4.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系新授課1.理解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，掌握它們的圖像間的對(duì)稱關(guān)系；2.利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．回顧：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的聯(lián)系.例如，當(dāng)

a>0

且

a

≠

1

時(shí)，有

y=ax?x

=

loga

y.問(wèn)題1：結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，完成下表：知識(shí)點(diǎn)1：反函數(shù)的定義函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax定義域

值域

單調(diào)性0<a<1時(shí)，為_(kāi)_______；a

>

1時(shí)，為_(kāi)_______.(0，+∞)R(0，+∞)R減函數(shù)增函數(shù)思考：觀察上表中指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，說(shuō)說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)？指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)之間的聯(lián)系函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax定義域

R

(0，+∞)值域

(0，+∞)R

單調(diào)性0<a<1時(shí)，為減函數(shù)；a

>

1時(shí)，為增函數(shù).歸納總結(jié)由上可知，指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax

中：（1）一個(gè)函數(shù)的定義域是另一個(gè)函數(shù)的值域；（2）單調(diào)性相同；（3）通過(guò)對(duì)調(diào)其中一個(gè)函數(shù)的自變量和因變量，可得到另一個(gè)函數(shù).反函數(shù)

一般地，如果在函數(shù)

y

=

f

(x)中，給定值域中任意一個(gè)

y

的值，只有唯一的

x

與之對(duì)應(yīng)，那么

x

是

y

的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為

y

=

f

(x)的反函數(shù)，此時(shí)，稱

y

=

f

(x)存在反函數(shù).

如果函數(shù)的自變量仍用

x

表示，因變量仍用

y

表示，則函數(shù)

y

=

f

(x)的反函數(shù)的表達(dá)式，可以通過(guò)對(duì)調(diào)

y

=

f

(x)中的

x

與

y，然后從

x

=

f

(y)中求出

y

得到.

例如：y

=

2x是增函數(shù)，因此任意給定一個(gè)

y

值，只有唯一的

x

與之對(duì)應(yīng)，所以y

=

2x存在反函數(shù)；對(duì)調(diào)y

=

2x中的

x

和

y

得x

=

2y，解得y

=

log2x.

因此

y=log2

x

是

y

=

2x

的反函數(shù).概念生成問(wèn)題2：如圖是同一直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)

y

=

2x

與它的反函數(shù)

y=log2

x

的圖像，仔細(xì)觀察圖像，說(shuō)說(shuō)你有什么發(fā)現(xiàn)？函數(shù)

y

=

2x

與它的反函數(shù)

y=log2

x

的圖像關(guān)于直線

y=x

對(duì)稱.歸納總結(jié)

一般地，函數(shù)

y

=

f

(x)的反函數(shù)記作

y

=

f

-1(x)，由此可得，反函數(shù)的性質(zhì)如下：（1）y

=

f

(x)的定義域與

y

=

f

-1(x)的值域相同；（2）y

=

f

(x)的值域與

y

=

f

-1(x)的定義域相同；（3）y

=

f

(x)與

y

=

f

-1(x)的圖像關(guān)于直線

y=x

對(duì)稱.函數(shù)

y=log3x

的定義域?yàn)?/p>

(0，+∞)，則其反函數(shù)的值域是

()A．(0，+∞)

B．R

C．(－∞，0)

D．(0，1)練一練A若函數(shù)

y=f

(x)

的反函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)

(1，5)，則函數(shù)

y=f

(x)

的圖像必過(guò)點(diǎn)

()A．(1，1)

B．(1，5)

C．(5，1)

D．(5，5)練一練C典例剖析例1：分別判斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，寫出反函數(shù).（1）

；（2）.x12345f(x)00135x12345g(x)-101-25解：（1）因?yàn)?/p>

f(x)=

0

時(shí)，x

=

1或x

=

2，即對(duì)應(yīng)的

x

不唯一，因此

f(x)的反函數(shù)不存在；（2）因?yàn)閷?duì)

g(x)的值域{-1，0，1，-2，5}中任意一個(gè)值，都只有唯一的

x與之對(duì)應(yīng)，因此

g(x)的反函數(shù)

g

-1(x)存在，而且反函數(shù)可以表示如下.x-2-1015g

-1(x)41235（一種情況）例2：判斷

f(x)=

2x

+

2

的反函數(shù)是否存在，如果不存在，說(shuō)明理由；如果存在，寫出反函數(shù)

f-1(x)的解析式，并在同一平面直角坐標(biāo)系中作出

f(x)與

f-1(x)的函數(shù)圖像.解：因?yàn)?/p>

f(x)=

2x

+

2

是增函數(shù)，因此任意給定值域中的一個(gè)值，只有唯一的

x

與之對(duì)應(yīng)，所以

f(x)存在反函數(shù)；令

y

=

2x

+

2，對(duì)調(diào)其中的

x

和

y

得

x

=

2y

+

2，解得

，因此

f-1(x)=

；

f(x)與

f-1(x)的函數(shù)圖像如圖所示.yOx11

f(x)=

2x

+

2思考：結(jié)合上述兩個(gè)實(shí)例，說(shuō)說(shuō)函數(shù)

f(x)存在反函數(shù)的條件是什么？歸納總結(jié)

函數(shù)

f(x)存在反函數(shù)的條件：（1）在函數(shù)

y

=

f

(x)中，給定值域中任意一個(gè)

y

的值，只有唯一的

x

與之對(duì)應(yīng)；（2）如果

y

=

f

(x)是單調(diào)函數(shù)，那么它的反函數(shù)

y

=

f-1(x)

一定存在.

性質(zhì)：如果

y

=

f

(x)是增函數(shù)，則

y

=

f-1(x)也是增函數(shù)；

如果

y

=

f

(x)是減函數(shù)，則

y

=

f-1(x)也是減函數(shù).解：由

y=x+3得

x=y-3，將

x，y

互換后得

y=x-3，所以原函數(shù)

y=x+3的反