專題3.5拋物線的標準方程及簡單幾何性質知識點一拋物線的定義我們把平面內與一個定點和一條定直線(不經過點)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線．注意：①“”是拋物線的焦點到準線的距離，所以的值永遠大于0；②只有頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上的拋物線方程才有標準形式．知識點二拋物線的標準方程及簡單幾何性質標準方程圖象性質范圍對稱軸x軸y軸頂點焦點準線離心率知識點三通徑與焦半徑1．通徑過焦點垂直于對稱軸的弦稱為拋物線的通徑,其長為2p．2．焦半徑拋物線上一點與焦點F連接的線段叫做焦半徑,設拋物線上任一點,則四種標準方程形式下的焦半徑公式為標準方程焦半徑重難點1拋物線定義及應用1．已知拋物線上任意一點到焦點F的距離比到y軸的距離大1，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據拋物線的定義求解．【詳解】由題意拋物線上任意一點到焦點F的距離與它到直線的距離相，因此，，拋物線方程為．故選：C．2．若拋物線（）上一點到焦點的距離是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用拋物線定義有，結合已知求即可.【詳解】設焦點為，則，解得．

故選：D3．已知拋物線C：的頂點為O，經過點，且F為拋物線C的焦點，若，則p＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據拋物線的定義結合可求得，然后將點的坐標代入拋物線方程可求出的值.【詳解】因為點在拋物線上，，所以，所以，所以，所以，解得.故選：C

4．已知拋物線：的焦點為，點在軸上，線段的延長線交于點，若，則．【答案】4【分析】做準線于點，軸于點可得，，再由拋物線定義可得答案.【詳解】如圖，做準線于點，軸于點，所以，因為，所以，所以，解得.故答案為：.

5．已知拋物線上一點到焦點的距離是該點到x軸距離的2倍，則．【答案】4【分析】根據拋物線的定義即可求解.【詳解】設拋物線焦點為,由于在拋物線上，故，根據題意可得,由拋物線定義可得，故答案為：4

6．已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線交于點M，且，則．【答案】4【分析】求出點M的坐標，利用拋物線的焦半徑公式可得關于p的方程，即可求得答案.【詳解】把代入拋物線方程（），得，得，根據拋物線的定義有，解得，故答案為：4重難點2拋物線的標準方程與焦點、準線7．已知拋物線的焦準距(焦點到準線的距離)為2，則拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意結合拋物線方程可得，即可得拋物線的焦點坐標.【詳解】因為拋物線的焦點為，準線為，由題意可知：焦準距，所以拋物線的焦點坐標為.故選：C.8．圓的圓心在拋物線上，則該拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓的方程得出圓心坐標，代入拋物線方程求得參數后可得焦點坐標．【詳解】圓的圓心坐標為，則，得，所以該拋物線的焦點坐標為．故選：A．9．在同一坐標系中，方程與的曲線大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合橢圓和拋物線的標準方程定義判斷即可.【詳解】由，則方程表示焦點在軸上的橢圓，方程化為，由于，則方程表示焦點在軸上開口向左的拋物線.故選：A.10．焦點坐標為的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據焦點位置寫出拋物線的標準方程.【詳解】焦點坐標為，則拋物線開口向左，焦點在軸上，故拋物線的標準方程是.故選：D11．已知拋物線的焦點在軸上，且焦點到坐標原點的距離為1，則拋物線的標準方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】利用拋物線的定義及標準方程計算即可.【詳解】由題意可知該拋物線的焦點坐標為或，所以其對應標準方程為為或.故選：D12．拋物線繞其頂點順時針旋轉后得到拋物線，則的準線方程為．【答案】【分析】把拋物線化為標準方程，可得焦點坐標和準線方程，由旋轉方向和角度可求旋轉后的焦點坐標和準線方程.【詳解】拋物線的標準方程為，其焦點為，準線方程為，將拋物線繞其頂點順時針旋轉后得到拋物線，其焦點為，故拋物線的準線方程為．故答案為：.13．已知兩拋物線的頂點在原點，而焦點分別為，，求經過它們的交點的直線方程.【答案】【分析】根據拋物線的定義先求的兩拋物線方程，聯立求交點再求直線方程即可.【詳解】由題意兩焦點分別為，可得兩拋物線方程分別為：，聯立方程可得或，即兩拋物線的交點為，故兩交點所在直線方程為：.重難點3根據拋物線的方程求參數14．設第四象限的點為拋物線上一點，為焦點，若，則（

）A．-4 B． C． D．-32【答案】B【分析】根據焦半徑公式求的值，再代入點的坐標，即可求的值.【詳解】由拋物線的方程可得焦點坐標為，由拋物線的性質可得，所以，將的坐標代入拋物線的方程：，所以，又因為在第四象限，所以.故選：.15．已知O為坐標原點，P是焦點為F的拋物線C：（）上一點，，，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用拋物線定義和題給條件列出關于p的方程，解之即可求得p的值.【詳解】設拋物線C的準線與x軸交于點Q，過點P作準線的垂線交準線于G，過F作，垂足為H，∴，，由拋物線的定義知，∵，∴，，∴，解得．故選：D．16．已知點為拋物線上一點，過點A作C準線的垂線，垂足為B．若（O為坐標原點）的面積為2，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根據點為拋物線上一點可得，利用三角形面積列出等式，即可求得答案.【詳解】由題意點為拋物線上一點可得，即，則的面積，解得，故選：C17．已知拋物線上一點，F為焦點，直線AF交拋物線的準線于點B，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出點B坐標，利用向量關系求出，進而求出.【詳解】由題意得：，設，因為，即，所以，解得：，故，當時，，所以.故選：C18．已知拋物線：上一點到其焦點的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線定義結合已知條件列出方程組，求解方程組作答.【詳解】拋物線：的焦點，準線，由點到的距離為得：，即，由點在拋物線上得：，因此有，整理得，而，解得，所以.故選：C19．已知拋物線：的焦點為，曲線與交于點，軸，則.【答案】【分析】根據拋物線方程得，根據軸得，，再代入拋物線方程可求出結果.【詳解】由得，，故，因為軸，所以，，又，所以，得，又，所以.故答案為：.20．頂點在原點，焦點在軸上的拋物線上一點到焦點的距離等于，則．【答案】【分析】設拋物線方程，可知；由拋物線焦半徑公式可構造方程求得，將代入拋物線方程即可求得的值.【詳解】設拋物線方程為：，是拋物線上一點，；由拋物線焦半徑公式知：，解得：，拋物線方程為：，，解得：.故答案為：.重難點4拋物線的對稱性21．在平面直角坐標系中，拋物線為軸正半軸上一點，線段的垂直平分線交于兩點，若，則四邊形的周長為（

）A． B．64 C． D．80【答案】A【分析】線段的垂直平分線交于兩點,結合拋物線的對稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形,可設點坐標,通過幾何關系求出點坐標,在代入拋物線方程即可求解.【詳解】因為線段的垂直平分線交于兩點，所以結合拋物線的對稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形.設點且則線段的垂直平分線方程為，令與軸交于點,又，則在直角三角形中繼而可得，所以點坐標為，代入拋物線，可得，解得，直角三角形中,所以四邊形的周長為.故選：A.22．已知為坐標原點，垂直拋物線的軸的直線與拋物線交于兩點，，則，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由題知為等腰直角三角形，進而得，再代入方程求解即可.【詳解】解：∵，∴，∴，∵，且軸，∴由拋物線的對稱性為等腰直角三角形，設與軸的交點為，∴，即，∴將代入得，解得．故選：D．23．已知圓與拋物線交于，兩點，與拋物線的準線交于，兩點，若四邊形是矩形，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題，結合拋物線與圓的對稱性得弦為拋物線的通徑，進而有，解方程即可得答案.【詳解】解：因為四邊形是矩形，所以由拋物線與圓的對稱性知：弦為拋物線的通徑，因為圓的半徑為，拋物線的通徑為，所以有：，解得故選：D24．拋物線與橢圓交于A，B兩點，若的面積為(其中O為坐標原點)，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】由拋物線與橢圓交點的對稱性，設，結合已知有，，即可求，進而求p值.【詳解】由拋物線與橢圓的對稱性知：關于y軸對稱，可設，∵的面積為，∴，而，∴由上整理得：，解得，則.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：根據拋物線、橢圓的對稱性設交點坐標，結合三角形的面積及點在橢圓上列方程求參數值.25．拋物線上一點到準線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6，則該點的橫坐標是．【答案】1或9【分析】設該點的坐標為，根據題中條件列出方程組求解即可.【詳解】拋物線的準線方程為，對稱軸為軸，設該點的坐標為，由題意可得，，則，即，解得或，因為，所以或.故答案為：1或9.26．已知點關于軸的對稱點在曲線上，且過點的直線與曲線相交于點，則.【答案】16【分析】根據拋物線的對稱性知點在拋物線上，因為直線過此拋物線的焦點，根據焦點弦問題解決即可.【詳解】因為曲線的方程為，即，所以由題意及拋物線的對稱性，知點在拋物線上，且在軸的下方，因為直線過此拋物線的焦點.設，聯立，得，則，所以由拋物線的焦點弦長公式得.故答案為：16.重難點5拋物線的焦半徑公式27．已知的頂點在拋物線上，若拋物線的焦點恰好是的重心，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】易知焦點坐標，根據三角形重心性質以及拋物線焦半徑公式可知.【詳解】設，拋物線，則，焦點恰好是的重心，則，故．故選：A．28．已知拋物線的焦點為F，準線為l，過C上一點A作l的垂線，垂足為B.若，則的外接圓面積為（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據拋物線的定義求得，進而得到，利用勾股定理求得，進而得到，然后利用正弦定理中的外接圓直徑公式，求得的外接圓半徑為R，然后計算其面積.【詳解】設，由拋物線的定義可知，所以，代入拋物線的方程中得到，由幾何關系可知，.設的外接圓半徑為R，由正弦定理可知，解得，所以的外接圓面積為.故選：A29．O為坐標原點，F為拋物線的焦點，M為C上一點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】首先根據焦半徑公式求點的坐標，再代入面積公式，即可求解.【詳解】設點，,所以，得，,所以的面積.故選：C30．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】由拋物線定義及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值.【詳解】設，因為，所以，過點分別作準線于點，，由拋物線定義可知，由梯形中位線可知，

因為，所以，當且僅當時，等號成立，故，故，的最小值為.故選：B31．（多選）設拋物線的頂點為O，焦點為F.點M是拋物線上異于O的一動點，直線OM交拋物線的準線于點N，下列結論正確的是（）A．若，則B．若，則O為線段MN的中點C．若，則D．若，則【答案】ABD【分析】根據題意，求得拋物線的焦點為，準線為，結合選項，利用拋物線的定義，求得點和點的坐標，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點為，準線為，對于A中，設，若，根據拋物線的定義，可得，解得，可得，可得，所以A正確；對于B中，由，則，不妨設，則直線的方程為，令，可得，即，所以為線段的中點，所以B正確；對于C中，設，若，根據拋物線的定義，可得，解得，則，可得，所以C不正確；對于D中，由，可得，不妨設，則直線的方程為，令，可得，即，則，所以，所以D正確.故選：ABD.32．（多選）已知拋物線的焦點為為上一點，則下列命題或結論正確的是（

）A．若與軸垂直，則B．若點的橫坐標為2，則C．以為直徑的圓與軸相切D．的最小值為2【答案】ABC【分析】結合拋物線定義逐個分析判斷.【詳解】由題意，拋物線，可得焦點，準線方程為，若與軸垂直，將代入拋物線方程，得，故，選項A正確；若點的橫坐標為2，由拋物線定義，，選項B正確；

如圖，點C為中點，由點向準線作垂線，分別交軸和準線與點，由點向準線作垂線，分別交軸和準線與點，設以為直徑的圓半徑為，則，又由梯形中位線得，，所以以為直徑的圓與軸相切，選項C正確；設點，則，當時，的值最小，為1,選項D錯誤.故選：ABC33．如圖，是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，以為始邊、為終邊的角，則.

【答案】10【分析】根據列方程，求得點的橫坐標，進而求得.【詳解】依題意，過向軸作垂線，記垂足為，如下圖所示，設的橫坐標為，則，.因為，所以.由，得，故.故答案為：

重難點6拋物線的軌跡問題34．已知動點的坐標滿足方程，則動點M的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．以上都不對【答案】C【分析】等價變形給定等式，再利用式子表示的幾何意義，結合拋物線定義即可得解.【詳解】等式變形成，因此該等式表示動點到原點的距離等于到它直線的距離，而直線不過原點，所以動點M的軌跡是拋物線.故選：C35．動點滿足方程，則點M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.【詳解】由得，等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離，整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.故選：D.36．已知點，直線，兩個動圓均過A且與l相切，若圓心分別為?，則的軌跡方程為；若動點M滿足，則M的軌跡方程為.【答案】【分析】由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡方程，設，，，根據可得，，利用可求得結果.【詳解】解：由拋物線的定義得動圓的圓心軌跡是以為焦點，直線：為準線的拋物線，所以的軌跡方程為，設，，，因為動點滿足，所以，即，，所以，，因為，所以，所以，即的軌跡方程為.故答案為：；.37．若動點到點的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是．【答案】【分析】將直線方程向左平移1個單位，可知動點到點的距離與它到直線的距離相等，結合拋物線定義即可求得拋物線的標準方程.【詳解】將化為，動點到點的距離比它到直線的距離大1，則動點到點的距離與它到直線的距離相等，由拋物線定義可知動點的軌跡為拋物線，該拋物線以為焦點，以為準線，開口向右，設，所以，解得，所以拋物線方程為，故答案為：.38．已知直線l平行于y軸，且l與x軸的交點為，點A在直線l上，動點P的縱坐標與A的縱坐標相同，且，求P點的軌跡方程，并說明軌跡方程的形狀．【答案】，軌跡是開口向左的拋物線．【分析】根據向量垂直的坐標運算即可列方程求解.【詳解】由條件可知，直線l的方程為，因此點A的橫坐標為4．設P的坐標為，則點A的坐標為．因此因為的充要條件是，所以，即動點P的軌跡方程為．從而可以看出，軌跡是開口向左的拋物線．39．一圓經過點，且和直線相切，求圓心的軌跡方程，并畫出圖形.【答案】，圖形見解析.【分析】設出動圓的圓心坐標，根據給定條件列出方程，化簡并作出圖形作答.【詳解】設動圓的圓心，于是，其中是點到直線的距離，因此，化簡得，所以圓心的軌跡方程是，其圖形為拋物線，圖形為：

重難點7拋物線的距離最值問題40．拋物線的頂點為原點，焦點為，則點到拋物線上動點的距離最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得拋物線的方程，設出點的坐標，根據兩點間的距離公式以及二次函數的性質求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點為，所以拋物線的方程為，且，所以拋物線的方程為，設，則，所以當時，取得最小值為.故選：B41．已知拋物線的焦點為F，點P在C上，若點，則周長的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】由拋物線的定義結合三點共線取得最小值.【詳解】，故,記拋物線的準線為，則：，記點到的距離為，點到的距離為，則.故選：A.

42．設是拋物線上的一個動點，為拋物線的焦點，點，則的最小值為.【答案】5【分析】過作準線的垂線垂足為，交拋物線于，根據拋物線的定義可得，當、、三點共線時，小值．【詳解】拋物線，所以焦點為，準線方程為，當時，所以，因為，所以點在拋物線內部，如圖，過作準線的垂線垂足為，交拋物線于，由拋物線的定義，可知，故．即當、、三點共線時，距離之和最小值為．故答案為：．43．已知點為拋物線上的動點，點為圓上的動點，則點到軸的距離與點到點的距離之和最小值為.【答案】【分析】利用拋物線的定義可得點到軸的距離即為點到焦點的距離減去，進而利用圓的性質即得.【詳解】由題可知，拋物線的準線方程為，焦點坐標為，過點作軸交軸于點，由拋物線的定義可知點到軸的距離即為，圓的圓心坐標為，半徑為，故點到軸的距離與點到點的距離之和，根據圓的性質可知點到軸的距離與點到點的距離之和最小值為，當且僅當、、、四點共線（、在之間）時取等號.

故答案為：.44．已知，若點P是拋物線上任意一點，點Q是圓上任意一點，則的最小值為.【答案】4【分析】畫出圖形數形結合，利用拋物線的定義將轉換為，結合三角不等式即可求得最小值.【詳解】如圖所示：

拋物線的焦點，準線，圓的圓心為，半徑，過點作垂直準線，垂直為點，由拋物線的定義可知，則，當且僅當三點共線時，等號成立,綜上所述：的最小值為4.故答案為：4.45．設動點在拋物線上，點在軸上的射影為點，點的坐標是，則的最小值是．【答案】/【分析】求出拋物線的焦點坐標及準線方程，再利用拋物線定義建立關系，并求出最小值作答.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，

延長PM交準線于N，連PF，顯然垂直于拋物線的準線，由拋物線定義知：，當且僅當點是線段與拋物線的交點時取等號，而，所以的最小值為.故答案為：46．已知點，點在拋物線上運動，點在圓上運動，則的最小值.【答案】4【分析】由已知可得，利用基本不等式可求的最小值．【詳解】設圓心為，則為拋物線的焦點．設，則，要使最小，則需最大，，且，，當且僅當，即時取等號，的最小值是4．故答案為：4．

重難點8拋物線的實際應用47．南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點到準線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，設出拋物線的標準方程，代入點的坐標求出即可得解.【詳解】以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，依題意可得的坐標為．設拋物線的標準方程為，則，解得．故該拋物線的焦點到準線的距離為．故選：C48．上世紀90年代，南京江寧區(qū)和陜西洛南縣就建立了深厚的友誼，1993年江寧區(qū)出資幫助洛南修建了寧洛橋，增強了兩地之間的友誼.如今人行道兩側各加寬6米，建成了“彩虹橋”（圖1），非常美麗.橋上一拋物線形的拱橋（圖2）跨度，拱高，在建造時每隔相等長度用一個柱子支撐，則支柱的長度為.（精確到0.01）

【答案】4.59【分析】先建立直角坐標系，把拋物線方程寫出來，再結合的長度即可把的長度求出來.【詳解】以為原點，方向分別為軸正向，建立如下圖所示的直角坐標系：

由題意，，所以，，又拋物線開口向下，所以設，將點的坐標代入，解得，所以拋物線方程為，又由題意在建造時每隔相等長度用一個柱子支撐，由圖可知有14個空格，因此每一個空格的長度為，所以，所以設點，又因為點在拋物線上，所以將其坐標代入拋物線方程得.故答案為：4.5949．（多選）上甘嶺戰(zhàn)役是抗美援朝中中國人民志愿軍進行的最著名的山地防御戰(zhàn)役.在這場戰(zhàn)役中，我軍使用了反斜面陣地防御戰(zhàn)術.反斜面是山地攻防戰(zhàn)斗中背向敵方、面向我方的一側山坡.反斜面陣地的構建，是為了規(guī)避敵方重火力輸出.某反斜面陣地如圖所示，山腳，兩點和敵方陣地點在同一條直線上，某炮彈的彈道是拋物線的一部分，其中在直線上，拋物線的頂點到直線的距離為100米，長為400米，，，建立適當的坐標系使得拋物線的方程為，則（

）

A． B．的準線方程為C．的焦點坐標為 D．彈道上的點到直線的距離的最大值為【答案】ABD【分析】根據題意，建立以為坐標原點，軸平行于，軸垂直于，結合圖像，求出拋物線方程，準線方程，焦點坐標，即可判斷ABC；根據題意，求出直線的方程，不妨設CE上一點為，判斷出當該點處的切線與直線平行時，其到直線的距離最大，求解最大值即可.【詳解】如圖所示，建立以為坐標原點，軸平行于，軸垂直于.此時，，，拋物線的方程為，即，解得，故A正確；拋物線的方程為，準線方程為，焦點坐標為，故B正確，C錯誤；因為，，故，所以直線的方程為即，不妨設上一點為，，當該點處的切線與直線平行時，其到直線的距離最大.由可得，故，解得，此時點到直線的距離為，故D正確.故選：ABD.

50．一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示.衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處.已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m.

(1)試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標；(2)為了增強衛(wèi)星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時衛(wèi)星波束反射聚集點的坐標.【答案】(1)拋物線的標準方程為，焦點的坐標為；(2)【分析】（1）建立如圖所示的直角坐標系，利用待定系數法進行求解即可；（2）利用待定系數法、代入法進行求解即可.【詳解】（1）建立如圖所示的直角坐標系，設拋物線的方程為：，把代入方程中，得，所以拋物線的標準方程為，焦點的坐標為；

（2）設拋物線的方程為，把代入方程中，得，所以焦點的坐標為：.51．如圖，探照燈反射鏡由拋物線的一部分繞對稱軸旋轉而成，光源位于拋物線的焦點處，這樣可以保證發(fā)出的光線經過反射之后平行射出.已知燈口圓的直徑為60cm，燈的深度為40cm.

(