PAGE圓錐曲線難題破解一、用圓錐曲線的定義簡(jiǎn)捷解題。例1：設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則|PF1||PF2|的最小值是__________.結(jié)論1若P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓上的任意一點(diǎn)，則b2|PF1||PF2|a2.結(jié)論2若點(diǎn)P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線上的任意一點(diǎn)，則|PF1||PF2|.例2：如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1），F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PF1|的最小值為________.（如果要求|PA|+|PF1|的最大值呢？）二、從分析圖像特征尋求解題思路例1：（2010年北京卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交與點(diǎn)M,N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.例2：（2009年湖北卷）過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)A（,0）(>0)的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)，自M,N向直線作垂線，垂足分別為,.當(dāng)=時(shí)，求證：.記的面積分別為是否存在，使得對(duì)任意的>0，都有成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.三、“定”型問(wèn)題1、定點(diǎn)問(wèn)題:例1：已知橢圓C：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切。求橢圓C的方程；設(shè)P（4,0），A，B是橢圓C上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C與另外一點(diǎn)E，證明直線AE與軸相交于定點(diǎn)Q；在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)Q的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，求的取值范圍.2、定值問(wèn)題：例2：已知橢圓的離心率為.若原點(diǎn)到直線，求橢圓的方程.設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線和橢圓交與A,B兩點(diǎn)（?。┊?dāng)|AB|=時(shí)，求b的值；（ⅱ）對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)M，若,求實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式.例3：給定橢圓C：，稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為.求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M,N.當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求的方程；求證：|MN|為定值.四、最值問(wèn)題例1：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是：1.求橢圓C的方程；若橢圓C在第一象限的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A,B，求證：直線AB的斜率為定值；求的面積的最大值.例2：已知拋物線，點(diǎn)M（1,0）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為N，直線過(guò)點(diǎn)M交拋物線于A,B兩點(diǎn).證明：直線NA，NB的斜率互為相反數(shù).求面積的最小值.當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（,0）(>0,且)時(shí)，根據(jù)（1）（2）推測(cè)并回答下列問(wèn)題（不必說(shuō)明理由）：直線NA，NB的斜率是否互為相反數(shù)？面積的最小值是多少？例3：長(zhǎng)為（<1）的線段AB的兩端在拋物線上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離等于________.五、對(duì)稱問(wèn)題例1：在拋物線上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則k的取值范圍是_________.六、存在性問(wèn)題例1：（2009年山東卷）設(shè)橢圓E：過(guò)M（2，），N（，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).求橢圓E的方程.是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且?若存在，寫出該圓的方程，并求||的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.例2：（2008年山東卷）如圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A,B.求證：A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.已知當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，|AB|=，求此時(shí)拋物線的方程.是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例3（2007年上海卷）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，b>c>0.如圖，點(diǎn)、、是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，、和、分別是“果圓”與x、y軸的交點(diǎn).（1）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；（2）當(dāng)>||時(shí)，求的取值范圍；（3）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)k，使斜率為k的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的k值；若不存在，說(shuō)明理由.

答案解一、用圓錐曲線的定義簡(jiǎn)捷解題。例1：解析：方法1：解：設(shè)||=x,則由橢圓定義得||=4-x，易知，即.==，在[，2]上遞增，在[2,2+]上遞減，所有在或2+時(shí)取得最小值。所有=+4=1.方法2：解：設(shè)P（，），則由焦半徑公式得||=2+，||=2-，所以.因?yàn)?，所以?dāng)=-2或=2時(shí)，取得最小值1.例2：解析：解：已知橢圓的半軸長(zhǎng)=3，由橢圓定義，可得6==+.所以.因?yàn)橛医裹c(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0），所以.所以（此時(shí)P,A,共線，且A在P，之間）.二、從分析圖像特征尋求解題思路例1：解析：解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－1)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)．由題意得，化簡(jiǎn)得＝4(x≠±1)．故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＝4(x≠±1)．(2)方法1：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(3，)、(3，)，則直線AP的方程為y－1＝(x＋1)，直線BP的方程為y＋1＝(x－1)．令x＝3得＝，＝.于是△PMN的面積S△PMN＝＝.又直線AB的方程為x＋y＝0，|AB|＝，點(diǎn)P到直線AB的距離d＝，于是△PAB的面積S△PAB＝|AB|·d＝.當(dāng)S△PAB＝S△PMN時(shí)，得＝又≠0，所以(3－)2＝|－1|，解得＝.因?yàn)椋?＝4，所以＝±.故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，±)．方法2：若存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．則|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|sin∠MPN.因?yàn)閟in∠APB＝sin∠MPN，所以,即，即(3－)2＝|－1|，解得＝.因?yàn)椋?＝4，所以＝±.故存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，±)．例2：解析：分析：本小題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力.解:依題意,可設(shè)直線MN的方程為x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),則有M1(-a,y1),N1(-a,y2).由，消去x可得.從而有

①于是x1+x2=m(y1+y2)+2a=2(m2p+a).

②又由y12=2px1,y22=2px2,可得.

③(1)如右圖,當(dāng)時(shí),點(diǎn)A(,0)即為拋物線的焦點(diǎn),l為其準(zhǔn)線.此時(shí)M1(,y1),N1(,y2),并由①可得y1y2=-p2.方法1∵=(-p,y1),=(-p,y2),∴·=p2+y1y2=p2-p2=0,即AM1⊥AN1.方法2:∵,,∴,

即AM1⊥AN1.

(2)存在λ=4,使得對(duì)任意的a＞0,都有S22=4S1S3成立.證明如下:方法1:記直線與x軸的交點(diǎn)為A1，則|OA|=|OA1|=a.于是有S1=·|MM1|·|A1M1|=,S2=·|M1N1|·|AA1|=a|y1-y2|,S3=·|NN1|·|A1N1|=.∴S22=4S1S3(a|y1-y2|)2=(x1+a)|y1|·(x2+a)|y2|a2［(y1+y2)2-4y1y2］=［x1x2+a(x1+x2)+a2］|y1y2|.將①②③代入上式化簡(jiǎn)可得a2(4m2p2+8ap)=2ap(2am2p+4a2)4a2p(m2p+2a)=4a2p(m2p+2a).上式恒成立,即對(duì)任意a＞0,S22=4S1S3成立.方法2:如右圖所示,連結(jié)MN1,NM1,則由y1y2=-2ap,y12=2px1,可得,∴直線MN1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.同理可證直線NM1也經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.又|OA|=|OA1|=a,設(shè)|M1A1|=h1,|N1A1|=h2,|MM1|=d1,|NN1|=d2,則,S2=·2a(h1+h2)=a(h1+h2),.∵M(jìn)M1∥NN1∥AA1,∴△OA1M∽△NN1M1,△OA1N1∽△MM1N1.∴,,則即a(h1+h2)=h1d2=h2d1.④而.

⑤將④代入⑤,即得λ=4,故對(duì)任意a＞0,S22=4S1S3成立.三、“定”型問(wèn)題例1：解析：（1）由題意知，所以，即.又因?yàn)?，所以故橢圓C的方程為.(2)由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為.由，得.①設(shè)點(diǎn)B，E，則A.直線AE的方程為，令y=0，得.將代入并整理，得.②由①式得，代入②整理得x=1.所以直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q（1,0）.(3)當(dāng)作點(diǎn)Q的直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為，且在橢圓C上.由，得，易知，故.所以.因?yàn)?所以.當(dāng)過(guò)點(diǎn)Q的直線MN的斜率不存在時(shí)，其方程為x=1，解得M（1，）N（1，）.此時(shí).綜上所述，的取值范圍是[-4，].例2：解析：（1），，再根據(jù)，得b=2,.所以橢圓的方程為.（2）（?。┮?yàn)?，所?橢圓的方程可化為.①易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，據(jù)題意有AB所在的直線方程為.②由①②式，有③設(shè)A，由③得.因?yàn)?，所以b=1.（ⅱ）顯然可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使得等式成立.設(shè)M（x,y）.因?yàn)?，所?又點(diǎn)M在橢圓上，所以，整理得.④.⑤又A,B在橢圓上，故.⑥將⑤⑥代入④式可得，即為實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式.例3：解析：（1）因?yàn)?，所以b=1.所以橢圓的方程為，準(zhǔn)圓的方程為.（2）①因?yàn)闇?zhǔn)圓與y軸正半軸的交點(diǎn)為P(0,2)，所以設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,2)，且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為.所以消去y，得因?yàn)闄E圓與只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得.所以的方程分別為②（?。┊?dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率.因?yàn)榕c橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是，即為，顯然直線垂直.同理可證的方程為時(shí)，直線垂直.（ⅱ）都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中.設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，則消去y，得，即..化簡(jiǎn)，得因?yàn)?所以設(shè)的斜率分別為因?yàn)榕c橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足上述方程所以=-1，即與垂直.綜合（?。áⅲ┲阂?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，又分別交其橢圓于點(diǎn)M,N，且垂直，所以線段MN為準(zhǔn)圓的直徑，所以|MN|=4.四、最值問(wèn)題例1：解析：（1），，，所以，a=2，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以橢圓C的方程為.（2）P的橫坐標(biāo)為1，所以.由題意知，兩直線PA,PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為k，則PB的直線方程為.由得.設(shè)，則.同理可得，則.所以直線AB的斜率為定值.（3）設(shè)AB的直線方程為.由得.由.此時(shí).P到AB的距離為，則.因?yàn)槭古袆e式大于零，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以面積的最大值為.例2：解析：（1）設(shè)直線的方程為.由可得.設(shè)，則.所以.因?yàn)镹（-1,0），所以.又當(dāng)垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，顯然.綜上所述，.（2）.當(dāng)垂直于軸時(shí)，.所以面積的最小值為4.（3）推測(cè)：①；②面積的最小值為.例3：解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由對(duì)稱性知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，于是又以下關(guān)系成立：解這幾個(gè)式子得即，.因?yàn)楫?dāng)x=a時(shí)取最小值，當(dāng)x>a時(shí)，是單調(diào)遞增的，又，y關(guān)于是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)x=0時(shí)y取得最小值.五、對(duì)稱問(wèn)題例1：解析：方法1：設(shè)兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，直線BC的方程為將其代入拋物線方程，得.若設(shè)BC的中點(diǎn)為.因?yàn)镸在直線上，所以，即.①線段BC與拋物線相交于于兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以.②將①式代入②式，經(jīng)化簡(jiǎn)得，即.因?yàn)?，所?方法2：設(shè)兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且BC的中點(diǎn).因?yàn)?，所以，?所以.又，所以.因?yàn)樵趻佄锞€的內(nèi)部，所以，即，解得.六、存在性問(wèn)題例1：解析：分析:本題考查橢圓,直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想.

(1)將M、N的坐標(biāo)代入橢圓E的方程化解解得＝8,＝4.所以橢圓E的方程為.(2)證明:假設(shè)滿足題意的圓存在,其方程為,其中0＜R＜2.設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于,兩點(diǎn),當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),令直線AB的方程為y＝kx+m,①將其代入橢圓E的方程并整理得.由韋達(dá)定理得,.②因?yàn)?所以.③將①代入③并整理得,聯(lián)立②得.④因?yàn)橹本€AB和圓相切,因此.由④得,所以存在圓滿足題意.當(dāng)切線AB的斜率不存在時(shí),切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足.綜上所述,存在圓滿足題意.因?yàn)樗?當(dāng)時(shí)，.由，得所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).當(dāng)時(shí)，.當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為或.所以.綜上，的取值范圍為，即.例2：解析：（1）證明：由題意設(shè).由得，則，所以，因此直線MA的方程為，直線MB的方程為.所以

①

②由①②得，因此，即