初中射影定理證明過程射影定理（TheProjectionTheorem）是線性代數(shù)中的重要定理之一，它闡述了一個向量與其所在空間的一個子空間在射影之后的關(guān)系。下面給出初中射影定理的證明過程。

假設(shè)??是一個n維向量空間，??是??的一個k維子空間，??是??中的一個向量。我們需要證明，對于??在??上的投影??′，則向量?????′正交于??。

首先，我們假設(shè)??????…????是??的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，我們可以將它們擴充為??的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基??????…??????????…????。

由于??????…??????????…????是??的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以??????…????是線性無關(guān)的。因此，??????…????可以張成整個向量空間??。

我們可以將向量??分解為兩個部分，一個部分在子空間??上，另一個部分與子空間??正交。設(shè)投影向量為??′，則根據(jù)向量的疊加原理，有：

??=??′+???

其中，???是??與??正交部分，即正交投影。

在??上，我們可以將??′表示為??的基向量的線性組合：

??′=??????+??????+…+????????

將??′代入到正交關(guān)系式中，有：

(?????′)·????=0,??=1,2,…,??

展開上述內(nèi)積，得到：

(?????′)·????=??·???????′·????=(??????+??????+…+????????+???)·????????=???(???·????)+???(???·????)+…+???(???·????)+…+???(???·????)+???·????????=0,??=1,2,…,??

由于??????…????是??的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以(???·????)=1，(???·????)=0（??≠??），所以上述關(guān)系可以簡化為：

???(???·???)+???(???·???)+…+???+???(???·???)+???·????????=0，??=1,2,…,??

由于??????…????是??的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以(???·???)=0，(???·???)=0，…，(?????·???)=0，(?????·???)=0，…，(???·???)=0。

所以上述關(guān)系可以簡化為：

???+???·????=0，??=1,2,…,??

從而可以得到：

???·(???,???,…,????)=(????,????,…,????)

將??????…????視為未知數(shù)，我們可以得到一個線性方程組。

由于??????…????是??的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以???與??正交，即?????′正交于??。

綜上所述，我們證明了初中射影定理。

參考資