2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題(本大題共12小題，共60分)

-x2-ax-5,(%,1)

1.已知函數(shù).f(x)=L在(f,+oo)上是增函數(shù)，則。的取值范圍是()

U>1)

lx

A.y,-2]B.[-2,0)

C.[-3,0)D.[-3,-2]

2.下列各題中，p是g的充要條件的是()

A.p：xy>0,q：x>0,y>0

B.p：x=l,q：x2=\

C.p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分

D.p：兩個三角形相似，q：兩個三角形三邊成比例

3.下列命題中正確的個數(shù)是()

①兩條直線。，力沒有公共點，那么。，。是異面直線

②若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，貝”//a

③空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補

④若直線/與平面&平行，則直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點

A.OB.1

C.2D.3

4.函數(shù)/(x)=2ax+1-l(a>0.且存1)恒過定點

A.(-1,-1)B.(-1,1)

C.(0,2a-l)D.(0,1)

5.如圖，AABC的斜二測直觀圖為等腰RsA'B'C,其中4笈=2,則原AABC的面積為。

C.2V2D.4V2

6.下列函數(shù)中，最小正周期為一的是()

AR

y=cosxy=tanx

C?y=cos2xD?=tan2x

7.函數(shù)/(好=/+1082》的零點所在的區(qū)間為

11B.§』)

A(T5)

c.(1,72)D.(V2,2)

log!X,X>1

8.已知函數(shù)/(%)=,3，則()

3"T,X<1

3

A.-1B.-

2

1

C.一D.3

6

9.已知/(尤)=加+公一4,其中。，方為常數(shù)，若/(一2021)=2,則/(2021)=()

A.-10B.-2

C.10D.2

10.若關(guān)于x的方程4'+(a+4>2'+4=0在［-1,2］上有實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是。

A.-尹8(25

B.F-萬

C.[―25,—8]D.[-8,+00)

11.已知集合4={巾+1<0},8={小之一2},則ADB=（）

A.{x|x〈-1}B.1x|-2<x<-lj

C.{x|%>-2}D.R

12.如圖所示，已知全集。=1i,集合A={1,3,5,7},8={4,5,6,7,8},則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{1,3}B.{5,7}

C.{1,3,5}D.{1,3,7}

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.給出以下四個結(jié)論：

①若函數(shù)"2'）的定義域為［1,2］,則函數(shù)嗎）的定義域是［4,8］；

②函數(shù)/（x）=log“（2x—1）—1（其中。>0,且4H1）圖象過定點（1,0）；

③當a=0時，幕函數(shù)y=x&的圖象是一條直線；

④若log*>1，則”的取值范圍是（；』）；

⑤若函數(shù)/（x）=lg（x2-2ax+1+片）在區(qū)間（TO,1］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是［I,+8）.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

14.設(shè)2、5為平面向量，若存在不全為零的實數(shù)入，u使得入G+U5=（），則稱1、5線性相關(guān)，下面的命題中，a.

5、工均為已知平面M上的向量

①若萬=26,則萬、5線性相關(guān)；

②若5為非零向量，且萬J_5,則B線性相關(guān)；

③若5線性相關(guān)，5、5線性相關(guān)，則5、萬線性相關(guān)；

④向量萬、5線性相關(guān)的充要條件是萬、B共線

上述命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號）

15.若存在常數(shù)左和人使得函數(shù)尸(x)和G(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：F(x)2"+匕和

G(x)〈船+力恒成立(或F(x)<辰+b和G(x)>"+h恒成立)，則稱此直線y=履+6為E(x)和G(x)的“隔離直

線”.已知函數(shù)/(x)=-d(xeR),g(x)=：(x〉O),若函數(shù)/(x)和g(x)之間存在隔離直線y=-3x+b,則實

數(shù)b的取值范圍是

16.寫出一個值域為在區(qū)間(7,內(nèi))上單調(diào)遞增的函數(shù)〃x)=

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+9)(A>0,co>Q,0<。<%)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/J)的解析式：

TT

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，再將得到的圖象向右平移,個單位

7171

長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在一萬上的值域

JlJI1

18.已知函數(shù)/(x)=cos(—Fx)cos(-x)—sinACOSX-\—

334

(1)求函數(shù)Kx)的最小正周期和最大值；

(2)求函數(shù)/U)單調(diào)遞增區(qū)間

19.已知直線/：3x+4y—7=0

(1)求直線/的斜率；

(2)若直線m與/平行，且過點P(-2,5),求m方程.

20.某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮(其覆蓋面積為JD,這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底

測得鳳眼蓮的覆蓋面積為24m2,三月底測得鳳眼的覆蓋面積為36m2,鳳眼蓮的覆蓋面積y(單位：n?)與月份工

(單位：月)的關(guān)系有兩個函數(shù)模型y=〃'a>0,。〉1)與》=〃，+攵(〃〉0,女>。)可供選擇

（1）試判斷哪個函數(shù)模型更合適并說明理由，求出該模型的解析式;

（2）求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份.（參考數(shù)據(jù)：1g2a0.3010,lg3?0.4711）

21.求解下列問題

.1（IA<5

（1）化簡（其中各字母均為正數(shù)）：1^-2._3加.2.

6IJ\?

（2）化簡并求值：Iog25xlog34xlog527+log2（log216）

22.已知A(3,7)、B(3,-1)>C(9,-1),求△ABC的外接圓方程.

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，共60分）

1、D

【解析】先根據(jù)題意建立不等式組Ja<Q，再求解出-3WaW-2,最后給出選項即可.

-I2—a-5<a

一廠-ax-5,a,i)

【詳解】解：因為函數(shù)/*）=a在(-oo,+oo)上是增函數(shù),

(x>l)

〔X

a<—2

所以Ja<0解得，a<0,則-3WaW-2

-I2-a-5<aa>-3

故選：D.

【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，是基礎(chǔ)題

2、D

【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，當x<0,y<0時，滿足外>0,所以充分性不成立,

反之：當x>0,y>0時，可得巧，>0,所以必要性成立，

所以，是《的必要不充分條件，不符合題意；

對于B中，當x=l時，可得f=i,即充分性成立；

反之：當K=1時，可得x=±l,即必要性不成立，

所以P是4的充分不必要條件，不符合題意；

對于C中，若四邊形是正方形，可得四邊形的對角線互相垂直且平分，即充分性成立；

反之：若四邊形的對角線互相垂直且平分，但四邊形不一定是正方形，即必要性不成立，

所以。是4充分不必要條件，不符合題意；

對于D中，若兩個三角形相似，可得兩個三角形三邊成比例，即充分性成立；

反之：若兩個三角形三邊成比例，可得兩個三角形相似，即必要性成立，

所以P是4的充分必要條件，符合題意.

故選：D.

3、C

【解析】①由兩直線的位置關(guān)系判斷；②由直線與平面的位置關(guān)系判斷；③由空間角定理判斷；④由直線與平面平行

的定義判斷.

【詳解】①兩條直線〃沒有公共點，那么“，。平行或異面直線，故錯誤；

②若直線/上有無數(shù)個點不在平面。內(nèi)，貝!!///a或相交，故錯誤；

③由空間角定理知，正確；

④由直線與平面平行的定義知，正確；

故選：C

4、B

【解析】令x+l=0,求得x和y的值，從而求得函數(shù)/(*)=2仆(a>0,且存1)恒過定點的坐標

【詳解】令x+l=0,求得x=-l,且y=L

故函數(shù)/(x)=2ax+1-l(a>0且/1)恒過定點(-1,1),

故選B.

【點睛】7本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，屬于基礎(chǔ)題

5、D

【解析】首先算出直觀圖面積，再根據(jù)平面圖形與直觀圖面積比為2及：1求解即可.

【詳解】因為等腰放△A'3'C是一平面圖形的直觀圖，直角邊48=2,

所以直角三角形的面積是，x2x2=2.

2

又因為平面圖形與直觀圖面積比為20:1，

所以原平面圖形的面積是2x2收=4收.

故選：D

6、D

【解析】利用三角函數(shù)的周期性求解.

【詳解】A.y=cosv周期為T=2/

Bj=tanx的周期為T=

=cos2x的周期為72K，

T=—=it

D、，=tan2.，的周期為丁，

'T=-

故選：D

7、B

【解析】根據(jù)零點的存在性定理，依次判斷四個選項的區(qū)間中是否存在零點

【詳解】/(^)=-^<0,/(；)=—：<(),/(1)=1>0,由零點的存在性定理，函數(shù)在區(qū)間(；』］內(nèi)有零點，選

擇B

【點睛】用零點的存在性定理只能判斷函數(shù)有零點，若要判斷有幾個零點需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷

8、C

【解析】先計算"2)=1隼12,再代入計算得到答案.

3

log]X,x>1(Alog12-1

【詳解】/(X)=<3，貝U/(7(2))=/log,2=332

QX-IX<1\3J6

故選：c

【點睛】本題考查了分段函數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.

9、A

【解析】計算出/(—x)+/(x)=—8,結(jié)合"-2)=2可求得"2)的值.

【詳解】因為/(幻=63+法一4,所以/(_%)=—依3一區(qū)一4,/(—幻+/(?=一8,

若/(-2021)=2,則/(2021)=_8-/(_2021)=_8_2=_10.

故選：A

10、A

【解析】當1,2］時，令f=2'e；,4,可得出〃+（。+2*+4=（）,可得出—（。+2）=，+；,利用函數(shù)的單

4「］-

調(diào)性求出函數(shù)g（r）=f+7在區(qū)間-,4上的值域，可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式，由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當xw［-l,2］時，令/=2*€；,4,則“+（。+2）/+4=0,可得一（a+2）=f+；,

設(shè)g（，）=，+7,其中，cy,4,任取乙、t2e—,4,

則g（，l）gG）—4+/］+,-（Zl，2）2)_(%一，2)(4,2-4)

當（斗<馬<時,則。，

2（<“2<4,g&）-gg）>即g?)>g&)，

4「1-

所以，函數(shù)g（7）=r+—在-,2上為減函數(shù)；

t_，

當2?4<?244時，4<丫2<16,則g（G）_g?2）<（），即ga)<g?2),

所以，函數(shù)屋/）=/+；在［2,4］上為增函數(shù).

所以，g”）而n=g（2）=4,,?-g^=y,g（4）=5,則g(f)m「g(￡|=

4ri-i「17-

故函數(shù)g（f）=r+—在-,4上的值域為4,—,

,1725

所以，4<—（a+4）<—,解得一~—<a<—8.

\/22

故選：A.

11,D

【解析】求出集合A,再利用并集的定義直接計算作答.

【詳解】依題意，A={x|x<—1},而8={x|xN-2},

所以AU3=R

故選：D

12、A

【解析】根據(jù)文氏圖表示的集合求得正確答案.

【詳解】文氏圖表示集合為AC(e3),

所以An@8)=｛l,3｝.

故選：A

二、填空題(本大題共4小題，共20分)

13、①?⑤

【解析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、幕函數(shù)的定義、對數(shù)不等式的求解方法，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的

討論，對每一項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對①：因為1WXW2,2<2'<4?所以“X)的定義域為［2,4］,

令2苦44,故4WxW8,即/⑶的定義域為［48］，故①正確；

對②：當尤=1,丁=-1,圖象恒過定點。，-1),故②錯誤；

八l,x>0

對③：若X=0,則y=f=/八的圖象是兩條射線，故③錯誤；

l,x<0

a>\0<。<1

對④：原不等式等價于log“L>log“4,故｛1(無解)或｛1，

2a<—a>—

22

解得!<。<1,故④正確；

2

a>1

對⑤：實數(shù)”應(yīng)滿足｛,c,2c，解得故⑤正確；

1-2a+1+a'>0

綜上所述：正確結(jié)論的序號為①④⑤.

【點睛】(1)抽象函數(shù)的定義域是一個難點，一般地，如果已知y=/(x)的定義域為。，y=g(x)的定義域為E,

那么f［_g(%)］的定義域為｛x|g(x)exe@；如果已知/［g(x)］的定義域為D,那么〃x)的定義域可取為

｛s|s=g(x),xe。｝.

(2)形如、=1。8“(心%2+/優(yōu)+人)(。>0,。工1,機。0)的復(fù)合函數(shù)，如果已知其在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，我們不僅要

考慮，=〃比2+7沅+左在給定區(qū)間上單調(diào)性，還要考慮到其在給定區(qū)間上總有巾2+依+人>0成立.

14、①④

【解析】利用1和5線性相關(guān)等價于汗和B是共線向量，故①正確，②不正確，④正確.通過舉反例可得③不正確

【詳解】解：若a、B線性相關(guān)，假設(shè)入wo,則日=-45,故汗和5是共線向量

反之，若汗和B是共線向量，則公一與5,即入方+西=（），故汗和5線性相關(guān)

A

故萬和方線性相關(guān)等價于〃和6是共線向量

①若@=2b，則4-25=0,故萬和萬線性相關(guān)，故①正確

②若日和5為非零向量，aLb，則G和5不是共線向量，不能推出日和方線性相關(guān)，故②不正確

③若方和B線性相關(guān)，則己和B線性相關(guān)，不能推出若m和^線性相關(guān)，例如當6=。時，

］和萬可以是任意的兩個向量.故③不正確

④向量彳和B線性相關(guān)的充要條件是汗和5是共線向量，故④正確

故答案為①?

【點睛】本題考查兩個向量線性相關(guān)的定義，兩個向量共線的定義，明確M和5線性相關(guān)等價于6和6是共線向量，

是解題的關(guān)鍵

【解析】由已知可得-/4一38+仇xeR）、！2-3%+久%>0）恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即

x

可求得實數(shù)力的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/（X）和g（X）之間存在隔離直線y=-3x+b,

所以當--《一3%+人時，可得一幺+3%一匕W0對任意的xeR恒成立，

399

則人2—犬+3%，即2—（工一二+:，所以。

244

當一2—3x+/?時，對x>0恒成立，即。<3XH—（x>0）怛成立，

xx

又當x〉0時，3x+->2y/3,當且僅當3x=，即1=也時等號成立，

xx3

所以AK2百，

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是？46426.

4

故答案為：俱,2月］.

4

riY

16、1--

【解析】綜合考慮值域與單調(diào)性即可寫出滿足題意的函數(shù)解析式.

【詳解】/(x)=l-W,

［2J

理由如下：

"U為R上的減函數(shù)，且(3)>o，

=l一為R上的增函數(shù)，且/(力=1一］；)<1,

=?—8,1),

故答案為：

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17、(1)/(x)=2sin2x+(2)[-1,2].

【解析】(1)由函數(shù)圖象頂點求出A=2,再根據(jù)周期求出0=2,根據(jù)點五點中的1；fa］求出e=2gn,即可得

3

函數(shù)解析式;

(2)先根據(jù)平移得出g(x)=2sin卜+制，由xe7171-，71冗2萬

，得出入+工￡,再根據(jù)三角函數(shù)圖形及性

52o6OJ

質(zhì)即可求出值域

【詳解】(1)由題設(shè)圖象可知A=2,

.1r7冗口n。74萬.

??~——cp=2kjr+,即0=—keZ

'：Q<(P<7T,

,2兀

/?cp=—

3

(27r、

故函數(shù)/(X)的解析式為/(x)=2sin2尤+口-；

\3)

(2)由題意可知g(x)=2sin[x+^J,

7t71

'：XG

nTC2萬

Xd-----G

6~~6,~

,故2sinxH—jG[—1,2],

，sinx+—G1

I64k6；

7C71

???g(x)在一飛5上的值域為IT，?

【點睛】本題主要考查由/(x)=Asin(8+°)的部分圖象求解析式，以及求三角函數(shù)的值域的應(yīng)用，屬于中檔題.

18、(1)最小正周期為丁=心最大值為(2)_,kGZ

2[AJT-g/Ekn-jnj

TTTTiI

【解析】(I)/(x)=cos(]+x)cos(§—x)—]Sin2x+a

=(幾sx-ginx)(\°sx+走sinx)—；sin2x+；

2222

1+coslx3-3cos2x1.八1

=lcos^-2sin^-lSin2x+l--------------------------------sm2x+一

44248824

1.cos(2x+工

=—(cos2x-sin2x)=

I4J

函數(shù)/(x)的最小正周期為T=TT,

函數(shù)/(x)的最大值為也

2

77

(II)由2k兀一兀&——<2k7r,kGZ

4

571

得k1——7i<x<k7U----,kwZ

88

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

[kTr—^-,kn—^\,k&Z

3

19、(1)——；(2)3x+4y-14=0.

4

【解析】(1)將直線變形為斜截式即可得斜率;

(2)由平行可得斜率，再由點斜式可得結(jié)果.

,37

【詳解】(1)由/：3%+4丁-7=0,可得丁=-7%+§,

3

所以斜率為一“

(2)由直線機與/平行，且過點P(-2,5),

3

可得，〃的方程為)，一5二-小》2)‘整理得：3、+分一14=0.

20、(1)理由見解析，函數(shù)模型為丁=,―(|)',14x412,xeN*；(2)六月份.

【解析】(1)由鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故選y=kr'a>0,。>1)符合要求，根據(jù)數(shù)據(jù)x=2時y=24,

x=3時y=36代入即可得解;

3232332

(2)首先求x=0時，可得元旦放入鳳眼蓮的覆蓋面積是:加2,解不等式餐.(]).=>10.餐即可得解.

【詳解】(1)兩個函數(shù)y二履'供>0,。>1)與>