xí)1.設(shè)向量a＝(1,0)，b＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，則下列結(jié)論中正確的是()A．|a|＝|b| B．a(chǎn)·b＝eq\f(\r(2),2)C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)－b與b垂直2.若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿(mǎn)足條件(8a－b)·c＝30，則x等于()A．6 B．5 C．4 D．33.已知向量a，b的夾角為60°，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與a＋2b的夾角等于()A．150°B．90° C．60° D．30°4.平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若＝(2,4)，＝(1,3)，則等于()A．6 B．8 C．－8 D．－65.若e1、e2是夾角為eq\f(π,3)的單位向量，且向量a＝2e1＋e2，向量b＝－3e1＋2e2，則a·b等于()A．1 B．－4 C．－eq\f(7,2) D.eq\f(7,2)6．若向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝2且a與b的夾角為eq\f(π,3)，則|a＋b|＝________.7．已知向量a，b滿(mǎn)足|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角為60°，則a·b＝________，若(a－mb)⊥a，則實(shí)數(shù)m＝________.8．設(shè)a、b、c是單位向量，且a＋b＝c，則a·c的值為_(kāi)_______．9.（O是平面上一點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn).平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足若λ＝eq\f(1,2)時(shí)，的值為_(kāi)_____．10．不共線(xiàn)向量a，b的夾角為小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c＝a＋2b，求|c|的取值范圍．11．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.12．向量a＝(cos23°，cos67°)，向量b＝(cos68°，cos22°)．(1)求a·b；(2)若向量b與向量m共線(xiàn)，u＝a＋m，求u的模的最小值．第四部分：平面向量應(yīng)用舉例一．基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1．向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題．(1)證明線(xiàn)段平行或點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線(xiàn)向量定理：a∥b??.(2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b??.(3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(θ為a與b的夾角)．2．平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是，它們的分解與合成與向量的相似，可以用向量的知識(shí)來(lái)解決．(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力F與位移s的數(shù)量積．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ為F與s的夾角)．3．平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯平面向量作為一種運(yùn)算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)結(jié)合，當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式．在此基礎(chǔ)上，可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問(wèn)題．此類(lèi)問(wèn)題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)．二．難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1．向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物．在利用向量解決問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合．2．要注意變換思維方式，能從不同角度看問(wèn)題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題．三．基礎(chǔ)自測(cè)1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)． 則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．2．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．3．平面上有三個(gè)點(diǎn)A(－2，y)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若⊥，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)______________．4．已知A、B是以C為圓心，半徑為eq\r(5)的圓上兩點(diǎn)，且||＝eq\r(5)，等于()A．－eq\f(5,2)B.eq\f(5,2)C．0D.eq\f(5\r(3),2)5．某人先位移向量a：“向東走3km”，接著再位移向量b：“向北走3km”，則a＋b表示 ()A．向東南走3eq\r(2)kmB．向東北走3eq\r(2)kmC．向東南走3eq\r(3)kmD．向東北走3eq\r(3)km四．題型分類(lèi)深度剖析題型一向量在平面幾何中的應(yīng)用例1如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2EB.求證：AD⊥CE.變式訓(xùn)練1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以線(xiàn)段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn) 的長(zhǎng)； (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足(－t)·＝0，求t的值．題型二平面向量在解析幾何中的應(yīng)用例2已知點(diǎn)P（0，-3），點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)M滿(mǎn)足=0，＝－eq\f(3,2)，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．變式訓(xùn)練2已知圓C：(x-3)+(y-3)=4及點(diǎn)A（1,1），M是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段MA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且＝2，求點(diǎn)N的軌跡方程．題型三平面向量與三角函數(shù)例3已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，sinx)，c＝(－1,0)．(1)若x＝eq\f(π,3)，求向量a與c的夾角；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)，\f(π,4)))，求函數(shù)f(x)＝a·b的最值；(3)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y＝eq\f(\r(2),2)sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？變式訓(xùn)練3已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)．(1)若·＝－1，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值；(2)若|+|＝eq\r(13)，且α∈(0，π)，求與的夾角．五．易錯(cuò)警示9．忽視對(duì)直角位置的討論致誤試題：已知平面上三點(diǎn)A、B、C，向量＝(2－k,3)，＝(2,4)．若三點(diǎn)A、B、C不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿(mǎn)足的條件；(2)若△ABC為直角三角形，求k的值．六．思想方法感悟提高方法與技巧向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題．以向量為載體，求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題．通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法．有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度或相等，可以用向量的線(xiàn)性運(yùn)算與向量的模．4．用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．5．向量的坐標(biāo)表示，使向量成為解決解析幾何問(wèn)題的有力工具，在證明垂直、求夾角、寫(xiě)直線(xiàn)方程時(shí)顯示出了它的優(yōu)越性，在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，需要將向量用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用向量的有關(guān)法則、性質(zhì)列出方程，從而使問(wèn)題解決．失誤與防范1．向量關(guān)系與幾何關(guān)系并不完全相同，要注意區(qū)別．例如：向量∥并不能說(shuō)明AB∥CD.2．加強(qiáng)平面向量的應(yīng)用意識(shí)，自覺(jué)地用向量的思想和方法去思考問(wèn)題．七．課后練習(xí)1．已知△ABC，,則一定有()A．⊥B．=C．(+)⊥(-)D．+=-2．點(diǎn)P在平面上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度向量v＝(4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同，且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位)．設(shè)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10,10)，則5秒后質(zhì)點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)3.平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形4.如圖，△ABC的外接圓的圓心為O,AB=2,AC=3,BC=,則等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2)C．2 D．35．平面上O、A、B三點(diǎn)不共線(xiàn)，設(shè)，則△OAB的面積等于()A.eq\r(|a|2|b|2－(a·b)2)B.eq\r(|a|2|b|2＋(a·b)2)C.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2－(a·b)2)D.eq\f(1,2)eq\r(|a|2|b|2＋(a·b)2)6．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，則|2a＋b|＝________.7．河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π叮瑒t小船的靜水速度大小為_(kāi)_______．8.已知△ABO三頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足·≤0，·≥0，則·的最小值為_(kāi)_______．9．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若·＝，那么c＝________.10.如右圖，在Rt△ABC中，已知BC=a,若長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段PQ以點(diǎn)A為中心，問(wèn)與的夾角θ取何值時(shí)·的值最大？并求出這個(gè)最大值．11．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．12．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若＝k(k∈R)．(1)判斷△ABC的形狀；(2)若c＝eq\r(2)，求k的值．第二章平面向量一、選擇題(第1題)1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則(第1題)A．與共線(xiàn) B．與共線(xiàn)C．與相等 D．與相等2．下列命題正確的是()．A．向量與是兩平行向量B．若a，b都是單位向量，則a＝bC．若＝，則A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形D．兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同3．平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3，1)，B(－1，3)，若點(diǎn)C滿(mǎn)足＝＋，其中，∈R，且＋＝1，則點(diǎn)C的軌跡方程為()．A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝04．已知a、b是非零向量且滿(mǎn)足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a與b的夾角是()A． B． C． D．5．已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上(不包括端點(diǎn)A，C)，則＝()．A．λ(＋)，λ∈(0，1) B．λ(＋)，λ∈(0，)C．λ(－)，λ∈(0，1) D．λ(－)，λ∈(0，)6．△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)，則＝()．A．＋ B．－C．＋ D．＋7．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則向量a的模為()．A．2 B．4 C．6 D．8．點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足·＝·＝·，則點(diǎn)O是△ABC的()．A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)C．三條中線(xiàn)的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)9．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線(xiàn)，則四邊形ABCD為()．A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形(第10題)10．如圖，梯形ABCD中，||＝||，∥∥則相等向量是()．(第10題)A．與 B．與C．與 D．與二、填空題11．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)與相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，則x＝．13．已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿(mǎn)足||＝3，||＝4，||＝5，則·＋·＋·的值等于．14．給定兩個(gè)向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)m等于．15．已知A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若＋＋＝0，則O是△ABC的．

16．設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O，＝a，＝b，＝c,＝d，若a＋c＝b＋d，則四邊形ABCD的形狀是．三、解答題17．已知點(diǎn)A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若點(diǎn)P滿(mǎn)足＝＋λ(λ∈R)，試求λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？(第18題)18．如圖，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，且MN與AD交于(第18題)

19．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE(利用向量證明)．((第19題)20．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，則|2a－b|的最大值．

參考答案一、選擇題(第1題(第1題)解析：如圖，與，與不平行，與共線(xiàn)反向．2．A解析：兩個(gè)單位向量可能方向不同，故B不對(duì)．若＝，可能A，B，C，D四點(diǎn)共線(xiàn)，故C不對(duì)．兩向量相等的充要條件是大小相等，方向相同，故D也不對(duì)．3．D解析：提示：設(shè)＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)，＝(3，)，＝(－，3)，又＋＝(3－，＋3)，∴(x，y)＝(3－，＋3)，∴，又＋＝1，由此得到答案為D．4．B解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝．∴a與b的夾角是．5．A解析：由平行四邊形法則，＋＝，又＋＝，由λ的范圍和向量數(shù)乘的長(zhǎng)度，λ∈(0，1)．6．D解析：如圖，∵＝，∴＝＋＝＋．(第6題)7．C解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由·＝·＝·，得·＝·,即·(－)＝0，故·＝0，⊥，同理可證⊥，∴O是△ABC的三條高的交點(diǎn)．9．C解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠|(zhì)|．∴四邊形ABCD為梯形．10．D解析：與，與，與方向都不相同，不是相等向量．二、填空題11．－．解析：A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)等價(jià)于，共線(xiàn)，＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，＝－＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，又A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴5(4－k)＝－7(－k－4)，∴k＝－．12．－1．解析：∵M(jìn)(－1，3)，N(1，3)，∴＝(2，0)，又a＝，∴解得∴x＝－1．13．－25．解析：思路1：∵＝3，＝4，＝5，∴△ABC為直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，∴·＋·＋·＝·＋·＝·(＋)＝－()2