第二十一周抓“不變量〞解題專題簡析：一些分?jǐn)?shù)的分子與分母被施行了加減變化，解答時(shí)關(guān)鍵要分析哪些量變了，哪些量沒有變。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不變量進(jìn)行分析后，再轉(zhuǎn)化并解答。例1．將EQ\F(43,61)的分子與分母同時(shí)加上某數(shù)后得EQ\F(7,9)，求所加的這個(gè)數(shù)。解法一：因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的分子與分母加上了一個(gè)數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的分子與分母的差不變，仍是18，所以，原題轉(zhuǎn)化成了一各簡單的分?jǐn)?shù)問題：“一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子比分母少18，切分子是分母的EQ\F(7,9)，由此可求出新分?jǐn)?shù)的分子和分母。〞分母：〔61-43〕÷〔1－EQ\F(7,9)〕＝81分子：81×EQ\F(7,9)＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：EQ\F(43,61)的分母比分子多18，EQ\F(7,9)的分母比分子多2，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的與分母的差不變，所以將EQ\F(7,9)的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大〔18÷2=〕9倍。EQ\F(7,9)的分子、分母應(yīng)擴(kuò)大：〔61-43〕÷〔9-7〕＝9〔倍〕約分后所得的EQ\F(7,9)在約分前是：EQ\F(7,9)＝EQ\F(7×9,9×9)＝EQ\F(63,81)所加的數(shù)是81-61＝20答：所加的數(shù)是20。練習(xí)1：1、分?jǐn)?shù)EQ\F(97,181)的分子和分母都減去同一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是EQ\F(2,5)，那么減去的數(shù)是多少？2、分?jǐn)?shù)EQ\F(1,13)的分子、分母同加上一個(gè)數(shù)后得EQ\F(3,5)，那么同加的這個(gè)數(shù)是多少？3、EQ\F(3,19)的分子、分母加上同一個(gè)數(shù)并約分后得EQ\F(5,7)，那么加上的數(shù)是多少？4、將EQ\F(58,79)這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是EQ\F(2,3)，那么減去的數(shù)是多少？例2：將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去2得EQ\F(4,5)，如果將它的分母加上1，那么得EQ\F(2,3)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。解法一：因?yàn)閮纱味际歉淖兎謹(jǐn)?shù)的分母，所以分?jǐn)?shù)的分子沒有變化，由“它的分母減去2得EQ\F(4,5)〞可知，分母比分子的EQ\F(5,4)倍還多2。由“分母加1得EQ\F(2,3)〞可知，分母比分子的EQ\F(3,2)倍少1，從而將原題轉(zhuǎn)化成一個(gè)盈虧問題。分子：〔2+1〕÷〔EQ\F(3,2)－EQ\F(5,4)〕=12分母：12×EQ\F(3,2)-1＝17解法二：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分子相同。將兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，且使分母相差3。EQ\F(2,3)＝EQ\F(4,6)＝EQ\F(12,18)，EQ\F(4,5)＝EQ\F(12,15)原分?jǐn)?shù)的分母是：18-1＝17或15+2＝17答：這個(gè)分?jǐn)?shù)為EQ\F(12,17)。練習(xí)2：將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2得EQ\F(7,9)，分母加上3得EQ\F(3,4)。原來的分?jǐn)?shù)是多少？將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2得EQ\F(3,4)，分母加上2得EQ\F(4,5)。原來的分?jǐn)?shù)是多少？將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上5得EQ\F(3,7)，分母加上4得EQ\F(4,9)。原來的分?jǐn)?shù)是多少？將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去9得EQ\F(5,8)，分母減去6得EQ\F(7,4)。原來的分?jǐn)?shù)是多少？例3：在一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(5,7)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,2)，求原來的最簡分?jǐn)?shù)是多少。解法一：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分母相同。將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母相同的分?jǐn)?shù)，即EQ\F(5,7)=EQ\F(10,14)，EQ\F(1,2)=EQ\F(7,14)。根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)分子的差應(yīng)為2的倍數(shù)，所以分別想EQ\F(10,14)和EQ\F(7,14)的分子和分母再乘以2。所以EQ\F(5,7)＝EQ\F(10,14)＝EQ\F(20,28)，EQ\F(1,2)＝EQ\F(7,14)＝EQ\F(14,28)故原來的最簡分?jǐn)?shù)是EQ\F(17,28)。解法二：根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的和等于原分?jǐn)?shù)的2倍。所以〔EQ\F(5,7)+EQ\F(1,2)〕÷2＝EQ\F(17,28)答：原來的最簡分?jǐn)?shù)是EQ\F(17,28)。練習(xí)3：1、一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(5,8)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,2)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。2、一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(6,7)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,3)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。3、一個(gè)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(7,9)。如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(3,5)，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。例4：將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加3得EQ\F(7,9)，分母加5得EQ\F(3,4)。原分?jǐn)?shù)是多少？解法一：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分子相同。將兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，即EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)。根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)相差2，而現(xiàn)在只相差1，所以分別將EQ\F(21,27)和EQ\F(21,28)的分子和分母再同乘以2。那么EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)＝EQ\F(42,54)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)＝EQ\F(42,56)。所以，原分?jǐn)?shù)的分母是〔54－3＝〕51。原分?jǐn)?shù)是EQ\F(42,51)。解法二：因?yàn)榉肿記]有變，所以把分子看做單位“1〞。分母加3后是分子的EQ\F(9,7)，分母加5后是分子的EQ\F(4,3)，因此，原分?jǐn)?shù)的分子是〔5－3〕÷〔EQ\F(4,3)－EQ\F(9,7)〕＝42。原分?jǐn)?shù)的分母是42÷7×9-3=51，原分?jǐn)?shù)是EQ\F(42,51)。練習(xí)4：1、一個(gè)分?jǐn)?shù)，將它的分母加5得EQ\F(5,6)，加8得EQ\F(4,5)，原來的分?jǐn)?shù)是多少？〔用兩種方法〕2、將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去3，約分后得EQ\F(6,7)；假設(shè)將它的分母減去5，那么得EQ\F(7,8)。原來的分?jǐn)?shù)是多少？〔用兩種方法做〕3、把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去2，約分后等于EQ\F(3,4)。如果給原分?jǐn)?shù)的分母加上9，約分后等于EQ\F(5,7)。求原分?jǐn)?shù)。例5：有一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加1，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)；如果分母加1，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,3)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？根據(jù)“分子加1，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)〞可知，分母比分子的2倍多2；根據(jù)“分母加1這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于EQ\F(1,3)〞可知，分母比分子的3倍少1。所以，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是〔1+2〕÷〔3-2〕=3，分母是3×2+2=8。所以，這個(gè)分?jǐn)?shù)是EQ\F(3,8)。練習(xí)5：一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加3，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)，如果分母加上1，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,3)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加5，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)，如果分母減3，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,3)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？3、一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子減1，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,2)；如果分母加11，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于EQ\F(1,3)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？答案：練11、412、173、374、16練21、EQ\F(21,25)2、EQ\F(12,13)3、EQ\F(12,23)4、EQ\F(20,41)練31、EQ\F(9,16)2、EQ\F(25,42)3、EQ\F(31,45)練41、EQ\F(60,67)2、EQ\F(84,101)3、EQ\F(165,222)練51、EQ\F(7,20)2、EQ\F(7,24)3、EQ\F(9,16)第二十二周特殊工程問題專題簡析：有些工程題中，工作效率、工作時(shí)間和工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系很不明顯，這時(shí)我們就可以考慮運(yùn)用一些特殊的思路，如綜合轉(zhuǎn)化、整體思考等方法來解題。例1：修一條路，甲隊(duì)每天修8小時(shí)，5天完成；乙隊(duì)每天修10小時(shí)，6天完成。兩隊(duì)合作，每天工作6小時(shí)，幾天可以完成？把前兩個(gè)條件綜合為“甲隊(duì)40小時(shí)完成〞，后兩個(gè)條件綜合為“乙隊(duì)60小時(shí)完成〞。那么1÷[EQ\F(1,5×8)+EQ\F(1,10×6)]÷6=4〔天〕或1÷[〔EQ\F(1,5×8)+EQ\F(1,10×6)〕×6]=4〔天〕答：4天可以完成。練習(xí)1：1、修一條路，甲隊(duì)每天修6小時(shí)，4天可以完成；乙隊(duì)每天修8小時(shí)，5天可以完成?，F(xiàn)在讓甲、乙兩隊(duì)合修，要求2天完成，每天應(yīng)修幾小時(shí)？2、一項(xiàng)工作，甲組3人8天能完成，乙組4人7天也能完成?，F(xiàn)在由甲組2人和乙組7人合作，多少天可以完成？3、貨場上有一堆沙子，如果用3輛卡車4天可以完成，用4輛馬車5天可以運(yùn)完，用20輛小板車6天可以運(yùn)完?，F(xiàn)在用2輛卡車、3輛馬車和7輛小板車共同運(yùn)兩天后，全改用小板車運(yùn)，必須在兩天內(nèi)運(yùn)完。問：后兩天需要多少輛小板車？例2：有兩個(gè)同樣的倉庫A和B，搬運(yùn)一個(gè)倉庫里的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí)。甲和丙在A倉庫，乙在B倉庫，同時(shí)開始搬運(yùn)。中途丙轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn)。最后，兩個(gè)倉庫同時(shí)搬完，丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉庫的貨物的工作量為“1〞。總整體上看，相當(dāng)于三人共同完成工作量“2〞三人同時(shí)搬運(yùn)了2÷〔EQ\F(1,10)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,15)〕=8〔小時(shí)〕丙幫甲搬了〔1-EQ\F(1,10)×8〕÷EQ\F(1,15)=3〔小時(shí)〕③丙幫乙搬了8-3=5〔小時(shí)〕答：丙幫甲搬了3小時(shí)，幫乙搬了5小時(shí)。練習(xí)2：1、師、徒兩人加工相同數(shù)量的零件，師傅每小時(shí)加工自己任務(wù)的EQ\F(1,10)，徒弟每小時(shí)加工自己任務(wù)的EQ\F(1,15)。師、徒同時(shí)開始加工。師傅完成任務(wù)后立即幫助徒弟加工，直至完成任務(wù)，師傅幫徒弟加工了幾小時(shí)？2、有兩個(gè)同樣的倉庫A和B，搬運(yùn)一個(gè)倉庫里的貨物，甲需要18小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要9小時(shí)。甲、乙在A倉庫，丙在B倉庫，同時(shí)開始搬運(yùn)。中途甲又轉(zhuǎn)向幫助丙搬運(yùn)。最后，兩個(gè)倉庫同時(shí)搬完。甲幫助乙、丙各多少小時(shí)？3、甲、乙兩人同時(shí)加工一批零件，完成任務(wù)時(shí)，甲做了全部零件的EQ\F(5,8)，乙每小時(shí)加工12個(gè)零件，甲單獨(dú)加工這批零件要12小時(shí)，這批零件有多少個(gè)？例3：一件工作，甲獨(dú)做要20天完成，乙獨(dú)做要12天完成。這件工作先由甲做了假設(shè)干天，然后由乙繼續(xù)做完，從開始到完工共用了14天。這件工作由甲先做了幾天？解法一：根據(jù)兩人做的工作量的和等于單位“1〞列方程解答，很容易理解。解：設(shè)甲做了x天，那么乙做了〔14-x〕天。EQ\F(1,20)x+EQ\F(1,12)×〔14-x〕=1X=5解法二：假設(shè)這14天都由乙來做，那么完成的工作量就是EQ\F(1,12)×14，比總工作量多了EQ\F(1,12)×14-1=EQ\F(1,6)，乙每天的能夠做量比甲每天的工作兩哦了EQ\F(1,12)-EQ\F(1,20)=EQ\F(1,30)，因此甲做了EQ\F(1,6)÷EQ\F(1,30)=5〔天〕練習(xí)3：1、一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做12天完成，乙獨(dú)做4天完成。假設(shè)甲先做假設(shè)干天后，由乙接著做余下的工程，直至完成全部任務(wù)，這樣前后共用了6天，甲先做了幾天？2、一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需30天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需40天完成。甲隊(duì)單獨(dú)做假設(shè)干天后，由乙隊(duì)接著做，共用35天完成了任務(wù)。甲、乙兩隊(duì)各做了多少天？3、一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做要50天，乙獨(dú)做要75天，現(xiàn)在由甲、乙合作，中間乙休息幾天，這樣共用40天完成。求乙休息的天數(shù)。例4：甲、乙兩人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，兩人共用了10天才完成。如果由甲單獨(dú)加工這批零件，需要多少天才能完成？解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲單獨(dú)做需要的天數(shù)。甲、乙同時(shí)做的工作量為EQ\F(1,8)×〔10-3〕＝EQ\F(7,8)乙單獨(dú)做的工作量為1－EQ\F(7,8)＝EQ\F(1,8)乙的工作效率為EQ\F(1,8)÷3=EQ\F(1,24)甲的工作效率為EQ\F(1,8)－EQ\F(1,24)＝EQ\F(1,12)甲單獨(dú)做需要的天數(shù)為1÷EQ\F(1,12)＝12〔天〕解法二：從題中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙兩人多做了〔10-8=〕2天。由此可知，甲3天的工作量相當(dāng)于這批零件的2÷8=1/43÷[〔10-8〕÷8]=12〔天〕或3×[8÷〔10-8〕]=12〔天〕答：甲單獨(dú)做需要12天完成。練習(xí)4：1、甲、乙兩人合作某項(xiàng)工程需要12天。在合作中，甲因輸請假5天，因此共用15天才完工。如果全部工程由甲單獨(dú)去干，需要多少天才能完成？2、一段布，可以做30件上衣，也可做48條褲子。如果先做20件上衣后，還可以做多少條褲子？3、一項(xiàng)工程，甲、乙合作6小時(shí)可以完成，同時(shí)開工，中途甲通工了2.5小時(shí)，因此，經(jīng)過7.5小時(shí)才完工。如果這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做需要多少小時(shí)？4、一項(xiàng)工程，甲先單獨(dú)做2天，然后與乙合作7天，這樣才完成全工程的一半，甲、乙工作效率的比是3：2，如果這件工作由乙單獨(dú)做，需要多少天才能完成？例5：放滿一個(gè)水池的水，如果同時(shí)開放①②③號閥門，15小時(shí)放滿；如果同時(shí)開放①③⑤號閥門，12小時(shí)可以放滿；如果同時(shí)開放②④⑤號閥門，8小時(shí)可以放滿。問：同時(shí)開放這五個(gè)閥門幾小時(shí)可以放滿這個(gè)水池？從整體入手，比擬條件中各個(gè)閥門出現(xiàn)的次數(shù)可知，①③號閥門各出現(xiàn)3次，②④⑤號閥門各出現(xiàn)2次。如果EQ\F(1,15)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,8)再加一個(gè)EQ\F(1,8)，那么是五個(gè)閥門各放3小時(shí)的總水量。1÷[〔EQ\F(1,15)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,8)〕÷3]=1÷[EQ\F(1,2)÷3]=6〔小時(shí)〕練習(xí)5：完成一件工作，甲、乙合作需15小時(shí)，乙、丙兩人合作需12小時(shí)，甲、丙合作需10小時(shí)。甲、乙丙三人合作需幾小時(shí)才能完成？一項(xiàng)工程，甲干3天，乙干5天可以完成EQ\F(1,2)，甲干5天、乙干3天可完成EQ\F(1,3)。甲、乙合干需幾天完成？完成一件工作，甲、乙兩人合作需20小時(shí)，乙、丙兩人合作需28小時(shí)，丙、丁兩人合作需30小時(shí)。甲、丁兩人合作需幾小時(shí)？一項(xiàng)工程，由一、二、三小隊(duì)合干需18天完成，由二、三、四小隊(duì)合干需15天完成，由一、二、四小隊(duì)合干需12天完成，由一、三、四小隊(duì)合干需20天完成。由第一小隊(duì)單獨(dú)干需要多少天？答案：練11÷〔EQ\F(1,4×6)+EQ\F(1,8×5)〕÷2＝7.5小時(shí)1÷〔EQ\F(1,3×8)×2+EQ\F(1,4×7)×7〕＝3天〔1〕共同運(yùn)兩天后，還剩這堆黃沙的1－〔EQ\F(1,3×4)×2+EQ\F(1,4×5)×5+EQ\F(1,20×6)×7〕×2＝EQ\F(1,4)〔2〕后兩天需要小板車：EQ\F(1,4)÷〔EQ\F(1,20×6)×2〕＝15輛練22÷〔EQ\F(1,10)+EQ\F(1,15)〕－10＝2小時(shí)2÷〔EQ\F(1,18)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,9)〕＝8小時(shí)甲幫乙：〔1－EQ\F(1,12)×8〕÷EQ\F(1,18)＝6小時(shí)甲幫丙：〔1－EQ\F(1,9)×8〕÷EQ\F(1,18)＝2小時(shí)解法一：12×〔EQ\F(5,8)÷EQ\F(1,12)〕÷〔1－EQ\F(5,8)〕＝240個(gè)解法二：12÷〔8－5〕×5×12＝240個(gè)練3〔EQ\F(1,4)×6－1〕÷〔EQ\F(1,4)－EQ\F(1,12)〕＝3天甲：〔1－EQ\F(1,40)×35〕÷〔EQ\F(1,30)－EQ\F(1,40)〕＝15天乙：35－15＝20天40－〔1－EQ\F(1,50)×40〕÷EQ\F(1,75)＝25天練45×【12÷〔15－12〕】＝20天48－48÷30×20＝16條2.5×【6÷〔7.5－6〕】＝10小時(shí)練51÷【〔EQ\F(1,15)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,10)〕÷2】＝8小時(shí)1÷【〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)〕÷〔3+5〕】＝9.6天1÷〔EQ\F(1,20)+EQ\F(1,30)－EQ\F(1,28)〕＝21小時(shí)4、1÷【〔EQ\F(1,18)+EQ\F(1,15)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,20)〕÷3－EQ\F(1,15)】＝54天第二十三周周期工程問題專題簡析：周期工程問題中，工作時(shí)工作人員〔或物體〕是按一定順序輪流交替工作的。解答時(shí)，首先要弄清一個(gè)循環(huán)周期的工作量，利用周期性規(guī)律，使貌似復(fù)雜的問題迅速地化難為易。其次要注意最后不滿一個(gè)周期的局部所需的工作時(shí)間，這樣才能正確解答。例1：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要12小時(shí)，乙單獨(dú)做需要18小時(shí)。假設(shè)甲做1小時(shí)后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)……兩人如此交替工作，問完成任務(wù)時(shí)需共用多少小時(shí)？把2小時(shí)的工作量看做一個(gè)循環(huán)，先求出循環(huán)的次數(shù)。需循環(huán)的次數(shù)為：1÷〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,18)〕=EQ\F(36,5)＞7〔次〕7個(gè)循環(huán)后剩下的工作量是：1-〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,18)〕×7=EQ\F(1,36)余下的工作兩還需甲做的時(shí)間為：EQ\F(1,36)÷EQ\F(1,12)=EQ\F(1,3)〔小時(shí)〕完成任務(wù)共用的時(shí)間為：2×7+EQ\F(1,3)=14EQ\F(1,3)〔小時(shí)〕答：完成任務(wù)時(shí)需共用14EQ\F(1,3)小時(shí)。練習(xí)1：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要6小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要10小時(shí)完成。如果按甲、乙；甲、乙……的順序交替工作，每次1小時(shí)，需要多少小時(shí)才能完成？一部書稿，甲單獨(dú)打字要14小時(shí)，乙單獨(dú)打字要20小時(shí)。如果先由甲打1小時(shí)，然后由乙接替甲打1小時(shí)；再由甲接替乙打1小時(shí)……兩人如此交替工作，打完這部書稿共需用多少小時(shí)？一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)完成要9小時(shí)，乙單獨(dú)完成要12小時(shí)。如果按照甲、乙；甲、乙……的順序輪流工作，每人每次工作1小時(shí)，完成這項(xiàng)工程的2/3共要多少時(shí)間？例2：一項(xiàng)工程，甲、乙合作26EQ\F(2,3)天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做要多少天才能完成？由題意可以推出“甲先〞的輪流方式，完成時(shí)所用的天數(shù)為奇數(shù)，否那么不管“甲先〞還是“乙先〞，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先〞的輪流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下：甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙甲……乙甲乙EQ\F(1,2)甲豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。甲每天能做這項(xiàng)工程的1÷26EQ\F(2,3)×EQ\F(2,1+2)=EQ\F(1,40)甲單獨(dú)做完成的時(shí)間1÷EQ\F(1,40)=40〔天〕答：這項(xiàng)工程由甲單獨(dú)做需要40天才能完成。練習(xí)2：一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多半天才能完成。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做幾天可以完成？一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，這樣輪流交替做，恰好也用整數(shù)天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多EQ\F(1,3)天才能完成。這項(xiàng)工程由甲、乙合作合作幾天可以完成？一項(xiàng)工程，甲、乙合作12EQ\F(3,5)小時(shí)可以完成。如果第一小時(shí)甲做，第二小時(shí)乙做，這樣輪流交替做，也恰好用整數(shù)小時(shí)完成。如果第一小時(shí)乙做，第二小時(shí)甲做，這樣輪流交替做，比上次輪流做要多EQ\F(1,3)小時(shí)才能完成。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做幾小時(shí)可以完成？蓄水池有一跟進(jìn)水管和一跟排水管。單開進(jìn)水管5小時(shí)灌滿一池水，單開排水管3小時(shí)排完一池水。現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水、排水；進(jìn)水、排水……的順序輪流依次各開1小時(shí)，多少小時(shí)后水池的水剛好排完？例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天數(shù)完成。如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時(shí)所用的天數(shù)后，還剩60個(gè)不能完成。甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少個(gè)？由題意可以推出“甲先〞的輪流方式，完成時(shí)所用的天數(shù)為奇數(shù)，否那么不管“甲先〞還是“乙先〞，兩種輪流方式完成的天數(shù)必定相同。根據(jù)“甲先〞的輪流方式為奇數(shù)，兩種輪流方式的情況可表示如下：甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙甲……乙甲乙剩60個(gè)豎線左邊做的天數(shù)為偶數(shù)，誰先做沒關(guān)系。豎線右邊可以看出，剩下的60個(gè)零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的個(gè)數(shù)為：60÷〔5-3〕×5=150〔個(gè)〕乙每天做的個(gè)數(shù)為：60÷〔5-3〕×3=90〔個(gè)〕答：甲每天做150個(gè)，乙每天做90個(gè)。練習(xí)3：一批零件如果第一天師傅做，第二天徒弟做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完成。如果第一天徒弟做，第二天師傅做，這樣交替輪流做，做到上次輪流完成時(shí)所用的天數(shù)后，還剩84個(gè)不能完成。師、徒工作效率的比是7：4。師、徒二人每天各做多少個(gè)？一項(xiàng)工程，如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流恰好用整數(shù)天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做要多EQ\F(2,5)天才能完成。如果讓甲、乙二人合作，只需2EQ\F(5,8)天就可以完成?，F(xiàn)在，由乙獨(dú)做需要幾天才能完成？紅星機(jī)械廠有1080個(gè)零件需要加工。如果第一小時(shí)讓師傅做，第二小時(shí)讓徒弟做，這樣交替輪流，恰好整數(shù)小時(shí)可以完成。如果第一小時(shí)讓徒弟做，第二小時(shí)讓師傅做，這樣交替輪流，做到上次輪流完成時(shí)所用的天數(shù)后，還剩60個(gè)不能完成。如果讓師、徒二人合作，只需3小時(shí)36分就能完成。師、徒每小時(shí)各能完成多少個(gè)？例4：打印一部稿件，甲單獨(dú)打要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)打要15小時(shí)完成?，F(xiàn)在，甲、乙兩人輪流工作。甲工作1小時(shí)，乙工作2小時(shí)；甲工作2小時(shí)，乙工作1小時(shí)；甲工作1小時(shí)，乙工作2小時(shí)……如此這樣交替下去，打印這部書稿共要多少小時(shí)？根據(jù)條件，我們可以把6小時(shí)的工作時(shí)間看做一個(gè)循環(huán)。在每一個(gè)循環(huán)中，甲、乙都工作了3小時(shí)。每循環(huán)一次，他們共完成全部工程的〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,15)〕×3＝EQ\F(9,20)總工作量里包含幾個(gè)9/20：1÷EQ\F(9,20)=2EQ\F(2,9)甲、乙工作兩個(gè)循環(huán)后，剩下全工程的1-EQ\F(9,20)×2＝EQ\F(1,10)由于EQ\F(1,10)＞EQ\F(1,12)，所以，求甲工作1小時(shí)后剩下的工作由乙完成還需的時(shí)間為〔EQ\F(1,10)-EQ\F(1,12)〕÷EQ\F(1,15)＝EQ\F(1,4)打印這部稿件共需的時(shí)間為：6×2+1+EQ\F(1,4)=13EQ\F(1,4)〔小時(shí)〕答：打印這部稿件共需13EQ\F(1,4)小時(shí)。練習(xí)4：一個(gè)水池安裝了甲、乙兩根進(jìn)水管。單開甲管，24分鐘能包空池灌滿；單開乙管，18分鐘能把空池灌滿?，F(xiàn)在，甲、乙兩管輪流開放，按照甲1分鐘，乙2分鐘，甲2分鐘，乙1分鐘，甲1分鐘，乙2分鐘……如此交替下去，灌滿一池水共需幾分鐘？一件工作，甲單獨(dú)做，需12小時(shí)完成；乙單獨(dú)做需15小時(shí)完成?，F(xiàn)在，甲、乙兩人輪流工作，甲工作2小時(shí)，乙工作1小時(shí)；甲工作1小時(shí)，乙工作2小時(shí)；甲工作2小時(shí)，乙工作1小時(shí)……如此交替下去，完成這件工作共需多少小時(shí)？一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要50天完工，乙單獨(dú)做需60天完工。現(xiàn)在，自某年的3月2日兩人一起開工，甲每工作3天那么休息1天，乙每工作5天那么休息一天，完成全部工程的EQ\F(52,75)為幾月幾日？一項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)做完要150天，乙工程隊(duì)單獨(dú)做完需180天。兩隊(duì)合作時(shí)，甲隊(duì)做5天，休息2天，乙隊(duì)做6天，休息1天。完成這項(xiàng)工程要多少天？例5：有一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)每天輪做。原方案按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原方案多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,3)天。甲單獨(dú)做13天完成。且3個(gè)工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？由題意可以推出：按甲、乙、丙次序輪做，能夠的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余1或余2。如果是3的倍數(shù)，三種輪流方式完工的天數(shù)，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序輪流做，用的天數(shù)是3的倍數(shù)余1。三種輪流方式做的情況可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙EQ\F(1,2)丙丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙EQ\F(1,3)甲從中可以退出：丙=EQ\F(2,3)甲；由于乙=甲－EQ\F(1,2)丙=甲－EQ\F(2,3)甲×EQ\F(1,2)，又推出乙=EQ\F(2,3)甲；與題中“三個(gè)工程隊(duì)的工效各不相同〞矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序輪做，用的天數(shù)必定是3的倍數(shù)余2。三種輪流方式用的天數(shù)必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙EQ\F(1,2)甲丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲EQ\F(1,3)乙由此推出：丙=EQ\F(1,2)甲，丙=EQ\F(2,3)乙丙隊(duì)每天做這項(xiàng)工程的EQ\F(1,13)×EQ\F(1,2)=EQ\F(1,26)乙隊(duì)每天做這項(xiàng)工程的EQ\F(1,26)÷EQ\F(2,3)=EQ\F(3,52)甲、乙、丙合作完工需要的時(shí)間為1÷〔EQ\F(1,13)+EQ\F(1,26)+EQ\F(3,52)〕=5EQ\F(7,9)〔天〕答：甲、乙、丙合作要5EQ\F(7,9)天完工。練習(xí)5：有一項(xiàng)工程，由三個(gè)工程隊(duì)每天輪做。原方案按甲、乙、丙次序輪做，恰好用整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原方案多用EQ\F(1,3)天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,4)天。甲單獨(dú)做7天完成。且3個(gè)工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？有一項(xiàng)工程，由三個(gè)工程隊(duì)每天輪做。原方案按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原方案多用EQ\F(1,2)天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,2)天。甲單獨(dú)做10天完成。且3個(gè)工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？有一項(xiàng)工程，由甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)每天輪做。原方案按甲、乙、丙次序輪做，恰好整數(shù)天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序輪做。比原方案多用EQ\F(1,2)天；如果按丙、甲、乙次序做，比原方案多用EQ\F(1,3)天。這項(xiàng)工程由甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)同時(shí)合作，需13EQ\F(7,9)天可以完成，且3個(gè)工程隊(duì)的工效各不相同。這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天才能完成？蓄水池裝有甲、丙兩根進(jìn)水管和乙、丁兩根排水管。要注滿一池水，單開甲管需要3小時(shí)，單開丙管需要5小時(shí)。要排光一池水，單開乙管要4小時(shí)，單開丁管要6小時(shí)?，F(xiàn)知池內(nèi)有EQ\F(1,6)池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的順序輪流各開1小時(shí)，多長時(shí)間后水開始溢出水池？答案：練1〔1〕需循環(huán)的次數(shù)1÷〔EQ\F(1,6)+EQ\F(1,10)〕＝EQ\F(15,4)＞3〔2〕3個(gè)循環(huán)后剩下的工作量1－〔EQ\F(1,6)+EQ\F(1,10)〕×3＝EQ\F(1,5)〔3〕最后由乙做的時(shí)間〔EQ\F(1,5)－EQ\F(1,6)〕÷EQ\F(1,10)＝EQ\F(1,3)小時(shí)〔4〕需要的總時(shí)間2×3+1+EQ\F(1,3)＝7EQ\F(1,3)小時(shí)〔1〕需循環(huán)的次數(shù)1÷〔EQ\F(1,14)+EQ\F(1,20)〕＝EQ\F(140,17)＞8〔2〕3個(gè)循環(huán)后剩下的工作量1－〔EQ\F(1,14)+EQ\F(1,20)〕×8＝EQ\F(4,140)〔3〕最后由乙做的時(shí)間EQ\F(4,140)÷EQ\F(1,14)＝EQ\F(2,5)小時(shí)〔4〕需要的總時(shí)間2×8+EQ\F(2,5)＝16EQ\F(2,5)小時(shí)〔1〕需循環(huán)的次數(shù)EQ\F(2,3)÷〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,12)〕＝EQ\F(24,7)＞3〔2〕3個(gè)循環(huán)后剩下的工作量EQ\F(2,3)－〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,12)〕×3＝EQ\F(1,12)〔3〕最后由乙做的時(shí)間EQ\F(1,12)÷EQ\F(1,9)＝EQ\F(3,4)小時(shí)〔4〕需要的總時(shí)間2×3+EQ\F(3,4)＝6EQ\F(3,4)小時(shí)練2提示：甲的效率是乙的2倍20÷2＝10天提示：乙的效率是甲的EQ\F(2,3)1÷【EQ\F(1,6)×〔1－EQ\F(1,3)〕+EQ\F(1,6)】＝3EQ\F(3,5)天提示：乙的效率是甲的EQ\F(2,3)1÷〔1÷12EQ\F(3,5)×EQ\F(3,3－1+3)〕＝21小時(shí)〔1〕需幾個(gè)周期EQ\F(1,2)÷〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,5)〕×3＝EQ\F(15,4)＞3〔2〕3個(gè)周期后剩下的水EQ\F(1,2)－〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,5)〕×3＝EQ\F(1,10)〔3〕需要的時(shí)間2×3+1+〔EQ\F(1,10)+EQ\F(1,5)〕÷EQ\F(1,3)＝7EQ\F(9,10)小時(shí)練3師傅：84÷〔7－4〕×7＝196個(gè)徒弟：84÷〔7－4〕×4＝112個(gè)2、提示：乙的效率是甲的〔1－EQ\F(2,5)〕＝EQ\F(3,5)1÷〔1÷2EQ\F(5,8)×EQ\F(3,5－2+5)〕＝7天3、3小時(shí)36分＝3EQ\F(3,5)小時(shí)師、徒效率和：1080÷3EQ\F(3,5)＝300個(gè)師傅每小時(shí)的個(gè)數(shù)：〔300+60〕÷2＝180個(gè)徒弟每小時(shí)的個(gè)數(shù)：〔300－60〕÷2＝120個(gè)練4提示：把6分鐘看作一個(gè)循環(huán)每循環(huán)一次的工作量〔EQ\F(1,24)+EQ\F(1,18)〕×〔1+2〕＝EQ\F(7,24)總工作量里面有幾個(gè)EQ\F(7,24)1÷EQ\F(7,24)＝3EQ\F(3,7)3個(gè)循環(huán)后剩下的工作量1－EQ\F(7,24)×3＝EQ\F(1,8)一共需要的時(shí)間6×3+1+〔EQ\F(1,8)－EQ\F(1,24)〕÷EQ\F(1,18)＝20EQ\F(1,2)分鐘提示：把6分鐘看作一個(gè)循環(huán)1個(gè)循環(huán)的工作量〔EQ\F(1,12)+EQ\F(1,15)〕×〔1+2〕＝EQ\F(9,20)總工作量里面有幾個(gè)EQ\F(9,20)1÷EQ\F(9,20)＝2EQ\F(2,9)3個(gè)循環(huán)后剩下的工作量1－EQ\F(9,20)×2＝EQ\F(1,10)一共需要的時(shí)間6×2+EQ\F(1,10)÷EQ\F(1,12)＝13EQ\F(1,5)小時(shí)說明：2個(gè)循環(huán)后，是由甲接著干2小時(shí)，所以直接用EQ\F(1,10)÷EQ\F(1,12)提示：把12天看作一個(gè)循環(huán)12天中甲的工作量EQ\F(1,50)×〔3+3+3〕＝EQ\F(9,50)12天中乙的工作量EQ\F(1,60)×〔5+5〕＝EQ\F(1,6)總共需要的天數(shù)EQ\F(52,75)÷〔EQ\F(9,50)+EQ\F(1,6)〕＝2〔12天減去最后休息的1天〕12×2－1＝23天完成全部任務(wù)的EQ\F(52,75)為3月24日。提示：把7天看作一個(gè)周期1÷〔EQ\F(2,3)×5+EQ\F(2,3)×6〕＝157×15－1＝104天練51、提示：按甲、乙、丙的順序輪流做，所用的整數(shù)天數(shù)為3的倍數(shù)余2，否那么與題意不符。由此推出丙的效率是甲的EQ\F(2,3)，丙的效率也是乙的EQ\F(3,4)。丙的工作效率EQ\F(1,7)×EQ\F(2,3)＝EQ\F(2,21)乙的工作效率EQ\F(2,21)÷EQ\F(3,4)＝EQ\F(8,63)甲、乙、丙三隊(duì)合做的天數(shù)1÷〔EQ\F(1,7)+EQ\F(2,21)+EQ\F(8,63)〕＝2EQ\F(17,23)天提示：按甲、乙、丙的順序輪流做，所用的整數(shù)天數(shù)為3的倍數(shù)余1，否那么與題意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的EQ\F(1,2)，乙的效率是甲的EQ\F(3,4)。丙的效率EQ\F(1,10)×EQ\F(1,2)＝EQ\F(1,20)乙的效率EQ\F(1,10)×〔1－EQ\F(1,2)×EQ\F(1,2)〕＝EQ\F(3,40)甲、乙、丙三隊(duì)合做的天數(shù)1÷〔EQ\F(1,10)+EQ\F(1,20)+EQ\F(3,40)〕＝4EQ\F(4,9)天由題意可以推出，丙的效率是甲的EQ\F(1,2)＝EQ\F(2,4)，丙的效率是乙的EQ\F(2,3)，進(jìn)而推出甲、乙、丙工作效率的比是4：3：2。1÷〔1÷13EQ\F(7,9)×EQ\F(4,4+3+2)〕＝31天提示：每四個(gè)水管輪流翻開后，水池中的水不能超過EQ\F(2,3)，否那么開甲管的過程中水池里的水就會溢出。水池里的水超過EQ\F(2,3)時(shí)需要幾個(gè)循環(huán)〔EQ\F(2,3)－EQ\F(1,6)〕÷〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)－EQ\F(1,6)〕＝EQ\F(30,7)＞4循環(huán)5次以后，池中水占EQ\F(1,6)+〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)－EQ\F(1,6)〕×5＝EQ\F(3,4)總共需要的時(shí)間4×5+〔1－EQ\F(3,4)〕÷EQ\F(1,3)＝20EQ\F(3,4)小時(shí)第二十四周比擬大小專題簡析：我們已經(jīng)掌握了根本的比擬整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)大小的方法。本周將進(jìn)一步研究如何比擬一些較復(fù)雜的數(shù)或式子的值的大小。解答這種類型的題目，需要將原題進(jìn)行各種形式的轉(zhuǎn)化，再利用一些不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理判斷。如：a＞b＞0，那么a的平方＞b的平方；如果a＞b＞0，那么EQ\F(1,a)＜EQ\F(1,b)；如果EQ\F(a,b)＞1，b＞0，那么a＞b等等。比擬大小時(shí)，如果要比擬的分?jǐn)?shù)都接近1時(shí)，可先用1減去原分?jǐn)?shù)，再根據(jù)被減數(shù)相等〔都是1〕，減數(shù)越小，差越大的道理判斷原分?jǐn)?shù)的大小。如果兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)接近，可以先用1分別除以這兩個(gè)數(shù)。再根據(jù)被除數(shù)相等，商越小，除數(shù)越大的道理判斷原數(shù)的大小。除了將比擬大小轉(zhuǎn)化為比差、比商等形式外，還常常要根據(jù)算式的特點(diǎn)將它作適當(dāng)?shù)淖冃魏笤龠M(jìn)行判斷。例1：比擬EQ\F(777773,777778)和EQ\F(888884,888889)的大小。這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母各不相同，不能直接比擬大小，使用通分的方法又太麻煩。由于這里的兩個(gè)分?jǐn)?shù)都接近1，所以我們可先用1分別減去以上分?jǐn)?shù)，再比擬所得差的大小，然后再判斷原來分?jǐn)?shù)的大小。因?yàn)?－EQ\F(777773,777778)=EQ\F(5,777778)，1－EQ\F(888884,888889)=EQ\F(5,888889)EQ\F(5,777778)＞EQ\F(5,888889)所以EQ\F(777773,777778)＜EQ\F(888884,888889)。練習(xí)1：比擬EQ\F(7777775,7777777)和EQ\F(6666661,6666663)的大小。將EQ\F(98765,98766)，EQ\F(9876,9877)，EQ\F(987,988)，EQ\F(98,99)按從小到大的順序排列出來。比擬EQ\F(235861,235862)和EQ\F(652971,652974)的大小。例2：比擬EQ\F(111,1111)和EQ\F(1111,11111)哪個(gè)分?jǐn)?shù)大？可以先用1分別除以這兩個(gè)分?jǐn)?shù)，再比擬所得商的大小，最后判斷原分?jǐn)?shù)的大小。因?yàn)?÷EQ\F(111,1111)＝EQ\F(1111,111)＝10EQ\F(1,111)1÷EQ\F(1111,11111)＝EQ\F(11111,1111)＝10EQ\F(1,1111)10EQ\F(1,111)＞10EQ\F(1,1111)所以EQ\F(111,1111)＜EQ\F(1111,11111)練習(xí)2：1、比擬A＝EQ\F(333,1666)和B＝EQ\F(33,166)的大小2、比擬EQ\F(111111110,222222221)和EQ\F(444444443,888888887)的大小3、比擬EQ\F(8888887,8888889)和EQ\F(9999991,9999994)的大小。例3：比擬EQ\F(12345,98761)和EQ\F(12346,98765)的大小。兩個(gè)分?jǐn)?shù)中的分子與分子、分母與分母都較為接近，可以根據(jù)通分的原理，用交叉相乘法比擬分?jǐn)?shù)的大小。因?yàn)?2345×98765＝12345×98761+12345×4＝12345×98761+4938012346×98761＝12345×98761+98760而98761＞49380所以12346×98761＞12345×98765那么EQ\F(12345,98761)＜EQ\F(12346,98765)練習(xí)3比擬EQ\F(176,257)和EQ\F(177,259)的大小。如果A＝EQ\F(22221,33332)，B＝EQ\F(44443,66665)，那么A與B中較大的數(shù)是_______.試比擬EQ\F(1234567,9876543)與EQ\F(12345671,98765431)的大小。例4．A×15×1EQ\F(1,99)＝B×EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15＝C×15.2÷EQ\F(4,5)＝D×14.8×EQ\F(73,74)。A、B、C、D四個(gè)數(shù)中最大的是_______.求A、B、C、D四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，就要找15×1EQ\F(1,99)，EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15，15.2÷EQ\F(4,5)，14.8×EQ\F(73,74)中最小的。15×1EQ\F(1,99)＞1515.2÷EQ\F(4,5)＞15EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15＝13EQ\F(1,3)14.8×EQ\F(73,74)＝14.6答：因?yàn)镋Q\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15的積最小，所以B最大。練習(xí)41、A×1EQ\F(2,3)＝B×90％＝C÷75％＝D×EQ\F(4,5)＝E÷1EQ\F(1,5)。把A、B、C、D、E這5個(gè)數(shù)從小到大排列，第二個(gè)數(shù)是______.2、有八個(gè)數(shù)，0.EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),5)EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),1)，EQ\F(2,3)，EQ\F(5,9)，0.5EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),1)，EQ\F(24,47)，EQ\F(13,25)是其中的六個(gè)數(shù)，如果從小到大排列時(shí)，第四個(gè)數(shù)是0.5111…，那么從大到小排列時(shí)，第四個(gè)數(shù)是哪個(gè)？3、在下面四個(gè)算式中，最大的得數(shù)是幾？〔1〕〔EQ\F(1,17)+EQ\F(1,19)〕×20〔2〕〔EQ\F(1,24)+EQ\F(1,29)〕×30〔3〕〔EQ\F(1,31)+EQ\F(1,37)〕×40〔4〕〔EQ\F(1,41)+EQ\F(1,47)〕×50例5．圖24－1中有兩個(gè)紅色的正方形，兩個(gè)藍(lán)色的正方形，它們的面積已在圖中標(biāo)出〔單位：平方厘米〕。問：紅色的兩個(gè)正方形面積大還是藍(lán)色的兩個(gè)正方形面積大？199619962199219922紅藍(lán)199719972199319932紅藍(lán)通過計(jì)算結(jié)果再比擬大小自然是可以，但比擬麻煩。我們可以采取間接比擬的方法。19972－19972＝〔1997+1966〕×〔1997－1996〕＝399319932－19922＝〔1993+1992〕×〔1993－1992〕＝3985〔〕因?yàn)?9972－19972＞19932－19922所以19972+19972＞19932+19922練習(xí)5如圖24－2所示，有兩個(gè)紅色的圓和兩個(gè)藍(lán)色的圓。紅色的兩圓的直徑分別是1992厘米和1949厘米，藍(lán)色的兩圓的直徑分別是1990厘米和1951厘米。問：紅色的兩圓面積之和大，還是藍(lán)色的兩圓面積之和大？如圖24－3所示，正方形被一條曲線分成了A、B兩局部，如果x＞y，是比擬A、B兩局部周長的大小。問EQ\F(1,2)×EQ\F(3,4)×EQ\F(5,6)×EQ\F(7,8)×…×EQ\F(99,100)與EQ\F(1,10)相比，哪個(gè)更大？為什么？AB藍(lán)AB藍(lán)紅x紅紅藍(lán)Y藍(lán)圖24－2圖24－3答案：練11、EQ\F(7777775,7777777)＞EQ\F(6666661,6666663)2、EQ\F(98,99)＜EQ\F(987,988)＜EQ\F(9876,9877)＜EQ\F(98765,98766)3、EQ\F(235861,235862)＞EQ\F(652971,652974)練21、EQ\F(333,1666)＞EQ\F(33,166)2、EQ\F(111111110,222222221)＜EQ\F(444444443,888888887)3、EQ\F(8888887,8888889)＞EQ\F(9999991,9999994)練31、EQ\F(176,257)＞EQ\F(177,259)2、EQ\F(22221,33332)＜EQ\F(44443,66665)3、EQ\F(1234567,9876543)＜EQ\F(12345671,98765431)練41、C六個(gè)的數(shù)的大到小排列是EQ\F(2,3)＞EQ\F(5,9)＞EQ\F(13,25)＞0.EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),5)EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),1)＞0.5EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),1)＞EQ\F(24,47)，因?yàn)?.5EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),1)是八個(gè)數(shù)從小到大排列的第四個(gè)，說明另外兩個(gè)數(shù)一定比0.5EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),1)小，所以這八個(gè)數(shù)中第四個(gè)大的數(shù)是0.EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),5)EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(●),1)?！?〕的積最大練5紅色兩圓的面積大B的周長大。EQ\F(1,2)×EQ\F(3,4)×EQ\F(5,6)×EQ\F(7,8)×…×EQ\F(99,100)＜EQ\F(1,10)。第二十五周最大最小問題專題簡析：人們碰到的各種優(yōu)化問題、高效低耗問題，最終都表現(xiàn)為數(shù)學(xué)上的極值問題，即小學(xué)階段的最大最小問題。最大最小問題設(shè)計(jì)到的知識多，靈活性強(qiáng)，解題時(shí)要善于綜合運(yùn)用所學(xué)的各種知識。例1：a和b是小于100的兩個(gè)不同的自然數(shù)，求EQ\F(a－b,a+b)的最大值。根據(jù)題意，應(yīng)使分子盡可能大，使分母盡可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是說，所有的分?jǐn)?shù)再添兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位就等于1，可見應(yīng)使所求分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位盡可能小，因此a=99EQ\F(a－b,a+b)的最大值是EQ\F(99－1,99+1)=EQ\F(49,50)答：EQ\F(a－b,a+b)的最大值是EQ\F(49,50)。練習(xí)1：設(shè)x和y是選自前100個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)，求EQ\F(x－y,x+y)的最大值。a和b是小于50的兩個(gè)不同的自然數(shù)，且a＞b，求EQ\F(a－b,a+b)的最小值。設(shè)x和y是選自前200個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)，且x＞y，①求EQ\F(x+y,x－y)的最大值；②求EQ\F(x+y,x－y)的最小值。例2：有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù)EQ\F(2,7)等于乙數(shù)的EQ\F(2,3)。這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？甲數(shù)：乙數(shù)=EQ\F(2,3)：EQ\F(2,7)=7：3，甲數(shù)的7份，乙數(shù)的3份。由甲是兩位數(shù)可知，每份的數(shù)量最大是14，甲數(shù)與乙數(shù)相差4份，所以，甲、乙兩數(shù)的差是14×〔7-3〕=56答：這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是56。練習(xí)2：有甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，甲數(shù)的EQ\F(3,10)等于乙數(shù)的EQ\F(4,5)。這兩個(gè)兩位數(shù)的差最多是多少？甲、乙兩數(shù)都是三位數(shù)，如果甲數(shù)的EQ\F(5,6)恰好等于乙數(shù)的EQ\F(1,4)。這兩個(gè)兩位數(shù)的和最小是多少？加工某種機(jī)器零件要三道工序，專做第一、二、三道工序的工人每小時(shí)分別能做48個(gè)、32個(gè)、28個(gè)，要使每天三道工序完成的個(gè)數(shù)相同，至少要安排多少工人？例3：如果兩個(gè)四位數(shù)的差等于8921，就是說這兩個(gè)四位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對。問：這樣的數(shù)對共有多少個(gè)？在這些數(shù)對中，被減數(shù)最大是9999，此時(shí)減數(shù)是9999－8921＝1078，被減數(shù)和劍術(shù)同時(shí)減去1后，又得到一個(gè)滿足題意條件的四位數(shù)對。為了保證減數(shù)是四位數(shù)，最多可以減去78，因此，這樣的數(shù)對共有78+1＝79個(gè)。答：這樣的數(shù)對共有79個(gè)。練習(xí)3兩個(gè)四位數(shù)的差是8921。這兩個(gè)四位數(shù)的和的最大值是多少？如果兩個(gè)三位數(shù)的和是525，就說這兩個(gè)三位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對。那么這樣的數(shù)對共有多少個(gè)？組成這樣的數(shù)對的兩個(gè)數(shù)的差最小是多少？最大是多少？如果兩個(gè)四位數(shù)的差是3456，就說這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)對。那么，這樣的數(shù)對共有多少個(gè)？組成這樣的數(shù)對的兩個(gè)數(shù)的和最大是多少？最小是多少？例4．三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，后面兩個(gè)數(shù)的積與前面兩個(gè)數(shù)的積之差是114。這三個(gè)數(shù)中最小的是多少？因?yàn)椋鹤畲髷?shù)×中間數(shù)－最小數(shù)×中間數(shù)＝114，即：〔最大數(shù)－最小數(shù)〕×中間數(shù)＝114而三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最大數(shù)－最小數(shù)＝2，因此，中間數(shù)是114÷2＝57，最小數(shù)是57－1＝56答：最小數(shù)是56。練習(xí)4桑連續(xù)的奇數(shù)，后兩個(gè)數(shù)的積與前兩個(gè)數(shù)的積之差是252。三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是______.a、b、c是從小到大排列的三個(gè)數(shù)，且a－b＝b－c，前兩個(gè)數(shù)的積與后兩個(gè)數(shù)的積之差是280。如果b＝35，那么c是_____。被分?jǐn)?shù)EQ\F(6,7)，EQ\F(5,14)，EQ\F(10,21)除得的結(jié)果都是整數(shù)的最小分?jǐn)?shù)是______。例5．三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)三位數(shù)的和是2886。求所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中的最小的三位數(shù)。因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)字分別在百位、十位、個(gè)位各出現(xiàn)了2次。所以，2886÷222能得到三個(gè)數(shù)字的和。設(shè)三個(gè)數(shù)字為a、b、c，那么6個(gè)不同的三位數(shù)的和為abc+acb+bac+bca+cab+cba＝〔a+b+c〕×100×2+〔a+b+c〕×100×2+〔a+b+c〕×100×2＝〔a+b+c〕×222＝2886即a+b+c＝2886÷222＝13答：所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中，最小的三位數(shù)是139。練習(xí)5有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)不同的三位數(shù)的和是3108。所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最大的一個(gè)是多少？有三個(gè)數(shù)字能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)不同的三位數(shù)的和是2220。所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最小的一個(gè)是多少？用a、b、c能組成6個(gè)不同的三位數(shù)。這6個(gè)三位數(shù)相加的和是2886。a、b、c三個(gè)數(shù)字中，最大的數(shù)字是最小數(shù)字的2倍，這6個(gè)三位數(shù)中最小的數(shù)是多少？答案：練11、EQ\F(99,101)2、EQ\F(1,97)3、〔1〕399〔2〕EQ\F(201,199)練21、甲、乙兩數(shù)的比是8：3，甲數(shù)最大是96，差最大是60。2、甲、乙兩數(shù)的比是3：10，甲數(shù)最小是102，和最小是442。3、一、二、三道工序所需的工人數(shù)的比是EQ\F(1,48)：EQ\F(1,32)：EQ\F(1,28)＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59個(gè)工人。練39999+〔9999－8921〕＝11077較小的數(shù)最大是〔521－1〕÷2＝262，100～262共有163個(gè)自然數(shù),所以共有163對,兩個(gè)數(shù)的差最大是525－100－100＝325數(shù)對共有9999－3456－1000+1＝5544個(gè)，兩個(gè)數(shù)的和最大是9999－3456+9999＝16542，兩個(gè)數(shù)的和最小是1000+3456+1000＝5456練41、最大數(shù)－最小數(shù)＝4中間數(shù)＝252÷4＝63最小數(shù)＝63－2＝612、根據(jù)題意可得〔a－c〕×b＝280，進(jìn)而可以推出a－c＝280÷b＝280÷35＝8，所以，c＝35－8÷2＝313、所求的分?jǐn)?shù)，它的分子是6，5，10的最小公倍數(shù)，分母是7，14，21的最大公約數(shù)，所以答案是EQ\F(30,7)。練5符合題意的三個(gè)數(shù)字之和是3108÷222＝14，因此，所有這樣的6個(gè)三位數(shù)中最大的一個(gè)是941〔三個(gè)數(shù)字不能有0，否那么就不能排出6個(gè)不同的三位數(shù)〕。三個(gè)數(shù)字的和是2220÷222＝10，最小的一個(gè)是127。最小的數(shù)是346。第二十六周乘法和加法原理專題簡析：在做一件事情時(shí)，要分幾步完成，而在完成每一步時(shí)又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有多少種方法，就用乘法原理來解決。做一件事時(shí)有幾類不同的方法，而每一類方法中又有幾種可能的做法就用加法原理來解決。例題1：由數(shù)字0，1，2，3組成三位數(shù)，問：①可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？②可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？在確定組成三位數(shù)的過程中，應(yīng)該一位一位地去確定，所以每個(gè)問題都可以分三個(gè)步驟來完成。①要求組成不相等的三位數(shù)，所以數(shù)字可以重復(fù)使用。百位上不能取0，故有3種不同的取法：十位上有4種取法，個(gè)位上也有4種取法，由乘法原理共可組成3×4×4=48個(gè)不相等的三位數(shù)。②要求組成的三位數(shù)沒有重復(fù)數(shù)字，百位上不能取0，有三種不同的取法，十位上有三種不同的取法，個(gè)位上有兩種不同的取法，由乘法原理共可組成3×3×2=18個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。練習(xí)1：1、有數(shù)字1，2，3，4，5，6共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？2、在自然數(shù)中，用兩位數(shù)做被減數(shù)，一位數(shù)做減數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的減法算式？3、由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，可組成多少個(gè)：①三位數(shù)；②三位偶數(shù)；③沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；④百位是8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；⑤百位是8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)。例題2：有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6。將兩個(gè)正方體放在桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，就需要這兩個(gè)數(shù)字的奇、偶性相同，即兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)或偶數(shù)。所以，需要分兩大類來考慮：兩個(gè)正方體向上一面同為奇數(shù)的共有3×3=9〔種〕不同的情形；兩個(gè)正方體向上一面同為偶數(shù)的共有3×3=9〔種〕不同的情形；兩個(gè)正方體向上一面同為偶數(shù)的共有3×3+3×3=18〔種〕不同的情形。練習(xí)2：1、在1—1000的自然數(shù)中，一共有多少個(gè)數(shù)字1？2、在1—500的自然數(shù)中，不含數(shù)字0和1的數(shù)有多少個(gè)？3、十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖，問最多試開多少次，就能把鎖和鑰匙配起來？4、由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？例題3：書架上層有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層有5本不同的語文書，假設(shè)任意從書架上取一本數(shù)學(xué)書和一本語文書，有多少種不同的取法？從書架上任取一本數(shù)學(xué)書和一本語文書，可分兩個(gè)步驟完成，第一步先取數(shù)學(xué)書，有6種不同的方法，而這6種的每一種取出后，第二步再取語文書，又有5種不同的取法，這樣共有6個(gè)5種取法，應(yīng)用乘法計(jì)算6×5=30〔種〕，有30種不同的取法。練習(xí)3：1、商店里有5種不同的兒童上衣，4種不同的裙子，媽媽準(zhǔn)備為女兒買上衣一件和裙子一條組成一套，共有多少種不同的選法？2、小明家到學(xué)校共有5條路可走，從學(xué)校到少年宮共有3條路可走。小明從家出發(fā)，經(jīng)過學(xué)校然后到少年宮，共有多少種不同的走法？3、張師傅到食堂吃飯，主食有2種，副食有6種，主、副食各選一種，他有幾種不同的選法？例題4：在2，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)字中，選出四個(gè)數(shù)字，組成被3除余2的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？從五個(gè)數(shù)字中選出四個(gè)數(shù)字，即五個(gè)數(shù)字中要去掉一個(gè)數(shù)字，由于原來五個(gè)數(shù)字相加的和除以3余2，所以去掉的數(shù)字只能是3或9。去掉的數(shù)字為3時(shí)，即選2，5，7，9四個(gè)數(shù)字，能排出4×3×2×1=24〔個(gè)〕符合要求的數(shù)，去掉的數(shù)字為9時(shí)也能排出24個(gè)符合要求得數(shù)，因此這樣的四位數(shù)一共有24+24=48〔個(gè)〕練習(xí)4：1、在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中，選出四個(gè)數(shù)字組成被3除余2的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？2、在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中，選出四個(gè)數(shù)字組成能被3整除的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？3、在1，4，5，6，7這五個(gè)數(shù)字中，選出四個(gè)數(shù)字組成被3除余1的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有多少個(gè)？例題5：從學(xué)校到少年宮有4條東西的馬路和3條南北的馬路相通〔如圖〕，小明從學(xué)校出發(fā)到少年宮〔只許向東或向南行進(jìn)〕，最后有多少種走法？為了方便解答，把圖中各點(diǎn)用字母表示如圖。根據(jù)小明步行規(guī)那么，顯然可知由A到T通過AC邊上的各點(diǎn)和AN邊上的各點(diǎn)只有一條路線，通過E點(diǎn)有兩條路線〔即從B點(diǎn)、D點(diǎn)來各一條路線〕，通過H點(diǎn)有3條路線〔即從E點(diǎn)來有二條路線，從G點(diǎn)來有一條路線〕，這樣推斷可知通過任何一個(gè)交叉點(diǎn)的路線總數(shù)等于通過該點(diǎn)左邊、上方的兩鄰接交叉點(diǎn)的路線的總和，因此，可求得通過S點(diǎn)有4條路線，通過F點(diǎn)有3條路線……由此可見，由A點(diǎn)通過T點(diǎn)有10條不同的路線，所以小明從學(xué)校到少年宮最多有10種走法。練習(xí)5：1、從學(xué)校到圖書館有5條東西的馬路和5條南北的馬路相通〔如圖〕。李菊從學(xué)校出發(fā)步行到圖書館〔只許向東或向南行進(jìn)〕，最多有多少種走法？2、某區(qū)的街道非常整齊〔如圖〕，從西南角A處走到東北角B處，要求走最近的路，一共有多少種不同的走法？3、如圖有6個(gè)點(diǎn)，9條線段，一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，要沿著某幾條線段爬到F點(diǎn)。行進(jìn)中，同一個(gè)點(diǎn)或同一條線段只能經(jīng)過一次，這只小蟲最多有多少種不同的走法？答案：練13×5×4×3＝180個(gè)90×9＝810個(gè)8×8×8＝512個(gè)4×8×8＝256個(gè)4×7×6＝168個(gè)1×7×6＝42個(gè)1×3×6＝18個(gè)練29180+3＝192個(gè)8+8×8+3×8×8＝264個(gè)9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45次練31、24個(gè)2、42個(gè)3、48個(gè)48個(gè)練41、48個(gè)2、24個(gè)3、72個(gè)練51、12個(gè)2、18個(gè)3、30個(gè)12個(gè)第27周外表積與體積〔一〕專題簡析：小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立體圖形是認(rèn)識上的一個(gè)飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形〞結(jié)合的好習(xí)慣，解題時(shí)要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計(jì)算。在解答立體圖形的外表積問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：〔1〕充分利用正方體六個(gè)面的面積都相等，每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)?！?〕把一個(gè)立體圖形切成兩局部，新增加的外表積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個(gè)立體圖形粘合到一起，減少的外表積等于粘合面積的兩倍。〔3〕假設(shè)把幾個(gè)長方體拼成一個(gè)外表積最大的長方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。假設(shè)把幾個(gè)長方體拼成一個(gè)外表積最小的長方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。例題1：從一個(gè)棱長10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下局部的外表積是多少？這是一道開放題，方法有多種：①按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下局部的外表積為592平方厘米。②按圖27-2所示，在某個(gè)面挖，剩下局部的外表積為632平方厘米。③按圖27-3所示，挖通某兩個(gè)對面，剩下局部的外表積為672平方厘米。練習(xí)1：1、從一個(gè)長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊上挖去一個(gè)棱長2厘米的小正方體，剩下局部的外表積是多少？2、把一個(gè)長為12分米，寬為6分米，高為9分米的長方體木塊鋸成兩個(gè)想同的小廠房體木塊，這兩個(gè)小長方體的外表積之和，比原來長方體的外表積增加了多少平方分米？3、在一個(gè)棱長是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長是1厘米的小正方體后，外表積會發(fā)生怎樣的變化？例題2：把19個(gè)棱長為3厘米的正方體重疊起來，如圖27-4所示，拼成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)立體圖形的外表積。要求這個(gè)復(fù)雜形體的外表積，必須從整體入手，從上、左、前三個(gè)方向觀察，每個(gè)方向上的小正方體各面就組合成了如以下圖形〔如圖27-5所示〕。而從另外三個(gè)方向上看到的面積與以上三個(gè)方向的面積是相等的。整個(gè)立體圖形的外表積可采用〔S上+S左+S前〕×2來計(jì)算?！?×3×9+3×3×8+3×3×10〕×2=〔81+72+90〕×2=243×2=486〔平方厘米〕答：這個(gè)立體圖形的外表積是486平方厘米。練習(xí)2：1、用棱長是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個(gè)立體圖形的外表積。2、一堆積木〔如圖27-7所示〕，是由16塊棱長是2厘米的小正方體堆成的。它們的外表積是多少平方厘米？3、一個(gè)正方體的外表積是384平方厘米，把這個(gè)正方體平均分割成64個(gè)相等的小正方體。每個(gè)小正方體的外表積是多少平方厘米？例題3：把兩個(gè)長、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長方體，拼成一個(gè)大長方體，這個(gè)大長方體的外表積最少是多少平方厘米？把兩個(gè)相同的大長方體拼成一個(gè)大廠房體，需要把兩個(gè)相同面拼合，所得大廠房體的外表積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長方體的外表積最小，就必須使兩個(gè)拼合面的面積最大，即減少兩個(gè)9×7的面。〔9×9+9×4+7×4〕×2×2—9×7×2=〔63+36+28〕×4—126=508—126=382〔平方厘米〕答：這個(gè)大廠房體的外表積最少是382平方厘米。練習(xí)3：1、把底面積為20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長方體，長方體的外表積是多少？2、將一個(gè)外表積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長方體，再將這兩個(gè)長方體拼成一個(gè)大長方體。求大長方體的外表積是多少。3、用6塊〔如圖27-8所示〕長方體木塊拼成一個(gè)大長方體，有許多種做法，其中外表積最小的是多少平方厘米？例題4：一個(gè)長方體，如果長增加2厘米，那么體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，那么體積增加90立方厘米；如果高增加4厘米，那么體積增加96立方里，求原長方體的外表積。我們知道：體積=長×寬×高；由長增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬×高=40÷2=20〔平方厘米〕；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長×高=90÷3=30〔平方厘米〕；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長×寬=96÷4=24〔平方厘米〕。而長方體的外表積=〔長×寬+長×高+寬×高〕×2=〔20+30+24〕×2=148〔平方厘米〕。即40÷2=20〔平方厘米〕90÷3=30〔平方厘米〕96÷4=24〔平方厘米〕〔30+20+24〕×2=74×2=148〔平方厘米〕答：原長方體的外表積是148平方厘米。練習(xí)4：1、一個(gè)長方體，如果長減少2厘米，那么體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米，那么體積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，那么體積增加96立方厘米。原來廠房體的外表積是多少平方厘米？2、一個(gè)廠房體木塊，從下部和上局部別截去高為3厘米和2厘米的長方體后，便成為一個(gè)正方體，其外表積減少了120平方厘米。原來廠房體的體積是多少立方厘米？3、有一個(gè)廠房體如以下圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長方體的體積是多少？例題5：如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的外表積。如果分別求出三個(gè)圓柱的外表積，再減去重疊局部的面積，這樣計(jì)算比擬麻煩。實(shí)際上三個(gè)向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個(gè)底面積。這樣，這個(gè)物體的外表積就等于一個(gè)大圓柱的外表積加上中、小圓柱的側(cè)面積。3.14×1.5×1.5×2+2×3.14×1.5×1+2×3.14×1×1+2×3.14×0.5×1=3.14×〔4.5+3+2+1〕=3.14×10.5=32.97〔平方米〕答：這個(gè)物體的外表積是32.97平方米。練習(xí)5：1、一個(gè)棱長為40厘米的正方體零件〔如圖27-11所示〕的上、下兩個(gè)面上，各有一個(gè)直徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個(gè)零件的外表積。2、用鐵皮做一個(gè)如圖27-12所示的工件〔單位：厘米〕，需用鐵皮多少平方厘米？3、如圖27-13所示，在一個(gè)立方體的兩對側(cè)面的中心各打通一個(gè)長方體的洞，在上、下側(cè)面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。立方體棱長為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長為4厘米的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的外表積和體積〔∏取3.14〕。答案：練1切下一塊后，切口處的外表減少了前、后、上面3個(gè)1×1的正方形，新增加了左右下面三個(gè)1×1的正方形，所以外表積大小不變。4×4×6－