第三講數(shù)論真題?？颊骖}?？际且粋€四位數(shù)，假設(shè)兩位數(shù)是一個質(zhì)數(shù)，是一個完全平方數(shù)，是一個質(zhì)數(shù)與一個不為的完全平方數(shù)之積，那么滿足條件的所有四位數(shù)是_____________此題綜合利用數(shù)論知識，因為是一個質(zhì)數(shù)，所以不能為偶數(shù)，且同時是一個完全平方數(shù)，那么符合條件的數(shù)僅為、，至此當(dāng)，滿足是一個質(zhì)數(shù)的數(shù)有，此時同時保證是一個質(zhì)數(shù)與一個不為的完全平方數(shù)之積，只有符合；當(dāng)，滿足是一個質(zhì)數(shù)的數(shù)有，此時同時保證是一個質(zhì)數(shù)與一個不為的完全平方數(shù)之積，只有符合。證明從個給定的自然數(shù)中，總可以挑選出假設(shè)干數(shù)〔至少一個，也可以是全體〕，它們的和能被整除。假設(shè)從中選出，共有個和，被除，假設(shè)有余數(shù)為，那么成立；假設(shè)沒有，那么必然有兩個的余數(shù)相同，大數(shù)減小數(shù)的差必為的倍數(shù)。有個連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，那么這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為_____?？疾槠椒綌?shù)和立方數(shù)的知識點，同時涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設(shè)未知數(shù)的時候有技巧。設(shè)中間數(shù)是,那么它們的和為,中間三數(shù)的和為。是平方數(shù)，設(shè),那么。是立方數(shù)，所以至少含有和的質(zhì)因數(shù)各個,這五個數(shù)中最小數(shù)的最小值為至少是,中間的數(shù)至少是。最小數(shù)的最小值為。從中，任取個數(shù)，使這個數(shù)必有兩個數(shù)的差為，那么的最大值為_______。被除的同余序列當(dāng)中,如余的同余序列，，中只要取到兩個相鄰的，這兩個數(shù)的差為，如果沒有兩個相鄰的數(shù)，那么沒有兩個數(shù)的差為，不同的同余序列當(dāng)中不可能有兩個數(shù)的差為，對于任意一條長度為的序列，都最多能取個數(shù)，即從第個數(shù)起隔個取個基于以上，個數(shù)分成個序列，每條序列的長度為或，兩個長度差為的序列，能夠被取得的數(shù)的個數(shù)也不會超過，所以能使個數(shù)任意兩個數(shù)都不等于，那么這個數(shù)被分配在條序列中，當(dāng)取最小值時在每條序列被分配的數(shù)的個數(shù)差不會超過那么個序列有個分配了個數(shù)，個分配了個數(shù)，這個序列個長度為，個長度為，那么,所以要使個數(shù)必有兩個數(shù)的差為，那么的最大值為。四個不同質(zhì)數(shù)之和為，其中最小的質(zhì)數(shù)是考查質(zhì)數(shù)知識點?；貞涃|(zhì)數(shù)相關(guān)知識。發(fā)現(xiàn)四個數(shù)的和為，那么必存在一個偶數(shù)或者三個偶數(shù)。而同時要求均為質(zhì)數(shù)，迅速聯(lián)想到唯一的偶質(zhì)數(shù)，且為最小的質(zhì)數(shù)。一個質(zhì)數(shù)分別除，得到的三個余數(shù)之和是，這個質(zhì)數(shù)是翻譯為數(shù)學(xué)語言即是，，。而題目中另外一個關(guān)系即為，將++得到即為的質(zhì)因數(shù)，，同時因為除數(shù)大于余數(shù)，所以最小質(zhì)數(shù)只能為有個不同的自然數(shù)，它們的和是，那么它們的最大公約數(shù)是此題主要入手點為，，那么這四個數(shù)可以為的倍數(shù)，再進(jìn)一步構(gòu)造，發(fā)現(xiàn)最大公約數(shù)只能為。把九個數(shù)依不同的次序排列，可以得到個不同的九位數(shù)，那么所有這些九位數(shù)的最大公約數(shù)為___________。此題的范圍很大，必須縮小入手點。涉及約數(shù)倍數(shù)問題，首先思考這類數(shù)本身具有的特點。因為，所以無論次序如何，它們的數(shù)字之和總可以被整除，因而確定為所有這些九位數(shù)的公約數(shù)。兩個數(shù)之間最小差值為，任取兩個差為的數(shù)，如和，所以為其最大公約數(shù)。假設(shè)均為整數(shù)，且能被整除，試證：也能被整除。此題給的細(xì)節(jié)條件比擬少，應(yīng)該從整體入手。，那么，而題目給出的是，應(yīng)用構(gòu)造法，利用余數(shù)加法原理，因為可得。即也能被整除。一個自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù)。一個完全平方數(shù)是四位數(shù)，且各位數(shù)字均小于。如果把組成它的數(shù)字都加上，便得到另外一個完全平方數(shù)，求原來的四位數(shù)。涉及數(shù)碼的變化，導(dǎo)致數(shù)值的變化，位置制問題。設(shè)這個四位數(shù)為…，每位數(shù)字加，又因為個位數(shù)字均小于，那么沒有進(jìn)位，表示為…利用位置制中展開式得到-為…即和為的約數(shù)，將分解質(zhì)因數(shù)，其共有個約數(shù)，但是有大于，所以只有四種情況符合題意，經(jīng)過一一試驗為和，即原來的四位數(shù)為?？键c拓展考點拓展有一些自然數(shù)，它們除以的余數(shù)與除以的商的和是，那么所有這樣的自然數(shù)的和是多少？火眼金睛識知識點：與余數(shù)相關(guān)的問題。題目給出的范圍很大，我們必須縮小入手點。此題旨在找到具有如此特性的這些數(shù)。自然數(shù)除以的余數(shù)只有種情況〔余—〕，相對應(yīng)，除以的商也有種情況，這樣解題思路便開始明確，有章可循。除以余時，除以的商為的數(shù)范圍為到之間，??；余時，商為的數(shù)范圍為到之間，??；余時，商為的數(shù)范圍為到之間，??；余時，商為的數(shù)范圍為到之間，?。挥鄷r，商為的數(shù)范圍為到之間，??；余時，商為的數(shù)范圍為到之間，??；余時，商為的數(shù)范圍為到之間，取、；最終和為。大于的自然數(shù)小于，并且滿足等式，其中表示不超過的最大整數(shù)，這樣的自然數(shù)有多少個？火眼金睛識知識點：定義新運(yùn)算。首先理解好新的定義，翻譯成數(shù)學(xué)語言即為，且為整數(shù)。范圍大的題目，觀察條件，尋找切入點。題目中算式為同學(xué)熟悉的變形，，結(jié)合，那么可知，，，即是的倍數(shù)，總共有個。、都是大于的自然數(shù)，并且和都是整數(shù)，問的值是多少？剛接觸題目時，覺得無從下手，那便繼續(xù)觀察條件，發(fā)現(xiàn)和形式相近，且同為整數(shù)，那么必定有一大一小。不妨設(shè)大于等于，那么為大于小于的整數(shù)，為，那么，化為，那么，結(jié)果為。從到的所有自然數(shù)中，乘以后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個？火眼金睛識知識點：完全平方數(shù)，根底知識：所有質(zhì)因數(shù)必成對出現(xiàn)。，所以滿足條件的數(shù)必為某個完全平方數(shù)的倍，，共個。個連續(xù)的自然數(shù)之和為，假設(shè)、、、都是質(zhì)數(shù)，那么的最小值是多少？遇到等量關(guān)系的表述時，先將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。設(shè)這個連續(xù)自然數(shù)中最小的一個是，那么最大的一個是，〔遇到多個連續(xù)自然數(shù)問題，轉(zhuǎn)化時一般均采用此設(shè)法，自己需要的量，題目中沒有時，可以設(shè)未知數(shù)?！衬敲此鼈兊暮褪牵耗敲礉M足是質(zhì)數(shù)的的最小值是。的最小值是：桌上放有多于堆的糖塊，每堆數(shù)量均不相同，而且都是不大于的質(zhì)數(shù)，其中任意三堆都可以平均分給三個小朋友，其中任意四堆都可以平均分為四個小朋友，其中一堆糖塊是塊，那么這桌上放的糖塊最多是多少塊？此題屬于小型綜合題，先確定能保證平均分的范圍，再根據(jù)質(zhì)數(shù)的要求，確定具體數(shù)值。被除余，被除余。要滿足題目的條件，根據(jù)余數(shù)的加法原理，每堆塊數(shù)都必須是被除余，被除余的質(zhì)數(shù)。以內(nèi)這樣的質(zhì)數(shù)有：、、、、、這六個，它們的和是。桌子上方的糖最多塊。課后練習(xí)課后練習(xí)證明方程：沒有整數(shù)解。此題為不定方程問題，可以首先復(fù)習(xí)不定方程的四個解題原那么〔奇偶性、尾數(shù)、倍數(shù)和從系數(shù)大的入手〕。其實這四個原那么，也是建立在左右兩邊同余的根底知識上的。那么這道題很顯然，不屬于具有鮮明特點的，我們便只好利用最根底的知識來對付它。對于任一整數(shù)，有，，，所以，不是的倍數(shù)。有兩種規(guī)格的箱鋼珠，每箱個，甲種鋼珠每個克，乙種鋼珠每個克，將這箱鋼珠編為號，然后依次從號箱中取出個鋼珠，這些鋼珠共重克。問：哪幾箱是甲種鋼珠？此題很明顯地說明在考察二進(jìn)制的相關(guān)知識點。同時對于這種出現(xiàn)兩種規(guī)格，求和的問題，和我們的雞兔同籠思想很相近，可以采用假設(shè)法。假設(shè)全為甲種規(guī)格的鋼珠，那么，一共取出個。那么應(yīng)重克，比實際的少了克，此重量應(yīng)該來自乙種鋼球每個比甲種重克，那么以二進(jìn)制表示為，那么只有號與號箱是甲種。要使這個積是的倍數(shù)，并要使最小，那么。分