復(fù)變函數(shù)與積分變換〔B〕?復(fù)變函數(shù)?(四版)清華大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編2021-2021學(xué)年第一學(xué)期教材1整理課件2021年9月3日第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)2整理課件對(duì)象復(fù)變函數(shù)〔自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)〕主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴(lài)關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射、傅立葉變換和拉普拉斯變換等復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、3整理課件學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和開(kāi)展，它們之間有許多相似之處.但又有不同之處，在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的性質(zhì)與結(jié)果4整理課件背景十六世紀(jì),在解代數(shù)方程時(shí)引進(jìn)復(fù)數(shù)為使負(fù)數(shù)開(kāi)方有意義，需要擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域在十八世紀(jì)以前，對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾.在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)〞直到十八世紀(jì)，J.D’Alembert(1717-1783)與L.Euler(1707-1783)等人逐步說(shuō)明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問(wèn)題.復(fù)數(shù)被廣泛成認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論順利建立和開(kāi)展.5整理課件十九世紀(jì)奠定復(fù)變函數(shù)的理論根底三位代表人物:A.L.Cauchy〔1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)G.F.B.Riemann(1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)通過(guò)他們的努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用.

6整理課件1.復(fù)數(shù)的概念

2.代數(shù)運(yùn)算

3.共軛復(fù)數(shù)§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算7整理課件一般,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.1.復(fù)數(shù)的概念

定義對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x、y,稱(chēng)z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的實(shí)部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

復(fù)數(shù)的模

判斷復(fù)數(shù)相等8整理課件定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運(yùn)算四那么運(yùn)算9整理課件z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、分配律.〔與實(shí)數(shù)相同〕即，10整理課件共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3.共軛復(fù)數(shù)定義假設(shè)z=x+iy,稱(chēng)z=x-iy為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)11整理課件12整理課件1.點(diǎn)的表示

2.向量表示法

3.三角表示法

4.指數(shù)表示法§2復(fù)數(shù)的表示方法13整理課件1.點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示：

數(shù)z與點(diǎn)z同義.14整理課件2.向量表示法

oxy(z)P(x,y)xy

稱(chēng)向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z=x+iy的?；蚪^對(duì)值；以正實(shí)軸為始邊,以為終邊的角的弧度數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z≠0時(shí))15整理課件輻角無(wú)窮多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中滿(mǎn)足的θ0稱(chēng)為輻角Argz的主值，記作θ0=argz.

z=0時(shí)，輻角不確定.

計(jì)算argz(z≠0)

的公式16整理課件

當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變.

當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加.

當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減.

17整理課件18整理課件19整理課件20整理課件oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法21整理課件22整理課件引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程〔或不等式〕表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方程〔或不等式〕來(lái)確定它所表示的平面圖形.例1用復(fù)數(shù)方程表示:〔1〕過(guò)兩點(diǎn)zj=xj+iyj(j=1,2)的直線；〔2〕中心在點(diǎn)(0,-1),半徑為2的圓.oxy(z)Lz1z2z解〔1〕z=z1+t(z2-z1)〔-∞<t<+∞〕23整理課件xy(z)O(0,-1)2例2

方程表示什么圖形？解24整理課件25整理課件注意.復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應(yīng)不同問(wèn)題的需要.26整理課件2021年9月4日27整理課件28整理課件29整理課件30整理課件1.復(fù)數(shù)的乘積與商

2.復(fù)數(shù)的乘冪

3.復(fù)數(shù)的方根§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根31整理課件定理1

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加.證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2那么z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz232整理課件幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍.

定理1可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)的乘積.oxy(z)z1z2z233整理課件由于輔角的多值性，因此，該等式兩端都是無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集,等式兩端可能取的值的全體是相同的,也就是說(shuō)，對(duì)于左端的任一值，右端必有一值和它相等，并且反過(guò)來(lái)也一樣。注意：Arg(z1z2)=Argz1+Argz234整理課件要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.35整理課件定理2

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.證明

Argz=Argz2-Argz1由復(fù)數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2〔z1≠0〕36整理課件設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ.2.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個(gè)相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱(chēng)為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個(gè)）.定義特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

棣模佛(DeMoivre)公式.37整理課件問(wèn)題給定復(fù)數(shù)z=rei

，求所有的滿(mǎn)足ωn=z的復(fù)數(shù)ω.3.復(fù)數(shù)的方根〔開(kāi)方〕——乘方的逆運(yùn)算

當(dāng)z≠0時(shí)，有n個(gè)不同的ω值與相對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的ω值都稱(chēng)為z的n次方根，38整理課件

當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根，而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn).幾何上，的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn).xyo39整理課件40整理課件1.區(qū)域的概念2.簡(jiǎn)單曲線〔或Jordan曲線)3.單連通域與多連通域§4區(qū)域41整理課件1.區(qū)域的概念鄰域復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱(chēng)為點(diǎn)z0的δ〔去心〕鄰域.記為Ｕ(z0,δ)即，設(shè)G是一平面上點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)對(duì)任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G，則稱(chēng)z0是G的內(nèi)點(diǎn).42整理課件開(kāi)集若G內(nèi)的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)G是開(kāi)集.連通是指區(qū)域設(shè)D是一個(gè)開(kāi)集，且D是連通的，稱(chēng)

D是一個(gè)區(qū)域.D-區(qū)域邊界與邊界點(diǎn)已知點(diǎn)P不屬于D，若點(diǎn)P的任何鄰域中都包含D中的點(diǎn)及不屬于D的點(diǎn)，則稱(chēng)P是D的邊界點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.P43整理課件有界區(qū)域與無(wú)界區(qū)域若存在R>0,對(duì)任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無(wú)界.閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,44整理課件45整理課件2.簡(jiǎn)單曲線〔或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;那么曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線.46整理課件重點(diǎn)設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對(duì)于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當(dāng)t1≠t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱(chēng)z(t1)為曲線C的重點(diǎn).定義稱(chēng)沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C為簡(jiǎn)單曲線或Jardan曲線;若簡(jiǎn)單曲線C滿(mǎn)足z(a)=z(b)時(shí)，則稱(chēng)此曲線C是簡(jiǎn)單閉曲線或Jordan閉曲線.z(a)=z(b)簡(jiǎn)單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡(jiǎn)單閉曲線47整理課件3.單連通域與多連通域簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)

任一條簡(jiǎn)單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有界區(qū)域，稱(chēng)為C的內(nèi)部；一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱(chēng)為C的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱(chēng)B為單連通域；非單連通域稱(chēng)為多連通域.48整理課件例如|z|<R〔R>0〕是單連通的；0≤r<|z|≤R是多連通的.單連通域多連通域多連通域單連通域49整理課件作業(yè)P311〔２〕〔４〕，２，８〔３〕〔４〕〔５〕，１４〔２〕〔４〕，２１〔４〕〔８〕〔９〕２２〔３〕〔４〕〔６〕50整理課件51整理課件52整理課件53整理課件54整理課件1.復(fù)變函數(shù)的定義

2.映射的概念

3.反函數(shù)或逆映射§5復(fù)變函數(shù)整理課件1.復(fù)變函數(shù)的定義—與實(shí)變函數(shù)定義相類(lèi)似定義

整理課件整理課件例1例2整理課件oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：

定義域函數(shù)值集合2.映射的概念——復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w整理課件以下不再區(qū)分函數(shù)與映射〔變換〕.

在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表達(dá)兩對(duì)變量u，v

與x，y

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可借助于幾何直觀.復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射〔變換〕整理課件例3解—關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的一個(gè)映射見(jiàn)圖1-1~1-2—旋轉(zhuǎn)變換(映射)見(jiàn)圖2例4解整理課件oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o整理課件例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4整理課件3.反函數(shù)或逆映射例設(shè)z=w2

則稱(chēng)為z=w2的反函數(shù)或逆映射定義設(shè)w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱(chēng)z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.整理課件例已知映射w=z3

，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象.例整理課件2021.10.8

(第三次課)整理課件1.函數(shù)的極限

2.運(yùn)算性質(zhì)

3.函數(shù)的連續(xù)性§6復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性整理課件1.函數(shù)的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0

的充分小去心鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的ε鄰域中整理課件

(1)

意義中的方式是任意的.

與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高.(2)A是復(fù)數(shù).2.運(yùn)算性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.整理課件定理2

以上定理用極限定義證!整理課件例1例2例3整理課件3.函數(shù)的連續(xù)性定義定理3整理課件例4證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù).證明xy(z)ozz整理課件

定理4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)

仍為連續(xù)函數(shù);

連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).有界性：整理課件第二章解析函數(shù)

第一節(jié)解析函數(shù)的概念第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件第三節(jié)初等函數(shù)整理課件1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義

2.解析函數(shù)的概念§2.1解析函數(shù)的概念整理課件

一.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱(chēng)函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo).稱(chēng)此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，那么稱(chēng)f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).整理課件

(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零.

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1整理課件(2)求導(dǎo)公式與法那么①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c

=(a+ib)

=0.②(zn)

=nzn-1(n是自然數(shù)).證明對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有----實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法那么的推廣整理課件③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，那么[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)整理課件④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g

(z)，

其中w=g(z).⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=

(w)互為單值的反函數(shù)，且

(w)

0.整理課件例3問(wèn)：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？例2解解整理課件整理課件例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo).證明整理課件整理課件整理課件整理課件(1)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得多，這是因?yàn)棣→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故.(2)在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的,

但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉.整理課件(3)可導(dǎo)與連續(xù)若w=f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)w=f(z)點(diǎn)z0處連續(xù).?整理課件2.4解析函數(shù)1.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱(chēng)

f(z)在D內(nèi)解析，或稱(chēng)f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）.如果f(z)在點(diǎn)z0不解析，就稱(chēng)z0是f(z)的奇點(diǎn).

(1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導(dǎo).(2)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析.整理課件整理課件例如(1)w=z2在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；(3)w=zRez在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見(jiàn)例4).定理1設(shè)w=f(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，那么f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)≠0時(shí))均是D內(nèi)的解析函數(shù).整理課件定理2設(shè)w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析.整理課件

調(diào)和函數(shù)整理課件

在§6我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù),其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù).本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系.內(nèi)容簡(jiǎn)介§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系整理課件定義定理整理課件證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么整理課件即u及v在D內(nèi)滿(mǎn)足拉普拉斯(Laplace)方程:定義整理課件上面定理說(shuō)明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：整理課件如整理課件整理課件定理整理課件

公式不用強(qiáng)記！可如下推出：類(lèi)似地，然后兩端積分得，整理課件

調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用.本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系.整理課件例1解曲線積分法整理課件故

整理課件又解湊全微分法整理課件又解偏積分法整理課件又解不定積分法整理課件第八次課11月12日整理課件1.解析函數(shù)的充要條件

2.舉例§2函數(shù)解析的充要條件整理課件如果復(fù)變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo)，那么函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)解析.

本節(jié)從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f(z)的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法.問(wèn)題如何判斷函數(shù)的解析性呢？整理課件一.解析函數(shù)的充要條件整理課件整理課件整理課件

記憶定義方程稱(chēng)為Cauchy-Riemann方程(簡(jiǎn)稱(chēng)C-R方程).整理課件2021.10.15第四次課整理課件定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，那么f(z)在點(diǎn)z=x+iy∈D處可導(dǎo)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，且滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程上述條件滿(mǎn)足時(shí),有整理課件證明（由f(z)的可導(dǎo)C-R方程滿(mǎn)足上面已證！只須證

f(z)的可導(dǎo)函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）.∵函數(shù)w=f(z)點(diǎn)z可導(dǎo)，即那么f(z+Δz)-f(z)=f(z)Δz+(Δz)Δz(1),且整理課件Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(

1+i

2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy)+i(bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f(z)=a+ib，(Δz)=1+i2故〔1〕式可寫(xiě)為因此Δu=aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy,Δv=bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy整理課件所以u(píng)(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微.

（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿(mǎn)足

C-R方程f(z)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點(diǎn)可微，即：整理課件整理課件定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí),僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來(lái).

利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的.整理課件使用時(shí):i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，

ii)驗(yàn)證C-R條件.iii)求導(dǎo)數(shù)：

前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的,但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意,并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的.整理課件二.舉例例1判定以下函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解(1)設(shè)z=x+iyw=x-iyu=x,v=-y那么整理課件解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)那么u=excosy,v=exsiny整理課件僅在點(diǎn)z=0處滿(mǎn)足C-R條件，故解(3)設(shè)z=x+iyw=x2+y2u=x2+y2,v=0那么整理課件例2

求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿(mǎn)足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導(dǎo)數(shù)為整理課件例3證明整理課件例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且f

(z)≠0，那么曲線族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，這里C1

、C2常數(shù).那么在曲線的交點(diǎn)處，i)uy、vy均不為零時(shí)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法那么知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.整理課件ii)uy，vy中有一為零時(shí)，不妨設(shè)uy=0，那么k1=∞，k2=0〔由C-R方程〕即：兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的,它們?nèi)曰ハ嗾?練習(xí):a=2,b=-1,c=-1,d=2整理課件整理課件整理課件整理課件1.指數(shù)函數(shù)

2.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)

3.對(duì)數(shù)函數(shù)

4.乘冪與冪函數(shù)

5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)§3初等函數(shù)整理課件

本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說(shuō)明它們的解析性.內(nèi)容簡(jiǎn)介整理課件一.指數(shù)函數(shù)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類(lèi)似的性質(zhì)：定義整理課件整理課件

這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒(méi)有的.整理課件

例1例2整理課件二.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形定義整理課件正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)整理課件整理課件思考題：整理課件整理課件整理課件由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義(詳見(jiàn)P51)整理課件整理課件定義—稱(chēng)為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)整理課件整理課件三.對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù).即，(1)對(duì)數(shù)的定義整理課件故整理課件特別

整理課件2021.10.22第五次課整理課件(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見(jiàn)§1-6例1整理課件例4整理課件整理課件整理課件整理課件整理課件四.乘冪與冪函數(shù)

乘冪ab定義

—多值—一般為多值整理課件—q支整理課件

(2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a

的

n次根意義一致.(1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a的n次冪意義一致.整理課件解例5整理課件

冪函數(shù)zb定義①當(dāng)b=n(正整數(shù))w=zn在整個(gè)復(fù)平面上是單值解析函數(shù)整理課件整理課件

除去b為正整數(shù)外，多值函數(shù)，當(dāng)b為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，無(wú)窮多值.5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)詳見(jiàn)P52

重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、乘冪．整理課件作業(yè)P672,8,15,18整理課件第三章復(fù)變函數(shù)的積分整理課件1.有向曲線

2.積分的定義

3.積分存在的條件及其計(jì)算法

4.積分性質(zhì)§1復(fù)變函數(shù)積分的概念整理課件1.有向曲線整理課件CA(起點(diǎn))B(終點(diǎn))CC整理課件2.積分的定義定義DBxyo整理課件

整理課件整理課件3.積分存在的條件及其計(jì)算法定理

整理課件證明整理課件

整理課件由曲線積分的計(jì)算法得整理課件4.積分性質(zhì)由積分定義得：整理課件例1解又解Aoxy整理課件例2解oxyrC整理課件?íì1==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

整理課件第六次課10月29日整理課件oxy例3解整理課件解:例4整理課件分析§1的積分例子:§2Cauchy-Goursat根本定理整理課件猜測(cè)：積分的值與路徑無(wú)關(guān)或沿閉路的積分值＝0的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通有關(guān).先將條件加強(qiáng)些，作初步的探討整理課件整理課件—Cauchy定理整理課件Cauchy-Goursat基本定理：

BC—也稱(chēng)Cauchy定理整理課件(3)定理中曲線C不必是簡(jiǎn)單的！如以下圖.BBC推論設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，那么對(duì)任意兩點(diǎn)z0,z1∈B,積分∫cf(z)dz不依賴(lài)于連接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1的曲線，即積分與路徑無(wú)關(guān).Cz1z0C1C2C1C2z0z1整理課件復(fù)合閉路定理：§3根本定理推廣—復(fù)合閉路定理整理課件證明DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GH整理課件說(shuō)明整理課件

此式說(shuō)明一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)f(z)的不解析點(diǎn).—閉路變形原理DCC1C1C1整理課件例解C1C21xyo整理課件練習(xí)解C1C21xyo整理課件作業(yè)P991,2,5,7(1)(2)整理課件1.原函數(shù)與不定積分的概念

2.積分計(jì)算公式§4原函數(shù)與不定積分整理課件1.原函數(shù)與不定積分的概念由§2根本定理的推論知：設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，那么對(duì)B中任意曲線C,積分∫cfdz與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān).

當(dāng)起點(diǎn)固定在z0,終點(diǎn)z在B內(nèi)變動(dòng),∫cf(z)dz在B內(nèi)就定義了一個(gè)變上限的單值函數(shù)，記作定理設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則F(z)在B內(nèi)解析，且整理課件定義若函數(shù)

(z)

在區(qū)域B內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z)

，即

,稱(chēng)

(z)為f(z)在B內(nèi)的原函數(shù).

上面定理表明是f(z)的一個(gè)原函數(shù).設(shè)H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)，這表明：f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù).(見(jiàn)第二章§2例3)整理課件2.積分計(jì)算公式定義設(shè)F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，稱(chēng)F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作定理設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，那么

此公式類(lèi)似于微積分學(xué)中的牛頓－萊布尼茲公式.

但是要求函數(shù)是解析的,比以前的連續(xù)條件要強(qiáng)整理課件例1計(jì)算以下積分：解1)

整理課件解)整理課件例3計(jì)算以下積分：整理課件小結(jié)求積分的方法整理課件第七次課11月5日整理課件利用Cauchy-Goursat根本定理在多連通域上的推廣,即復(fù)合閉路定理,導(dǎo)出一個(gè)用邊界值表示解析函數(shù)內(nèi)部值的積分公式,該公式不僅給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式，從而成為研究解析函數(shù)的有力工具，而且提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的方法.§5Cauchy積分公式整理課件分析DCz0C1整理課件DCz0C1∴猜測(cè)積分整理課件定理(Cauchy積分公式)證明整理課件整理課件

整理課件

一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.整理課件例1解整理課件例2解CC1C21xyo整理課件本節(jié)研究解析函數(shù)的無(wú)窮次可導(dǎo)性，并導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式.研究說(shuō)明：一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示.這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別.§6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)整理課件形式上，以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明.整理課件定理證明用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義.整理課件令為I整理課件整理課件依次類(lèi)推，用數(shù)學(xué)歸納法可得整理課件一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù).整理課件例1解整理課件整理課件整理課件

作業(yè)P1007(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5)整理課件

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系整理課件

在§6我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù),其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù).本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系.內(nèi)容簡(jiǎn)介§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系整理課件定義定理整理課件證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么整理課件即u及v在D內(nèi)滿(mǎn)足拉普拉斯(Laplace)方程:定義整理課件上面定理說(shuō)明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：整理課件如整理課件整理課件定理整理課件

公式不用強(qiáng)記！可如下推出：類(lèi)似地，然后兩端積分得，整理課件

調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用.本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系.整理課件例1解曲線積分法整理課件故

整理課件又解湊全微分法整理課件又解偏積分法整理課件又解不定積分法整理課件第八次課11月12日整理課件1.復(fù)數(shù)列的極限

2.級(jí)數(shù)的概念第四章級(jí)數(shù)§1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)整理課件1.復(fù)數(shù)列的極限定義又設(shè)復(fù)常數(shù)：定理1證明整理課件整理課件2.級(jí)數(shù)概念級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和---級(jí)數(shù)的部分和不收斂---無(wú)窮級(jí)數(shù)定義設(shè)復(fù)數(shù)列：

整理課件例1解定理2證明整理課件

由定理2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題可歸之為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.性質(zhì)定理3證明整理課件

?定義由定理3的證明過(guò)程，及不等式定理4整理課件解例2：P108整理課件例3解練習(xí)(P108,例1)：整理課件1.冪級(jí)數(shù)概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)§2冪級(jí)數(shù)整理課件1.冪級(jí)數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和級(jí)數(shù)的部分和

整理課件假設(shè)級(jí)數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)整理課件2.收斂定理同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1阿貝爾(Able)定理討論P(yáng)142：5整理課件證明整理課件(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)假設(shè)對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂.(ii)除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散.整理課件顯然，

<否那么，級(jí)數(shù)(3)將在處發(fā)散.將收斂局部染成紅色，發(fā)散局部染成藍(lán)色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c

外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò).故播放整理課件整理課件

(i)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問(wèn)題要具體分析.定義紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓；圓的半徑R叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.(ii)冪級(jí)數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級(jí)數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.整理課件4.收斂半徑的求法

定理2(比值法)證明整理課件整理課件整理課件

定理3(根值法)

定理2(比值法)整理課件第九次課11月19日整理課件例1：P111解

綜上整理課件例2求以下冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散p=1p=2

該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.整理課件

綜上該級(jí)數(shù)發(fā)散.該級(jí)數(shù)收斂，整理課件故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.整理課件5.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

代數(shù)運(yùn)算

---冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算整理課件---冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算

冪級(jí)數(shù)的代換運(yùn)算在函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)中很有用.例3：P116解代換整理課件解代換展開(kāi)還原整理課件

分析運(yùn)算

定理4---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算---冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算整理課件作業(yè)P10330(1)(2),31P1411(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)整理課件1.泰勒展開(kāi)定理

2.展開(kāi)式的唯一性

3.簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式§3泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)整理課件1.泰勒(Taylor)展開(kāi)定理現(xiàn)在研究與此相反的問(wèn)題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說(shuō),一個(gè)解析函數(shù)能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？〕由§2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù).以下定理給出了肯定答復(fù)：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示.整理課件定理〔泰勒展開(kāi)定理〕Dk分析：代入(1)得整理課件Dkz整理課件---(*)得證！整理課件證明(不講)整理課件(不講)整理課件證明(不講)整理課件

整理課件2.展開(kāi)式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級(jí)數(shù).利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，這樣的展開(kāi)式是否唯一？事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù):整理課件由此可見(jiàn)，任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)就是Talor級(jí)數(shù)，因而是唯一的.---直接法---間接法代公式由展開(kāi)式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和函數(shù)的展開(kāi)式來(lái)展開(kāi)函數(shù)展開(kāi)成Taylor級(jí)數(shù)的方法：整理課件3.簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式例1解(P120)整理課件整理課件

上述求sinz,cosz展開(kāi)式的方法即為間接法.例2把以下函數(shù)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù):解整理課件(2)由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：整理課件

(1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是-1,

它的展開(kāi)式的收斂范圍為z<1.整理課件定理整理課件整理課件