河北省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（二）

（理科）

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共60分）

1.垂直于同一條直線的兩條直線一定（）

A.平行B.相交C.異面D.以上都有可能

2.若直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,2）,B（4,2+V3）,則直線I的傾斜角是（）

A.30°B.45℃.60°D.90°

3.已知a=（2,4,5），b=（3,x,y），右a〃b，則（）

15is

A.x=6,y=15B.x=3,丫=苛C.x=3,y=15D.x=6,

4.已知：=（-3,2,5）,E=（l，x,-1）,且*E=2,則x的值是（）

A.6B.5C.4D.3

5.設(shè)向量G，E,1是空間一個(gè)基底，則一定可以與向量

p=a+b?構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是（）

A.aB.bC.cD.a或b

6.已知向量￡（0,2,1）,b=（-1.1,-2）,則；與E的夾角為（）

A.0°B.45℃.90°D.180°

7.設(shè)豕=（1,1,-2）,0B=（3,2,8）,0C=（0，1，0）,則線段

AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為（）

A.隼B.隼C.零D.乎

2244

8.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表

面積是（)

9.如圖，ABCD-AiBiGDi為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

B.ACilBD

C.AJJ_平面CBiDi

D.異面直線AD與CBi所成的角為60°

10.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=2,AAi=l,則BCi

與平面BB1D1D所成角的正弦值為（）

11.點(diǎn)E,F,G,H分別為空間四邊形ABCD中AB,BC,CD,AD的

中點(diǎn)，若AC=BD,且AC與BD成90。，則四邊形EFGH是（）

A.菱形B.梯形C.正方形D.空間四邊形

12.在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A(-2,3),B(3,-2),沿x軸把

直角坐標(biāo)平面折成大小為e的二面角后，這時(shí)|AB|二2JIL則e的大

小為()

A.120°B.60℃.30°D.45°

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.直線Ii，l2,若k的傾斜角為30。，則L的傾斜角為.

14.已知A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),則平面

ABC的法向量的坐標(biāo)為.

15.如圖，若正方體ABCD-AiBiJDi的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)C到平面AiBD

的距離為—.

G

C

16.已知點(diǎn)G是AABC的重心，。是空間任一點(diǎn)，若瓦+瓦+僅=人而,

則實(shí)數(shù)入=.

三、解答題(共70分)

17.如圖：ABCD為矩形，PA,平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,M、N

分別是PC、AB中點(diǎn)，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系證明：MNJ_平面PCD.

18.如圖，ABCD是正方形，。是正方形的中心，PO_L底面ABCD,E

是PC的中點(diǎn).求證：

(1)PA〃平面BDE；

(2)BD_L平面PAC.

19.如圖四棱錐S-ABCD中，SD±AD,SD±CD,E是SC的中點(diǎn)，0

是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=6.

(1)求異面直線E0與BC所成的角.

(2)求點(diǎn)E到平面SAB距離.

20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD_L平面ABCD,PD=DC=BC=1,

AB=2,AB〃DC,ZBCD=90°.

(1)求PB和平面PAD所成角的正弦值.

(2)求面PAD和面PBC所成二面角的大小.

21.已知：正四面體ABCD(所有棱長(zhǎng)均相等)的棱長(zhǎng)為1,E、F、G、

H分別是四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，設(shè)：AB=a,AC=b,箴另，試采

用向量法解決下列問(wèn)題

(1)求而的模長(zhǎng);

(2)求而，而的夾角.

22.如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形，PA,平面ABCD,

ZABC=60°,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).

(I)證明：AE±PD；

(II)若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為除,

求二面角E-AF-C的余弦值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.D2.A.3,D4.B5.C.6.C7.B.8D.9.DIO.D.

11.C.12.A.

二、填空題

13.答案為：120°.

14.答案為：（1,1,1）.

15.答案為

16.答案為：3

三、解答題

17.證明：根據(jù)題意，分別以AB、AD、AP為X、V、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系0-xyz,

如圖所示；

貝IJ0(0,0,0),N(1,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),

P(0,0,1),M(1,py);

NM=(?！?I")，

CD=(-2,0,0),

PD=(。，1，-1),

MeCD=OX(-2)+-^XO+-1-XO=O,M±CD，

Mi*PD=OXO+-1xi+yX(-1)=0,ANMIPD，

即MN_LCD,MN1PD,且PDGCD=D,

又PDc平面PCD,CDc平面PCD,

，MN_L平面PCD.

18.證明（1）連接OE,

在4CAP中,CO=OA,CE=EP,

.?.PA〃EO,

又?.?PAC平面BDE,EOc平面BDE,

.?.PA〃平面BDE.

(2),.?PO_L底面ABCD,BDu平面ABCD,

.'.BDIPO

又：四邊形ABCD是正方形，

.\BD±AC

VACnPO=O,AC,POu平面PAC

.\BD，平面PAC

19.解：(1):?四棱錐S-ABCD中，SD±AD,SD1CD,E是SC的中

點(diǎn)，0是底面正方形ABCD的中心，

又ADACD=D,，SDJ_平面ABCD,

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，

VAB=SD=6,AS(0,0,6),C(0,6,0),E(0,3,3),0(3,3,

0),B(6,6,0),

ECF(3,01-3),BC=(-6,0,0),

設(shè)異面直線EO與BC所成的角為0,

貝30=?電

|jEg0I,|BCI=V18-金62

.?.6=45°.

.?.異面直線E0與BC所成的角為45°.

(2)S(0,0,6),E(0,3,3),A(6,0,0),B(6,6,0),

SA=(6,0,-6),SB=(6,6,-6),SE=(0,3,-3),

設(shè)平面SAB的法向量;=（x,y,z）,

EIfn-SA=6x-6z=0

取x=l,得U(1,0,1),

n-SB=6x+6y-6z=0

20.解：(1)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝IjA(1,-1,0),B(1,1,0),D(0,0,0),(0,1,0),P(0,

0,1),

PA=（1，-1，-1）>PB=（1，1，-1），PD=（。，。，-1），

設(shè)平面PAD的法向量會(huì)（x,y,z）,

貝“里取得/。）,

yx-y-z=0,x=],（1）I,

n>-PD=-z=0

設(shè)PB和平面PAD所成角為9,

貝I」sin6=叵詞=/丁4

|PB|"In|VW23

APB和平面PAD所成角的正弦值為坐.

(2)平面PAD的法向量鐘(1,1,0),

C(0,1,0),PC=(O,1,-1),

平面PBC的法向量/(a,b,c),

則「?里a+b-c=0,取b=],得涓01,a

\n?PC=b-c=0

設(shè)面PAD和面PBC所成二面角為a,

貝！Icosa=/引?=行：行=/a=60。，

Iml-lnl72722

...面PAD和面PBC所成二面角的大小為60。.

21.解：(1)如圖所示,

正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,E、F、G、H分別是四面體ABCD中各棱

的中點(diǎn),

?—??—?.—?

AB—a9AC—b,AD二c，

.,.BE=|BC=i（E。），

AF=-1-AD=-^c；

???薩護(hù)或+M=-j（b-a）-（C-a-b）.

???lEFl=1V（c-a-b）2

_1「2_2_2__r_-*t

二工7c+a+b-2a?c-2a?b+2b?c

c

=p/l+l+l-2XlXl-cos600-2X1X1.COS60°+2X1X1-Cos60

迎

2，

(2)正四面體ABCD中，而=、OE),面斗;

同理，GH4(b+c-a)，同平;

???cosV而，而＞=湛，；力］

y(c-a-b)(b+c-a)

亞x亞

22

4a；)2-日

4[,r-2c-a-b2l

=y[1+1-2XlXlcos60°-1]

=0,

???加與麗的夾角為90°.

22.證明：（I）證明：由四邊形ABCD為菱形，ZABC=60°,可得△

ABC為正三角形.

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE_LBC.

又BC〃AD,因止匕AELAD.

因?yàn)镻A_L平面ABCD,AEu平面ABCD,所以PA_LAE.

而PAc平面PAD,ADc平面PAD且PAGAD=A,

所以AE_L平面PAD.又PDu平面PAD,

所以AE±PD.

解：（ID設(shè)AB=2,H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH,EH.

由（I）知AE_L平面PAD,

則NEHA為EH與平面PAD所成的角.

在RtaEAH中，AE=V3，

所以當(dāng)AH最短時(shí)，NEHA最大，

即當(dāng)AHJ_PD時(shí)，NEHA最大.

此時(shí)tan/EHA=普=事

AHAH2

因此又AD=2,所以NADH=45°,

所以PA=2.

因?yàn)镻A,平面ABCD,PAc平面PAC,

所以平面PAC_L平面ABCD.

過(guò)E作EOLAC于0,則E0,平面PAC,

過(guò)。作0S1AF于S,