結(jié)構(gòu)動力學(xué)DynamicsofStructures武蘭河Chapter6FiniteElementMethod§6-1

有限元法的基本概念§6-3梁的彎曲振動§6-2桿的縱向振動§6.1有限元法的根本概念有限元法(Thefiniteelementmethod)是20世紀(jì)五六十年代開展起來的一種數(shù)值近似方法，最初用于求解飛機(jī)的應(yīng)力問題特點:兼有集中質(zhì)量法和假設(shè)模態(tài)法的優(yōu)點方法:將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分割為有限個單元(element)，單元的端點稱為節(jié)點(node)，將節(jié)點的位移作為廣義坐標(biāo)，并將單元的質(zhì)量和剛度集中到節(jié)點上每個單元作為彈性體，單元內(nèi)各點的位移用節(jié)點位移的插值函數(shù)來表示，這種插值函數(shù)實際就是單元的假設(shè)模態(tài)二.有限元法的主要特點1.以簡單逼近復(fù)雜2.采用矩陣表達(dá)，便于編制計算機(jī)程序3.比較容易處理邊界條件，可解決復(fù)雜域問題4.適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用范圍廣泛一.有限元法的根本步驟1.求解區(qū)域離散化2.選擇插值函數(shù)3.分析單元的力學(xué)特性〔建立單元的動力學(xué)方程〕4.集合各單元的平衡方程，建立結(jié)構(gòu)的平衡方程5.求解結(jié)構(gòu)的平衡方程§6.2桿的縱向振動一.結(jié)構(gòu)的離散化將桿件劃分為多個單元取出其中一個長度為l的單元設(shè)單元兩端的節(jié)點位移為和用一個向量表示相應(yīng)的兩端桿端力向量為與多自由度系統(tǒng)類似，該單元的運動方程可以寫成二.位移插值該單元內(nèi)x點處的位移表示為稱為形函數(shù)(插值函數(shù)〕通常取一個節(jié)點坐標(biāo)有單位位移而其余節(jié)點位移為零時單元的靜變形函數(shù)為形函數(shù)單元的假設(shè)模態(tài)顯然有代入式構(gòu)成單元內(nèi)部連續(xù)的位移場寫成矩陣形式其中形函數(shù)矩陣

單元位移列矩陣

三.單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣因為軸力單元只有軸向變形，其微段的勢能為積分可以得到該單元的勢能將位移插值代入此式，整理后得到其中單元剛度矩陣單元剛度矩陣的各元素為假設(shè)單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),那么有類似地，單元微段的動能為積分可以得到該單元的動能單元質(zhì)量矩陣將位移插值代入此式，整理后得到其中單元剛度矩陣的各元素為假設(shè)單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),那么有顯然，單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣均是對稱的設(shè)單元上作用有分布力計算其對虛位移的虛功與節(jié)點位移相對應(yīng)的單元廣義力向量若單元上作用有分布力為常數(shù)那么等效結(jié)點力為如此可將單元上的力等效轉(zhuǎn)化到結(jié)點上四.單元動力平衡方程的建立由Lagrange方程，可以建立單元的動力平衡方程五.系統(tǒng)的動力平衡方程以圖所示的變截面桿的縱向振動為例來說明綜合的一般規(guī)律將桿劃分為三個單元各單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為各單元的節(jié)點位移為組合為全部節(jié)點的位移列陣各節(jié)點位移之間有以下的約束關(guān)系因此6個位移分量只有3個是獨立的定義以下的獨立廣義結(jié)點位移并令結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移列陣那么單元的節(jié)點位移與結(jié)構(gòu)節(jié)點位移有如下關(guān)系其中計算整個系統(tǒng)的動能其中整個系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣也可以直接由單元質(zhì)量矩陣組集而成做法:將各單元質(zhì)量矩陣的各元素按照的下標(biāo)編號,放入與編號相對應(yīng)的行和列然后將各個位置的元素相疊加即得到矩陣對號入座得到類似地,整個系統(tǒng)的勢能其中整個系統(tǒng)的剛度矩陣系統(tǒng)的剛度矩陣也可以直接由單元剛度矩陣組集而成當(dāng)桿上有常值力f作用時各單元的等效結(jié)點力為將3個桿單元的廣義力組合為系統(tǒng)的廣義力F作用力的總虛功為與廣義位移q對應(yīng)的廣義力列陣實際計算時,也可以由對號入座的方法,將各單元的結(jié)點力列陣元素按總體編碼組集而得將整個系統(tǒng)的動能、勢能和虛功代入拉格郎日方程，得系統(tǒng)的動力學(xué)方程以上對桿的縱向振動的計算方法也完全適用于軸的扭轉(zhuǎn)振動等同一類型的振動。對于梁的彎曲振動，步驟完全相同，只是插值函數(shù)不同，未節(jié)點位移數(shù)目不同而已，有興趣的同學(xué)請參照課本自學(xué)，由于學(xué)時關(guān)系，這里就不講了得到動力平衡方程之后，其他求解過程不須詳述§6.3梁的彎曲振動一.結(jié)構(gòu)的離散化將梁劃分為多個單元取出其中一個長度為l的單元設(shè)單元兩端的節(jié)點位移為用一個向量表示相應(yīng)的桿端力向量為其中節(jié)點的橫向位移節(jié)點的截面轉(zhuǎn)角

二.位移插值該單元內(nèi)x點處的位移表示為稱為單元的形函數(shù)(插值函數(shù)〕單元的假設(shè)模態(tài)通常取一個節(jié)點坐標(biāo)有單位位移而其余節(jié)點位移為零時單元的靜變形函數(shù)為形函數(shù)單元形函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件：滿足此邊界條件的形函數(shù)為：各形函數(shù)曲線如以下圖：1xxxx代入式寫成矩陣形式得其中形函數(shù)矩陣

單元位移列矩陣

三.單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣因為只考慮彎曲變形，其微段的勢能為積分可以得到該單元的勢能將位移插值代入此式，整理后得到其中單元剛度矩陣單元剛度矩陣的各元素為假設(shè)單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),那么有類似地，單元微段的動能為積分可以得到該單元的動能單元質(zhì)量矩陣將位移插值代入此式，整理后得到其中單元剛度矩陣的各元素為假設(shè)單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),那么有設(shè)單元上作用有橫向分布力計算其對虛位移的虛功與節(jié)點位移相對應(yīng)的單元廣義力向量四.單元動力平衡方程的建立若單元上作用有分布力為常數(shù)那么等效結(jié)點力為如此可將單元上的力等效轉(zhuǎn)化到結(jié)點上由Lagrange方程，可以建立單元的動力平衡方程五系統(tǒng)的動力平衡方程與桿的縱向振動類似，我們也可以組集得到整個結(jié)構(gòu)的動力學(xué)平衡方程。這里我們只用直接剛度法，將各單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣按照單元的定位向量“對號入座〞，形成結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，并得到結(jié)構(gòu)的動力方程。下面以圖示變截面懸臂梁為例來說明將梁劃分為