第八章立體幾何一初步

班級：姓名：

一、基礎鞏固

1.下列命題的符號語言中，不是公理的是（）

A.a.La,b工a=a.〃b

B.Pea,且Pe4nap|#=/,且Pw/

C.Ael,Bwl,且Aea,Bea=/ua

D.a//b、a//c=b//c

【答案】A

【詳解】

A不是公理，

在3中，由公理三知：如果兩個不重合的平面有?個公共點，那么它們有且只有…條過該點的公共直線,

故3是公理.

在C中，由公理一知：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內，故C是公理；

在。中，由平行公理得：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，故。是公理；

2.如圖所示，用符號語言可表達為（）

A.n<za,Aum,Au”B.a-m,nea,Aem,Aen

C.ncza,m[}n-AD.a[\p-m,nea,m[}n-A

【答案】C

【詳解】

結合圖形可以得出平面a,耳相交于一條直線小,直線〃在平面a內，直線機〃相交于點A,

結合選項可得C正確；

3.如圖所示，正方體ABC?！狝gGA中，分別為棱A8,C￡的中點，則在平面AORA內與平面

REF平行的直線（）

A.不存在B.有1條C.有2條D.有無數(shù)條

【答案】D

【詳解】

平面AOAA與平面AE尸有公共點A，

由公理3知平面ADD^與平面D.EF必有過D,的交線I,

在平面AOQA內與/平行的直線有無數(shù)條，

且它們都不在平面〃石尸內，

山線面平行的判定定理可知它們都與平面JEF平行.

4.下列說法正確的是（）

A.任意三點確定一個平面

B.梯形一定是平面圖形

C.平面。和，有不同在一條直線上的三個交點

D.一條直線和一個點確定一個平面

【答案】B

【解析】

A選項，不共線的三點確定一個平面，A錯.

C選項，兩個平面有公共點，則有一條過該公共點的公共直線，如沒有公共點，則兩平面平行，C錯.

D選項，一條直線和直線外的一點可以確定一個平面.

B選項，兩條平行直線，確定一個平面，梯形中有一組對邊平行，故B對，

5.如圖，四棱錐尸―ABC。，ACC\BD^O,M是PC的中點，直線AM交平面尸8。于點N,則

下列結論正確的是（）

A.O,N,P,M四點不共面B.四點共面

C.O,N,M三點共線D.P,N,。三點共線

【答案】D

【詳解】

內線AC與直線P0交于點0,所以平面PCA與平面PBD交于點0,所以必相交于H線PO,直線AM在

平面PAC內，點NeAM故Ne面PAC，故O,N,P,M四點共面，所以A錯.

點D若與M,N共面，則直線BD在平面PAC內，與題目矛盾，故B錯.

O,M為中點，所以OM//PA,ONcPA=P,故ONcOM=O,故C錯.

6.下列圖形中不一定是平面圖形的是（）

A.三角形B.平行四邊形

C.梯形D.四邊相等的四邊形

【答案】D

【詳解】

利用公理2可知：三角形、平行四邊形、梯形一定是平面圖形，

而四邊相等的四邊形可能是空間四邊形不一定是平面圖形.

7.在空間四邊形A8CD的各邊AB、BC、CD、上的依次取點￡、F、G、H,若EH、FG所在直

線相交于點P，則（）

D

A.點p必在直線AC上B.點p必在直線BD上

C.點。必在平面。外D.點P必在平面ABC內

【答案】B

【詳解】

如圖：連接E”、FG、BD,

,:EH、FG所在直線相交于點P,

:.PGEH且PGFG,

?.'E”u平面ABD,尸Gu平面BCD,

.?./隹平面48。，且昨平面BCO,

由?平面A8OD平面BCD=BD,

:.PRBD,

故選艮

8.平面a上有不共線的三點到平面￡的距離相等，則a與￡的位置關系為（）

A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直

【答案】C

【詳解】

由題意，若?:點分布在平面夕的同側，此時平面a//平面用；

若三點分布于平面夕的兩側時，此時平面a與平面廠相交，

綜上可知，平面a與平面/平行或相交，故選C.

9.如圖，在正方體A8CD-A向中，E為棱的中點，用過點A,E，G的平面截去該正方體的上

半部分，則剩余幾何體的側視圖為（）

【答案】c

【詳解】

取。A中點/，連接AEGE平面AEGE為截面.如下圖:

10.在正方體ABC?！狝4aA中，p＞。，R分別是AB，AD，GA的中點，那么正方體過p,Q,

R的截面圖是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【詳解】

解：延長PQ交CD的延長線與E,連￡7?交于T廁T為?？诘闹悬c,

延長77?交CG的延長線與F，延長QP交CB的延長線與G.

連接FG交BB］于M，交4G于S，則易得M.S分別為明,B.C,的中點,

連接QrRS,PM，則截面為正六邊形PQTRSM為所求截面.

如圖所示：

11.如圖所示，ABCQ—4B/C/D/是長方體，。是B/D的中點，直線4c交平面A8/。/于點M,則下列結

論正確是（）

BA

A.A,M,。三點共線B.A,M,O,A/不共面

C.A,M,C,。不共面D.B,Bi,O,例共面

【答案】A

【詳解】

連接4。，AC,則4/C/〃AC,

'.Ai,Ci,A,C四點共面，

，A/Cu平面ACC/4,

'：M&AiC,平面ACC/A/,又Md平面AB/。/,

在平面ACC/4與平面的交線上，

同理O在平面ACC/Ai與平面AB/Di的交線上.

.?.A,M,。三點共線.

12.下列說法中正確的個數(shù)是（）

①空間中三條直線交于一點，則這三條直線共面；

②平行四邊形可以確定一個平面；

③若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等；

④若A撾%A（3,且則A在/上.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

對于①，兩兩相交的三條直線，若相交于同一點，則不一定共面，故①不正確;

時于②，平行四邊形兩組對邊分別平行，則平行四邊形是平面圖形，故②正確：

對于③，若一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補，故③不正確;

對于④，由公理可得，若Awa,AG/3,ac/3=l,則Ae/,故④正確.

二、拓展提升

13.如圖所示，在空間四面體A3CO中，民尸分別是AB，AD的中點，G,“分別是3C,CO上的點,

(1)E,EG,H四點共面;

（2）直線FH,EG,AC共點.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【詳解】

（1）連接班'，GH,;E,f分別是ABA￡＞的中點，.?.￡/〃如.

又,；CG=LBC,CH=LDC,;.GH〃BD,..EFIIGH,;.E,F,G,H四點共面.

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（2）易知F"與直線AC不平行，但共面，，設"7cAC=M，則MG平面EFHG,Me平面ABC.

?.?平面EFHGc平面ABC=EG，r.MwEG，.?.直線FH,EG,AC共點.

14.已知A是4BCD平面外的一點，E,F分別是BC,AD的中點.

A

(1)求證：直線EF與BD是異面直線；

(2)若ACJ_BD,AC=BD,求EF與BD所成的角.

【答案】(1)證明見解析；(2)45。.

【詳解】

(1)證明：假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以

A、B、C、D在同一平面內，這與A是4BCD平面外的一點相矛盾.故直線EF與BD是異面直線.

(2)解：取CD的中點G,連結EG、FG,則EG〃BD,所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線

EF與BD所成的角.在RtZ\EGF中，由EG=FG=上AC,求得NFEG=45。，即異面直線EF與BD所成

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的角為45。.

15.如圖所示，在正方體ABC?！狝4G。中，E