卷04（北京卷數學）-2021屆高考數學沖刺模擬測試卷

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中,

選出符合題目要求的一項。

若集合2則

1.A={xeZ|-l<x<2},B={X|X-2X=0},AB=（）

A.{0}B.{0,1}C,{0,1,2}D.{-1,0,1,2）

【答案】C

【分析】

化筒集合，再求并集即可.

【詳解】

A={0,l},8={0,2}AB={0,l,2}

故選：C

【點睛】

本題主要考查了集合的并集運算，屬于基礎題.

2.若復數z滿足二=i,則z對應的點位于（）

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】

利用復數的四則運算化簡復數z,確定對應復平面的點，即可得出答案.

【詳解】

Z=i（l+i）=-1+i,其對應復平面的點為（一1,1）,在第二象限

故選：B

【點睛】

本題主要考查了復數的四則運算以及幾何意義，屬于基礎題.

3.圓（x-iy+y2=2的圓心到直線x+y+l=O的距離為（）

A.2B.J2C.1D.—

2

【答案】B

【分析】

由圓的方程得出圓心坐標，利用點到直線的距離公式得出答案.

【詳解】

圓（x-1了+V=2的圓心坐標為（1,0）

I1+0+1IFT

則圓心（1,0）到直線x+y+1=0的距離d=,-二_=V2

VI2+12

故選：B

【點睛】

本題主要考查了點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題.

4.下列函數中，既是奇函數又在區(qū)間（0,+8）上單調遞減的是（）

,1

A.y=-jc+2B.y=2~xC.y=lnxD.y=-

【答案】D

【分析】

根據函數的奇偶性及單調性對4個選項一一判斷，即可得出答案.

【詳解】

2

由基本函數的性質得：y=—V+2為偶函數，丁=2-'為非奇非偶函數，y=lnx為非奇非

偶函數，y=：為奇函數，且在區(qū)間（O,"）上單調遞減.

故選：D

【點睛】

本題主要考查函數的奇偶性與單調性，屬于基礎題目.

5.已知圓C與圓（萬-1）2+丁=1關于原點對稱，則圓C的方程為（）

A.x2+y2=lB.?+（y+l）2=l

C.Jt2+（y-l）2-lD.（x+l）2+y2=i

【答案】D

【分析】

利用對稱性，可得點。坐標以及圓c的半徑，然后可得結果.

【詳解】

由題可知：圓C的圓心。（一1,0）,半價為1,所以圓C的方程為：（x+iy+y2=l

故選：D

【點睛】

本題考查圓的方程，直觀形象，簡單判斷，對圓的方程關鍵在于半徑和圓心，屬基礎題.

6.“割圓術”是我國古代計算圓周率乃的一種方法.在公元263年左右，由魏晉時期的數學家

劉徽發(fā)明.其原理就是利用圓內接正多邊形的面積逐步逼近圓的面積，進而求4.當時劉微就

是利用這種方法，把R的近似值計算到3.1415和3.1416之間，這是當時世界上對圓周率左

的計算最精確的數據.這種方法的可貴之處就是利用已知的、可求的來逼近未知的、要求的,

用有限的來逼近無窮的.為此，劉微把它概括為“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不

可割，則與圓合體，而無所失矣這種方法極其重要，對后世產生了巨大影響，在歐洲，這

種方法后來就演變?yōu)楝F在的微積分.根據“割圓術”，若用正二十四邊形來估算圓周率乃，則乃

的近似值是（）（精確到（）.01）（參考數據sin15°?0.2588）

S26￥

951

嘉

、

"、

秀00

64

6'2

>V6

34

-*2

冤$

*3

S

O

A.3.05B.3.

c1D4

3.13.

【分析】

假設圓的半徑為r,根據以圓心為頂點將正二十四邊形分割成全等的24個等腰三角形，頂

角為隨，計算正二十四邊形的面積，然后計算圓的面積，可得結果.

24

【詳解】

設圓的半徑為r,

以圓心為頂點將正二十四邊形分割成全等的24個等腰三角形且頂角為也=15

24

1,

所以正二十四邊形的面積為24?一"?r?sinl5=12戶sinl5

2

所以12/sin15=%r2=%=5sinl5?3.11

故選：c

【點睛】

本題考查分割法的使用，考驗計算能力與想象能力，屬基礎題.

7.已知點A（2,a）為拋物線y2=4x圖象上一點，點尸為拋物線的焦點，則目等于（）

4

A.3B.2V2C.2D.V2

【答案】A

【分析】

由拋物線焦半徑公式可直接求得結果.

【詳解】

由拋物線方程知：F(1,O),.'.|AF|=2+1=3.

故選：A.

【點睛】

本題考查拋物線焦半徑的求解，關鍵是熟練應用拋物線的定義得到焦半徑公式.

8.若函數〃x)=sin2x的圖象向右平移2個單位長度得到函數g(x)的圖象，若函數g(x)

在區(qū)間［0,可上單調遞增，則a的最大值為()

5不n7兀2乃

A.----B.—C.----D.—

122123

【答案】A

【分析】

根據三角函數平移變換可求得g(x),利用代入檢驗的方式得到整體的范圍，根據正

弦函數單調區(qū)間可構造不等式求得結果.

【詳解】

/(X)向右平移?個單位得：^(x)=/X--=sin2x~~,

1兀萬冗

當x￡r［0,a］時，2天一耳￡——,2a——,

33

g(x)在［0,a］上單調遞增，.，.一耳v2a—］K］,解得：0<〃<法",

???”的最大值為一.

12

故選：A.

【點睛】

本題考查根據正弦型函數的單調性求解參數范圍的問題，涉及到三角函數的平移變換問題;

關鍵是能夠熟練應用整體對應的方式，結合正弦函數的單調區(qū)間來構造不等式求得結果.

9.如圖，陰影表示的平面區(qū)域W是由曲線x-y=O,/+：/=2所圍成的.若點P（x,y）

在W內（含邊界），則z=4x+3y的最大值和最小值分別為（）

A.5VLTB.572--572C.7,-572D.7,-7

【答案】A

【解析】

【分析】

根據目標函數表示直線，結合圖象確定可行域，確定最優(yōu)解，即得結果.

【詳解】

41_4

目標函數z=4x+3y化為：y=--x+-z,回出y=的圖象，并平移，如圖，

當平移到與圓相切時，目標函數在y釉上的截距最大，由圓心0到直線z=4x+3y距離d

=H=|=V2.得z的最大值為5JL

6

冗一y=0

當平移到直線與圓的交點B時，目標函數在y軸上的截距最小，由+得B點坐

標為(-1,—1),所以，z的最小值為一7,

故選：A

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃求最值，考查基本分析求解能力，屬基本題.

「9~

10.函數/(x)=x,g(x)=%2-x+2.若存在百,工2,…,X”C0,-，使得

〃與)+/(%2)+…+/(/T)+g(x.)=g(%)+g(W)++g(x.T)+/(X")，則〃的最

大值是()

A.8B.1]C.14D.18

【答案】C

【分析】

「9

令7?(%)=/-2*+2,原方程可化為存在芯,々，…,X”e0,-,使得

為(％)+/?(W)+…+〃(4_1)=7?(玉)，算出左側的取值范圍和右側的取值范圍后可得〃的

最大值.

【詳解】

-9一

因為存在玉,刀2,…,X”€0,-,

使得/(x)+/(w)+…+/(x,i)+g(x,J=ga)+g(w)++g(ZT)+/(x”)，

故片-2x,+2++x：i-2x〃[+2=x；—2x+2.

「9l53

令〃(%)=幺-2x+2,xe0,—,則14〃(％)4彳，

5353

故〃一1<x；—2玉+2++—2xn_t+2<—(/?-1),因為

53

—,故〃皿=14?

故選：C.

【點睛】

本題考查二次函數的最值，注意根據解析式的特征把原方程合理整合，再根據方程有解得到

〃滿足的條件，本題屬于較難題.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.在等差數列｛叫中，=3,?2+?5=16,則數列｛%｝的前4項的和為.

【答案】24

【分析】

利用等差數列基本量關系求通項.利用等差數列前〃項和公式求出s?.

【詳解】

設等差數列的公差為

%+%=16,4+d+4+4d=16,4=3,

:.d=2,\=4+(〃-l)d=3+(〃-1)?22〃+1,

8

=4（…）=g=24.

422

故答案為：24

【點睛】

本題考查解決等差數列通項公式及前〃項和S“.

（1）等差數列基本量計算問題的思路：與等差數列有關的基本運算問題，主要圍繞著通項

公式4=4+（〃—l）d和前〃項和公式S”=幽詈1=〃4+四產■,在兩個公式中共

涉及五個量：%,d,n,an,S?,已知其中三個量，選用恰當的公式，利用方程（組）可求出

剩余的兩個量.

12.能夠說明“設。，匕是任意非零實數"，若"a＞b,則工＜?”是假命題的一組整數a,匕的

ab

值依次為.

【答案】2,一1；（答案不唯一）

【分析】

取。=2/=-1,再使用反證法即可得出答案.

【詳解】

取。=2,6=-1,則。＞匕，但是，＞—,即一＞—.

2-1ab

故答案為：2,-1.

【點睛】

本題考查了真假命題的定義及反例的應用，屬于基礎題目.

13.長沙市為了支援邊遠山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由13名教師組成的隊伍下鄉(xiāng)支教，

記者采訪隊長時詢問這個團隊的構成情況，隊長回答：“（1）有中學高級教師；（2）中學教

師不多于小學教師；（3）小學高級教師少于中學中級教師；（4）小學中級教師少于小學高級

教師；（5）支教隊伍的職稱只有小學中級、小學高級、中學中級、中學高級；（6）無論是否

把我計算在內，以上條件都成立.”由隊長的敘述可以推測出他的學段及職稱分別是—.

【答案】小學中級

【分析】

設小學中級、小學高級、中學中級、中學高級人數分別為a,b,Gd，根據條件列不等式組,

推出a,bed取法，根據取法推測隊長的學段及職稱.

【詳解】

設小學中級、小學高級、中學中級、中學高級人數分別為

則a+6+c+d=13,dNl,c+d?a+b,b<c,a<6

所以13—（。+方）Wa+）,：.。+方27,c+dW6,

若。+0=7,則。+”=6,a<b:.a=3,b=4,c=5,d=1,

若。+匕28,則c+dW5,</>1c<4,匕（c.?.匕《3,a25）。矛盾

隊長為小學中級時，去掉隊長則a=2/=4,c=5,d=l,

滿足d=\>\,c+d=6<a+b=4,b=4<c=5,a—2<b=4-

隊長為小學高級時，去掉隊長則a=3,〃=3,c=5,d=l,不滿足。<匕；

隊長為中學中級時，去掉隊長則a=3,b=4,c=4,"=l,不滿足8<c；

隊長為中學高級時，去掉隊長則。=3,匕=3,c=5,Q=0,不滿足dNl；

綜上可得隊長為小學中級.

【點睛】

本題考查不等式性質，考查論證推理能力，屬難題.

14.二項式（2x—的展開式共有7項，則〃=；常數項為

10

【答案】6-160

【分析】

由展開式的項數可確定〃=6,令展開式通項中的x的幕指數等于零可求得乙代入展開式

的通項公式可求得常數項.

【詳解】

(1Y

2x--展開式共有7項，.?.〃=6；

2x——展開式的通項公式為=最(2x)6-'(_1)，.26-「瑪聲2「

令6—2廠=0,解得：r=3,

2x--展開式的常數項為n=-23(^=-160.

Ix)

故答案為:6；-160.

【點睛】

本題考查利用二項式定理求解指定項的問題，涉及到根據展開式的項數求解某指數的問題;

關鍵是熟練掌握二項展開式通項公式的形式.

ln(x+2),x>—1,

15.設函數={,當/(&)=-1時，。=—；如果對于任意的xeR

-2.x-4,x<—1.

都有f(x)N)，那么實數b的取值范圍是一.

3

【答案】一7(一°0,-2]

2

【分析】

由分段函數解方程可得〃的值；由對數函數和一次函數的單調性，可得/(x)的值域，由不

等式恒成立思想可得匕的范圍.

【詳解】

若論一1,則有l(wèi)n（〃+2）=—l,解得：a=—2<—1,不符；

3

若aV—1,則有一2a—4=-1,解得：a=<—I,符合題意，

2

3

所以，a=——；

2

畫出函數的圖象，由圖可知/（X）的值域為（-2,+00）,對于任意的x￡R都有/CO>bf

則有匕<〃）而，所以，b<-2

3

故答案為一5，（-8,-2].

【點睛】

本題考查分段函數的運用：求自變量和值域，考查不等式恒成立問題的解法，考查運算能力,

屬于基礎題.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.（本小題13分）

已知銳角ABC,同時滿足下列四個條件中的三個：

jr1

①4=—②a=13③c=15④sinC=-

33

（1）請指出這三個條件，并說明理由；

（2）求ABC的面積.

12

【答案】（1）ABC同時滿足①，②，③，理由見解析.（2）3M

【分析】

（1）判斷三角形的滿足條件，推出結果即可.

（2）利用余弦定理求出b,利用面積公式求解ABC的面積.

【詳解】

（1）ABC同時滿足①，②，③.

理由如下：

若A3C同時滿足①，④，則在銳角ABC中，

sinC=-<-,所以（）<C（工

326

,JIJrI'ft

又因為A=K，所以=<A+C<K所以5>—,這與ABC是銳角三角形矛盾，

3322

所以A3C不能同時滿足①，④，所以A3C同時滿足②，③.

因為c>a所以C〉A若滿足④.

TTTT

則A<C<7?，則8>—,這與A3C是銳角三角形矛盾.故A3C不滿足④.

62

故A3C滿足①，②，③.

（2）因為儲=/+。2一2bccosA，所以132=尸+152-2xbxl5x；.

解得〃=8或8=7.

724-132-152

當b=7時，cosC=———<0.所以C為鈍角，與題意不符合，所以6=8.

2x7x13

所以ABC的面積S=L/?csinA=30j^.

2

【點睛】

本題主要考查解三角形中余弦定理的應用及面積公式的應用，屬于中檔題目.

17.(本小題13分)

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA_L平面ABCD,E、F分別是BC,

PC的中點，AB=2,AP=2,.

(1)求證：3。_L平面PAC；

(2)求二面角E—AE—C的大小.

【答案】(I)見解析(2)；

6

【詳解】

PA±平面ABC。=>PA±BD

(1)正方形46C￡>nAC_LB￡>

=>80,平面P4C

(2)以A為原點，如圖所示建立直角坐標系

A(0,0,0)￡(2,l,0)F(l,l,l)

AE=(2,l,0)AF=(l,l,l)"

14

2x+y=0

設平面FAE法向量為n=(x,y,z)，則｛

x+y+z=0

n=(l,-2,l),BD=(-2,2,0)，

n-BD2+4V3

COSen=---------=-L尸=——

\n\\BD\2yj2y2

.?.。=生，即二面角E—AF-C的大小為￡

66

18.(本小題14分)

為了提高學生的身體素質，某校高一、高二兩個年級共336名學生同時參與了“我運動，我

健康，我快樂”的跳繩、踢鍵等系列體育健身活動.為了了解學生的運動狀況，采用分層抽樣

的方法從高一、高二兩個年級的學生中分別抽取7名和5名學生進行測試.下表是高二年級的

5名學生的測試數據(單位：個/分鐘)：

學生編號12345

跳繩個數179181168177183

踢犍個數8578797280

(1)求高一、高二兩個年級各有多少人？

(2)設某學生跳繩6個/分鐘，踢健〃個/分鐘.當機2175,且〃275時，稱該學生為“運動

達人”.

①從高二年級的學生中任選一人，試估計該學生為“運動達人''的概率；

②從高二年級抽出的上述5名學生中，隨機抽取3人，求抽取的3名學生中為“運動達人”的

人數4的分布列和數學期望.

39

【答案】(1)196人，140人；⑵①二；②分布列見解析，￡?)=-

【分析】

⑴按照比例求解即可；

(2)①根據題意找出高二學生中的“運動達人”的個數，根據概率公式即可求解；

②找出4可能的取值，算出相應的概率，列出分布列，即可得到J的期望.

【詳解】

(1)設高一年級有a人，高二年級有6人.

有，=』

采用分層抽樣,L=，±

3361233612

所以高一年級有196人，高二年級有140人.

(2)從上表可知，從高二抽取的5名學生中，編號為1,2,5的學生是“運動達人”.

3

故從高二年級的學生中任選一人，該學生為“運動達人”的概率估計為二.

(3)J的所有可能取值為L2,3.

r'C23C2cl3C31

—D=—太=《"3)=才歷

所以J的分布列為

123

331

P

10510

3319

故4的期望49=1'6+2、彳+3、6=1.

JLV/。JLV_z?7

【點睛】

本題主要考查了分層抽樣各層個數的求法以及求離散型隨機變量的均值，屬于中檔題.

19.(本小題15分)

已知函數/(x)=lnx---1.

(1)若曲線y=/(x)存在斜率為-1的切線，求實數a的取值范圍；

(2)求“X)的單調區(qū)間;

16

Y*_i_a

(3)設函數g(x)=三求證：當一l<a<0時,g(x)在(1,內)上存在極小值.

【答案】(1)(—,0).(2)答案見解析；(3)證明見解析.

【詳解】

試題分析：

(1)求出函數的導數，問題轉化為必+%+4=0存在大于0的實數根，根據y=d+x+a

在x〉0時遞增，求出。的范圍即可；

(2)求出函數的導數，通過討論。的范圍，判斷導數的符號，求出函數的單調區(qū)間即可；

(3)求出函數g(x),根據/(e)=-?>0,得到存在％w(l,e),滿足g'(%o)=O,從而

讓得到函數單調區(qū)間，求出函數的極小值，證處結論即可.

試題解析：

(1)由/(x)=lnx_?_l得/(x)=J+/=^^(x>0).

由已知曲線y=/(x)存在斜率為-1的切線，所以/。)=-1存在大于零的實數根，

即V+%+a=0存在大于零的實數根，因為y=d+%+。在%>0時單調遞增，

所以實數a的取值范圍(-8,0).

(2)由/'(*)=史",%>0,4€7?可得

當。2()時，/'(x)>0,所以函數“X)的增區(qū)間為(0,+8);

當"0時，若xe(-a,+oo),/'(x)>0,若xe(0,-a),/'(x)<0,

所以此時函數/(x)的增區(qū)間為(一。,田)，減區(qū)間為(0,一。).

,a1

x+aInx----1

(3)由g(x)=x

Inxzw

(叫2

由一1<"0可得0<—a<l,由⑵可知函數在(-凡物)上遞增,

所以7(1)=一取x=e，顯然e>l,

/(e)=ln￡----l=-->0,所以存在玉w(l,e)滿足/(玉))=0,即存在與e(l,e)滿足

g'(xo)=O,所以g(x),g'(x)在區(qū)間(1,+oo)上的情況如下：

x(l,x0)xQ(x0,+oo)

g'(x)-0+

g(x)、極小/

所以當-1<av0時,g(x)在(1,+00)上存在極小值.

點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知

識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向

及命題角度從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的

幾何意義，往往與解析兒何、微積分相聯(lián)系.(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；

已知單調性，求參數.(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數形

結合思想的應用.

20.(本小題15分)

已知橢圓C：f+3y2=6的右焦點為尺

(1)求點尸的坐標和橢圓C的離心率；

(2)直線/:y=反+0)過點尸，且與橢圓C交于P,Q兩點，如果點P關于x軸的

對稱點為P，判斷直線戶。是否經過x軸上的定點，如果經過，求出該定點坐標；如果不經

過，說明理由.

【答案】(1)焦點尸(2,0),離心率e=曰(2)是過x軸上的定點；定點(3,0)

【分析】

18

（1）由橢圓的標準方程即可得出;

（2）直線/:丁=依+加化wO）過點凡可得/:y=Z（x-2）,代入橢圓的標準方程可得：

（342+1卜2_]2左28+12公一6=0.（依題意4〉0）.設P（XQJ,。（々，乂），可得根與

系數的關系，點P關于x軸的對稱點為尸’，則P（玉,-x）.可得直線P0的方程可以為

丁+凹=生生（》一百），令y=0,x=&"-十九+%=+石必，把根與系數的關

馬一百y+%乂+%

系代入化簡即可得出.

【詳解】

22

（1）橢圓。：二+二=1,.?"2=/—〃=4,解得C=2,

62

???焦點尸（2,0）,離心率e邛.

（2）直線/:y=^r+m（左H0）過點凡

:.m=-2k,:.l:y=k（x-2）.

由一+3；V—，，得（3左2+1卜2_]2左2X+]2左2一6=0.（依題意/>0）.

y=k[x-2）'7

設P@，x）,Q（肛％），則，當飛二空1-

3K十13K十1

點P關于無軸的對稱點為P,則P（%,一%）.

直線P'Q的方程可以設為y+y=??（x—x）,

令y=0,.出口b+―X+—

■y+為X+%

kx2（xt-2）+（x2-2）2%也一2（為+%）

k（^x]+x2—4）+x2—4）

2X^6-2X12公

3A2+1|EZ1=3

12公彳

3FZ1-4

直線P'Q過x軸上定點（3,0）.

【點睛】

本題主要考查直線與橢圓的位置關系，涉及到橢圓的離心率、橢圓中的定點問題，考查學生

的數學運算求解能力，是一道中檔題.

21.（本小題15分）

設〃為給定的大于2的正整數，集合S={1,2,已知數列4：毛滿足

條件:

①當時，x（.e5；

②當14i</4〃時，天工龍八

如果對于14i</4〃，有七〉七，則稱（七,勺）為數歹U4的一個