目錄

第一講質數(shù)與合數(shù)2

第二講分解質因數(shù)5

第三講格點圖形面積9

第四講割補法求面積13

第五講流水行船問題17

第六講位值原理21

第八講倍數(shù)關系求面積24

第九講加乘原理問題29

第十講因數(shù)與倍數(shù)34

第十一講公約數(shù)與公倍數(shù)38

42

46

第十四講往返相遇及追及問題二53

第一講質數(shù)與合數(shù)

Q小熱身：

判斷下面的數(shù)能否拆成兩個數(shù)的乘積（拆出的數(shù)要大于1）

6、9、11、24、29、35、37、87、10、16

9知識精講

什么是質數(shù)？

每一個數(shù)都能寫成若干個數(shù)相乘的形式,考慮到任何一個數(shù)都能寫成若干個1乘以它本身

的形式，所以不考慮1作為乘數(shù)的情況：6=2*3,8=2X4=2X2X2、

12=2X6=3X4=2X2X3……這些數(shù)都能拆成若干個不為1的數(shù)相乘的形式，我們把這樣的數(shù)稱

為合數(shù).而像2、3、7……這些不能拆成若干個不為1的數(shù)相乘形式的數(shù)，我們稱之為質數(shù).如

果說得形象一點，質數(shù)就是“折不開”的數(shù)，合數(shù)就是拆得開的數(shù).

嚴格說來，質數(shù)就是只能被1和自身整除的數(shù);合數(shù)是除了1和它本身之外，還能被其它數(shù)整除的數(shù),

注意：1既不是質數(shù)也不是合數(shù).

100以內的質數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、

59、61、67、71、73、79、83、89、97.

質數(shù)是我們后面學習的基礎，因此同學們一定要牢牢記住常見的質數(shù).

當然,上面的這些質數(shù)只是質數(shù)大軍中的冰山一角.在100以上還有無窮多個質數(shù)，比如接

著100的就有四個質數(shù)：101、103、107、109.

例1:下面是主試委員會為第六屆“華杯賽”寫的一首詩：

美少年華朋會友、幼長相親同切磋；

比賽聯(lián)誼歡聲響、念一笑慰來者多；

九天九霄志凌云、九七共慶手相握；

聚起華夏中興力、同唱移山壯麗歌.

將詩中56個字第一行左邊第一字起逐字編為1-56號、再將號碼中的質數(shù)由小到大找來、將它們

對應的字依次排成一行、組成一句話、請寫出這句話.

練1:自然數(shù)N是一個兩位數(shù)、它是一個質數(shù)、而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質數(shù)，這

樣的自然數(shù)有哪幾個？

?知識精講

兩個不同質數(shù)相加，如果和是奇數(shù)、根據(jù)奇+偶=奇、其中一個加數(shù)肯定是2、因為2是唯一

的質偶數(shù)；如果和是偶數(shù)、根據(jù)奇+偶=偶、兩個加數(shù)都是奇數(shù).

例2:如果兩個不同的質數(shù)相加等于25、那么這兩個質數(shù)的乘積是多少？

練2:如果兩個不同的質數(shù)相加等于15、那么這兩個質數(shù)的乘積是多少？

例3:如果兩個不同的質數(shù)相加等于26、那么這兩個質數(shù)的乘積可能是多少？請全部寫出.

練3：如果兩個不同的質數(shù)相加等于16、那么這兩個質數(shù)的乘積可能是多少？請全部寫出.

例4:三個互不相同的質數(shù)相加，和為40,這三個質數(shù)的乘積可能是多少？請全部寫出.

練4:如果三個互不相同的質數(shù)相加、和為52、這三個質數(shù)可能是多少？

摩思維拓展

甲、乙兩人的年齡和為一個兩位質數(shù)、這個數(shù)的個位與十位數(shù)字的和是13、甲比乙大13

歲、那么乙今年多大？

第二講分解質因數(shù)

。小熱身:

嘗試把下面的數(shù)分別拆成兩個數(shù)的乘積（拆出的數(shù)要大于1）:

12、25、39、87、121、134、345.

◎知識精講

通過前面的學習、我們知道了質數(shù)與和合數(shù)的概念.而每個合數(shù)也都可以寫成幾個質數(shù)相

乘的形式、比如30=2X3X5.其中質數(shù)2、3、5、我們稱之為30的質因數(shù)、那么這個拆分的過程

就叫做分解質因數(shù).同學們請注意：分解式應該把質因數(shù)按從小到大的順序寫好、每個數(shù)分解

質因數(shù)的形式是唯一的.

我們一般使用短除法來分解因數(shù).如下圖所示、我們將30分解質因數(shù)、在計算的過程中要

善用各種特殊數(shù)的整除特性.

能整除30的質數(shù)

相除后得到的商

100在分解質因數(shù)時也可以寫成：100=22X52；280在分解因數(shù)時也可以寫成

280=22*5X7.這種寫法更簡潔更方便、其中位于質因數(shù)右上角、表示質因數(shù)個數(shù)的數(shù)叫作指

數(shù)、如：

指數(shù)

指數(shù)

100=2?X52280=23X5X7

這里280的分解式中5和7的指數(shù)都是1、寫的時候可以省略.

例1:請把下面的數(shù)分解質因數(shù):

(1)360；(2)539；(3)999.

練1:請把下面的數(shù)分解質因數(shù):

(1)370；(2)12660

◎知識精講

分解質因數(shù)是學習數(shù)論問題時非常重要的方法、大家一定要能熟練的將一個數(shù)分解質因

數(shù)、這應該作為一項基本的能力來培養(yǎng).下面我們來看看如何利用分解質因數(shù)來解決問題.

例2:三個自然數(shù)的乘積為84,其中兩個數(shù)的和正好等于第三個數(shù).求這三個數(shù).

練2:3個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,這三個自然數(shù)分別是多少？

Q知識精講

通過上面例題的講解，相信大家能體會到分解質因數(shù)的好處.它就像手術刀一樣、把整數(shù)

解剖開來、讓我們把整數(shù)的組成結構看得一清二楚.很多看似復雜的問題、如果從分解質因數(shù)

的角度來看、就變得非常簡單.

例3：算式1X2X3X…X100的計算結果的末尾有多少個連續(xù)的0?

練3：算式1X2X3X…X30的計算結果的末尾有多少個連續(xù)的0?

例4：算式31X32X33X-X200的計算結果的末尾有多少個連續(xù)的0?

練4：算式11X12X13義…X75的計算結果的末尾有多少個連續(xù)的0?

傘思維拓展

三個連續(xù)自然數(shù)的乘積等于39270、那么這三個數(shù)的和等于多少？

0第三講格點圖形面積

Q小熱身：

(1)已知一個三角形的一條邊長為8、這條邊上的高是6、那么三角形的面積是多少？

(2)已知一個長方形的面積為60、長為12、那么寬是多少？

(3)已知一個正方形的邊長為6、那么面積是多少？

(4)已知一個平行四邊形的面積為20、底為5、該底所對應的高是多少？

Q知識精講

在平面幾何知識中，面積計算是最重要的組成部分之一.我們已經(jīng)學過了長方形、正方

形、平行四邊形、三角形和梯形面公式，你還記得這些公式嗎？

這一講我們將學習格點圖形的面積、用線段連結格點圍成的封閉圖形稱之為格點圖形.

雖然我們已經(jīng)學習了基本直線形的面積公式，然而大多數(shù)的格點圖形都無法直接計算面

積，需要我們通過這節(jié)課的探索學習去找到方法.常見的格點有正方形格點和三角形格點.

將大塊不規(guī)則圖形“分割”成許多規(guī)則的圖形，這種方法稱為“分割法”；但是不一定每

個圖形都很容易分割，有時我們把不好算的圖形“添補”成規(guī)則的大圖形，計算時用大圖形的

面積減去空白部分的面積、這種方法稱為“添補法”.

分割法，正所謂“大事化小”、把不規(guī)則的大圖形化為規(guī)則的小圖形.

添補法則正好相反，是“以小見大”，把不規(guī)則圖形周圍添上規(guī)則的小圖形，使總面積便

于計算.

使用割補法的時候，一般應該從形的頂點出發(fā)，盡量沿著格線劃分，以便與小方格的面

積找到聯(lián)系或者利用垂直等性質.

例1:圖中每個小正方形的面積是1平方厘米，那么三個陰影圖形的面積分別是多少平方厘

米？

練1:圖中相鄰兩格點間的距離均為1厘米、那么陰影部分的面積分別是多少平方厘米?

Q知識精講

對于簡單的格點圖形、都可以使用割補法計算面積，但是對于復雜的格點圖形，使用割補

法會非常繁瑣，有沒有更簡單明了的方法呢？我們接下來看一個簡單快捷的方法，從格點數(shù)入

手.

圍成陰影部分的邊線、經(jīng)過了一些格點.這些邊界上的格點叫做邊界格點、簡稱邊點；格

點圖形還完全蓋住了一些格點、這些圖形內部的格點叫做內部格點、簡稱內點.

正方形格點圖形面積=（內點+邊點+2T）X單位正方形面積；

三角形格點圖形面積=（2X內點+邊點一2）義單位三角形面積.

例2：圖中相鄰格點圍成的小正方形的面積均為1平方厘米.這個多邊形的面積是多少平方厘

米？

練2：圖中相鄰格點圍成的最小正方形面積為1平方厘米，這個多邊形的面積是多少平方厘

米？

例3：如圖，每一個最小正方形的面積是3平方厘米.陰影部分的面積是多少平方厘米?

練3：如圖、每一個最小正方形的面積是3平方厘米.陰影部分的面積是多少平方厘米?

例4：如圖、每個最小等邊三角形的面積都是1平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？

練4:如圖、每個最小等邊三角形的面積都是2平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米?

傘思維拓展

圖中每個小三角形的邊長為1厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米?

Q第四講割補法求面積

。小熱身:

⑴已知一個長方形的面積為72、長是12、那么寬是多少？

⑵已知一個正方形的邊長為5、那么面積是多少？

(3)已知一個正方形的對角線為6、那么面積是多少？

(4)已知一個平行四邊形的面積為10、底為5、那么這個底所對應的高是多少？

9知識精講

我們學習了如何計算格點圖形的面積、介紹了正方形格點面積計算公式.根據(jù)公式、我們

可以求出正方形格點面積是最小正方形面積的幾倍.隨著幾何學習的步步深入大家會發(fā)現(xiàn)除了

用公式法直接求面積之外、還有很多簡介求面積的方法.尤其是對于不規(guī)則圖形、我們并不知

道這些圖形的面積公式、但是通過分割、添補等各種方法把它們變換為規(guī)則的圖形.

例1：圖中的數(shù)分別表示對應線段的長度，試求下面多邊形的面積.(單位：厘米)

練1：圖中的數(shù)字分別表示對應線段的長度，試求下面多邊形的面積.(單位：厘米)

例2:如圖所示、正方形ABCD內部有一個長方形EFGH.已知正方形ABCD的邊長是6厘米、

圖中線段AE、AH都等于2厘米.求長方形EFGH的面積.

練2:如圖所示、在正方形ABCD內部有一個長方形CEF.已知正方形ABCD的邊長是12厘米,

圖中線段AE、AF都等于4厘米.求三角形CEF的面積是多少平方厘米？

例3:如圖所示、大正方形的邊長為10厘米.連接大正方形的各邊中點得小正方形，將小正

方形每邊三等分，再將三等分點與大正方形最近的一個頂點相連，那么圖中陰影部分的面積總

和等于多少平方厘米？

練3：如圖所示、大正三角形的邊長為10平方厘米.連接大三角形的各邊中點得四個小正三

角形、取各個小正三角形的中心、再將小正三角形的中點和頂點相連、得到三個一樣的小三角

形、那么圖中陰影部分的面積總和等于多少平方厘米？

例4:如圖，是把兩個同樣大小的正方形分別分成的方格表.左圖陰影部分的面積是162、請

問：右圖中陰影部分的面積是多少？

練4：如圖，把兩個相同的正三角形分別分成三等分和四等分、并連接這些等分點。已知左

圖中陰影部分的面積是48平方分米.請問：右圖中陰影部分的面積是多少平方分米？

思維拓展

如圖所示、已知一個四邊形的兩條邊的長度和三個角的度數(shù)、這個四邊形的面積是多少平

方厘米？（單位：厘米）

第五講流水行船問題

J小熱身：

小高和小斯相距360米、小高和小斯的跑步速度分別為5米/秒和7米/秒、同時出發(fā)、那

么如果兩個人相向跑去、要多久相遇？如果小斯在后面追小高、要多久追上？

◎知識精講

如同飛機在飛行的時候會受到風速的影響一樣，當船在水中航行時,也會受到水速的影響，

具體是怎樣的影響,我們現(xiàn)在就來研究一下.

當船在水中航行時，如果水是靜止不動的，那船的行駛速度就只由船本身決定，這個速度稱為

船的靜水速度,即船本身的速度.

大家可以設想一下，如果船本身停止運動,那么它還是會順著水流前進,這時的速度等于水流的

速度,我們可以把水流的速度簡稱為水速.

當船順水而行時,船的靜水速度和水速會疊加起來,行駛速度會變快,此時的速度我們稱之為順

水速度;反之,如果船逆水而行，水速會抵消掉一部分船本身的速度,行駛速度會變慢，此時的速

度我們稱之為逆水速度.

下面的兩個基本公式就給出了對應的計算方法：

順水速度=靜水速度+水速；

逆水速度=靜水速度一水速；

很容易的,根據(jù)和差問題的計算方法,我們可以得到如下結論：

水速=（順水速度一逆水速度）4-2；

靜水速度=（順水速度+逆水速度）+2.

這四個公式是流水行船問題中最基本的速度計算公式.下面我們就利用這四個公式,解決

幾個典型的流水行船問題.

例1：甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從乙港返

回甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度.

練1：一艘飛艇，順風6小時行駛了900千米、在同樣的風速下、逆風行駛600千米，也用了

6小時.那么在無風的時候，這艘飛艇行駛1000千米要用多少小時？

例2：甲河是乙河的支流、甲河水速為每小時3千米，乙河水速為每小時2千米.一艘船沿甲

河順水7小時后到達乙河,共航行133千米.這艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小時？

水流方向

練2：A.B兩港相距120千米.甲船的靜水速度是20千米/時，水流速度是4千米/時.那么甲船

在兩港間往返一次需要多少小時？

9知識精講

下面我們來看看流水行船問題中的相遇與追及問題.通過一些具體的例子我們可以發(fā)現(xiàn)，

如果兩船相向而行，兩船的速度和就是靜水速度之和；如果兩船同向而行、兩船的速度差就是

靜水的速度之差.因此、相遇時間和追及時間與水速大小無關.

例3：A.B兩碼頭之間河流河流長為300千米，甲、乙兩船分別從A、B碼頭同時起航.如果相

向而行5小時相遇，如果同向而行10小時甲船追上乙船.求兩船在靜水中的速度.

練3：A、B兩碼頭間河流長為24千米，甲、乙兩船分別從A、B兩碼頭同時起航.如果相向而

行2小時相遇，如果同向而行12小時甲船追上乙船.求甲船在靜水中的速度.

例4：小高在河里游泳，逆流而上.他在A處掉了一只水壺，向前又游了20分鐘后，才發(fā)現(xiàn)丟

了水壺，立即返回追尋，在離A處2千米的地方追到.假定小高在靜水中的游泳速度為每分鐘

60米，求水流速度.

練4：小斯在河里游泳，逆流而上.他在A處掉了一只水壺、向前又游了10分鐘后，才發(fā)現(xiàn)丟

了水壺，立即返回追尋，在離A處1千米的地方追到.假定小高在靜水中的游泳速度為每分鐘

70米，求水流速度.

思維拓展

甲、乙兩船分別從A港出發(fā)逆流而上行駛180千米外的B港、靜水中甲船每小時航行15

千米、乙船每小時行12千米、水流速度每小時3千米.乙船出發(fā)兩小時、甲船出發(fā)、當甲船追

上乙船的時候、甲已離開A港多少千米？若甲船到達B港之后立即返回、則甲、乙兩船相遇地

點離剛才甲追上乙船的地點多少千米？

第六講位值原理

小熱身:

(1)1000+200+30+4=

(2)20000+200+2=

9知識精講

在十進制中，每個數(shù)都是由0~9這十個數(shù)字中的若干個組成的，每個數(shù)字在數(shù)中都占一個數(shù)位,

數(shù)的大小是由數(shù)字和數(shù)字所處的數(shù)位兩方面共同決定.比如一個數(shù)由1、2、3三個數(shù)字組成、

我們并不能確定這個數(shù)是多少、因為井2、3能組成很多數(shù)、例如井3、321、123、132、……

但如果說1在百位，2在十位，3在個位這樣去組成一個數(shù)，就能很清楚地知道這個數(shù)應該是

123.

從這個例子可以看出，一個數(shù)字在不同的數(shù)位上表示不同的大小:

個位上的數(shù)字代表幾個1；

十位上的數(shù)字代表幾個10；

百位上的數(shù)字代表幾個100；

那么可以利用這種辦法將一個多位數(shù)拆開，例如123=1x100+2X10+3x1,這個結論被

稱為位值原理，有的時候，為了分析問題方便，我們井不將多位數(shù)逐位展開，而是采用整體展

開的辦法，如23456=23X1000+45X10+6、我們將在后面的例題中看到這些方法的具體應用.

例1:一個兩位數(shù)等于它的數(shù)字和的6倍，求這個兩位數(shù).

練1：一個兩位數(shù)等于它的數(shù)字和的7倍，這個兩位數(shù)可能是多少？

例2:在一個兩位數(shù)的數(shù)字中間加一個0,所得的三位數(shù)比原數(shù)大8倍，求這個兩位數(shù).

練2:在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間加一個0,所得的三位數(shù)是原數(shù)的6倍，求這個兩位數(shù).

例3:一個三位數(shù)，把它的個位和百位調換位置之后，得到一個新的三位數(shù)，這個新三位

數(shù)和原三位數(shù)的差的個位數(shù)字是7.試求兩個數(shù)的差.

練3:把一個三位數(shù)顛倒順序后得到一個新數(shù)，這個數(shù)比原數(shù)大792,那么原來的三位數(shù)

最大可以是多少？

9知識精講

在出現(xiàn)若干個多位數(shù)的位值原理問題中、單個的多位數(shù)條件有限、無從下手、這個時候可以考

慮、先用位值原理將字母表示的多位數(shù)展開、觀察特性、從而更輕松地解決問題.

例4:從1至9這9個數(shù)字中取出三個數(shù)字，用這三個數(shù)字可以組成6個不同的三位數(shù)，

若這六個三位數(shù)之和是1998,這三個數(shù)字和是多少？這六個三位數(shù)中最大的數(shù)是多

少？

練4:從1至9這9個數(shù)字中取出三個數(shù)字，用這三個數(shù)字可以組成6個不同的三位數(shù)，

若這六個三位數(shù)之和是2886,這三個數(shù)字和是多少？這六個三位數(shù)中最大的數(shù)最大是多

少？

9思維拓展

在等式“祝福母親節(jié)=母親節(jié)祝福義五?月，，中、相同的漢字代表相同的數(shù)字、不同漢字

表示不同數(shù)字，”其中“五”代表“五”、“月”代表“8”、那么“祝福母親節(jié)”所代表的

五位數(shù)是多少？

。第八講倍數(shù)關系求面積

。小熱身:

1、有一個大三角形和一個小三角形、大三角形的底是小三角形底的2倍、它們高相等、那么大

三角形的面積是小三角形面積的幾倍？

2、如右圖、已知A、B、C的面積分別是6、3、2、那么D的面積是多少？

9知識精講

迄今為止、同學們已經(jīng)學會了很多圖形計算面積的方法。在計算這些面積的時候、只要知

道相應線段的長度、然后利用公式即可計算.例如計算長方形的面積、只需要計算長方形的長

和寬、即可利用長方形的面積=長乂寬進行計算.但很多時候、提努中并不給出長和寬、那怎么

來求面積呢？

對于長方形、我們總結出：如果兩個長方形的長（寬）相等、那么它們的面積的比等于它

們寬（長）之比.例如：如圖所示的長方形ABCD與長方形BEFC寬BC相同、那么

長方形ABCD的面積：長方形BEFC的面積=AB：BE.

DCF

進一步可以有結論：SIXS,FS2XS3.

s2

從上面可以看出、求一個圖形的面積不一定要通過公式、有些時候我們也可以利用圖形各

部分之間的關系進行計算.

實際問題中、各圖形的形狀各異.我們很難直接看出圖形面積間的關系、更容易發(fā)現(xiàn)的是長度

之間的倍數(shù)關系.本章重點就是長度的倍數(shù)關系與面積倍數(shù)關系的轉化

例1:如圖，有9個小長方形、其中的6個小長方形的面積分別為4、8、8、12、16、20平方米.

其余3個長方形的面積分別是多少平方米？

mz1q2|

□

練1:如圖，有7個小正方形，其中的5個小長方形的面積分別為20、4、6、8、10平方厘米.

那么陰影長方形的面積是多少平方厘米？

46

208

10

例2:把一個正方形的相鄰兩邊分別增加2厘米和4厘米，結果面積增加了50平方厘米，那么

原正方形的面積為多少平方厘米？

練2:把一個正方形的相鄰兩邊分別增加3厘米和6厘米，結果面積增加了108平方厘米，那么

原正方形的面積為多少平方厘米？

Q知識精講

過三角形一個頂點的直線將三角形分為兩個小三角形、則這兩個小三角形面積之比等于該

直線分對邊所得的兩條線段長度之比、這是由兩個小三角形有共同的高決定的.

三角形ABD的面積：三角形ADC的面積

例3:下圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點，AD的長是AE長的3倍.那么三角

形ABE的面積是多少平方厘米？

練3:如圖、三角形ABC中，D為AB的中點，E為BC的中點，F(xiàn)為BE的中點，如果三角形ABC的面

積是120平方厘米，那么三角形DEF的面積是多少？

BE

Q知識精講

在實際問題中、給出的圖形結構往往只能滿足上述形式的一部分.比如知道兩條線段的長

度關系、卻找不到合適的圖形引出面積關系.此時、我們可以添加適當?shù)妮o助線、使得在兩個

圖形之間可以找到一個過渡的量、這個量和兩個圖形都有比較緊密的聯(lián)系.

除了利用圖形間的長度關系尋找面積關系外、我們有時候也利用面積的倍數(shù)關系反推出長

度的倍數(shù)關系.

例4:如圖、E是AB上靠近A點的三等分點、梯形ABCD的面積是三角形AEC面積的4倍、那么梯

形的下底長是上底長的幾倍？

練4:如圖，將一個長為18的長方形，分成一個三角形和一個梯形，且梯形的面積是三角形

的5倍，那么三角形底邊BE的長是多少？

A思維拓展

如圖、直角三角形ABC套住了一個正方形CDEF、E點恰好在AB邊上.又已知直角邊AC長20厘

米、BC長12厘米、那么正方形的邊長為多少厘米？

?第九講加乘原理問題

。小熱身:

1.小高早上穿衣服、有3件上衣可以選；有4條褲子可以選；有5雙鞋子可以選.上衣、褲子、

鞋子都要選且每類只能選一件、那么小高今天有多少種搭配方式？

2.小斯早上去上學、必須先到公交站再去學校.從家到公交站有2中走法、從公交站到學校有

3種路線、那么小斯從家到學校共有多少種選擇方式？

Q知識精講

之前我們學習了“加法原理與乘法原理”一講,即分類相加與分步相乘.

如果完成一件事分為幾個步驟,在每一個步驟中又有不同的方法,那么把每步的方法數(shù)相

乘就得到所有的方法數(shù)一這就是乘法原理.

要想把過程分成兒個步驟從而應用乘法原理,必質保證各步驟之間滿足下面兩個要求：

i.每步都只是整件事情的一個部分,必須全部完成才算做完這件事

2.步驟之間要有先后序,先確定好一步,再做下一步，…直到最后

那么是不是只要分步驟完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？

如圖，把A.B.C三部分用三種不同的顏色涂色,要求相鄰兩部分不能同色,那么一共有多少種不

同的涂法？

ABC

其實,整個涂色過程是需要分為三步的，即分別給其中一塊涂色：

當涂色順序為A-B-C時,那么A有3種涂法,B不能和A一樣,有2種涂法，同樣C有2種,

那么一共就有“3x2x2”種涂法；（C-B-A同理）

當涂色順序為B-A-C時，哪么B有3種涂法,A不能和B一樣,有2種涂法，同樣C有2種,

那么一共就有“3X2X2”種涂法；（B-C-A同理）

當涂色順序為A-C—B時,那么A有3種涂法,第二步C沒有限制，也有3種涂法，但是最

后的B就出問題了，我們沒法確定它有2種還是1種涂法，如果C和A同色,則B有兩種涂法；

如果C和A不同色、則B只有1種涂法一此時、根據(jù)分部相乘的方法計算整個過程的涂色方法

“3X3X?”就不再適用了.

（C-B-A同理）

因此、并不是只要分部完成整件事情就一定可以應用乘法原理、要想應用乘法原理、還必

須滿足第三個要求：

3.做完一步時、這一步的結果很可能會影響后面步驟的結果、但一定不能影

響后面步驟的方法數(shù).如果這一步的不同結果會導致后面某一步的方法數(shù)發(fā)生變化、就不

能直接用乘法原理計算”

一簡稱“前不影響后原則”

涂色問題、是應用乘法原理最常見的一類題型、其實、從上面對A,B,C三部分的涂色分析我們

應該可以發(fā)現(xiàn)、涂色的時候、要盡量避免“隔”著涂、“跳”著涂、而且、第一步要盡量去涂

“接觸最多”的那一部分、這樣、才使得后面的涂色過程盡量避開“前影響后

例1:如圖，把A、B、C、D、E這五部分用4種不同的顏色，每部分只染一種顏色且相鄰的

部分不能使用同同一種顏色。請問：這幅圖共有多少種不同的染色方法？

練1:如圖，把A、B、C、D這四部分用4種不同的顏色，每部分只染一種顏色且相鄰的部分

不能使用同同一種顏色。請問:這幅圖共有多少種不同的染色方法?

?知識精講

在例題2中，有一個垃圾桶是有特殊要求的一易拉罐垃圾桶不能染成紅色，我們通過嘗試

可知：如果一開始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就會影響到易拉罐垃圾桶的

染色方法數(shù)，既不能滿足“前不影響后”原則，而如果首先染易拉罐垃圾桶、則不會出現(xiàn)該問

題、所以一般而言，如果題目中有些對象是有特殊要求的，那么我們分步分析計算的時候、首

先要考慮這些特殊的對象。

例2：某市實行垃圾分類處理。每個地方放置五個垃圾桶，從左向右依次標明：電池、塑料、

廢紙、易拉罐、其他?，F(xiàn)在準備把五個垃圾桶染成紅、綠、藍這3種顏色之一。

(1)要求相鄰兩個垃圾桶顏色不同，一共有多少種染法？

(2)要求相鄰兩個垃圾桶顏色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成紅色，一共有多少種染色

方法？

練2:麥兜很挑食，只吃帶有魚丸或粗面的搭配。一天它和3位同學來餐廳吃東西，一開口

就要魚丸粗面，結果老板說沒有。這個時候、由于時間太晚，餐廳快打憚了，只能做牛肚河粉、

魚丸油面、羊肉米線和牛肉拉面各一份，請問：它們四只小豬各點一份，有幾種點法？

例3:卡莉婭、墨莫、小高和大頭4名同學競選班委。有班長、學習委員、生活委員三個職

位，每個人只能擔任一個職位，并且每個職位只能由一個擔任。

（1）有多少種可能的選舉結果？

（2）如果班長必須由卡莉婭擔任，有多少種可能的結果？

（3）如果生活委員只能在墨莫和大頭之間選，有多少可能的選舉結果？

（4）如果生活委員不能由小高擔任，有多少種可能的結果？

練3:甲、乙、丙、丁、戊5個人競選班委。有班長、副班長、紀律委員、衛(wèi)生委員四個職

位、每個人只能擔任一個職位，并且每個職位只能由一個人擔任：

（1）一共有多少種可能的選舉結果？

（2）如果副班長只能在甲、丁和戊中選，有多少種可能的選舉結果？

（3）如果衛(wèi)生委員不能由乙、丙擔任，有多少種可能的選舉結果？

例4:甲、乙、丙、丁四個人要住進A、B、C、D四間房間，每個房間住一個人。其中甲不住

A房間，丙只住D房間。請問：這四個人住進四個房間有多少種住法？

練4:甲、乙、丙、丁四個人要住進A、B、C、D四間房間，每個房間住一個人。其中甲只住

A房間或B房間、丙只住A、B或C房間。請問：這四個人住進四個房間有多少種住法？

息思維拓展

甲、乙、丙、丁、戊五人要駕駛A、B、C、D、E這五輛不同型號的汽車，請計算在下列情

況下，分別共有多少種不同的安排方案：

（1）只有甲能開汽車A,乙不會開汽車B；

（2）會開A的只有甲和乙、會開E的只有甲、乙、丙。

0第十講因數(shù)與倍數(shù)

。1、熱身：

(1)2404-12___、1354-15=____、1244-4。

(2)240=___X6、135=____X9、124=____X62

9知識精講

在前面的章節(jié)、我們學習了數(shù)論中的整數(shù)和質數(shù)、合數(shù)等知識。今天、我們來學習數(shù)論中

有關約數(shù)與倍數(shù)的知識.

約數(shù)和倍數(shù)的定義是這樣的:對整數(shù)a和b、如果a|b、我們就稱a是b的約數(shù)（因數(shù)）、

b是a的倍數(shù).

根據(jù)定義、我們很容易找到一個數(shù)的所有約數(shù)，例如對于12：

因為12=1X12=2X6=3X4、可知12可以被1、2、3、4、6、12整除、那么它的約數(shù)有1、

2、3、4、6、12、共6個.

從上面12的分拆可以看出、約數(shù)具有“成對出現(xiàn)”的特征、也就是：最大約數(shù)對應最小

約數(shù)、第二大約數(shù)對應第二小約數(shù)等。所以在寫一個數(shù)的所有約數(shù)時、可以逐對寫出。另外如

果計算較大約數(shù)不太方便、可以轉而計算與其成對的較小約數(shù).

例1:12345654321的第二大因數(shù)是多少？

練1:12345678987654321的第二大因數(shù)是多少？

M知識精講

從上面的分析可知，可以通過枚舉的方法逐對寫出一個數(shù)的所有約數(shù)、從而可就算出它的

約數(shù)個數(shù)。但是對很大的數(shù)、例如20120000、用枚舉來計算個數(shù)很麻煩、所以我們要采用新

的計算方法。

以72為例、首先采用枚舉可知72共12個約數(shù)、分別為1、72；2、36；3、24；4、18；

6、12；8、9.因為72的約數(shù)能整除72、而72的所有質因數(shù)也都能整除72、所以對72進行質

因數(shù)分解、有：72=23X3*那么72的所有約數(shù)應當由若干個2與若干個3的乘積結構成.顯然、

2有0個到3個共4種選擇；3有0個到2個共3種選擇、根據(jù)乘法原理、72的約數(shù)共4X3=12

個、見下表（注意2°=1、3°=1）：

722°212223

3°2°X3°=12'X3-222X3°=423X3°=8

312°X3'=32'X31=622X3'=1223X3'=24

322°X32=92'X32=1822X32=3623X32=72

從72的這個例子、我們可以總結出計算約數(shù)個數(shù)的一個簡單做法:

約數(shù)個數(shù)等于指數(shù)加1再相乘

例2:下列各數(shù)分別有多少個因數(shù)?

23、64、75、225、720

練2：下列各數(shù)分別有多少個約數(shù)?

18、47、243、196、450

例3:3600有多少個約數(shù)？其中有多少個是3的倍數(shù)？有多少個是4的倍數(shù)？有多少個是6

的倍數(shù)？

練3:3456共有多少個約數(shù)？其中有多少個是3的倍數(shù)？有多少個是4的倍數(shù)？有多少個是

6的倍數(shù)？

知識精講

前面介紹過、一個數(shù)的約數(shù)具有“可配對”的特點、在練習時大家可以發(fā)現(xiàn)、平方數(shù)在進

行配對時會出現(xiàn)兩個重復的數(shù)、所以平方數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)、根據(jù)上面關于約數(shù)個數(shù)的知識我們

可以知道、有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)一定是平方數(shù)、有偶數(shù)個約數(shù)的數(shù)一定不是平方數(shù)

例4：在小于looo的正數(shù)中、有多少個數(shù)有奇數(shù)個因數(shù)?

練4：小于200的正整數(shù)中，有多少個數(shù)有奇數(shù)個因數(shù)?

編思維拓展

1800有多少個因數(shù)不是2的倍數(shù)？

0第十一講公約數(shù)與公倍數(shù)

。小熱身:

(1)12X12=、6X24=、3X48=.

(2)24=___X12、36=X12、60=____X12.

◎知識精講

公約數(shù)就是幾個數(shù)公共的約數(shù)、其中最大的一個稱為最大公約數(shù)；公倍數(shù)就是幾個數(shù)公共

的倍數(shù)、其中最小的一個稱為最小公倍數(shù).特別注意、1為所有數(shù)的公約數(shù).

24：1234681224

30：12356101530

1、2、3和6都是24和30的公約數(shù)、6是最大的公約數(shù).可以發(fā)現(xiàn)1、2、3和6都是6

的約數(shù).

12：1224364860728496108

18：1836547290108

12和18的公倍數(shù)有36、72、108……、其中36是最小公倍數(shù).可以發(fā)現(xiàn)36、72、108及

其他公倍數(shù)都是36的倍數(shù).

通常、我們把兩個a,b的最大公約數(shù)記為(a,b);a,b的最小公倍數(shù)記為［a,b］.三個數(shù)

a,b,c的最大公約數(shù)記為(a,b,c);a,b,c的最小公倍數(shù)記為［a,b,c］.如：14和21的最大

公約數(shù)是7、記作:(14,21)=7;14和21的最小公倍數(shù)是42記作：［14,倍］=42.15、12、21

的最大公約數(shù)是1、記作：(15,10,21)=1:15,10.21的最小公倍數(shù)是210、記作：［15,10,21］=210.

◎知識精講

在現(xiàn)實生活中我們常關心幾個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)、那么我們怎樣來求幾個數(shù)的

最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)呢？除了直接枚舉之外、還有以下幾種方法：短除法、分解質因數(shù)法、

輾轉相除法.

計算兩個數(shù)的最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)、最常用的方法是短除法.

例1:用短除法計算:(1)(54,90),[54,90]；(2)(45,75,90).

練1:用短除法計算:(1)(36,48),[36,48]；(2)(28,42,70).

9知識精講

經(jīng)過前面的例題、我們知道、如果知道兩個數(shù)的最大公約數(shù)、就可以把這兩個數(shù)表示出來。

比如說兩數(shù)的最大公約數(shù)是12、那么連個數(shù)都是12的倍數(shù)、可以設為12a和12b、而且a和

b互質.那么這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)、和、差、以及乘積就都可以用a和b表示出來了.

例2:利用分解質因數(shù)法找出下列各組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).

(1)144和250(2)240、80和96

練2:利用分解質因數(shù)法找出下列各組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).

(1)1024和72(2)60、84、90和700

例3:利用輾轉相除法求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)。

(1)377和221⑵511和1314

練3：利用輾轉相除法求3009和2537的最大公因數(shù)。

例4:老師在墨莫的班上發(fā)水果，一共有59個蘋果、97個梨，平均分給班上的學生，最后

剩下5個蘋果、7個梨.請問：班里一共有多少名學生？

練4:小高把62顆奶糖和75顆水果糖平均分給他的朋友們，最后剩下2顆奶糖，3顆水果

糖.請問：小高把糖分給了多少個朋友？

摩思維拓展

有些自然數(shù)既能夠表示成連續(xù)9個整數(shù)之和，又能夠表示成連續(xù)11個整數(shù)之和，還能夠

表示成連續(xù)12個整數(shù)之和，則所有這樣的數(shù)中最小的一個是多少？

0第十二講列方程解應用題

。小熱身:

(1)2X+8=X+12.6

(2)3X-2.8=12+X

知識精講

列方程解應用題的方法和步驟

步驟要求要注意的問題_

讀懂題目、弄清題意、找出能夠表審題是分析解題的過程，解題程序中不

審題示應用題全部含義的相等關系，分用體現(xiàn)出來

清已知數(shù)和未知數(shù)

①設未知數(shù)①設未知數(shù)一般是問什么，就直接設什

②把所求的量用未知數(shù)表示么，即直接設元

設元

③把各個量用含未知數(shù)的式子表示②直接設元有困難，可以間接設元

出來③設未知數(shù)時，必須寫清未知數(shù)的單位

列方程根據(jù)等量關系列出方程方程兩邊所用的單位需一致

解出這個方程的解，求出未知數(shù)的如果是間接設元，求出的未知數(shù)還需要

解方程

值利用其他算式得到所求的量

把方程的解代入方程檢驗，或根據(jù)檢驗的步驟在解題程序中不用寫出來

檢驗

實際問題進行檢驗方程的解要符合實際情況，否則無解

這一步在列方程解應用題中必不可少，

作答寫出答案，作出結論

港-種規(guī)范要求

下來我們就來看看如何用一元一次方程解應用題.

例L甲數(shù)比乙數(shù)的2倍還少7,兩數(shù)的平均數(shù)是46,那么乙數(shù)是多少？

練1：甲數(shù)比乙數(shù)的3倍還多4,兩數(shù)的平均數(shù)是34,那么乙數(shù)是多少？

例2：一個長方形的周長是42厘米，長是寬的2倍。那么長方形的面積是多少平方厘米?

練2：一個長方形的周長是32厘米，長是寬的3倍，那么長方形的面積是多少平方厘米？

9知識精講

有些題直接設未知數(shù)有困難，可以直接設未知數(shù)。

例3:大、小兩個水池都未注滿水，如果從小池抽水將大池灌滿，則小池還剩下10噸，如果

從大池抽水將小池注滿。則大池還剩水20噸，已知大池容積是小池容積的1.2倍，兩池中共

有水多少噸？

練3：大、小兩個杯子都未裝滿水，如果將小杯子的部分水倒入大杯子，并將其倒?jié)M，則小

杯子還剩水30克；如果將大杯子的部分水倒入小杯子，并將其倒?jié)M，則大杯子還剩水90克,

已知大杯子的容積是小杯子的2倍，兩杯水原來共裝多少克水？

例4：小豆身上帶有1元、5元、10元三種面值的紙幣共82元，其中1元與10元紙幣共17

張，1元紙幣的張數(shù)是5元紙幣張數(shù)的3倍。那么小豆身上有多少張10元紙幣？

練4:五年級的三個班分蘋果，一班每人3個，二班每人4個，三班每人5個。已知二班和

三班共有90人，二班的人數(shù)是一班的2倍，總共分出去475個蘋果。那么這三個班一共有多

少人？

息思維拓展

已知甲、乙兩個數(shù)的平均數(shù)是21,乙、丙兩那個數(shù)的平均數(shù)是25,甲、丙兩個數(shù)的平均數(shù)是

20,則甲、乙、丙三個數(shù)的總和是多少？

第十三講往返相遇與追及問題一

。小熱身：

（1）小高和小斯分別從相距30千米的A、B,兩地同時出發(fā)相向而行.已知小高的騎車速度是

每小時4千米、小斯騎車的速度是每小時6千米。請問：出發(fā)后多長時間、兩人迎面相遇？

（2）小高和小斯分別從相距30千米的A、B,兩地同時出發(fā)、小斯在小高后面追趕.已知小高

騎車的速度是每小時4千米、小斯騎車的速度是每小時6千米.請問：出發(fā)后多長時間追上？

◎知識精講

簡單相遇與追及

相遇是指兩人從兩個地點出發(fā)、朝同一個方向前進、進過一段時間后兩人相遇.

追及是指兩人從兩個地點出發(fā)、朝著同一個方向前進、經(jīng)過一段時間后一人追上了另一個

人.

簡單的相遇問題與追及問題的線段圖如下所示:

地也B地道及

H1rI?

甲-----

—N乙

相遇時、兩人的路程和是A、B兩地的距離；追擊時、兩人的路程差是A、B兩地的距離.

其實、一般來說、只要兩個人運動方向相反、就是相遇問題（包括相向而行和相背而行）；

只要兩個人運動方向同，就是追及問題（同向而行包括追上和超過）

解決行程問題，最基本的方法就是畫線段圖、尋找相同時間內的關系（包括路程和、路程

差以及路程的倍數(shù)關系）.

不同出發(fā)點的往返相遇

甲、乙兩人從A、B兩地同時出發(fā)相向而行、在相遇后兩人繼續(xù)前進、分別到達B地、A

地后立即折回、這時兩人第二次迎面相遇、我們畫出線段如下所示：

2第二次相遇第一次相遇〃地

從線段圖中可以發(fā)現(xiàn)：

當兩人第一次迎面相遇時，經(jīng)過的路程和是4、#兩地距離（1個全長）：

當兩人第二次迎面相遇時，經(jīng)過的路程和是3個全長；

當兩人第三次迎面相遇時，經(jīng)過的路程和是5個全長；

即相鄰兩次相遇之間，兩人的路程和恰好等于2個全長

例L小高和墨莫分別從相距60千米的A、B兩地同時出發(fā)，在A、B之間不斷往返騎車.已

知小高騎車的速度是每小時21千米，墨莫騎車的速度是每小時9千米，請問：出發(fā)后多長時

間，兩人第一次迎面相遇？再過多長時間兩人第二次迎面相遇？

練1:阿瓜和阿呆分別從相距90千米的A、B兩地同時出發(fā)，在A、B之間不斷往返騎車。已

知阿呆騎車的速度是每小時21千米、阿瓜騎車的速度是每小時24千米。請問：出發(fā)后過多長

時間兩人第二次迎面相遇？

不同出發(fā)點的往返追及

甲、乙兩人從A、B兩地同時出發(fā)相向而行、甲到達B地之后立即折回、直至第一次追上

乙、我們畫出線段圖如右下所示：

1地第一次追及第二次追及B地

r----------------------1----------------------------1------------------------

<_----------------------；---------------------)

II

匚二二七-二二------乙

從線段圖中可以發(fā)現(xiàn)：

甲第一次追上乙時、甲和乙的路程差是1個全長;

甲第二次追上乙時、甲和乙的路程差是3個全長;

甲第三次追上乙時、甲和乙的路程差是5個全長;

及相鄰兩次追及之間、兩人的路程差恰好等于2個全長

例2:小高和墨莫分別從相距60千米的A、B兩地同時出發(fā)，在A、B之間不斷往返騎車.已

知小高騎車的速度是每小時21千米，墨莫騎車的速度是每小時9千米，請問：出發(fā)后多長時

間，小高第一次追上墨莫？再過多長時間小高第三次追上墨莫？

練2:阿瓜和阿呆分別從相距80千米的A、B兩地同時出發(fā)，在A、B之間不斷往返騎車。已

知阿呆騎車的速度是每小時32千米、阿瓜騎車的速度是每小時12千米。請問：出發(fā)后多長時

間阿呆第一次追上阿瓜？

Q知識精講

相同出發(fā)點的往返相遇

甲、乙兩人從A兩地同時出發(fā)同向而行、在A、B兩地之間不斷往返、我們畫出的兩人迎

面相遇的線段圖：

《地弭遇8地

甲------------------七I

乙----------------J

從線段圖中可以發(fā)現(xiàn)：

當兩人第一次追上乙時、甲和乙的路程和是2個全長;

當兩人第二次追上乙時、甲和乙的路程和是4個全長;

當兩人第三次追上乙時、甲和乙的路程和是6個全長;

即相鄰兩次相遇之間、兩人的路程和恰好等于2個全長

例3:小高和墨莫同時從A地出發(fā)，在相距60千米的A、B兩地之間不斷往返騎車.已知小高

騎車的速度是每小時21千米.墨莫騎車的速度是每小時9千米，請問：

(1)出發(fā)后多長時間，兩人第一次迎面相遇？

(2)出發(fā)后多長時間，兩人第五次迎面相遇？

練3:阿呆和阿瓜同時從A地出發(fā)，在相距90千米的A、B兩地之間不斷往返騎車，已知