2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.若直線3x+4y+m=0與圓x2+y22x+4y+1=0沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(5,15) B.(∞,5)∪(15,+∞)C.(∞,4)∪(13,+∞) D.(4,13)2.直線3x+4y=b與圓x2+y22x2y+1=0相切,則b的值是()A.2或12 B.2或12C.2或12 D.2或123.(多選題)若直線xy=2被圓(xa)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為22,則實(shí)數(shù)a的值為()A.0 B.4 C.2 D.34.(多選題)在同一直角坐標(biāo)系中,直線y=ax+a2與圓(x+a)2+y2=a2的位置不可能為()5.已知直線ax+by+c=0(ab≠0)與圓x2+y2=1相切,則三邊長(zhǎng)分別為|a|,|b|,|c|的三角形是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不存在6.一條光線從點(diǎn)(2,3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為()A.53或5C.23或23 D7.過點(diǎn)P(3,5)作圓(x1)2+(y1)2=4的切線,則切線長(zhǎng)為.

8.如下圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在某位置時(shí),拱頂離水面2m,水面寬12m,當(dāng)水面下降1m后,水面寬為m.

9.已知直線l過點(diǎn)(2,0),當(dāng)直線l與圓x2+y2=2x有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),求直線l斜率k的取值范圍.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.若點(diǎn)(a,b)是圓x2+y2=r2外一點(diǎn),則直線ax+by=r2與圓的位置關(guān)系是()A.相離 B.相切C.相交但不過圓心 D.相交且過圓心11.直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]12.直線y=x+b與曲線x=1-y2有且只有一個(gè)交點(diǎn),則b滿足A.|b|=2B.1<b≤1或b=2C.1≤b<1D.非以上答案13.已知點(diǎn)P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓C:x2+y22y=0的兩條切線,A,B是切點(diǎn).若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為()A.2 B.21C.22 D.214.(多選題)從點(diǎn)A(3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射后,照射到圓C:x2+y24x4y+7=0上,則下列結(jié)論正確的是()A.若反射光線與圓C相切,則切線方程為3x4y3=0B.若反射光線穿過圓C的圓心,則反射光線方程為xy=0C.若反射光線照射到圓上后被吸收,則光線經(jīng)過的最短路程是521D.若反射光線反射后被圓C遮擋,則在x軸上被擋住的范圍是-15.為了適應(yīng)市場(chǎng)需要,某地準(zhǔn)備建一個(gè)圓形生豬儲(chǔ)備基地(如圖),它的附近有一條公路,從基地中心O處向東走1km是儲(chǔ)備基地的邊界上的點(diǎn)A,接著向東再走7km到達(dá)公路上的點(diǎn)B;從基地中心O向正北走8km到達(dá)公路的另一點(diǎn)C.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲(chǔ)備基地的邊界上選一點(diǎn)D,修建一條由D通往公路BC的專用線DE,則DE的最短距離為()A.6km B.(421)kmC.(42+1)km D.4km16.若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x2)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為.

17.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為20米,圓O的半徑為1米,圓心是正方形的中心,點(diǎn)P,Q分別在線段AD,CB上,若線段PQ與圓O有公共點(diǎn),則稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中,已知點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動(dòng),則在點(diǎn)P從A移動(dòng)到D的過程中,點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)”中的時(shí)長(zhǎng)約秒(精確到0.1).

18.已知圓x2+y2+2ax2ay+2a24a=0(0<a≤4)的圓心為C,直線l:y=x+m.(1)若m=4,求直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)的最大值;(2)若直線l是圓心下方的切線,當(dāng)a在(0,4]變化時(shí),求m的取值范圍.19.在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的內(nèi)切圓上的一點(diǎn),求分別以|PA|,|PB|,|PO|為直徑的三個(gè)圓的面積之和的最大值與最小值.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練20.一輛貨車寬1.6米,要經(jīng)過一個(gè)半徑為3.6米的半圓形單行隧道,則這輛貨車的平頂車篷的篷頂距離地面高度最高約為()A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米2.5.1直線與圓的位置關(guān)系1.B圓x2+y22x+4y+1=0的圓心為(1,2),半徑為2.由題意得,圓心到直線3x+4y+m=0的距離|3-8+m|9+16>2,解得m<5或2.D圓的方程為x2+y22x2y+1=0,可化為(x1)2+(y1)2=1.由圓心(1,1)到直線3x+4yb=0的距離為|7-b|5=1,得b=2或3.AB由圓的方程,可知圓心坐標(biāo)為(a,0),半徑r=2.又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為22,所以圓心到直線的距離d=22又d=|a所以|a2|=2,解得a=4或a=0.4.ABD由題意,可得a2>0,直線y=ax+a2顯然過點(diǎn)(0,a2),故ABD均不可能.5.B由題意知,|c|a2+b2=1,∴a26.D由光的反射原理知,反射光線的反向延長(zhǎng)線必過點(diǎn)(2,3),設(shè)反射光線所在直線的斜率為k,則反射光線所在直線方程為y+3=k(x2),即kxy2k3=0.又因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切,所以|-3k-2-2k-3|k2+1=1,整理為12k2+25k+12=7.4由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x1)2+(y1)2=4,得到圓心A坐標(biāo)(1,1),半徑r=2,又點(diǎn)P(3,5)與A(1,1)的距離|AP|=(3-1)2+(5-1)2=25,設(shè)B為切點(diǎn),由直線PB為圓A的切線,得到△8.251以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標(biāo)系,如右圖所示:由題意可知,設(shè)圓的方程為x2+(y+r)2=r2(其中r為圓的半徑),因?yàn)楣绊旊x水面2m,水面寬12m,所以設(shè)A(6,2),代入圓的方程中,得r=10,所以圓的方程為x2+(y+10)2=100,當(dāng)水面下降1m后,設(shè)A'(x0,3)(x0>0),代入圓的方程中,得x0=51,所以此時(shí)水面寬251m.9.解圓心坐標(biāo)是(1,0),圓的半徑是1,若直線l的斜率不存在,直線l與圓相離,與題意不符.故設(shè)直線方程是y=k(x+2),即kxy+2k=0,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得|k+2即k2<18,解得24<k<即直線l斜率k的取值范圍為24,210.C由題意,得a2+b2>r2,從而圓心(0,0)到直線的距離為d=r2a2+所以直線與圓相交但不過圓心.11.A設(shè)圓心到直線AB的距離d=|2+0+2|2=點(diǎn)P到直線AB的距離為d'.易知dr≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d'∴2≤S△ABP≤6.12.B曲線x=1-y2含有限制條件,即故曲線表示單位圓在y軸右側(cè)(含與y軸的交點(diǎn))的部分.在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出y=x+b與曲線x=1-y2(就是x2+y2=1,x≥0)的圖象相切時(shí),b=2,其他位置符合條件時(shí)需1<b≤1.13.D圓C:x2+y22y=0的圓心為(0,1),半徑是r=1,由圓的性質(zhì)知S四邊形PACB=2S△PBC.∵四邊形PACB的最小面積是2,∴S△PBC的最小值為1,即12rd=1(其中d是切線長(zhǎng)∴d最小值=2.∴PC的最小值為12∵圓心到直線kx+y+4=0(k>0)的距離就是PC的最小值,∴|1+4∴k=2或k=2(舍去).故選D.14.BCD點(diǎn)A(3,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'(3,3).圓的方程為(x2)2+(y2)2=1,由題意知反射光線的斜率存在,設(shè)反射光線方程為y+3=k(x+3),即kxy+3k3=0.對(duì)于A,由相切知|2k解得k=43或k=3∴反射光線方程為y+3=43(x+3)或y+3=34(x+即4x3y+3=0或3x4y3=0,故A錯(cuò)誤;又經(jīng)過點(diǎn)A'(3,3),C(2,2)的方程為y=x,故B正確;因?yàn)閨A'C|=(2+3)2+(2+3)2=52,由于兩條與圓C相切的反射光線與x軸的交點(diǎn)為(1,0)和-34,0,所以被擋住的范圍是-315.B以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過OB,OC的直線分別為x軸和y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則圓O的方程為x2+y2=1,因?yàn)辄c(diǎn)B(8,0),C(0,8),所以直線BC的方程為x+y=8.當(dāng)點(diǎn)D選在與直線BC平行的直線(距BC較近的一條)與圓相切所成切點(diǎn)處時(shí),DE為最短距離,此時(shí)DE的最小值為|0+0-8|2116.-33,33如圖所示,∠∴直線l的傾斜角θ的取值范圍為0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.∴直線l的斜率的取值范圍為-317.4.4以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,可設(shè)點(diǎn)P(10,10+1.5t),Q(10,10t),可得出直線PQ的方程y10+t=20-2.圓O的方程為x2+y2=1,由直線PQ與圓O有公共點(diǎn),可得|2.5t-202-t+10|1+(20-2.5t20)

2≤1,化為3t2+16t128≤0,解得0≤t≤87-18.解(1)已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+a)2+(ya)2=4a(0<a≤4),則圓心C的坐標(biāo)是(a,a),半徑為2a.直線l的方程化為xy+4=0,則圓心C到直線l的距離是|4-2a設(shè)直線l被圓C所截得弦長(zhǎng)為L(zhǎng),由弦長(zhǎng)、圓心距和圓的半徑之間的關(guān)系,得L=2(2a)2-(2|∵0<a≤4,∴當(dāng)a=3時(shí),L的最大值為210.(2)∵直線l與圓C相切,則有|m-2a即|m2a|=22a∵點(diǎn)C在直線l的上方,∴a>a+m,即2a>m,∴2am=22a,∴m=(2a1)2∵0<a≤4,∴0<2a≤22,∴m∈[1,842]19.解如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,使A,B,O三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,0),B(0,3),O(0,0).設(shè)△AOB的內(nèi)切圓的半徑為r,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).再設(shè)切點(diǎn)分別為E,F,G,則|OE|+|EA|+|OF|+|FB|=2r+|AG|+|BG|.即2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴內(nèi)切圓的方程為(x1)2+(y1)2=1,即x2+y22y=2x1.①又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x4)2+y2+x2+(y3)2+x2+y2=3x2+3y28x6y+25,②∴將①代入②,得|PA|2+|PB|2+