18.乘法公式知識(shí)縱橫乘法公式(multiplicationformula)是在多項(xiàng)式乘法的根底上,將多項(xiàng)式乘法的一般法則應(yīng)用于一些特殊形式的多項(xiàng)式相乘,得出的既有特殊性、又有實(shí)用性的具體結(jié)論，在復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，代數(shù)式的化簡求值、代數(shù)式的恒等變形、代數(shù)等式的證明等方面有著廣泛的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：1.熟悉每個(gè)公式的構(gòu)造特征,理解掌握公式;2.根據(jù)待求式的特點(diǎn),模仿套用公式;3.對(duì)公式中字母的全面理解,靈活運(yùn)用公式;4.既能正用、又可逆用且能適當(dāng)變形或重新組合,綜合運(yùn)用公式.例題求解【例1】(1)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差為2000,則這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)可以是______.(江蘇省競賽題)(2)(2000-a)·(1998-a)=1999,則,(2000-a)2+(1998-a)2=________.(2000年重慶市競賽題)思路點(diǎn)撥(1)建立兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的方程組;(2)視(2000-a)·(1998-a)為整體,由平方和想到完全平方公式(formulaforthesquarethesum)及其變形.解:(1)設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為x,y,且x>y,則得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).(2)4002提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)【例2】假設(shè)x是不為0的有理數(shù),M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),則M與N的大小關(guān)系是().(“祖沖之〞杯邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥運(yùn)用乘法公式,在化簡M、N的根底上,作差比擬它們的大小.解:選B【例3】計(jì)算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1;(天津市競賽題)32.(江蘇省競賽試題)思路點(diǎn)撥假設(shè)按部就班計(jì)算,顯然較繁,能否用乘法公式,簡化計(jì)算,關(guān)鍵是對(duì)待求式恰當(dāng)變形,使之符合乘法公式的構(gòu)造特征,對(duì)于(2),由于數(shù)字之間有聯(lián)系,可用字母表示數(shù)(稱為換元),將數(shù)值計(jì)算轉(zhuǎn)化為式的計(jì)算,更能反映問題的本質(zhì)特征.解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716(2)設(shè)1.345=x,則原式=x(x-1)·2x-x3-x(x-1)2【例4】(1)x、y滿足x2+y2+=2x+y,求代數(shù)式的值.(“希望杯〞邀請(qǐng)賽試題)(2)整數(shù)x,y滿足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值.(第14屆“希望杯〞邀請(qǐng)賽試題)(3)同一價(jià)格的一種商品在三個(gè)商場都進(jìn)展了兩次價(jià)風(fēng)格整.甲商場:第一次提價(jià)的百分率為a,第二次提價(jià)的百分率為b;乙商場:兩次提價(jià)的百分率都是(a>0,b>0);丙商場:第一次提價(jià)的百分率為b,第二次提價(jià)的百分率為a,則哪個(gè)商場提價(jià)最多說明理由.(2003年河北省競賽題)思路點(diǎn)撥對(duì)于(1)、(2)兩個(gè)未知數(shù)一個(gè)等式或不等式,須運(yùn)用特殊方法與手段方能求出x、y的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解題的關(guān)鍵是拆項(xiàng)與重組;對(duì)于(3)把三個(gè)商場經(jīng)兩次提價(jià)后的價(jià)格用代數(shù)式表示,作差比擬它們的大小.解:(1)提示:由得(x-1)2+(y-)2=0,得x=1,y=,原式=(2)原不等式可化為(x-1)2+(y-1)2≤1,且x、y為整數(shù),(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,所以可能有的結(jié)果是或或,解得或或或,x+y=1或2或3(3)甲、乙、丙三個(gè)商場兩次提價(jià)后,價(jià)格分別為(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;(1+)·(1+)=1+(a+b)+()2;(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;因()2-ab>0,所以()2>ab,故乙商場兩次提價(jià)后,價(jià)格最高.【例5】a、b、c均為正整數(shù),且滿足a2+b2=c2,又a為質(zhì)數(shù).證明:(1)b與c兩數(shù)必為一奇一偶;(2)2(a+b+1)是完全平方數(shù).思路點(diǎn)撥從a2+b2=c2的變形入手;a2=c2-b2,運(yùn)用質(zhì)數(shù)、奇偶數(shù)性質(zhì)證明.解:(1)因(c+b)(c-b)=a2,又c+b與c-b同奇同偶,c+b>c-b,故a不可能為偶質(zhì)數(shù)2,a應(yīng)為奇質(zhì)數(shù),c+b與c-b同奇同偶,b與c必為一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,兩式相減,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,為一完全平方數(shù).學(xué)力訓(xùn)練一、根底夯實(shí)1.觀察以下各式:(x-1)(x+1)=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1.根據(jù)前面的規(guī)律可得(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=_______.(2001年武漢市中考題)知a2+b2+4a-2b+5=0,則=_____.(2001年杭州市中考題)3.計(jì)算:(1)22×0.7655=_______;(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________;(3)=___________.4.如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形,請(qǐng)利用圖中空白局部的面積的不同表示方法寫出一個(gè)關(guān)于a、b的恒等式________.(2003年太原市中考題)5.a+=5,則==_____.(2003年菏澤市中考題)6.a-b=3,b+c=-5,則代數(shù)式ac-bc+a2-ab的值為().A.-15B.-2C.-6D.6(2003年揚(yáng)州市中考題)7.乘積(1-)(1-)……(1-)(1-)等于().A.B.C.D.(2002年重慶市競賽題)8.假設(shè)x-y=2,x2+y2=4,則x2002+y2002的值是().A.4B.2002C9.假設(shè)x2-13x+1=0,則x4+的個(gè)位數(shù)字是().A.1B.3C①,在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形(a>b),把余下的局部剪拼成一個(gè)矩形(如圖②),通過計(jì)算兩個(gè)圖形(陰影局部)的面積,驗(yàn)證了一個(gè)等式,則這個(gè)等式是().2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a-b)2=a2-2ab+bD.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2(2002年陜西省中考題)11.(1)設(shè)x+2z=3y,試判斷x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值如果是定值,求出它的值;否則請(qǐng)說明理由.(2)x2-2x=2,將下式先化簡,再求值:(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1).(2003年上海市中考題)12.一個(gè)自然數(shù)減去45后是一個(gè)完全平方數(shù),這個(gè)自然數(shù)加上44后仍是一個(gè)完全平方數(shù),試求這個(gè)自然數(shù).13.觀察:1·2·3·4+1=522·3·4·5+1=1123·4·5·6+1=192……(1)請(qǐng)寫了一個(gè)具有普遍性的結(jié)論,并給出證明;(2)根據(jù)(1),計(jì)算2000·2001·2002·2003+1的結(jié)果(用一個(gè)最簡式子表示).(2001年黃岡市競賽題)二、能力拓展2嗎為了解決這個(gè)問題,我們考察個(gè)位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方,任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為5的自然數(shù)可寫在10n+5(n為自然數(shù)),即求(10n+5)2的值,試分析n=1,n=2,n=3,……這些簡單情形,從中探索其規(guī)律,并歸納猜測出結(jié)論.(1)通過計(jì)算,探索規(guī)律.152=225可寫成100×1×(1+1)+25;252=625可寫成100×2×(2+1)+25;352=1225可寫成100×3×(3+1)+25;452=2025可寫成100×4×(4+1)+25;……752=5625可成寫__________;852=7225可寫成__________.(2)從第(1)題的結(jié)果,歸納,猜測得(10n+5)2=________.(3)根據(jù)上面的歸納猜測,請(qǐng)算出19952=________.(福建省三明市中考題)x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z=________.(2001天津市選撥賽試題)16.(1)假設(shè)x+y=10,x3+y3=100,則x2+y2=________.(2)假設(shè)a-b=3,則a3-b3-9ab=________.17.1,2,3,……,98共98個(gè)自然數(shù)中,能夠表示成兩整數(shù)的平方差的個(gè)數(shù)是________.(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)知a-b=4,ab+c2+4=0,則a+b=().A.4B.0C.2D.-22-y2=1991,共有()組整數(shù)解.A.6B.7C20.a、b滿足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),則x、y的大小關(guān)系是().≤≥yC.x<yD.x>y(2003年太原市競賽題)21.a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,則多項(xiàng)式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值為().A.0B.1C.2D.3(2002年全國初中數(shù)學(xué)競賽題)22.設(shè)a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值.(西安市競賽題)2-a-1=0,求代數(shù)式a8+7a-4的值.(2003年河北省競賽題)24.假設(shè)x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求證:x1997+y1997=a1997+b1997.(北京市競賽題)三、綜合創(chuàng)新25.有10位乒乓球選手進(jìn)展單循環(huán)賽(每兩人間均賽一場),用x1,y1順次表示第一號(hào)選手勝與負(fù)的場數(shù);用x2,y2順次表示第二號(hào)選手勝與負(fù)的場數(shù),……;用x10,y10順次表示十號(hào)選手勝與負(fù)的場數(shù).求證:x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102.26.(1)請(qǐng)觀察:25=521225=352112225=335211122225=33352……寫出表示一般規(guī)律的等式,并加以證明.(2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32.任意挑選另外兩個(gè)類似26、53的數(shù),使它們能表示成兩個(gè)平方數(shù)的和,把這兩個(gè)數(shù)相乘,乘積仍然是兩個(gè)平方數(shù)的和嗎你能說出其中的道理嗎設(shè)〔2x-1〕5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，

求：〔1〕f的值；

〔2〕a+b+c+d+e+f的值；

〔3〕a+c+e的值．假設(shè)(3x+1)5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f,則a-b+c-d+e-f的值是3、假設(shè)a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，則a+b2+c3=.5、對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f〔x〕=,例如f〔3〕=，f〔〕=，計(jì)算f〔〕+f〔〕+f〔〕+…f〔〕+f〔x〕+f〔1〕+f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔2004〕+f〔2005〕+f〔2006〕=.答案n+1-12.-3.(1)4;(2)3897326;(3)4.(a+b)2-4ab=(a-b)27.D提示;逆用平方差公式,分解相約8.C提示:由條件得xy=09.D提示:x≠0,由條件得x+=13,x4+=(x2+)2-2=[(x+)2-2]2-11.(1)定值為0提示:由條件得x-3y=-2z,原式=(x-3y)·(x+3y)+4z2+4xz=-2z·(x+3y)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0(2)原式=3x2-6x-5=3(x2-2x)-5=1.12.提示:設(shè)這個(gè)自然數(shù)為x,由題意得②-①得n2-m2=89即(n+m)(n-m)=89×1從而,解得(m,n都為自然數(shù))故x=45-44=1981.13.(1)對(duì)于自然數(shù)n,有n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,證明略.(2)由(1)得原式=(20002+3×2000+1)2=4006001214.(1)100×7×(7+1)+25;100×8×(8+1)+25.(2)(10n+5)2=10n(n+1)+25(3)19952=(10×199+5)2=10×199×(199+1)+25=398002516.(1)40提示:x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy];(2)27.17.73提示:x=n2-m2=(n+m)(n-m)(1≤m<n≤98,m,n為整數(shù)),因n+m與n-m的奇偶性一樣,故x是奇數(shù)或是4的倍數(shù).提示:把a(bǔ)=b+4代入ab+c2+4=0得(b+2)2+c2=019.C提示:(x+y)(x-y)=1×1991=11×181=(-1)×(-1991)=(-11)×(-181)提示:x-y=(a+2)2+(b-4)2≥021.D提示:原式=[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]22.提示:由a+b=1,a2+b2=2,得ab=-,利用an+1+bn+1=(an+bn