第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析學(xué)習(xí)重點(diǎn)：連續(xù)系統(tǒng)微分方程的特點(diǎn)；系統(tǒng)響應(yīng)的分解形式；階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)；卷積及其應(yīng)用；系統(tǒng)的特征函數(shù)及其應(yīng)用。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)2.2階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)2.3卷積及其應(yīng)用2.4特征函數(shù)及其應(yīng)用本章目錄2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)描述線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的輸入-輸出特性的是線性常系數(shù)微分方程。從系統(tǒng)的模型（微分方程）出發(fā)，在時(shí)域研究輸入信號(hào)通過系統(tǒng)后響應(yīng)的變化規(guī)律，是研究系統(tǒng)時(shí)域特性的重要方法，這種方法就是時(shí)域分析方法。1、LTI系統(tǒng)的微分方程的建立

對(duì)于電系統(tǒng)，建立其微分方程的基本依據(jù)是：

KCL：

i(t)＝0

KVL：

u(t)＝0

VCR：uR(t)=Ri(t)系統(tǒng)的微分方程的建立對(duì)圖1(a)，有

圖1即

對(duì)圖1(b)，有

即一般形式：對(duì)圖2的二階系統(tǒng)，則有

圖2對(duì)于n階LTI連續(xù)系統(tǒng)，其微分方程為微分方程的經(jīng)典解：

y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）齊次解是齊次微分方程

yh(t)的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f(t)數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；

特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。2、微分方程的經(jīng)典解法

全響應(yīng)＝齊次解(自由響應(yīng))＋特解(強(qiáng)迫響應(yīng))齊次解：寫出特征方程，求出特征根（自然頻率或固有頻率）。根據(jù)特征根的特點(diǎn)，齊次解有不同的形式。一般形式（無重根）：特解：根據(jù)輸入信號(hào)的形式有對(duì)應(yīng)特解的形式，用待定系數(shù)法確定。在輸入信號(hào)為直流和正弦信號(hào)時(shí)，特解就是穩(wěn)態(tài)解。為特征根齊次解yh(t)的形式(1)特征根是不等實(shí)根s1,s2,

,sn(2)特征根是等實(shí)根s1=s2=

=sn(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根零輸入響應(yīng)（儲(chǔ)能響應(yīng)）：3、零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)從觀察的初始時(shí)刻起不再施加輸入信號(hào)，僅由該時(shí)刻系統(tǒng)本身的起始儲(chǔ)能狀態(tài)引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)（ZIR）。

零狀態(tài)響應(yīng)（受激響應(yīng)）：當(dāng)系統(tǒng)的儲(chǔ)能狀態(tài)為零時(shí)，由外加激勵(lì)信號(hào)（輸入）產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR）

。

LTI的全響應(yīng)：y(t)=yzi(t)+yzs(t)零輸入響應(yīng)（1）即求解對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解

①特征方程的根為n個(gè)單根當(dāng)特征方程的根(特征根)為n個(gè)單根(不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根)λ1，λ2，…，λn時(shí)，則yzi(t)的通解表達(dá)式為

②

特征方程的根為n重根當(dāng)特征方程的根(特征根)為n個(gè)重根(不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根)λ1=λ2=…=λn時(shí)，yzi(t)的通解表達(dá)式為:

（2）求yzi(t)的基本步驟

①求系統(tǒng)的特征根，寫出yzi(t)的通解表達(dá)式。

③將確定出的積分常數(shù)C1，C2，…，Cn代入通解表達(dá)式，即得yzi(t)。

②由于激勵(lì)為零，所以零輸入的初始值：

確定積分常數(shù)C1，C2，…，Cn關(guān)于0_和0+初始值

1、0_狀態(tài)和0＋狀態(tài)0_狀態(tài)稱為零輸入時(shí)的起始狀態(tài)。即起始狀態(tài)是由系統(tǒng)的儲(chǔ)能產(chǎn)生的；0＋狀態(tài)稱為加入輸入后的初始狀態(tài)。即初始值不僅有系統(tǒng)的儲(chǔ)能，還受激勵(lì)的影響。

2、從0_狀態(tài)到0＋狀態(tài)的躍變當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)從0_狀態(tài)到0＋狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的0_狀態(tài)到0＋狀態(tài)發(fā)生了跳變。3、0＋狀態(tài)的確定已知0_狀態(tài)求0＋狀態(tài)的值，可用沖激函數(shù)匹配法。求0＋狀態(tài)的值還可以用拉普拉斯變換中的初值定理求出。4、各種響應(yīng)用初始值確定積分常數(shù)在經(jīng)典法求全響應(yīng)的積分常數(shù)時(shí)，用的是0＋狀態(tài)初始值.在求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)時(shí)，用的是0_狀態(tài)起始狀態(tài)。在求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，用的是0＋狀態(tài)初始值，這時(shí)的零狀態(tài)是指0_狀態(tài)為零。零狀態(tài)響應(yīng)（1）即求解對(duì)應(yīng)非齊次微分方程的解（2）求yzs(t)的基本步驟

①求系統(tǒng)的特征根，寫出的通解表達(dá)式y(tǒng)zs(t)。②根據(jù)f(t)的形式，確定特解形式，代入方程解得特解yp(t)

④將確定出的積分常數(shù)C1，C2，…，Cn代入全解表達(dá)式，即得。

③求全解，若方程右邊有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求得，確定積分常數(shù)C1，C2，…，Cn幾種典型自由項(xiàng)函數(shù)相應(yīng)的特解

一階系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于一階系統(tǒng)方程

x(t)：強(qiáng)迫函數(shù)（與輸入信號(hào)有關(guān)）特征方程的根：則零狀態(tài)響應(yīng)：

或

完全響應(yīng)：響應(yīng)的分類方法：按響應(yīng)的不同起因：分為儲(chǔ)能響應(yīng)和受激響應(yīng)；按系統(tǒng)的性質(zhì)和輸入信號(hào)的性質(zhì)分類：

a、自由響應(yīng)：取決于系統(tǒng)性質(zhì)，即特征根；

b、強(qiáng)迫響應(yīng)：取決于輸入信號(hào)的形式；按響應(yīng)的變化形式：

a、瞬態(tài)響應(yīng)：當(dāng)t無限增長，響應(yīng)最終趨于零；

b、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：響應(yīng)恒定或?yàn)槟硞€(gè)穩(wěn)態(tài)函數(shù)。4、系統(tǒng)響應(yīng)的劃分例2-1

一階系統(tǒng)當(dāng)uC(0

)=4V，uS(t)=1+e3t

時(shí)，則完全響應(yīng)為：經(jīng)典法不足之處

若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。

若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。

若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。

這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。

系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，實(shí)際上是求系統(tǒng)方程的齊次解，由非零的系統(tǒng)起始狀態(tài)值uC(0

)和iL(0

)決定的初始值求出待定系數(shù)。

系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，是在激勵(lì)作用下求系統(tǒng)方程的非齊次解，由起始狀態(tài)值uC(0

)和iL(0

)為零決定的初始值求出待定系數(shù)。

求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出卷積積分法?？偨Y(jié)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)=激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即r(t)=e(t)*h(t)單位階躍信號(hào)2.2階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)時(shí)延t0發(fā)生躍變的階躍函數(shù)表示為

(t–t0)=

1(t>t0)0(t<t0)圖1

1(t>0)0(t<0)

(t)=1、階躍響應(yīng)LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)下，由單位階躍信號(hào)引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，記為s(t)。圖2對(duì)于一階系統(tǒng)方程則階躍響應(yīng)：則零狀態(tài)響應(yīng)：階躍響應(yīng)的測(cè)量圖3（1）定義儲(chǔ)能狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在單位沖激信號(hào)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)，記為h(t)。對(duì)于一階系統(tǒng)則沖激響應(yīng)：2、沖激響應(yīng)例2-3

求圖6示系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)=uC(t)

解所以

圖6（2）階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系由系統(tǒng)的微、積分特性，則算子的運(yùn)算規(guī)則：（1）可因式分解：（2）算子方程中左右兩端的算子p不能隨意消去：（3）算子p和1/p的位置不能互換：（3）利用轉(zhuǎn)移算子求h(t)定義算子如圖所示的二階系統(tǒng)，其描述方程如下一般可將輸入-輸出關(guān)系表示為：則對(duì)一階方程有所以定義轉(zhuǎn)移算子H(p)：（3）利用轉(zhuǎn)移算子求h(t)例2-4設(shè)有二階方程則有算子方程即H(p)稱為轉(zhuǎn)移算子。一般有(2-32)對(duì)本例所以最后2.3卷積及其應(yīng)用教學(xué)目的：深刻理解并掌握卷積的定義，會(huì)利用其性質(zhì)求卷積，掌握卷積在LTI系統(tǒng)中的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：卷積的定義，卷積的代數(shù)律及性質(zhì)，卷積在LTI系統(tǒng)中的應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：理解卷積的圖解法，掌握卷積的系統(tǒng)分析法，會(huì)求任意輸入信號(hào)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。

1、卷積的定義

若f1(t)、f2(t)均為因果信號(hào)：設(shè)f1(t)、f2(t)是定義在區(qū)間（，）上的兩個(gè)連續(xù)信號(hào)，將積分

定義為f1(t)和f2(t)的卷積，記作

即：

例2-7求解設(shè)

1=1，

2=3，則4.相乘5.積分，求函數(shù)的面積。1.換元（t)2、卷積的圖解法2.反折3.移位

圖1(1)0

t2時(shí)(2)t2時(shí)圖23、系統(tǒng)的卷積分析法零狀態(tài)響應(yīng)=輸入信號(hào)沖激響應(yīng)

y(t)=f(t)

h(t)過程：LTI（零狀態(tài)）

(t)h(t)（定義）

(t

)h(t

)（時(shí)不變性）

f(t)

(t)f(t)

h(t)

f(t)y(t)

f(

)

(t

)

f(

)h(t

)（齊次性）

（可加性）圖8求零狀態(tài)響應(yīng)的圖示求解響應(yīng)的方法：時(shí)域經(jīng)典法：雙零法：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：完全解=齊次解+

特解解齊次方程，用初（起）始條件求系數(shù)；總結(jié)（1）代數(shù)性質(zhì)：a、交換律：

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)如，輸入和沖激響應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式互換位置，則零狀態(tài)響應(yīng)不變。4、卷積的性質(zhì)b、結(jié)合律：

f1(t)*[f2(t)*f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，框圖表示：

結(jié)論：時(shí)域中，子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總的沖激響應(yīng)等于子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。

c、分配律：

[f1(t)+f2(t)]*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)系統(tǒng)并聯(lián)：

結(jié)論：子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。（3）積分特性：應(yīng)用：

f(t)*

(t)=f(t)*

(1)(t)若y(t)=f1(t)*f2(t)則即信號(hào)f(t)與階躍信號(hào)卷積，就等于信號(hào)f(t)的積分。

若y(t)=f1(t)*f2(t)則y

(t)=f1(t)*f

2(t)=f

1(