第1章小波分析的根本理論

1.1傅里葉變換到小波分析

1.2常用小波函數(shù)介紹1.3連續(xù)小波變換

1.4離散小波變換1.5矢量小波變換

1.6多分辨分析與Mallat算法1.7提升小波變換1.8小波包分析小波分析屬于時(shí)頻分析的一種。傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在傅里葉(Fourier)變換的根底上的，但是，傅里葉分析使用的是一種全局的變換，即要么完全在時(shí)域，要么完全在頻域，它無(wú)法表述信號(hào)的時(shí)頻局域性質(zhì)，而時(shí)頻局域性質(zhì)恰恰是非平穩(wěn)信號(hào)最根本和最關(guān)鍵的性質(zhì)。為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)，人們對(duì)傅里葉分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并開(kāi)展了Gabor變換、小波變換、RandonWigner變換、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、線性調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅－調(diào)頻信號(hào)分析等。其中，短時(shí)傅里葉變換和小波變換也是因傳統(tǒng)的傅里葉變換不能夠滿足信號(hào)處理的要求而產(chǎn)生的。短時(shí)傅里葉變換分析的根本思想是：假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù)g(t)的一個(gè)短時(shí)間間隔內(nèi)是平穩(wěn)(偽平穩(wěn))的，并移動(dòng)分析窗函數(shù)，使f(t)g(t－t)在不同的有限時(shí)間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào)，從而計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。但從本質(zhì)上講，短時(shí)傅里葉變換是一種單一分辨率的信號(hào)分析方法(因?yàn)樗褂靡粋€(gè)固定的短時(shí)窗函數(shù))，在信號(hào)分析上還存在著不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間—尺度(時(shí)間—頻率)分析方法，它具有多分辨率分析(Multi-resolutionAnalysis)的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變，但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻局部具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻局部具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡。傅里葉變換

傅里葉變換是眾多科學(xué)領(lǐng)域(特別是信號(hào)處理、圖像處理、量子物理等)里的重要的應(yīng)用工具之一。從實(shí)用的觀點(diǎn)看，當(dāng)人們考慮傅里葉分析的時(shí)候，通常是指(積分)傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)。1.1傅里葉變換到小波分析定義1.1函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)傅里葉變換定義為

(1.1)

F(w)的傅里葉逆變換定義為

(1.2)

為了計(jì)算傅里葉變換，需要用數(shù)值積分，即取f(t)在R上的離散點(diǎn)上的值來(lái)計(jì)算這個(gè)積分。在實(shí)際應(yīng)用中，我們希望在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析及其他方面的處理工作，對(duì)信號(hào)的要求是：在時(shí)域和頻域應(yīng)是離散的，且都應(yīng)是有限長(zhǎng)的。下面給出離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform，DFT)的定義。定義1.2給定實(shí)的或復(fù)的離散時(shí)間序列f0，f1，…，fN－1，設(shè)該序列絕對(duì)可積，即滿足 ，稱

(1.3)

為序列{fn}的離散傅里葉變換，稱

(1.4)

為序列{X(k)}的離散傅里葉逆變換(IDFT)。

在式(1.4)中，n相當(dāng)于對(duì)時(shí)間域的離散化，k相當(dāng)于頻率域的離散化，且它們都是以N點(diǎn)為周期的。離散傅里葉變換序列{X(k)}是以2p為周期的，且具有共軛對(duì)稱性。假設(shè)f(t)是實(shí)軸上以2p為周期的函數(shù)，即f(t)∈L2(0，2p)

，那么f(t)可以表示成傅里葉級(jí)數(shù)的形式，即

(1.5)

傅里葉變換是時(shí)域到頻域互相轉(zhuǎn)化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把f(t)這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。這樣我們就可將對(duì)原函數(shù)f(t)的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)其權(quán)系數(shù)，即其傅里葉變換F(w)的研究。從傅里葉變換中可以看出，這些標(biāo)準(zhǔn)基是由正弦涉及其高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是局部化的。傅里葉變換分析的直觀說(shuō)明在進(jìn)行傅里葉變換時(shí)，如果能合理運(yùn)用它的有關(guān)性質(zhì)，運(yùn)算將很方便。下面列出了傅里葉變換的一些常用性質(zhì)。1.線性性質(zhì)

設(shè)F1(w)和F2(w)分別為f1(t)和f2(t)的傅里葉變換，a和b為常數(shù)，那么有

af1(t)＋bf2(t)aF1(w)＋bF2(w) (1.6)

這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，函數(shù)線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)傅里葉變換的線性組合。傅里葉逆變換亦具有類似的性質(zhì)。2.位移性質(zhì)

設(shè)F(w)為函數(shù)f(t)的傅里葉變換，那么有

(1.7)

該性質(zhì)說(shuō)明，時(shí)間函數(shù)f(t)沿t軸向左或向右位移t0的傅里葉變換等于f(t)的傅里葉變換乘以因子 或 。傅里葉逆變換亦具有類似的位移性質(zhì)。3.微分性質(zhì)

設(shè)F(w)為函數(shù)f(t)的傅里葉變換，f￠(t)表示函數(shù)f(t)的微分，那么有

(1.8)

該性質(zhì)說(shuō)明，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于這個(gè)函數(shù)的傅里葉變換乘以因子jw。由該性質(zhì)可以導(dǎo)出一般的微分公式：

4.積分性質(zhì)

設(shè)F(w)為函數(shù)f(t)的傅里葉變換，如果當(dāng)t→＋∞時(shí)， ，那么有

(1.9)

5.乘積定理

設(shè)F1(w)和F2(w)分別為f1(t)和f2(t)的傅里葉變換，那么有

(1.10)

其中，f1(t)和f2(t)為t的實(shí)函數(shù)； 和 分別為F1(w)和F2(w)的共軛函數(shù)。6.能量積分

設(shè)F(w)為函數(shù)f(t)的傅里葉變換，那么有

(1.11)

該式又稱為巴塞瓦(Parseval)等式。例1-1在某工程實(shí)際應(yīng)用中，有一信號(hào)的主要頻率成分是由50Hz和300Hz的正弦信號(hào)組成，該信號(hào)被一白噪聲污染，現(xiàn)對(duì)該信號(hào)進(jìn)行采樣，采樣頻率為1000Hz。通過(guò)傅里葉變換對(duì)其頻率成分進(jìn)行分析。

解該問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是利用傅里葉變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻域分析，其MATLAB程序如下：

t＝0：0.001：1.3；%時(shí)間間隔為0.001說(shuō)明采樣頻 率為1000Hz

x＝sin(2*pi*50*t)＋sin(2*pi*300*t)；%產(chǎn)生主要頻率 為50Hz和300Hz的信號(hào)

f＝x＋3.5*randn(1，length(t))；%在信號(hào)中參加白噪 聲

subplot(321)；plot(f)；%畫(huà)出原始信號(hào)的波形圖

Ylabel(￠幅值￠)；

Xlabel(￠時(shí)間￠)；

title(￠原始信號(hào)￠)；

y＝fft(f，1024)；%對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變 換，參加DFT的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為1024

p＝y(tǒng).*conj(y)/1024；%計(jì)算功率譜密度

ff＝1000*(0：511)/1024；%計(jì)算變換后不同點(diǎn)所對(duì) 應(yīng)的頻率值

subplot(322)；plot(ff，p(1：512))；%畫(huà)出信號(hào)的頻 譜圖

Ylabel(￠功率譜密度￠)；

Xlabel(￠頻率￠)；

title(￠信號(hào)功率譜圖￠)；

程序輸出結(jié)果如圖1.1所示。

圖1.1從圖1.1(a)中我們看不出任何頻域的性質(zhì)，但從信號(hào)的功率譜圖(圖1.1(b))中，我們可以明顯地看出該信號(hào)是由頻率為50Hz和300Hz的正弦信號(hào)和頻率分布廣泛的白噪聲信號(hào)組成的，也可以明顯地看出信號(hào)的頻率特性。在matlab或R里我們可以直接調(diào)用FFT函數(shù)實(shí)現(xiàn)快速傅里葉變換，然而FFT的輸出到底是什么含義，經(jīng)常讓初學(xué)者們一頭霧水。實(shí)際上，它不過(guò)是每個(gè)采樣點(diǎn)〔共N個(gè)〕對(duì)應(yīng)的振幅〔可能叫振幅不是很貼切，準(zhǔn)確地講它們的絕對(duì)值才是振幅〕或者能量值〔該值的絕對(duì)值越大，說(shuō)明該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期越明顯〕。

注意：在這些輸出值中，第一個(gè)值是對(duì)應(yīng)的直流分量的振幅〔其實(shí)就是周期為無(wú)窮的可能性〕，那么第2個(gè)值對(duì)應(yīng)第1個(gè)采樣點(diǎn)，第3個(gè)對(duì)應(yīng)第2個(gè)。。第n個(gè)對(duì)應(yīng)第n-1個(gè)采樣點(diǎn)。而且這個(gè)輸出是對(duì)稱的，也就是大家直接關(guān)注前N/2個(gè)才樣點(diǎn)就可以了。那么第n個(gè)點(diǎn)的頻率是多少呢，它的計(jì)算公式是Fn=(n-1)*Fs/N，其中Fs是采樣頻率。由此就可以計(jì)算出n點(diǎn)對(duì)應(yīng)的周期了，它是頻率的倒數(shù)，即Tn=N/((n-1)*Fs)。下面給出例子：

例一：>>A=[1,2,1,2,1,2];

>>fft(A)

ans=900-300

這里輸出的意思是，序列A有很大的可能沒(méi)有周期〔第一個(gè)點(diǎn)的頻率為0，它對(duì)應(yīng)的數(shù)字是9〕，還有一個(gè)可能的周期是-3對(duì)應(yīng)的周期，這個(gè)周期的計(jì)算方法是:-3對(duì)應(yīng)于n=4,默認(rèn)Fs=1,這里T=6/(3*1)=2,即周期為2。雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來(lái)，能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察，但不能把二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包含任何頻域信息，而其傅里葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性。從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒(méi)有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說(shuō)，對(duì)于傅里葉譜中的某一頻率，不能夠知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。這樣在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最根本的矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾。如果f(x)的定義域是圖中外圈的內(nèi)部，f〔x〕在黑的局部不為零，黑的局部就是f〔x〕的支集，外圈和黑的局部中間的環(huán)處f〔x〕都是取0，那么就說(shuō)f〔x〕具有緊致支集，黑的局部〔集合〕有緊致性在實(shí)際的信號(hào)處理過(guò)程中，尤其是對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中，信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻域特征都很重要。如柴油機(jī)缸蓋外表的振動(dòng)信號(hào)就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變信號(hào)，單從時(shí)域或頻域上來(lái)分析是不夠的。這就促使人們?nèi)ふ乙环N新方法，能將時(shí)域和頻域結(jié)合起來(lái)描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征，構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜。這就是所謂的時(shí)頻分析法，亦稱為時(shí)頻局部化方法。短時(shí)傅里葉變換

由于標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換只在頻域里有局局部析的能力，而在時(shí)域里不存在局局部析的能力，因此DennisGabor于1946年引入了短時(shí)傅里葉變換(Short-timeFourierTransform)。短時(shí)傅里葉變換的根本思想是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，用傅里葉變換分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以便確定該時(shí)間間隔存在的頻率。其表達(dá)式為

(1.12)其中，“*〞表示復(fù)共軛；g(t)為有緊支集的函數(shù)；f(t)為被分析的信號(hào)。在這個(gè)變換中，ejwt起著頻限的作用，g(t)起著時(shí)限的作用。隨著時(shí)間t的變化，g(t)所確定的“時(shí)間窗〞在t軸上移動(dòng)，使f(t)“逐漸〞進(jìn)行分析。因此g(t)往往被稱為窗口函數(shù)，S(w，t)大致反映了時(shí)刻為t、頻率為w時(shí)f(t)的“信號(hào)成分〞的相對(duì)含量。這樣，信號(hào)在窗函數(shù)上的展開(kāi)就可以表示為在［t－d，t＋d］、［w－e，w＋e］這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口，d和e分別稱為窗口的時(shí)寬和頻寬，表示了時(shí)頻分析中的分辨率，窗寬越小那么分辨率就越高。很顯然希望d和e都非常小，以便有更好的時(shí)頻分析效果，但海森堡(Heisenberg)測(cè)不準(zhǔn)原理(UncertaintyPrinciple)指出，d和e是互相制約的，兩者不可能同時(shí)都任意小(事實(shí)上，

，且僅當(dāng) 為高斯函數(shù)時(shí)，等號(hào)成立)，變換如圖1.2所示。

圖1.2由此可見(jiàn)，短時(shí)傅里葉(STFT)雖然在一定程度上克服了標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換不具有局局部析能力的缺陷，但它也存在著自身不可克服的缺陷，即當(dāng)窗函數(shù)g(t)確定后，矩形窗口的形狀就確定了，t、w只能改變窗口在相平面上的位置，而不能改變窗口的形狀?？梢哉f(shuō)STFT實(shí)質(zhì)上是具有單一分辨率的分析，假設(shè)要改變分辨率，那么必須重新選擇窗函數(shù)g(t)。因此，STFT用來(lái)分析平穩(wěn)信號(hào)猶可，但對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)，在信號(hào)波形變化劇烈的時(shí)刻，主頻是高頻，要求有較高的時(shí)間分辨率(即d要小)，而波形變化比較平緩的時(shí)刻，主頻是低頻，那么要求比較高的頻率分辨率(即e要小)，而短時(shí)傅里葉不能兼顧兩者。小波分析

小波分析方法是一種窗口大小(即窗口面積)固定但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻局部具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻局部具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，所以被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡。正是這種特性，使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。小波分析被看成調(diào)和分析這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域半個(gè)世紀(jì)以來(lái)的工作結(jié)晶，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理、量子場(chǎng)論、地震勘探、語(yǔ)音識(shí)別與合成、音樂(lè)、雷達(dá)、CT成像、彩色復(fù)印、流體湍流、天體識(shí)別、機(jī)器視覺(jué)、機(jī)械故障診斷與監(jiān)控、分形以及數(shù)字電視等科技領(lǐng)域。原那么上講，傳統(tǒng)上使用傅里葉分析的地方，都可以用小波分析取代。小波分析優(yōu)于傅里葉變換的地方是，它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)。設(shè)y(t)∈L2(R)(L2(R)表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間)，其傅里葉變換為。當(dāng)滿足允許條件(AdmissibleCondition)：

(1.13)

時(shí)，我們稱y(t)為一個(gè)根本小波或母小波(MotherWavelet)

。將母函數(shù)y(t)經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列。

小波(wavelet)是什么

在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化且其平均值為零的數(shù)學(xué)函數(shù)具有有限的持續(xù)時(shí)間和突變的頻率和振幅在有限的時(shí)間范圍內(nèi)，它的平均值等于零對(duì)于連續(xù)的情況，小波序列為

(1.14)

其中，a為伸縮因子；b為平移因子。

對(duì)于離散的情況，小波序列為

(1.15)對(duì)于任意的函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為

(1.16)

其逆變換為

(1.17)內(nèi)積的物理含義：兩個(gè)圖形的相似性，假設(shè)兩個(gè)圖形完全正交，那么內(nèi)積為0，假設(shè)兩個(gè)圖形完全一樣，那么系數(shù)為1〔相對(duì)值〕。小波變換的實(shí)質(zhì)是：原信號(hào)與小波基函數(shù)的相似性。小波系數(shù)就是小波基函數(shù)與原信號(hào)相似的系數(shù)。小波變換的思想來(lái)源于伸縮和平移方法。尺度伸縮對(duì)波形的尺度伸縮就是在時(shí)間軸上對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮和伸展，如下圖。時(shí)間平移時(shí)間平移就是指小波函數(shù)在時(shí)間軸上的波形平行移動(dòng)，如下圖。小波運(yùn)算的根本步驟：(1)選擇一個(gè)小波函數(shù)，并將這個(gè)小波與要分析的信號(hào)起始點(diǎn)對(duì)齊；(2)計(jì)算在這一時(shí)刻要分析的信號(hào)與小波函數(shù)的逼近程度，即計(jì)算小波變換系數(shù)C，C越大，就意味著此刻信號(hào)與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如下圖。(3)將小波函數(shù)沿時(shí)間軸向右移動(dòng)一個(gè)單位時(shí)間，然后重復(fù)步驟(1)、(2)求出此時(shí)的小波變換系數(shù)C，直到覆蓋完整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度，如下圖；(4)將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個(gè)單位，然后重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)，如下圖；(5)對(duì)所有的尺度伸縮重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)、(4)。尺度與頻率的關(guān)系尺度與頻率的關(guān)系如下：小尺度a壓縮的小波快速變換的細(xì)節(jié)高頻局部大尺度a拉伸的小波緩慢變換的粗部低頻局部小波變換的時(shí)頻窗口特性與短時(shí)傅里葉的時(shí)頻窗口不一樣。其窗口形狀為兩個(gè)矩形［b－aDy，b＋aDy］×［(±w0－DY)/a，(±w0＋DY)/a］，窗口中心為(b，±w0/a)，時(shí)窗和頻窗寬分別為aDy和DY/a。其中，b僅僅影響窗口在相平面時(shí)間軸上的位置，而a不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換對(duì)不同的頻率在時(shí)域上的取樣步長(zhǎng)是調(diào)節(jié)性的：在低頻時(shí)，小波變換的時(shí)間分辨率較低，而頻率分辨率較高；在高頻時(shí)，小波變換的時(shí)間分辨率較高，而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號(hào)變化緩慢而高頻信號(hào)變化迅速的特點(diǎn)。這便是它優(yōu)于經(jīng)典的傅里葉變換與短時(shí)傅里葉變換的地方。從總體上來(lái)說(shuō)，小波變換比短時(shí)傅里葉變換具有更好的時(shí)頻窗口特性。小波變換有效地克服了傅立葉變換的這一缺點(diǎn)，信號(hào)變換到小波域后，小波不僅能檢測(cè)到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號(hào)相對(duì)應(yīng)，如下圖。小波分析與傅里葉變換的比較

小波分析是傅里葉分析思想方法的開(kāi)展與延拓，它自產(chǎn)生以來(lái)，就一直與傅里葉分析密切相關(guān)，它的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴于傅里葉分析，二者是相輔相成的。兩者相比較主要有以下不同點(diǎn)。

(1)傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)f(t)分解到以{ejwt}為正交基的空間上去；小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)f(t)分解到W－j(j＝1，2，…，J)和V－j所構(gòu)成的空間上去。小波空間、細(xì)節(jié)空間尺度空間(2)傅里葉變換用到的根本函數(shù)只有sin(wt)、cos(wt)、exp(jwt)，具有唯一性；小波分析用到的函數(shù)(即小波函數(shù))那么具有不唯一性，同一個(gè)工程問(wèn)題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析應(yīng)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題(也是小波分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題)，目前，往往是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或不斷的試驗(yàn)(對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照分析)來(lái)選擇小波函數(shù)。(3)在頻域中，傅里葉變換具有較好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單確實(shí)定性信號(hào)，傅里葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式，如sin(w1t)＋0.345sin(w2t)＋4.23cos(w3t)。但在時(shí)域中，傅里葉變換沒(méi)有局部化能力，即無(wú)法從信號(hào)f(t)的傅里葉變換F(w)中看出f(t)在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。事實(shí)上，F(xiàn)(w)dw是關(guān)于頻率為w的諧波分量的振幅，在傅里葉展開(kāi)式中，它是由f(t)的整體性態(tài)所決定的。

(4)在小波分析中，尺度a的值越大相當(dāng)于傅里葉變換中w的值越小。(5)在短時(shí)傅里葉變換中，變換系數(shù)S(w，t)主要依賴于信號(hào)在［t－d，t＋d］片段中的情況，時(shí)間寬度是2d(因?yàn)閐是由窗函數(shù)g(t)唯一確定的，所以2d是一個(gè)定值)。在小波變換中，變換系數(shù)Wf(a，b)主要依賴于信號(hào)在［b－aDy，b＋aDy］片段中的情況，時(shí)間寬度是2aDy，該時(shí)間寬度是隨著尺度a的變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局局部析能力。(6)假設(shè)用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)解釋，小波變換與短時(shí)傅里葉變換不同之處在于：對(duì)短時(shí)傅里葉變換來(lái)說(shuō)，帶通濾波器的帶寬Df與中心頻率f無(wú)關(guān)；相反，小波變換帶通濾波器的帶寬Df那么正比于中心頻率f，即

(C為常數(shù))

補(bǔ)充內(nèi)容一：小波轉(zhuǎn)換技術(shù)的基礎(chǔ)[x0,x1,x2,x3]=[90,70,100,70]為到達(dá)壓縮我們可取(x0+x1)/2(x0-x1)/2來(lái)代表x0,x1這樣[90,70]可表示為[80,10]80即平均數(shù)，10是小范圍波動(dòng)數(shù)〔可想象出一種波的形狀〕。[90,70]--〉[80,10],[100,70]--〉[85,15]可以想象80和85都是局部的平均值反映大的總體的狀態(tài)，是變化相對(duì)緩慢的值，可以認(rèn)為他們是低頻局部的值。而10、15是小范圍波動(dòng)的值局部變換較快，可以認(rèn)為他們是高頻局部的值。FIRST:把[90,70,100,70]寫(xiě)成[80,85,10,15]即把低頻局部寫(xiě)在一起(記頻率L〕高頻局部寫(xiě)在一起〔H)SECOND:而[80,85]又可經(jīng)同樣的變換-->[82.5,-2.5]這樣82.5表示更低頻的信息(記頻率LL)-2.5那么表示了頻率L上的波動(dòng)最后90,70,100,70]--〉[82.5,-2.5,10,15]這樣信息就可被壓縮了〔數(shù)字范圍小了〕

-這就是二級(jí)變換同樣的你可以進(jìn)行更高級(jí)的變換平均值/差值轉(zhuǎn)換法以一個(gè)一維訊號(hào)的局部為例(當(dāng)然也可以取自灰階影像中的某一橫列)該波形為(64，48，16，32，56，56，48，24)直流係數(shù)詳細(xì)係數(shù)小波轉(zhuǎn)換技術(shù)的基礎(chǔ)(續(xù))小波轉(zhuǎn)換技術(shù)的基礎(chǔ)(續(xù))逆轉(zhuǎn)換過(guò)程圖A.把-3設(shè)為零，以(43，0，16，10，8，-8，0，12)進(jìn)行逆轉(zhuǎn)換可得出(67，51，19，35，53，53，45，21)圖B.把8，-8也設(shè)為零，所得出波形為(59，59，27，27，53，53，45，21)(A)(B)小波轉(zhuǎn)換技術(shù)的基礎(chǔ)(續(xù))上述重建波形與原始波型之比較圖六個(gè)係數(shù)之重建波形四個(gè)係數(shù)之重建波形2、小波分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用小波變換就是將“原始信號(hào)s〞變換成“小波系數(shù)w〞，w=[wa,wd]包括近似(approximation)系數(shù)wa與細(xì)節(jié)(detail)系數(shù)wd 近似系數(shù)wa---平均成分〔低頻〕 細(xì)節(jié)系數(shù)wd---變化成分〔高頻〕

小波原始信號(hào)分解過(guò)程：原始信號(hào)s可分解成小波近似a與小波細(xì)節(jié)d之和。s=a+d 小波系數(shù)w=[wa

,wd]

的分量，乘以基函數(shù)，形成小波分解： 小波近似系數(shù)wa

×基函數(shù)A=近似分解a---平均 小波細(xì)節(jié)系數(shù)wd

×基函數(shù)D=細(xì)節(jié)分解d---變化

小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信號(hào)小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變換：原始信號(hào)在小波基上，獲得“小波系數(shù)〞分量反變換：所有“小波分解〞合成原始信號(hào)例如：小波分解a=小波系數(shù)wa×小波基A補(bǔ)充二：數(shù)學(xué)概念1.由函數(shù)序列張成的空間2.基底3.正交4.標(biāo)準(zhǔn)正交系5.完全標(biāo)準(zhǔn)正交系6.雙正交基距離空間距離空間常用的距離空間

函數(shù)空間線性空間線性賦范空間Banach空間Hilbert空間在一維空間中，實(shí)軸上任意兩點(diǎn)距離用兩點(diǎn)差的絕對(duì)值表示。絕對(duì)值是一種度量形式的定義。范數(shù)是對(duì)函數(shù)、向量和矩陣定義的一種度量形式。任何對(duì)象的范數(shù)值都是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。使用范數(shù)可以測(cè)量?jī)蓚€(gè)函數(shù)、向量或矩陣之間的距離?；讖埑蓅pan基底正交標(biāo)準(zhǔn)正交系完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系雙正交基框架及緊框架Frame&CompactFrame

與標(biāo)準(zhǔn)傅里葉變換相比，小波分析中所用到的小波函數(shù)具有不唯一性，即小波函數(shù)y(x)具有多樣性。但小波分析在工程應(yīng)用中的一個(gè)十分重要的問(wèn)題是最優(yōu)小波基的選擇問(wèn)題，這是因?yàn)橛貌煌男〔ɑ治鐾粋€(gè)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。目前，主要是通過(guò)用小波分析方法處理信號(hào)的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來(lái)判定小波基的好壞，并由此選定小波基。1.2常用小波函數(shù)介紹根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，小波函數(shù)具有不同的類型，這些標(biāo)準(zhǔn)通常有：

(1)y、Y、f和F的支撐長(zhǎng)度。即當(dāng)時(shí)間或頻率趨向無(wú)窮大時(shí)，y、Y、f和F從一個(gè)有限值收斂到0的速度。

(2)對(duì)稱性。它在圖像處理中對(duì)于防止移相是非常有用的。

(3)y和f(如果存在的情況下)的消失矩階數(shù)。它對(duì)于壓縮是非常有用的。

(4)正那么性。它對(duì)信號(hào)或圖像的重構(gòu)獲得較好的平滑效果是非常有用的。但在眾多小波基函數(shù)(也稱核函數(shù))的家族中，有一些小波函數(shù)被實(shí)踐證明是非常有用的。我們可以通過(guò)waveinfo函數(shù)獲得工具箱中的小波函數(shù)的主要性質(zhì)，小波函數(shù)y和尺度函數(shù)f可以通過(guò)wavefun函數(shù)計(jì)算，濾波器可以通過(guò)wfilters函數(shù)產(chǎn)生。在本節(jié)中，我們主要介紹一下MATLAB中常用到的小波函數(shù)。常用的根本小波

Haar小波Haar小波基母函數(shù)

〔a〕Haar“近似〞基函數(shù)〔b〕Haar“細(xì)節(jié)〞基函數(shù)低頻濾波系數(shù)高頻濾波系數(shù)H0=[11]×qH1=[1-1]×q=[qq]=[q-q]其中：

Haar小波的基函數(shù)第1行基函數(shù)是取平均〔近似〕，第2-8行基函數(shù)是取變化〔細(xì)節(jié)〕。細(xì)節(jié)包括變化速率和發(fā)生的時(shí)間。

H0=[11]×qH1=[1-1]×q尺度函數(shù)近似基函數(shù)小波函數(shù)細(xì)節(jié)基函數(shù)常用的根本小波2.Daubechies小波D4尺度函數(shù)與小波

D6尺度函數(shù)與小波

常用的根本小波3、雙正交小波雙正交B樣條小波〔5-3〕、〔9-7〕小波濾波器bior2.2,bior4.4〔7-5〕小波濾波器:常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個(gè)三次B樣條。常用的根本小波4.Morlet小波Morlet小波不存在尺度函數(shù);快速衰減但非緊支撐.Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波常用的根本小波5.高斯小波這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。

特性：指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化；關(guān)于0軸反對(duì)稱。常用的根本小波6.Marr小波這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。

〔也叫墨西哥草帽小波〕特性：指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化；關(guān)于0軸對(duì)稱。常用的根本小波7.Meyer小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下：常用的根本小波8.Shannon小波在時(shí)域，Shannon小波是無(wú)限次可微的，具有無(wú)窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。常用的根本小波9.Battle-Lemarie樣條小波

Battle-Lemarie線性樣條小涉及其頻域函數(shù)的圖形

表1-1

MATLAB工具箱中15個(gè)小波(或小波系)的主要性質(zhì)續(xù)表一維連續(xù)小波變換

定義1.3設(shè)y(t)∈L2(R)，其傅里葉變換為Y(w)，當(dāng)Y(w)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件)：

(1.39)1.3連續(xù)小波變換時(shí)，我們稱y(t)為一個(gè)根本小波或母小波(MotherWavelet)。將母函數(shù)y(t)經(jīng)伸縮(Dilation)和平移(Translation)后得：

(1.40)

稱為一個(gè)小波序列。其中，a為伸縮因子；b為平移因子。對(duì)于任意的函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為

(1.41)

其重構(gòu)公式(逆變換)為

(1.42)

尺度伸縮參數(shù)時(shí)間平移參數(shù)歸一化因子由于基小波y(t)生成的小波ya，b(t)在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，因此y(t)還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件

(1.43)

故Y(w)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。這意味著，為了滿足完全重構(gòu)條件(1.39)，Y(w)在原點(diǎn)必須等于0，即

為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在數(shù)值上是穩(wěn)定的，除了完全重構(gòu)條件外，還要求小波y(t)的傅里葉變換滿足下面的穩(wěn)定性條件：

(1.44)

式中，0<A≤B<∞。

從穩(wěn)定性條件可以引出一個(gè)重要的概念。定義1.4(對(duì)偶小波)假設(shè)小波y(t)滿足穩(wěn)定性條件式(1.44)，那么定義一個(gè)對(duì)偶小波，其傅里葉變換由下式給出

(1.45)注意，穩(wěn)定性條件式(1.44)實(shí)際上是對(duì)式(1.45)分母的約束條件，它的作用是保證對(duì)偶小波的傅里葉變換存在的穩(wěn)定性。

值得指出的是，一個(gè)小波的對(duì)偶小波一般不是唯一的，然而，在實(shí)際應(yīng)用中，我們又總是希望它們是唯一對(duì)應(yīng)的。因此，尋找具有唯一對(duì)偶小波的適宜小波也就成為小波分析中最根本的問(wèn)題。連續(xù)小波變換的物理意義：時(shí)域上的意義：數(shù)學(xué)顯微鏡〔一組有效寬度不同的窗口傅立葉變換的聚集〕頻域上的意義：假設(shè)f(t)的傅立葉變換為F()，a,b(t)的傅立葉變換為a,b()，那么根據(jù)Parseval定理，有：“恒Q性質(zhì)〞：假設(shè)(t)的中心為t0，有效寬度為Dt；()的中心為0，有效寬度為D；那么a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2,b+at0+aDt/2]|中的性質(zhì)，相應(yīng)地從頻域上說(shuō)a,b()提取地是F()在窗口[0/a-D/(2a),0/a+D/(2a)]中的性質(zhì)，因此對(duì)于小波來(lái)說(shuō)時(shí)域窗口寬度和頻域窗口寬度的乘積始終為DtD。連續(xù)小波變換的再生核尺度和位移的連續(xù)變化的連續(xù)小波基函數(shù)構(gòu)成了一組非正交的過(guò)渡完全基，小波展開(kāi)系數(shù)之間有相關(guān)關(guān)系，采用如下描述1.CWT系數(shù)具有很大的冗余，計(jì)算量比較大2.利用冗余性可以實(shí)現(xiàn)去噪和數(shù)據(jù)恢復(fù)的目的。重建核方程連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：

(1)線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。

(2)平移不變性：假設(shè)f(t)的小波變換為Wf(a，b)，那么f(t－t)的小波變換為

Wf(a，b－t)

(3)伸縮共變性：假設(shè)f(t)的小波變換為Wf(a，b)，那么f(ct)的小波變換為

(4)自相似性：對(duì)應(yīng)不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似的。

(5)冗余性：連續(xù)小波變換把一維信號(hào)變換到二維空間，因此在連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度(redundancy)。小波變換的逆變換公式不是唯一的。小波變換的冗余性事實(shí)上也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)面：

①由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說(shuō)，信號(hào)f(t)的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅里葉變換與傅里葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。

②小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)ya，b(t)存在許多可能的選擇(例如，它們可以是非正交小波、正交小波、雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。

小波變換在不同的(a，b)之間的相關(guān)性增加了分析和解釋小波變換結(jié)果的困難，因此，小波變換的冗余度應(yīng)盡可能減小，它是小波分析中的主要問(wèn)題之一。在MATLAB中，可以用cwt函數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的連續(xù)小波變換。例1-2一信號(hào)f(t)＝3sin(100pt)＋2sin(68pt)＋5cos(72pt)，且該信號(hào)混有白噪聲，對(duì)該信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換。小波函數(shù)取db3，尺度為1、1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下：

t＝0：0.01：1；

f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))；

coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，￠db3￠，￠plot￠)；

title(￠對(duì)不同的尺度小波變換系數(shù)值￠)；

Ylabel(￠尺度￠)；

Xlabel(￠時(shí)間￠)；

程序輸出結(jié)果如圖1.11所示。

圖1.11小波變換的系數(shù)用圖1.11所示的灰度值圖表征，橫坐標(biāo)表示變換系數(shù)的系號(hào)，縱坐標(biāo)表示尺度，灰度顏色越深，表示系數(shù)的值越大。繪圖原理

1.需要用到的小波工具箱中的三個(gè)函數(shù)

cwt〔〕，centfrq〔〕，scal2frq〔〕

COEFS=cwt(S,SCALES,‘wname’)

說(shuō)明：該函數(shù)能實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換，其中S為輸入信號(hào)，SCALES為尺度，wname為小波名稱。

FREQ=centfrq(‘wname’)

說(shuō)明：該函數(shù)能求出以wname命名的母小波的中心頻率。

F=scal2frq(A,‘wname’,DELTA)

說(shuō)明：該函數(shù)能將尺度轉(zhuǎn)換為實(shí)際頻率，其中A為尺度，wname為小波名稱，DELTA為采樣周期。

注：這三個(gè)函數(shù)還有其它格式，具體可參閱matlab的幫助文檔。

2.尺度與頻率之間的關(guān)系

設(shè)a為尺度，fs為采樣頻率，F(xiàn)c為小波中心頻率，那么a對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率Fa為

Fa＝Fc×fs/a

(1)

顯然，根據(jù)采樣定理，為使小波尺度圖的頻率范圍為(0,fs/2)，尺度范圍應(yīng)為(2*Fc,inf),其中inf表示為無(wú)窮大。在實(shí)際應(yīng)用中，只需取尺度足夠大即可。

3.尺度序列確實(shí)定

由式(1)可以看出，為使轉(zhuǎn)換后的頻率序列是一等差序列，尺度序列必須取為以下形式：

c/totalscal,...,c/(totalscal-1),c

(2)

其中，totalscal是對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換時(shí)所用尺度序列的長(zhǎng)度(通常需要預(yù)先設(shè)定好)，c為一常數(shù)。

下面講講c的求法。

根據(jù)式(1)容易看出，尺度c/totalscal所對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率應(yīng)為fs/2，于是可得

c=2×Fc/totalscal

(3)

將式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。

4.時(shí)頻圖的繪制

確定了小波基和尺度后，就可以用cwt求小波系數(shù)coefs〔系數(shù)是復(fù)數(shù)時(shí)要取?！?，然后用scal2frq將尺度序列轉(zhuǎn)換為實(shí)際頻率序列f，最后結(jié)合時(shí)間序列t，用imagesc(t,f,abs(coefs))便能畫(huà)出小波時(shí)頻圖。

注意：直接將尺度序列取為等差序列，例如1:1:64，將只能得到正確的尺度－時(shí)間－小波系數(shù)圖，而無(wú)法將其轉(zhuǎn)換為頻率－時(shí)間－小波系數(shù)圖。這是因?yàn)榇藭r(shí)的頻率間隔不為常數(shù)。

此時(shí)，可通過(guò)查表的方法將尺度轉(zhuǎn)化為頻率或直接修改尺度軸標(biāo)注。同理，利用本帖所介紹的方法只能得到頻率－時(shí)間－小波系數(shù)圖，不能得到正確的尺度－時(shí)間－小波系數(shù)圖。

下面給出一實(shí)際例子來(lái)說(shuō)明小波時(shí)頻圖的繪制。所取仿真信號(hào)是由頻率分別為100Hz和200Hz的兩個(gè)正弦分量所合成的信號(hào)。

clear;

clc;

fs=1024;

%采樣頻率

f1=100;

f2=200;

t=0:1/fs:1;

s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);

%兩個(gè)不同頻率正弦信號(hào)合成的仿真信號(hào)

%%%%%%%%%%%%%%%%%小波時(shí)頻圖繪制

wavename='cmor3-3';

totalscal=256;

%尺度序列的長(zhǎng)度，即scal的長(zhǎng)度

wcf=centfrq(wavename);

%小波的中心頻率

cparam=2*wcf*totalscal;

%為得到適宜的尺度所求出的參數(shù)

a=totalscal:-1:1;

scal=cparam./a;

%得到各個(gè)尺度，以使轉(zhuǎn)換得到頻率序列為等差序列

coefs=cwt(s,scal,wavename);

%得到小波系數(shù)

f=scal2frq(scal,wavename,1/fs);

%將尺度轉(zhuǎn)換為頻率

imagesc(t,f,abs(coefs));

%繪制色譜圖

colorbar;

xlabel('時(shí)間t/s');

ylabel('頻率f/Hz');

title('小波時(shí)頻圖');

一維離散小波變換

在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論一下連續(xù)小波ya，b(t)和連續(xù)小波變換Wf(a，b)的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對(duì)時(shí)間變量t的，這一點(diǎn)與我們以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同，希望引起注意。1.4離散小波變換尺度和位移的離散化方法為了減小小波變換系數(shù)的冗余度，我們將小波基函數(shù)的a、τ限定在一些離散的點(diǎn)上取值。尺度和時(shí)移參數(shù)的離散化：尺度和時(shí)移參數(shù)離散化的方法：尺度參數(shù)的離散化：a=a0j,jZ〔通常取a0的值為2，稱為二進(jìn)小波〕時(shí)移參數(shù)的離散化：取決于尺度參數(shù)b=k×a0j,j,kZ離散化方法〔1〕尺度的離散化。目前通行的做法是對(duì)尺度進(jìn)行冪數(shù)級(jí)離散化。即令a取離散化方法〔2〕位移離散化。通常對(duì)τ進(jìn)行均勻離散取值，以覆蓋整個(gè)時(shí)間軸，τ滿足Nyquist采樣定理。在a=2j時(shí)，沿τ軸的響應(yīng)采樣間隔是2jτ0，在a0=2情況下，j增加1，那么尺度a增加一倍，對(duì)應(yīng)的頻率減小一半。此時(shí)采樣率可降低一半而不導(dǎo)致引起信息的喪失。一般，將τ0歸一化，即τ0=1，于是有：此時(shí)，對(duì)應(yīng)的WTf為：然而，怎樣選擇a0和b0才能夠保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢？顯然，網(wǎng)格點(diǎn)應(yīng)盡可能密(即a0和b0盡可能小)，因?yàn)槿绻W(wǎng)格點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù)yj，k(t)和離散小波系數(shù)cj，k就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。

在MATLAB中，離散小波變換可以用dwt、dwt2函數(shù)實(shí)現(xiàn)。二維離散小波變換

為了將一維離散小波變換推廣到二維，只考慮尺度函數(shù)是可別離的情況，即

f(x，y)＝f(x)f(y) (1.58)

其中，f(x)是一維尺度函數(shù)，其相應(yīng)的小波函數(shù)是y(x)，以下三個(gè)二維小波基是建立二維小波的根底：

y1(x，y)＝f(x)y(y)

y2(x，y)＝y(tǒng)(x)f(y)

y3(x，y)＝y(tǒng)(x)y(y)它們構(gòu)成二維平方可積函數(shù)空間L2(R2)的正交歸一基：

(1.59)

二維離散小波分解的過(guò)程如下：

從一幅N×N的圖像f1(x，y)開(kāi)始，其中上標(biāo)指示尺度N是2的冪。對(duì)于j＝0，2j＝20＝1尺度，也就是原圖像的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率減半。在變換的每一層次，圖像都被分解為四個(gè)1/4大小的圖像，它們都是由原圖與一個(gè)小波基圖像的內(nèi)積后，再經(jīng)過(guò)在行和列方向進(jìn)行2倍的間隔抽樣而生成的。對(duì)于第一個(gè)層次(j＝1)，可寫(xiě)成

后續(xù)的層次(j>1)，依次類推，形成如圖1.12所示的形式。

圖1.12假設(shè)將內(nèi)積改寫(xiě)成卷積形式，那么有

因?yàn)槌叨群瘮?shù)和小波函數(shù)都是可別離的，所以每個(gè)卷積都可分解成行和列的一維卷積。例如，在第一層，首先用h0(－x)和h1(－x)分別與圖像f1(x，y)的每行作卷積并丟棄奇數(shù)列(以最左列為第0列)。接著這個(gè)N×(N/2)陣列的每列再和h0(－x)和h1(－x)相卷積，丟棄奇數(shù)行(以最上行為第0行)。結(jié)果就是該層變換所要求的四個(gè)(N/2)×(N/2)的數(shù)組，如圖1.13所示。

圖1.13重構(gòu)過(guò)程與上述過(guò)程相似。在每一層，通過(guò)在每一列的左邊插入一列零來(lái)增頻采樣前一層的四個(gè)陣列；接著用h0(x)和h1(x)來(lái)卷積各行，再成對(duì)地把這幾個(gè)N/2×N的陣列加起來(lái)；然后通過(guò)在每行上面插入一行零，將剛剛所得的兩個(gè)陣列的增頻采樣為N×N；再用h0(x)和h1(x)與這兩個(gè)陣列的每列卷積。這兩個(gè)陣列的和就是這一層重建的結(jié)果。重構(gòu)過(guò)程如圖1.14所示。

圖1.14二進(jìn)小波變換

離散小波變換要求對(duì)尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b進(jìn)行離散化。為了使小波變換具有可變化的時(shí)間和頻率分辨率，適應(yīng)待分析信號(hào)的非平穩(wěn)性，我們很自然地需要改變a和b的大小，以使小波變換具有“變焦距〞的功能。換言之，在實(shí)際中采用的是動(dòng)態(tài)的采樣網(wǎng)格。最常用的是二進(jìn)制的動(dòng)態(tài)采樣網(wǎng)格：a0＝2，b0＝1，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的尺度為2j，而平移為2jk。由此得到的小波

yj，k(t)＝2－j/2y(2－jt－k)(j，k∈Z) (1.60)

稱為二進(jìn)小波(DyadicWavelet)。二進(jìn)小波對(duì)信號(hào)的分析具有變焦距的作用。假定一開(kāi)始選擇一個(gè)放大倍數(shù)2－j，它對(duì)應(yīng)為觀測(cè)到信號(hào)的某局部?jī)?nèi)容。如果想進(jìn)一步觀看信號(hào)更小的細(xì)節(jié)，就需要增加放大倍數(shù)，即減小j值；反之，假設(shè)想了解信號(hào)更粗的內(nèi)容，那么可以減小放大倍數(shù)，即增大j值。在這個(gè)意義上，小波變換被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡。定義1.5設(shè)函數(shù)yj，k(t)∈L2(R)，如果存在兩個(gè)常數(shù)A、B，且0<A<B<∞，使得穩(wěn)定性條件幾乎處處成立，即

(1.61)

那么yj，k(x)為一個(gè)二進(jìn)小波。假設(shè)A＝B，那么稱為最穩(wěn)定條件。而函數(shù)序列 叫做f的二進(jìn)小波變換，其中

(1.62)

上式相應(yīng)的逆變換為

(1.63)

二進(jìn)小波不同于連續(xù)小波的離散小波，它只是對(duì)尺度參數(shù)進(jìn)行了離散化，而對(duì)時(shí)間域上的平移參量保持連續(xù)變化，因此二進(jìn)小波不破壞信號(hào)在時(shí)間域上的平移不變量，這也正是它同正交小波基相比具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。二進(jìn)正交小波變換

定義1.6設(shè)yj，k(t)∈L2(R)，且滿足

(1.64)

由此得到的小波y(t)稱為二進(jìn)正交小波。

尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b按a0＝2，b0＝1離散化，那么二進(jìn)正交小波為

yj，k(t)＝2－j/2y(2－jt－k)(j，k∈Z) (1.65)函數(shù)序列

叫做f的二進(jìn)正交小波變換。

(1.66)

上式相應(yīng)的逆變換為

(1.67)

雙正交小波變換

使用兩個(gè)不同的小波基，一個(gè)用來(lái)分解，另一個(gè)用來(lái)重建，構(gòu)成彼此對(duì)偶的雙正交的小波基：

(1.68)

兩個(gè)小波都能用于分解：

(1.69)

而重建為

(1.70)

一維雙正交小波變換通過(guò)四個(gè)離散濾波器實(shí)現(xiàn)，需要選擇兩個(gè)低通濾波器即尺度向量，使它們的傳遞函數(shù)滿足

(1.71)

其中， 是折疊頻率。由它們產(chǎn)生兩個(gè)帶通濾波器(小波向量)：

(1.72)

雙正交小波變換的一個(gè)分解步驟和一個(gè)重建步驟如圖1.15所示。

圖1.15雙正交小波為

(1.73)

二維雙正交小波變換由對(duì)應(yīng)的小波基確定，正變換的二維小波基為

(1.74)

反變換的二維小波基為

(1.75)

平穩(wěn)小波變換

常用的離散二進(jìn)小波變換在尺度間的正交小波基是非一致降樣取樣的，隨著尺度的增大，取樣間隔以2的指數(shù)變大，因而不能從多尺度的角度很好地匹配信號(hào)的局部特征，故該方法在信號(hào)的奇異點(diǎn)容易產(chǎn)生振蕩效應(yīng)。

平穩(wěn)小波變換是在正交小波變換的根底上提出的，它是一種冗余小波變換，使用冗余離散小波基，具有平移不變性，因而信號(hào)在冗余離散小波基上的表示可看成是信號(hào)在一系列離散小波基上表示的平均，小波系數(shù)和尺度系數(shù)與原始信號(hào)等長(zhǎng)，可以很好地削弱離散二進(jìn)小波變換中的振蕩效應(yīng)。圖1.16描述了平穩(wěn)小波變換分解的根本步驟。

圖1.16圖1.16說(shuō)明了平穩(wěn)小波變換與正交小波變換不同，平穩(wěn)小波變換在每次分解時(shí)不進(jìn)行下抽樣。由于平穩(wěn)小波變換去除了下抽樣處理，包含在小波系數(shù)中的信息是冗余的，這種冗余性有利于找到尺度內(nèi)與尺度間小波系數(shù)之間的依賴關(guān)系，使建立在小波系數(shù)鄰域上的系數(shù)方差估計(jì)精度有了很大的提高。

平穩(wěn)小波變換的重構(gòu)過(guò)程是：首先對(duì)變換后的小波系數(shù)分別進(jìn)行偶抽樣和奇抽樣，將偶抽樣和奇抽樣后的小波系數(shù)分別進(jìn)行重構(gòu)；然后求它們的平均值。平穩(wěn)小波變換的分解公式為

(1.76)

(1.77)

其中，cj，k為尺度系數(shù)(近似局部的系數(shù))；dj，k為小波系數(shù)(細(xì)節(jié)局部的系數(shù))； 、 分別表示在h0、h1兩點(diǎn)間插入的2j－1個(gè)零；h0＝〈f1，0，f0，k〉，h1＝〈y1，0，y0，k〉；y為尺度函數(shù)；φ為小波函數(shù)；n＝0，1，…，N－1，N是信號(hào)長(zhǎng)度。

平穩(wěn)小波變換的重構(gòu)公式為

(1.78)

分別為h0(k)、h1(k)的對(duì)偶基。

矢量小波

傳統(tǒng)意義的小波變換是以Hilbert空間中的內(nèi)積作為展開(kāi)式，我們統(tǒng)稱為數(shù)量積小波變換。近年來(lái)，人們提出并研究了一種新的小波分析——矢量積小波分析。1.5矢量小波變換定義1.7數(shù)量積小波的尺度函數(shù)的雙尺度方程表達(dá)式為

(1.79)

其中，hk為V－1子空間的基函數(shù)的展開(kāi)系數(shù)。

定義1.8數(shù)量積小波函數(shù)的雙尺度方程表達(dá)式為

(1.80)

其中，gk為V－1子空間的正交基的展開(kāi)系數(shù)。定義1.9矢量積小波函數(shù)是數(shù)量積小波函數(shù)的推廣，是它的矩陣表現(xiàn)形式，其尺度函數(shù)的雙尺度方程可表示為

(1.81)

其中，f為r維矢量；h*(k)為r×r維矩陣。定義1.10矢量積小波函數(shù)的雙尺度方程可表示為

(1.82)

其中，小波函數(shù)y(t)是由r個(gè)函數(shù)y1，y2，…，yr組成的r維矢量；g*(k)為r×r維矩陣。矢量積小波變換

令L2(Rd)為d維平方可積空間，y＝(y1，y2，…，yr)為r維矢量小波，其自變量x＝(x1，x2，…，xd)∈Rd，f＝(f1，f2，…，fr)為r維矢量信號(hào)。矢量積小波變換的表達(dá)式為

(1.83)其中，“×〞表示矢量積(r≥1時(shí)，變成一般意義下的內(nèi)積，即數(shù)量積)， 表示單位矢量，當(dāng)把行列式展開(kāi)時(shí)，每?jī)蓚€(gè)函數(shù)的乘積均以內(nèi)積及積分表示，積分為d元，即dx1dx2…dxd，一般d＝3。多級(jí)分解與重構(gòu)

矢量積小波變換可進(jìn)行多級(jí)分解。令f0＝f，那么

f1＝f0×y，稱為信號(hào)的一級(jí)分解；

f2＝f1×y，稱為信號(hào)的二級(jí)分解；

同樣，可以對(duì)矢量積小波變換進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)公式推導(dǎo)如下：

(1.84)

即〈fj＋1，y〉＝0。將fj＋1展開(kāi)，代入等式即可求出展開(kāi)系數(shù)。矢量積小波變換能克服數(shù)量積因平滑作用而引起的信號(hào)喪失的缺陷，而且因?yàn)樽儞Q結(jié)果是將信號(hào)變?yōu)橐粋€(gè)矢量，所以具有明顯的方向和運(yùn)動(dòng)特征，具有更普遍的代表性，特別適合三維活動(dòng)圖像處理和運(yùn)動(dòng)弱目標(biāo)識(shí)別等信息信號(hào)處理。

Meyer于1986年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成L2(R)的標(biāo)準(zhǔn)正交基，才使小波得到真正的開(kāi)展。1988年，S.Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨分析(Multi-ResolutionAnalysis)的概念，從空間的概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變換的快速算法，即Mallat算法。Mallat算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅里葉變換算法在經(jīng)典傅里葉分析中的地位。1.6多分辨分析與Mallat算法多分辨分析

關(guān)于多分辨分析的理解，我們?cè)谶@里以一個(gè)三層的分解進(jìn)行說(shuō)明，其小波分解樹(shù)如圖1.17所示。

從圖1.17可以明顯地看出：多分辨分析只是對(duì)低頻局部進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高頻局部那么不予以考慮。分解具有關(guān)系：S＝A3＋D3＋D2＋D1。另外強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，這里只是以一個(gè)層分解進(jìn)行說(shuō)明，如果要進(jìn)行進(jìn)一步的分解，那么可以把低頻局部A3分解成低頻局部A4和高頻局部D4，以下再分解依此類推。

圖1.17在理解多分辨分析以及下一節(jié)的小波包分析時(shí)，我們必須牢牢把握一點(diǎn)：其分解的最終目的是力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近L2(R)空間的正交小波基(或正交小波包基)，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。從圖1.17可以看出，多分辨分析只對(duì)低頻空間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使頻率的分辨率變得越來(lái)越高。下面我們就看多分辨分析是如何構(gòu)造正交小波基的。定義1.11空間L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)中滿足如下條件的一個(gè)空間序列{Vj}j∈Z：

①單調(diào)性： ，對(duì)任意j∈Z。

②逼近性： 。

③伸縮性： 。伸縮性表達(dá)了尺度的變化、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。

④平移不變性：對(duì)任意k∈Z，有fj(2－j/2t)∈Vjfj

(2－j/2t－k)∈Vj。⑤Riesz基存在性：存在f(t)∈V0，使得{f(2－j/2t－k)|k∈Z}構(gòu)成Vj的Riesz基。

對(duì)于條件⑤，可以證明，存在函數(shù)f(t)∈V0，使它的整數(shù)平移系{f(2－j/2t－k)|k∈Z}構(gòu)成Vj的標(biāo)準(zhǔn)正交基，我們稱f(t)為尺度函數(shù)(ScalingFunction)。定義函數(shù)

fj，k(t)＝2－j/2f(2－jt－k)(j，k∈Z)(1.85)

那么函數(shù)系{fj，k(t)|k∈Z}是標(biāo)準(zhǔn)正交的。

設(shè)以Vj表示圖1.17分解中的低頻局部Aj，Wj表示分解中的高頻局部Dj，那么Wj是Vj在Vj＋1中的正交補(bǔ)，即

(1.86)顯然

(1.87)

那么多分辨分析的子空間V0可以用有限個(gè)子空間來(lái)逼近，即有

(1.88)

空間列{Wj|j∈Z}具有以下性質(zhì)：

①f(t)∈Wjf(t－2jn)∈Wj(j，n∈Z)；

②f(t)∈Wjf(2t)∈Wj＋1(j∈Z)；

③ ，當(dāng)|j|→∞時(shí)，對(duì)任意f∈L2(R)和Vj一樣，我們希望找出一個(gè)確定的函數(shù)y(t)∈W0，使得對(duì)每個(gè)j∈Z，函數(shù)系{yj，n|n∈Z}構(gòu)成空間Wj的標(biāo)準(zhǔn)正交基。其中，yj，n(t)＝2－j/2y(2－jt－n)。假設(shè)令fj∈Vj代表分辨率為2－j的函數(shù)f∈L2(R)的逼近(即函數(shù)f的低頻局部或“粗糙像〞)，而dj∈Wj代表逼近的誤差(即函數(shù)f的高頻局部或“細(xì)節(jié)〞局部)，那么式(1.88)意味著：

f0＝f1＋fd＝f2＋d2＋d1＝…＝fN＋dN＋dN－1＋…＋d2＋d1

(1.89)

注意到f＝f0，所以上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為

(1.90)這說(shuō)明，任何函數(shù)f∈L2(R)都可以根據(jù)分辨率為2－N時(shí)f的低頻局部(“粗糙像〞)和分辨率2－j(1≤j≤N)下f的高頻局部(“細(xì)節(jié)〞局部)完全重構(gòu)，這恰好是著名Mallat塔式重構(gòu)算法的思想。

從包容關(guān)系 ，我們很容易得到尺度函數(shù)f(t)的一個(gè)極為有用的性質(zhì)。注意到f0，0(t)∈V0∈V－1，所以f(t)＝f0，0(t)可以用V－1子空間的基函數(shù)f－1，k(t)＝21/2f(2t－k)展開(kāi)，令展開(kāi)系數(shù)為hk，那么

(1.91)

這就是尺度函數(shù)的雙尺度方程。另一方面，由于V－1＝V0

W0，故y(t)＝y(tǒng)0，0(t)∈

W0∈W－1，這意味著小波基函數(shù)y(t)可以用V－1子空間的正交基f－1，k(t)＝21/2f(2t－k)展開(kāi)，令展開(kāi)系數(shù)為gk，即有

(1.92)

這就是小波函數(shù)的雙尺度方程(尺度函數(shù)的雙尺度方程和小波函數(shù)的雙尺度方程在1.5節(jié)已經(jīng)提及)。雙尺度方程式(1.91)和式(1.92)說(shuō)明，小波基yj，k(t)可由尺度函數(shù)f(t)的平移和伸縮的線性組合獲得，其構(gòu)造歸結(jié)為濾波器H(w)(h(k)的頻域表示)和G(w)(g(k)的頻域表示)的設(shè)計(jì)。

由y(t)的二進(jìn)伸縮平移張成的空間

那么

①Wj⊥Vj，WjVj＝Vj＋1，從而 ，Wj⊥Wj￠，j≠j￠。

②{yj，n}n∈Z是Wj中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而{yj，n}j，n∈Z是L2(R)中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，即小波正交基。綜合以上分析，我們可以歸納出為了使fj，k(t)＝2－j/2

f(2－jt－k)構(gòu)成Vj子空間的正交基，生成元f(t)(尺度函數(shù))應(yīng)該具有以下根本性質(zhì)：

①尺度函數(shù)的容許條件， 。

②能量歸一化條件： 。

③尺度函數(shù)f(t)具有正交性，即〈f(t－l)，f(t－k)〉＝d(k－l)，k，l∈Z。④尺度函數(shù)f(t)與基小波函數(shù)y(t)正交，即〈f(t)，y(t)〉＝0。

⑤跨尺度的尺度函數(shù)f(t)與f(2t)相關(guān)，滿足雙尺度方程(1.91)。

⑥基小波函數(shù)y(t)和f(2t)相關(guān)，即滿足小波函數(shù)的雙尺度方程(1.92)。

將尺度函數(shù)的容許條件與小波的容許條件

作一比較可知，尺度函數(shù)的傅里葉變換Y(w)具有低通濾波特性(相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器)，而小波的傅里葉變換Y(w)具有高通濾波特性(相當(dāng)于一個(gè)帶通濾波器)。除了以上要求外，尺度函數(shù)f(t)還應(yīng)該是R域上的實(shí)值函數(shù)，并且是r次可微分的，其導(dǎo)數(shù)連續(xù)，具有足夠的下降速度，即f(t)應(yīng)滿足：

Mallat算法(快速小波變換FWT)

StephaneMallat利用多分辨分析的特征構(gòu)造了快速小波變換算法，即Mallat算法。

假定選擇了空間Wm和函數(shù)f，且f0n是正交的，設(shè){ymn；m，n∈Z}是相伴的正交小波基，f和y是實(shí)的。把初始序列

分解到相應(yīng)于不同頻帶空間的層。

由數(shù)據(jù)列C0∈L2(Z)可構(gòu)成函數(shù)f：

(1.93)或者

(1.94)

這個(gè)函數(shù)顯然屬于V0，對(duì)這個(gè)函數(shù)現(xiàn)在就可以用多分辨分析。需要計(jì)算相對(duì)于f的迭代Pjf和對(duì)應(yīng)于在兩個(gè)迭代層次的差Qjf。

由于V0＝V1

W1的元素f可以被分解為它的屬于V1和W1的分支：

(1.95)它的每個(gè)分支分別對(duì)應(yīng)于正交基f1n、y1n，被擴(kuò)展為

(1.96)

(1.97)

序列C1表示原數(shù)據(jù)列C0的平滑形式，而D1表示C0和C1之間的信息差，序列C1、D1可做為C0的函數(shù)用下式計(jì)算，由于f1n是V1的正交基，有

(1.98)

其中，

(1.99)

還可以寫(xiě)作

(1.100)

其中，

(1.101)

注意，這里的h(n)包括正規(guī)化因子2－1/2。

類似地

(1.102)其中，

(1.103)

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，把上述式(1.100)和式(1.102)寫(xiě)為

C1＝HC0 (1.104)

D1＝GC0 (1.105)

其中，H、G是從L2(Z)到自身的有界算子：

(1.106)

(1.107)

對(duì)這個(gè)過(guò)程進(jìn)行迭代，由于P1f∈V1＝V2

W2，有

P1f＝P2f＋Q2f (1.108)

(1.109)

(1.110)

因此可知

(1.111)

從而可以驗(yàn)證

(1.112)

與j無(wú)關(guān)，由此可得

(1.113)

或者

C2＝HC1 (1.114)

類似地有

D1＝GC1 (1.115)

此式顯然可根據(jù)需要屢次迭代，在每一步都可看到

(1.116)

其中，Cj＝HCj－1，Dj＝GCj－1。上述為Mallat算法的分解過(guò)程。迭代Cj是原始C0越來(lái)越低的分解形式，每次采樣點(diǎn)比它前一步減少一倍，Dj包含了Cj和Cj－1之間的信息差。

Mallat算法可在有限的L步分解后停止，即把C0分解為D1，…，DL和CL。假設(shè)開(kāi)始C0有N個(gè)非零元，那么在分解中非零元的總數(shù)(不算邊的影響)是N/2＋N/4＋…＋N/2L＋N/2L＝N。這說(shuō)明，在每一步中，Mallat算法都保持非零元總數(shù)。

算法的分解局部如下：

假假設(shè)Cj和Dj，那么

(1.117)因而

(1.118)

或者

(1.119)

重構(gòu)算法也是一個(gè)樹(shù)狀算法，而且與分解算法用的是同樣的濾波系數(shù)。

算法的分解和重構(gòu)結(jié)構(gòu)圖如圖1.18和圖1.19所示。

圖1.18圖1.19

提升小波變換的概述

傳統(tǒng)的第一代小波變換是在歐氏空間內(nèi)通過(guò)基底的平移和伸縮構(gòu)造小波基的，不適合非歐氏空間的應(yīng)用，因此小波提升方案應(yīng)運(yùn)而生，它是構(gòu)造第二代小波變換的理想方法。

1.7提升小波變換提升的實(shí)現(xiàn)形式給出了小波完全的空間域解釋，它具有許多優(yōu)良的特性：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)算量低、原位運(yùn)算、節(jié)省存儲(chǔ)空間、逆變化可以直接反轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)，以及可逆的整數(shù)到整數(shù)變換，便于實(shí)現(xiàn)。在高速處理、移動(dòng)手持設(shè)備、低功耗設(shè)備的應(yīng)用中具有很大的吸引力。提升小波在1996年由Sweldens提出后，在許多領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。

在靜態(tài)圖像處理中，提升小波已被選做JPEG2000的變換核。它提供了多精度的功能，同基于JPEG2000的標(biāo)準(zhǔn)相比，在很低的比特率時(shí)具有較好的壓縮DCT的JPEG性能，并且提供了在同一個(gè)編碼結(jié)構(gòu)內(nèi)有效的失真和無(wú)失真壓縮。在視頻領(lǐng)域，使用提升小波方法自適應(yīng)地對(duì)任意形狀的物體進(jìn)行編碼，顯著提高了編碼效率，在靜止圖像編碼上明顯優(yōu)于MPEG4；視頻物體的主觀評(píng)價(jià)效果更好，具有比MPEG4更少的塊效應(yīng)。通過(guò)提升小波的梯形結(jié)構(gòu)，提出的漸進(jìn)性的小波逆變換合成(PIWS)算法來(lái)保證一個(gè)局域場(chǎng)景的再現(xiàn)只需要使用局部的壓縮數(shù)據(jù)，這樣減少了數(shù)據(jù)訪問(wèn)量和計(jì)算開(kāi)銷，實(shí)現(xiàn)了在3D環(huán)境下從壓縮數(shù)據(jù)集中實(shí)時(shí)再現(xiàn)3D。提升小波用于一維信號(hào)消噪和圖像消噪也得到了良好的效果。通過(guò)將水印參加到提升結(jié)構(gòu)正在處理的小波系數(shù)中，進(jìn)一步增強(qiáng)了平安性。提升小波可以在原有小波的根底上構(gòu)造出更有效的適用于特殊應(yīng)用的小波。它從另一個(gè)角度給小波的構(gòu)造和性質(zhì)作出了解答。同時(shí)，它也把數(shù)值分析領(lǐng)域的“細(xì)分插值〞、“均值插值〞、“高階矩〞、“歐拉算法〞等概念和小波分析的“消失矩〞、“尺度函數(shù)〞、“小波函數(shù)〞等概念巧妙地融為一體。提升法的步驟

二維離散小波變換最有效的實(shí)現(xiàn)方法之一是采用Mallat算法，通過(guò)在圖像的水平和垂直方向交替采用低通和高通濾波實(shí)現(xiàn)。這種傳統(tǒng)的基于卷積的離散小波變換計(jì)算量大，計(jì)算復(fù)雜度高，對(duì)存儲(chǔ)空間的要求較高，不利于硬件實(shí)現(xiàn)。提升小波的出現(xiàn)有效地解決了這一問(wèn)題。提升算法相對(duì)于Mallat算法而言，是一種更為快速有效的小波變換實(shí)現(xiàn)方法，被譽(yù)為第二代小波變換。它不依賴于傅里葉變換，繼承了第一代小波的多分辨率特征，采用原位操作，計(jì)算速度快，計(jì)算時(shí)無(wú)需額外的存儲(chǔ)開(kāi)銷。Daubechies已經(jīng)證明，任何離散小波變換或具有有限長(zhǎng)濾波器的濾波變換都可以被分解成為一系列簡(jiǎn)單的提升步驟，所有能夠用Mallat算法實(shí)現(xiàn)的小波，都可以用提升算法來(lái)實(shí)現(xiàn)。

提升算法給出了雙正交小波簡(jiǎn)單而有效的構(gòu)造方法，使用了根本的多