第6章

線性反響系統(tǒng)的時間域綜合建模分析設(shè)計狀態(tài)空間表達式建立求解轉(zhuǎn)換能控性能觀性穩(wěn)定性狀態(tài)反響狀態(tài)觀測器最優(yōu)控制線性系統(tǒng)的時間域理論預(yù)覽第6章線性反響系統(tǒng)的時間域綜合6.1引言綜合與分析是相反的一個命題分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)及外輸入作用研究系統(tǒng)運動的定性行為〔如能控性、能觀測性、穩(wěn)定性等〕和定量的變化規(guī)律綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)及所期望的系統(tǒng)運動形式或某些特征確定需要施加于系統(tǒng)的外輸入作用，即控制規(guī)律綜合是建立在系統(tǒng)分析的根底上的

綜合問題的提出受控對象：線性定常系統(tǒng)〔狀態(tài)空間描述〕目標：即性能指標，如某些特征值、或某種期望形式、或關(guān)于極小〔或極大〕值的某個性能函數(shù)手段:控制輸入〔控制器設(shè)計〕系統(tǒng)的綜合問題三要素尋找一個控制u，在其作用下系統(tǒng)的運動滿足所給出的期望性能指標所謂綜合：控制常用的形式：輸出反響控制狀態(tài)反響控制其中：K狀態(tài)反響〔增益〕矩陣

V為參考輸入向量F輸出反響〔增益〕矩陣非優(yōu)化型指標：〔1〕以漸近穩(wěn)定作為性能指標---鎮(zhèn)定問題〔2〕以一組期望的閉環(huán)極點作為性能指標---極點配置〔3〕以使一個多輸入/多輸出系統(tǒng)實現(xiàn)“一個輸入只控制一個輸出〞作為性能指標---解耦問題；〔4〕以使系統(tǒng)的輸出y無靜差地跟蹤一個外部信號y0(t)作為性能指標---跟蹤問題

性能指標的類型非優(yōu)化型指標優(yōu)化型指標：一類極值型指標優(yōu)化型性能指標：綜合目標：是確定一個控制u(t)，使指標J為極小值其中：R為正定常陣，Q為正定常陣或正半定陣〔1〕建立可綜合條件綜合問題可分解為兩個性質(zhì)不同的問題。

研究綜合問題的思路給定的受控系統(tǒng)和指標，控制存在且實現(xiàn)綜合的條件?！?〕建立確定相應(yīng)控制律〔器〕的算法/表達形式確定滿足要求的控制律?！?〕狀態(tài)反響的構(gòu)成問題控制實現(xiàn)中的一些理論問題狀態(tài)常常不能觀測,利用可測輸入u和輸出y

來構(gòu)造出不能測的狀態(tài)x

,稱為狀態(tài)重構(gòu)---觀測器設(shè)計。問題?！?〕系統(tǒng)模型的不準確和參數(shù)攝動問題模型不準確和參數(shù)懾動，按理想模型得到的控制器組成的控制系統(tǒng)中，是否產(chǎn)生達不到期望的性能指標或不穩(wěn)定的魯棒控制：參數(shù)不確定或攝動出現(xiàn)在模型參數(shù)的一個鄰域內(nèi)時，系統(tǒng)仍能穩(wěn)定地運行或保持期望的性能指標〔3〕對外部干擾的抑制問題擾動抑制問題〔魯棒控制〕。反饋經(jīng)典控制理論現(xiàn)代控制理論輸出反響狀態(tài)反響選擇反響信號的形式和強度〔反響系數(shù)〕使閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能滿足設(shè)計要求。6.2狀態(tài)反響和輸出反響現(xiàn)代控制理論原受控系統(tǒng)線性反響規(guī)律狀態(tài)反響狀態(tài)反響閉環(huán)系統(tǒng)反響增益矩陣

一般D=0原系統(tǒng)：狀態(tài)反響閉環(huán)系統(tǒng)：系統(tǒng)維數(shù)不變；選擇K改變系統(tǒng)特征值〔閉環(huán)極點〕，改善系統(tǒng)性能能控能觀對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，狀態(tài)反響保持能控性，不保持能觀測性原系統(tǒng)狀態(tài)反響系統(tǒng)能控不能觀極點：1、-1極點：0原系統(tǒng)狀態(tài)反響系統(tǒng)出現(xiàn)零極點對消輸出反響原受控系統(tǒng)：輸出反響控制規(guī)律：輸出反響系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：輸出反響增益矩陣：

一般D=0原系統(tǒng)：狀態(tài)反響閉環(huán)系統(tǒng)：系統(tǒng)維數(shù)不變；選擇H改變系統(tǒng)特征值〔閉環(huán)極點〕，改善系統(tǒng)性能結(jié)論1：當(dāng)HC＝K時，輸出到參考輸入的反響與狀態(tài)反響等價。即對于任意的輸出反響系統(tǒng)，總可以找到一個等價的狀態(tài)反響，即K＝HC。故輸出反響不改變系統(tǒng)的能控性。對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，輸出反響保持能控性和能觀測性狀態(tài)反響輸出反響結(jié)論3：由于反響引自系統(tǒng)輸出，所以輸出反響不影響系統(tǒng)的可觀測性。結(jié)論2：對于狀態(tài)反響，從K＝HC中，給定K值，不一定能夠解出H。所以，輸出反響是局部狀態(tài)反響，輸出信息所包含的不一定是系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，適合工程應(yīng)用，性能較狀態(tài)反響差。狀態(tài)反響和輸出反響都可改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)屬性和性能指標。令K=FC那么輸出反響到達的功能，必可找到相應(yīng)的一個狀態(tài)反響來實現(xiàn)但FC=K的解F通常不存在反響功能上：狀態(tài)反響要優(yōu)于輸出反響狀態(tài)反響和輸出反響的比較反響信息上：狀態(tài)反響優(yōu)于輸出反響狀態(tài)反響是一種完全的系統(tǒng)信息反響。輸出反響是一種不完全的系統(tǒng)信息反響。聯(lián)補償器，構(gòu)成動態(tài)輸出反響系統(tǒng)欲使輸出反響也能到達滿意的性能，引入串聯(lián)補償器和并改善輸出反響方法帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反響實現(xiàn)6.3狀態(tài)反響極點配置：單輸入情形極點配置：通過反響增益矩陣K的設(shè)計，將參加狀態(tài)反響后的閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在S平面期望的位置上。期望極點選取的原那么：1〕n維控制系統(tǒng)有n個期望極點；2〕期望極點是物理上可實現(xiàn)的，為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對；3〕期望極點的位置的選取，需考慮它們對系統(tǒng)品質(zhì)的影響〔離虛軸的位置〕，及與零點分布狀況的關(guān)系。4〕離虛軸距離較近的主導(dǎo)極點收斂慢，對系統(tǒng)性能影響最大，遠極點收斂快，對系統(tǒng)只有極小的影響。閉環(huán)系統(tǒng)期望極點的選取一、極點可配置的條件定理：(極點配置定理)對線性定常系統(tǒng)進行狀態(tài)反響，反響后的系統(tǒng)其全部極點得到任意配置的充要條件是：狀態(tài)完全能控。注意：矩陣A-BK的特征值就是所期望的閉環(huán)極點。對不能控的狀態(tài)，狀態(tài)反響不能改變其特征值。二、極點配置的算法能控系統(tǒng)(A，b)，求狀態(tài)反響增益矩陣k，使閉環(huán)系統(tǒng)特征值為判斷系統(tǒng)的能控性計算狀態(tài)反響系統(tǒng)(A-bk)的特征多項式計算希望的特征多項式：令二者相等，得到反響增益矩陣：直接法〔維數(shù)較小時，n≤3〕[例]線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為設(shè)計狀態(tài)反響增益矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為－1和－2，并畫出閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：先判斷系統(tǒng)的能控性。系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，可以通過狀態(tài)反響任意配置其極點。令那么狀態(tài)反響閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為期望的特征多項式為由，求得

狀態(tài)反響閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：[例]對如下的線性定常系統(tǒng)，討論狀態(tài)反響對系統(tǒng)極點的影響[解]：〔1〕先判斷該系統(tǒng)的能控性特征值為－1的狀態(tài)不能控。(2)假設(shè)參加狀態(tài)反響陣K，得到反響后的特征多項式為：對于－1的極點，狀態(tài)反響不起作用狀態(tài)反響只能通過k2去影響2這個極點即狀態(tài)反響對不能控局部狀態(tài)，不能任意配置其極點求將相當(dāng)繁瑣2〕能控標準型法求反響矩陣〔維數(shù)較大時，n>3〕1、首先將原系統(tǒng)化為能控標準型2、求出在能控標準型的狀態(tài)下的狀態(tài)反響矩陣能控標準型下，參加狀態(tài)反響后，系統(tǒng)矩陣為：狀態(tài)反響后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：期望特征多項式：確定能控標準型下的反響矩陣為：3、求出在原系統(tǒng)的狀態(tài)下的狀態(tài)反響矩陣(1)判斷系統(tǒng)能控性。如果狀態(tài)完全能控，按以下步驟繼續(xù)。(2)確定將原系統(tǒng)化為能控標準型的變換陣能控標準型法，求反響增益矩陣K的步驟：(3)根據(jù)給定或求得的期望閉環(huán)極點，寫出期望的特征多項式：(4)直接寫出在能控標準型下的反響增益矩陣：(5)求未變換前原系統(tǒng)的狀態(tài)反響增益矩陣：能控標準型法，非常適合于計算機matlab求解[例]用能控標準型法，重新求解前面例子：〔2〕計算原系統(tǒng)的特征多項式：[解]：〔1〕可知，系統(tǒng)已經(jīng)是能控標準型了，故系統(tǒng)能控，此時變換陣〔3〕計算期望的特征多項式〔4〕確定K陣所以狀態(tài)反響矩陣K為：能控標準型下的狀態(tài)反響矩陣為：6.4狀態(tài)反響極點配置：多輸入情形循環(huán)矩陣n×n方陣A稱為是循環(huán)的，系指其最小多項式就是特征多項式循環(huán)系統(tǒng)循環(huán)系統(tǒng)的判據(jù)A為循環(huán)矩陣,那么存在列向量b，使{A,b}為完全能控循環(huán)系統(tǒng)的能控性單輸入系統(tǒng)(A,b)可控的充分必要條件是：A是循環(huán)的且b是A的生成元A為循環(huán)矩陣，且{A，B}為完全能控，那么對幾乎所有的p×1實變量r，使單輸入矩陣對{A，Br}為完全能控非循環(huán)系統(tǒng)循環(huán)化A為非循環(huán)矩陣，{A，B}為完全能控那么對幾乎所有p×n實常數(shù)陣K，可使(A-BK)為循環(huán)循環(huán)的完全能控的充要條件算法Ⅰ：給定能控性矩陣對{A,B}和一組希望的閉環(huán)特征值{λ1*,λ2*,…,λn*}，要確定p×n的反響增益矩陣K，

多輸入極點配置問題的算法假設(shè)A已是循環(huán)的，那么表。第1步：判斷A是否為循環(huán)矩陣，假設(shè)否，選取一個p×n常陣K1，使A-BK1

為循環(huán)，并表，使成立λi(A-BK)=λi*,i=1,2,…,n

配置問題的算法，求出增益向量k。第2步：對循環(huán)矩陣，通過適中選取一個p×1實常向量ρ，記b=Bρ使為能控。第3步：對于等價單輸入問題，利用單輸入極點注：K1和ρ的選取不是唯一的。第4步：當(dāng)A為循環(huán)矩陣時，所求的增益矩陣為K=ρk當(dāng)A為非循環(huán)矩陣時，所求的增益矩陣為K=

ρk+K1。希望使得K1和ρ的選取以到達K的各個元素為盡可能地小A循環(huán)？記選取，K1使循環(huán)選取，使能控，記對利用SISO方法，求kAA循環(huán)？YNYN第1步：任選一個n×n常陣F，使得算法Ⅱ

引入一個限制條件，即第2步：選取一個p×n常陣，使為能觀測第3步：求解矩陣方程此方程的n×n解陣T存在步，假設(shè)為奇異，重選F或。第4步：判斷T是否為非奇異。如果為非奇異，轉(zhuǎn)入下第5步：所求的狀態(tài)反響增益矩陣為，T為非奇異例：給定多輸入線性定常系統(tǒng)為標準形：給定期望的閉環(huán)特征值為：解：期望的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣狀態(tài)反響狀態(tài)反響對傳遞函數(shù)矩陣零點的影響狀態(tài)反響：改變極點的同時，是否影響系統(tǒng)的零點?改變閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的極點配置系統(tǒng)的極點(特征值)單輸入單輸出情形

配置傳遞函數(shù)極點的同時，一般不影響其零點。注：當(dāng)期望的極點與零點相重合而對消時，會影響零點。被對消的極點成為不可觀測的—狀態(tài)反響不能保持能觀性對完全能控的線性定常SISO系統(tǒng)，引入狀態(tài)反響任意G(s)零點其傳遞函數(shù)矩陣：當(dāng){A,B,C}為能控且能觀測時，G(s)的零點可定義為：使的所有s值。多輸入多輸出情形狀態(tài)反響配置G(s)全部極點的同時，一般不影響G(s)零點。注：G(s)的每個元傳遞函數(shù)gij(s)的零點常會受狀態(tài)反響的影響傳遞函數(shù)矩陣為：例：雙輸入/雙輸出線性定常系統(tǒng)：系統(tǒng)的極點是：引入狀態(tài)反響，狀態(tài)反響增益矩陣為：狀態(tài)反響閉環(huán)系統(tǒng)的矩陣為：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：系統(tǒng)的極點移動也改變了G(s)的大局部元傳遞函數(shù)的零點本卷須知反響增益矩陣不唯一導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)相應(yīng)和輸出相應(yīng)也不同反響增益矩陣選取，應(yīng)使其元增益值較小和閉環(huán)響應(yīng)較好6.5輸出反響極點配置由于輸出變量空間可視為狀態(tài)變量空間的子空間,因此輸出反響也稱之為局部狀態(tài)反響。由于輸出反響包含的信息較狀態(tài)反響所包含的信息少,因此輸出反響的控制與鎮(zhèn)定能力必然要比狀態(tài)反響弱。確定反響控制律使得狀態(tài)反響閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在指定的n個期望的閉環(huán)極點也就是成立例

考察下述能控能觀的系統(tǒng)它在輸出反響下u=-hy下的閉環(huán)系統(tǒng)為其閉環(huán)特征多項式為s2+h。從而當(dāng)h的值變化時,閉環(huán)系統(tǒng)的極點從2重的開環(huán)極點s=0配置到而不能任意配置。輸出反響對能控能觀系統(tǒng)可以改變極點位置,但不能進行任意的極點配置。因此,對某些系統(tǒng),采取輸出反響可能不能配置閉環(huán)系統(tǒng)的所有極點,使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定或具有所期望的閉環(huán)極點。故欲使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定或具有所期望的閉環(huán)極點,要盡可能采取狀態(tài)反響控制或動態(tài)輸出反響控制(動態(tài)補償器)。關(guān)于輸出反響可以任意配置極點數(shù)目p的問題,定理：對能控能觀的線性定常系統(tǒng)Σ(A,B,C),可采用靜態(tài)輸出反響進行“幾乎〞任意接近地配置p=min{n,m+r-1}個極點說明n,m,r分別為狀態(tài)空間、輸出空間和輸入空間的維數(shù),“幾乎〞任意接近地配置極點的意義為可以任意地接近于指定的期望極點位置,但并不意味著能確定配置在指定的期望極點位置上?！ㄟ^反響，是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。6.6狀態(tài)反響鎮(zhèn)定鎮(zhèn)定：一個控制系統(tǒng)，如果通過反響使系統(tǒng)實現(xiàn)漸近穩(wěn)定，即閉環(huán)系統(tǒng)極點具有負實部，那么稱該系統(tǒng)是能鎮(zhèn)定的?？梢圆捎脿顟B(tài)反響實現(xiàn)鎮(zhèn)定，那么稱系統(tǒng)是狀態(tài)反響能鎮(zhèn)定的。配置于復(fù)數(shù)平面的左半開平面上。鎮(zhèn)定問題本質(zhì)上是極點區(qū)域配置問題，不使閉環(huán)系統(tǒng)的極點嚴格地配置到任意指定的期望位置上，而是使其可鎮(zhèn)定的條件線性定常系統(tǒng)可由狀態(tài)反響鎮(zhèn)定的一個充分條件是:系統(tǒng)完全能控。結(jié)論

[可鎮(zhèn)定的充分條件]定理：如果線性定常系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，那么它狀態(tài)反響能鎮(zhèn)定的充要條件是：不能控子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)的鎮(zhèn)定的充要條件將原系統(tǒng)按照能控性分解，得到系統(tǒng)對系統(tǒng)引入狀態(tài)反響后，系統(tǒng)矩陣變?yōu)殚]環(huán)系統(tǒng)特征多項式為：能控部分，總可以通過狀態(tài)反饋使之鎮(zhèn)定要求漸近穩(wěn)定原系統(tǒng)：證明：結(jié)論1：如果線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，那么不管其特征值是否都具有負實部，一定是狀態(tài)反響能鎮(zhèn)定的?！惨欢ù嬖跔顟B(tài)反響陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點得到任意配置〕不穩(wěn)定但狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)，可以通過狀態(tài)反響使它鎮(zhèn)定結(jié)論2：可控系統(tǒng)是一定可鎮(zhèn)定的，可鎮(zhèn)定系統(tǒng)不一定是可控的例：線性定常系統(tǒng)，能否通過狀態(tài)反響使系統(tǒng)的極點配置在{-2，-2，-1}、{-2，-2，-3}？解：判斷系統(tǒng)能控性！能控性分解能控子系統(tǒng)希望的特征多項式不可改變不能控子系統(tǒng)極點配置在{-2，-2，-1}、{-2，-2，-3}希望的特征多項式狀態(tài)反響不能改變不能控局部的極點-1，所以不能通過狀態(tài)反響將極點配置在{-2，-2，-3}[例]系統(tǒng)的狀態(tài)方程為〔2〕由動態(tài)方程知系統(tǒng)是不能控的，但不能控局部的特征值是-5，位于左半S平面，可知此局部是漸近穩(wěn)定的。因此該系統(tǒng)是狀態(tài)反響能鎮(zhèn)定的。[解]：〔1〕系統(tǒng)的特征值為1，2和－5。有兩個特征值在右半S平面，因此系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的?！?〕該系統(tǒng)是否是漸近穩(wěn)定的？〔2〕該系統(tǒng)是否是狀態(tài)反響能鎮(zhèn)定的？〔3〕設(shè)計狀態(tài)反響，使期望的閉環(huán)極點為〔3〕不能控局部的極點為－5，與其中一個期望極點相同。此時，只能對能控局部進行極點配置。設(shè)，對能控局部進行極點配置。期望的特征多項式為：由得：解得：所以反響陣為：6.7狀態(tài)反響動態(tài)解耦多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)其中，為維狀態(tài)向量，為維控制向量，為維輸出向量。系統(tǒng)及假設(shè)〔2〕控制律采用狀態(tài)反響結(jié)合輸入變換，取

為參考輸入?！?〕，輸出和輸入具有相同的變量個數(shù)。為反響增益矩陣，為輸入變換矩陣，〔3〕輸入變換矩陣為非奇異，即。三個根本假定：〔正那么變換，否那么稱為非正那么的〕閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：閉環(huán)系統(tǒng)方程：傳遞函數(shù)矩陣為：所謂解耦控制：就是對多輸入多輸出系統(tǒng)〔1〕，尋找一個輸入變換和狀態(tài)反響矩陣對，使由〔3〕式所給出的傳遞函數(shù)矩陣為非奇異對角有理分式陣，即

問題的提法

研究解耦的兩個問題：問題的實質(zhì)：實現(xiàn)解耦后，存在如下關(guān)系，輸出變量和參考輸入變量之間：〔1〕受控系統(tǒng)的可解耦性，實現(xiàn)解耦的條件?！?〕解耦控制問題的算法，求。一個輸出僅由一個輸入所完全控制。系統(tǒng)化為P個獨立的單輸入—單輸出控制系統(tǒng)。

系統(tǒng)的兩個結(jié)構(gòu)特征量考慮多輸入多輸出〔p=q〕線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣令：分母多項式的次數(shù)和的分子多項式的次數(shù)之差。那么系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性指數(shù)定義為：必為非負整數(shù)〔〕。當(dāng)給定后，為唯一確定。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性向量定義為：

的常行向量。例：那么有：兩個特征量的根本屬性：〔1〕如果G(s)對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為{A,B,C}，證明：略狀態(tài)反響閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣的第行傳遞函數(shù)向量可表為：〔2〕對于任意的矩陣對，其中，其中：而的兩個特征量和可表為：開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的特征量之間存在如下關(guān)系〔3〕對于任意的矩陣對，其中，結(jié)論：方線性定常系統(tǒng)，可采用狀態(tài)反響和輸入變換，即存在矩陣對進行解耦的充分必要條件是：如可解耦條件為非奇異。下的常陣：外表上看：解耦與系統(tǒng)能控?zé)o關(guān)，但本質(zhì)上，能控仍是不可缺少的條件?！?〕系統(tǒng)能否實現(xiàn)解耦，由系統(tǒng)的兩組特征量注：量和決定。〔2〕可由傳遞函數(shù)矩陣獲得，也可由狀態(tài)空間描述獲得?！?〕一個可解耦的受控系統(tǒng)，可選取為：

陣使系統(tǒng)解耦，解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：均為多重積分器，稱為積分型解耦。解耦后，每個單輸入單輸出閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中間步驟，有一定的價值。然而，動態(tài)性能不好，沒有實用價值。但可作為一個〔4〕塊解耦：閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為塊對角形式。對于一般系統(tǒng)〔方或非方〕，通常可在較弱條件下實現(xiàn)塊解耦〔一小組輸入對應(yīng)一小組輸出〕?！?〕常把解耦問題稱為“摩根問題〞。非線性系統(tǒng)的“摩根問題〞目前仍是一個“公開問題〞。給定受控系統(tǒng)為：其中：，為能控。解耦綜合控制矩陣對的算法系統(tǒng)要實現(xiàn)期望的極點配置。目標：實現(xiàn)解耦，同時對解耦后的每個單輸入單輸出控制并判斷：是否為非奇異第1步：計算和假設(shè)是，進入下一步。假設(shè)否，不能解耦，退出。第2步：計算和導(dǎo)出積分型解耦系統(tǒng)第3步：取〔預(yù)輸入和預(yù)反響陣〕為：其中，且由能控，知為能控。變換為如下的解耦標準形第4步：引入線性非奇異變換，把〔不完全能觀測時〕這里，虛線分塊是按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解形式當(dāng)為能觀測時，那么中不出現(xiàn)不能觀測局部且其中，現(xiàn)解耦和解耦后的單輸入單輸出控制系統(tǒng)的極點配置。第5步：對解耦標準形，引入狀態(tài)反響，來實其中，狀態(tài)反響增益矩陣取為如下形式的常陣：并且，由此可以導(dǎo)出〔實現(xiàn)解耦〕：和的元那么由解耦后的第個單輸入單說明，的結(jié)構(gòu)形式保證了解耦控制的實現(xiàn)，而部特征值。由于需保證實現(xiàn)解耦，狀態(tài)反響所能控制的不是的全輸出控制系統(tǒng)的期望極點組所決定。使其實現(xiàn)解耦和對解耦后各單輸入單輸出系統(tǒng)進行期第6步：對于所討論的受控系統(tǒng)：望的極點配置的為：解：系統(tǒng)能控且能觀測。例：給定雙輸入—雙輸出的線性定常受控系統(tǒng)為：因為①計算和即可定出，②判斷可解耦性可解耦性判別矩陣：為非奇異，可進行解耦。③導(dǎo)出積分型解耦系統(tǒng)定出取那么有：那么保持為能觀測，且已為解耦標準形。無需再進一步引入變換，也即有。④相對于解耦標準形確定反響增益矩陣取為：那么：指定解耦后的單輸入—單輸出系統(tǒng)的期望特征值，分別為：求：可定出：那么：⑤定出對給定受控系統(tǒng)實現(xiàn)解耦控制和極點配置的控制矩陣對，⑥定出解耦后閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程和傳遞函數(shù)矩陣。6.8狀態(tài)反響靜態(tài)解耦

靜態(tài)解耦控制問題控制系統(tǒng)：輸出維數(shù)和輸入維數(shù)相等的線性定常系統(tǒng)：如果存在狀態(tài)反響和輸入變換，使得所導(dǎo)出的閉環(huán)問題的提法具有如下的屬性：〔2〕當(dāng)時，〔1〕閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；為對角線非奇異常陣，即那么稱受控系統(tǒng)能靜態(tài)解耦。前面所研究的解耦問題為動態(tài)解耦問題。信號的情況，靜態(tài)解耦的概念只適用于參考輸入的各個分量為階躍即：其中：為非零常數(shù)，為單位階躍函數(shù)。利用拉普拉斯變換的終值定理，在系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的前提下，可得到系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)時的輸出為：注：即有，6.9跟蹤控制和擾動抑制考慮同時受控制和外部擾動作用的線性定常系統(tǒng)：其中，為維狀態(tài)向量，為維控制向量，為維輸出向量，為維擾動向量。

問題的提法假定為能控，為能觀測。所謂跟蹤控制，即討論系統(tǒng)，在滿足什么條件下可找受控系統(tǒng)的輸出所要跟蹤的參考輸入信號為跟蹤的誤差信號：到適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律，來實現(xiàn)使跟蹤的目標。相應(yīng)的跟蹤問題的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如下：由于受物理可實現(xiàn)性的限制，要找到對于所有均滿足：稱為漸近跟蹤。〔1〕漸近跟蹤：假設(shè)對任意和零擾動

的控制是不可能的。三種情形：存在控制u，使得假設(shè)對任意非零擾動和零參考信號存在控制u，使得假設(shè)對任意非零和任意非零擾動那么稱系統(tǒng)輸出實現(xiàn)對參考信號的無靜差跟蹤。存在控制u，使得〔2〕擾動抑制：那么稱系統(tǒng)輸出實現(xiàn)對擾動的抑制?！?〕無靜差跟蹤：如果參考信號和擾動，當(dāng)時均趨動抑制，即對任意的和，成立當(dāng)系統(tǒng)實現(xiàn)無靜差跟蹤時，將可同時到達漸近跟蹤和擾成立，即無靜差跟蹤可自動地到達。于零，只要尋找控制使系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，上式就自動地設(shè)和，當(dāng)時均不趨于零，假設(shè)不知

參考輸入和擾動信號的模型和下面的討論中假定：它們的結(jié)構(gòu)特性模型，那么無從討論系統(tǒng)的漸近跟蹤和擾動抑制問題〔方法：控制器中“植入〞它們的結(jié)構(gòu)特性模型〕。(1)信號的結(jié)構(gòu)特性和非結(jié)構(gòu)特性：

給定信號：

時間域：結(jié)構(gòu)特性=函數(shù)結(jié)構(gòu)非結(jié)構(gòu)特性=的數(shù)量參量如：階躍信號，結(jié)構(gòu)特性是：單位階躍1(t),

非結(jié)構(gòu)特性：階躍幅值

頻域中：的拉普拉斯變換為：結(jié)構(gòu)特性=分母多項式d(s)

非結(jié)構(gòu)特性=分子多項式n(s)基于結(jié)構(gòu)特性d(s)，可導(dǎo)出如下結(jié)構(gòu)模型：(2)多維參考輸入的結(jié)構(gòu)特性模型

參考輸入的結(jié)構(gòu)特性模型為：(3)多維擾動信號的結(jié)構(gòu)特性模型擾動信號的結(jié)構(gòu)特性模型為：

參考輸入和擾動信號分解：“穩(wěn)定局部〞+“不穩(wěn)定局部〞最小多項式可類似分解(4)參考輸入和擾動信號的共同不穩(wěn)定模型令和分別是和的最小多項式，那么跟蹤問題中只需考慮和的當(dāng)時不穩(wěn)定的局部。只考慮和即可。設(shè)多項式和的最小公倍式為

顯然，的所有根均具有非負實部。于是，由可導(dǎo)出和的當(dāng)時不共同不穩(wěn)定模型：趨于零局部的共同模型。將跟蹤誤差作為模型輸入，得如下參考輸入和擾動信號的其中，而控制系統(tǒng)構(gòu)成：控制器構(gòu)成：“伺服補償器〞+“鎮(zhèn)定補償器〞伺服補償器功能：實現(xiàn)無靜差跟蹤的機理保證〔線性動態(tài)形式〕鎮(zhèn)定補償器功能：實現(xiàn)漸近穩(wěn)定

無靜差跟蹤控制系統(tǒng)伺服補償器：參考輸入和擾動信號共同不穩(wěn)定模型〔內(nèi)?！虫?zhèn)定補償器：受控系統(tǒng)的狀態(tài)反響補償器的選?。捍?lián)比例控制器兩方程聯(lián)立，得：整個系統(tǒng)〔串聯(lián)系統(tǒng)〕狀態(tài)空間描述：此系統(tǒng)可看作：兩系統(tǒng)串聯(lián)而得所求的控制器可表示為：串聯(lián)系統(tǒng)推導(dǎo)：結(jié)論[串聯(lián)系統(tǒng)能控性]：上述串聯(lián)系統(tǒng)為完全能控的一個充分條件為：〔1〕〔2〕對的每一個根，成立：

：參考輸入和擾動信號共同不穩(wěn)定最小公倍式，：輸出維數(shù)。串聯(lián)系統(tǒng)的可控性：結(jié)論：受控系統(tǒng)可按上圖所示的控制方式實現(xiàn)無靜差跟蹤的充分條件為：〔1〕〔2〕對的每一個根，成立：

最小公倍式，輸出維數(shù)。無靜差跟蹤可解條件：選其它伺服補償器和鎮(zhèn)定補償器從圖中可以看出：一個無靜差跟蹤控制系統(tǒng)，實質(zhì)上是一個包含補償器的輸出反響系統(tǒng)。一般情況：結(jié)論：可使上圖的控制系統(tǒng)實現(xiàn)無靜差跟蹤的條件是：引入的補〔1〕可對系統(tǒng)實現(xiàn)鎮(zhèn)定；〔2〕伺服補償器中必須包含和的不穩(wěn)定信號償器必須滿足如下條件：模型。無靜差跟蹤控制算法：Step1：判斷