2024屆江西省南昌市新建一中數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C．-1 D．13．已知a、b是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，若，，，則下列三個結(jié)論：①、②、③．其中正確的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．34．中，分別是內(nèi)角的對邊，且，，則等于（）A． B． C． D．5．設(shè)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．6．若，，則方程有實(shí)數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的首項(xiàng),公差,則()A．5 B．7 C．9 D．118．函數(shù)則＝（）A． B． C．2 D．09．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．10．過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，-3)的直線的傾斜角是135°，則y等于()A．1 B．5 C．-1 D．-5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列，若，則________________．12．如圖，為了測量樹木的高度，在處測得樹頂?shù)难鼋菫?，在處測得樹頂?shù)难鼋菫?，若米，則樹高為______米.13．已知滿足約束條件，則的最大值為__________．14．某中學(xué)初中部共有名老師，高中部共有名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為__________．15．在邊長為2的正△ABC所在平面內(nèi)，以A為圓心，為半徑畫弧，分別交AB，AC于D，E.若在△ABC內(nèi)任丟一粒豆子，則豆子落在扇形ADE內(nèi)的概率是________．16．函數(shù)y=sin2x+2sin2x的最小正周期T為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，求的值．18．設(shè)平面三點(diǎn)、、.（1）試求向量的模；（2）若向量與的夾角為，求；（3）求向量在上的投影．19．已知公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：是數(shù)列中的項(xiàng)；（3）若正整數(shù)滿足如下條件：存在正整數(shù)，使得數(shù)列，，為遞增的等比數(shù)列，求的值所構(gòu)成的集合.20．已知函數(shù)，且，.（1）求，的值及的定義域；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線定理解答.【題目詳解】解：,因?yàn)?所以,解得.故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

根據(jù)投影的定義和向量的數(shù)量積求解即可．【題目詳解】解：∵，，∴向量在向量方向上的投影，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

根據(jù)題意，，，，則有，因此，，不難判斷.【題目詳解】因?yàn)椋?，，則有，所以，，所以①正確，②不正確，③正確，則其中正確命題的個數(shù)為2.故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間推理能力，屬于簡單題.4、D【解題分析】試題分析：由已知得，解得（舍）或，又因?yàn)椋?，由正弦定理?考點(diǎn)：1、倍角公式；2、正弦定理.5、D【解題分析】Sn＝＝＝＝3－2an.6、B【解題分析】方程有實(shí)數(shù)根，則：，即：，則：，如圖所示，由幾何概型計(jì)算公式可得，滿足題意的概率值為：.本題選擇B選項(xiàng).7、C【解題分析】

直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到本題答案.【題目詳解】由為等差數(shù)列，且首項(xiàng)，公差，得.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求值，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

先求得的值，進(jìn)而求得的值.【題目詳解】依題意，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

根據(jù)題意可知所求的球?yàn)檎睦庵耐饨忧颍鶕?jù)正四棱柱的特點(diǎn)利用勾股定理可求得外接球半徑，代入球的體積公式求得結(jié)果.【題目詳解】由題意可知所求的球?yàn)檎睦庵耐饨忧虻酌嬲叫螌蔷€長為：外接球半徑外接球體積本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查正棱柱外接球體積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)正棱柱的特點(diǎn)確定球心位置，從而利用勾股定理求得外接球半徑.10、D【解題分析】∵過兩點(diǎn)A(4，y)，B(2，-3)的直線的傾斜角是135°，∴，解得。選D。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由圖乙可得：第行有個數(shù)，且第行最后的一個數(shù)為，從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，注意到，，據(jù)此確定n的值即可.【題目詳解】分析圖乙，可得①第行有個數(shù)，則前行共有個數(shù)，②第行最后的一個數(shù)為，③從第三行開始每一行的數(shù)從左到右都是公差為的等差數(shù)列，又由，，則，則出現(xiàn)在第行，第行第一個數(shù)為，這行中第個數(shù)為，前行共有個數(shù)，則為第個數(shù)．故填．【題目點(diǎn)撥】歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．12、【解題分析】

先計(jì)算，再計(jì)算【題目詳解】在處測得樹頂?shù)难鼋菫?，在處測得樹頂?shù)难鼋菫閯t在中，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，也可以用正余弦定理解答.13、57【解題分析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，觀察直線在軸的截距取最大值時的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【題目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時，該直線在軸上的截距取最大值，此時，取最大值，即，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，一般利用平移直線結(jié)合在坐標(biāo)軸上的截距取最值時，找最優(yōu)解求解，考查數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．14、【解題分析】

由初中部、高中部男女比例的餅圖，初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，分別算出女老師人數(shù)，再相加.【題目詳解】初中部女老師占70%，高中部女老師占40%，該校女教師的人數(shù)為.【題目點(diǎn)撥】考查統(tǒng)計(jì)中讀圖能力，從圖中提取基本信息的基本能力.15、【解題分析】

由三角形ABC的邊長為2不難求出三角形ABC的面積，又由扇形的半徑為，也可以求出扇形的面積，代入幾何概型的計(jì)算公式即可求出答案．【題目詳解】由題意知，在△ABC中，BC邊上的高AO正好為，∴圓與邊CB相切，如圖．S扇形＝×××＝，S△ABC＝×2×2×＝，∴P＝＝.【題目點(diǎn)撥】本題考查面積型幾何概型概率的求法，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】考點(diǎn)：此題主要考查三角函數(shù)的概念、化簡、性質(zhì)，考查運(yùn)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

∵，且，∴，則，∴＝＝＝－．考點(diǎn)：本題考查了三角恒等變換18、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）計(jì)算出、的坐標(biāo)，可計(jì)算出的坐標(biāo)，再利用平面向量模長的坐標(biāo)表示可計(jì)算出向量的模；（2）由可計(jì)算出的值；（3）由投影的定義得出向量在上的投影為可計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】（1）、、，，，因此，；（2）由（1）知，，，所以；（3）由（2）知向量與的夾角的余弦為，且.所以向量在上的投影為.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及平面向量夾角的坐標(biāo)表示、以及向量投影的計(jì)算，解題時要熟悉平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算律以及平面向量數(shù)量積、模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)；(2)證明見解析；(3)見解析【解題分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì),結(jié)合求得等再求的通項(xiàng)公式.

(2)先求出,再證明滿足的通項(xiàng)公式.

(3)由數(shù)列,,為遞增的等比數(shù)列可得,從而根據(jù)的通項(xiàng)公式求的值所構(gòu)成的集合.【題目詳解】(1)因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,故,故或,又公差,所以,故,故.

(2)由可得,故,若是數(shù)列中的項(xiàng),則即,即,故是數(shù)列中的項(xiàng)；(3)由數(shù)列，，為遞增的等比數(shù)列,則即.由題意存在正整數(shù)使得等式成立,因?yàn)?故能被5整除,設(shè),則,又為整數(shù),故為整數(shù)設(shè),即，故,解得,又,故,不妨設(shè),則.即又當(dāng)時,由得滿足條件.綜上所述,.【題目點(diǎn)撥】(1)本題考查等差數(shù)列性質(zhì)：若是等差數(shù)列，且，則(2)證明數(shù)列中是否滿足某項(xiàng)或者存在正整數(shù)使得某三項(xiàng)為等比數(shù)列時,均先根據(jù)條件列出對應(yīng)的表達(dá)式,再利用正整數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷,有一定的難度.20、（1），，定義域；（2）【解題分析】

（1）由已知得，可求出、，由對數(shù)函數(shù)的定義域可得，求出的范圍，即可得到的定義域；（2）設(shè)，可得，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可得在上的單調(diào)性，從而可得時，的最大值，令，解不等式即可得到答案.【題目詳解】（1）由已知得，即，解得，，由得，所以，即，所以定義域?yàn)?（2），設(shè)，由時，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以可得在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，的最大值為，由題意，，即，即，因?yàn)?，所以，?故時，存在，使得成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，考查存在性問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力與推理能力，屬于中檔題.21、（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）