三垂直模型三垂直模型模型講解模型講解【結(jié)論一】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則有以下結(jié)論成立：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE【證明】：①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）．②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴DE＝AD+BE．【結(jié)論二】（其他形狀一線三垂直）①DE＝AD﹣BE；②DE＝BE﹣AD方法點(diǎn)撥例題演練例題演練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，若AD＝8cm，BE＝3cm，則DE＝cm．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE，∵AD＝8cm，BE＝3cm，∴DE＝5cm，故答案為：5．2．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，若AB＝8，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接BD，求S△BCD；（2）如圖2，若D、E是AC邊上兩點(diǎn)，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，連接BE、GE，求證：∠ADB＝∠CEG．【解答】解：（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AC＝4，∴S△BCD＝S△ABD＝AD?AB＝×8×4＝16；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AC，交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，又∵∠BAC＝90°，∴∠HCA＝∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠ABD+∠ADF＝90°，∴∠ABD＝∠DAF，又∵AB＝AC，∠HCA＝∠DAB，∴△ABD≌△CAH（AAS），∴AD＝CH，∠ADB＝∠H．又∵AD＝CE，∴CH＝CE．∵∠ACB＝45°，∠ACH＝90°，∴∠BCH＝∠ACB＝45°，又∵GC＝GC，CH＝CE，∴△ECG≌△HCG（SAS），∴∠CEG＝∠H，又∵∠ADB＝∠H，∴∠ADB＝∠CEG強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1.在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作DG⊥AB交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，連接CG，若CG＝，BC＝3，求DG的長(zhǎng)；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD，連接AE，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，AE為直角邊向外作等腰直角三角形AEF，使得點(diǎn)F剛好落在BD的延長(zhǎng)線上，求證：BC＝DE+DF．【解答】（1）解：∵∠BCA＝90°，G是AB的中點(diǎn)，∴CG＝BG＝AG＝，∴AB＝5，∵BC＝3，由勾股定理得：AC＝4，∵DG⊥AB，∴tanA＝，∴，∴DG＝；（2）證明：過(guò)點(diǎn)A作DE的延長(zhǎng)線的垂線相交于K，易證△FDE≌△EKA（AAS），∴EF＝EK，BD//AK∴∠BDA＝∠KAB，∵G為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作DG⊥AB∴BD=DA，∠DBA=∠DAB∴∠CDB＝2∠DAB＝∠DAK，∴△BCD≌△DKA（AAS），∴BC＝DK，∴BC＝DE+DF．KKKK2．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，若AB＝8，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，求S△BCD；（2）如圖2，若BD是△ABC的角平分線，請(qǐng)寫出線段AB、AD、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若D、E是AC邊上兩點(diǎn)，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，連接BE、GE，求證：∠ADB＝∠CEG．【解答】解：（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AC＝4，∴S△BCD＝S△ABD＝AD?AB＝×8×4＝16；（2）數(shù)量關(guān)系為：BC＝AB+AD．理由如下：如圖2，過(guò)D作DE⊥BC于E，又∵∠BAC＝90°，∴∠BED＝∠BAC＝90°，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠EBD，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴AB＝EB，AD＝DE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，又∵∠CED＝90°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝45°＝∠C，∴CE＝DE，又∵AB＝EB，AD＝DE，∴BC＝BE+CE＝AB+DE＝AB+AD；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AC，交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，又∵∠BAC＝90°，∴∠HCA＝∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠ABD+∠ADF＝90°，∴∠ABD＝∠DAF，又∵AB＝AC，∠HCA＝∠DAB，∴△ABD≌△CAH，∴AD＝CH，∠ADB＝∠H．又∵AD＝CE，∴CH＝CE．∵∠ACB＝45°，∠ACH＝90°，∴∠BCH＝∠ACB＝45°，又∵GC＝GC，CH＝CE，∴△ECG≌△HCG，∴∠CEG＝∠H，又∵∠ADB＝∠H，∴∠ADB＝∠CEG．3．（2017?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為CB上一點(diǎn)，且滿足CD＝CA，連接AD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．（1）若AB＝10，BD＝2，求CE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)F是線段CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FD，若∠F＝30°，求證：CF＝AE+DF；（3）如圖3，設(shè)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，直線CE與直線AD交于點(diǎn)F，若∠F＝30°，請(qǐng)直接寫出線段CF，AE，DF之間的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．【解答】（1）解：如圖1中，設(shè)AC＝CD＝x．在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝x，BC＝CD+BD＝x+2，∵AB2＝AC2+BC2，∴102＝x2+（x+2）2，解得x＝6或﹣8（舍棄），∴AC＝6．∵?AC?BC＝?AB?CE，∴CE＝＝．（2）證明：如圖2中，作DH⊥CF于H．∵∠ACD＝∠AEC＝∠DHC＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝90°，∵∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠CAE＝∠DCH，在△ACE和∠CDH中，，∴△ACE≌△CDH，∴AE＝CH，在Rt△DHF中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°，∴HF＝DF?cos30°＝DF，∴CF＝CH+FH＝AE+DF．（3）解：結(jié)論：CF＝DF﹣AE．理由：如圖3中，作DH⊥FC于H．同法可證△DCH≌△CAE，∴AE＝CH，在Rt△DHF中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°，∴HF＝DF?cos30°＝DF，∴CF＝FH﹣CH＝DF﹣AE．1．（2017?南岸區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD＝BD，且AD⊥BD，連接CD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CD交BC于點(diǎn)F．（1）若BD＝DE＝，CE＝，求BC的長(zhǎng)；（2）若BD＝DE，求證：BF＝CF．【解答】解：（1）∵BD⊥AD，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，∴∠BDE＝90°，∵BD＝DE＝，∴BE＝＝，∵BC⊥CE，∴∠BCE＝90°，∴BC＝＝＝2；（2）連接AF，∵AD⊥BD，DF⊥CD，∴∠BDE＝∠CDF＝90°，∴∠BDF＝∠CDE，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠DBC＝∠CED，在△BDF和△EDC中，∵，∴△BDF≌△EDC