高2023屆高一(上)期中考試參考答案

數(shù)學

一、單項選擇題

12345678

ACADDBCA

1.【解析】選A。C°B={1,3},故AnC°B={l}。

2.【解析】選C。全稱量詞命題的否定形式，只否定量詞和結論。

3.【解析】選A。法1：令x+l=3nx=2,所以/(3)=22—2=2；

法2：令x+1=z=x=f-1,則1)2—2,所以/(3)=(3-1)2-2=2。

4.【解析】選D。因為?+121=>0<7缶41,所以/(x)的值域為(0,1]。

5.【解析】選D。首先/(忖)表示將/(X)的圖象關于y軸作翻折變換，即“去左保右翻右”；

其次-/(卜|)表示將/(忖)的圖象關于％軸作對稱變換。

6.【解析】選Bo設方程的兩根為XI,X2,則：

/△=4_4。>0

工+%=。>0=。>4o

|?2

]xx=a>0

l12

7.【解析】選C。(1+0.0201)30=[(1.01)2『=[(101)30『-142=1.96。

3232，-1

8.【解析】選A。由題：/1(x)=x---在R上單調(diào)遞增，令函數(shù)g(x)=/*)+i=x-陽~p，

2'+12X+1

則函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，故/(a)+f?+2<0=g(a)<g(-b)oa<—b

二、多項選擇題

9101112

BCCDABABC

9.【解析】A選項化簡為y=k|(xH0),故定義域不相同;

B選項化簡為y=|x|,定義域為R,故為相同函數(shù)；

C選項化簡為y=|x|,定義域為R,故為相同函數(shù)；

D選項化簡為y=x,(x>0),故定義域和解析式均不相同。

10.【解析】A選項中加<1時，判別式A=4—4/w>0,則方程Y+2x+〃?=0有兩個不等根，故函數(shù)

/(X)的定義域應該在兩根之外，定義域不為Ro

B選項中若m=0,則/(x)=ln(x2+2x)的定義域為(—8,—2)u(0,+oo),值域為R,沒有最小值。

C選項中由于函數(shù)y=ln(x2+機一1)為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，將該函數(shù)的圖象向左平移一

22

個單位即可得到函數(shù)/(x)=ln(x+2x+m)-ln[(x+l)+m-l]的圖象，此時對稱軸為x=-1o

D選項中41時，判別式△=4-4機20,函數(shù)y=￡+2x+"?能夠取遍(0,+°°)上的每一個實

數(shù)，故函數(shù)的值域為Ro

11.【解析】A選項中馬/(尤1)+&/(々)>為/(尤2)+“2/(司)化簡為(花一工2)(/(%|)-/(%2))>0，故函

數(shù)在R上是增函數(shù)；

B選項中〃匹)二/*2)〉_]OI7(X])+XJ-[/(工2)+々]>0,故函數(shù)y=/(X)+X在R上是增

-x2x]-x2

函數(shù)；

C選項中，令/(x)=[x],[幻表示不超過龍的最大的整數(shù)，滿足/(》+1)>/(尤)，但/(龍)在R上

不是增函數(shù)；

D選項中，令/(x)=g(x)=x,但函數(shù)y=/(x)?g(x)=/在R上不單調(diào)。

12.【解析】A選項中，ab<aa<ba,所以正確；

b(人、J

B選項中，由于一>1為一。>0,故—>1=>相">血/，，所以正確；

a\a)

C選項中，由于0<1-a<1,0<4V6V1nOg(j)a>log(l-a)力，9監(jiān)(1一“)<%(1一辦又

b<l=>log/?(l-&)>log/?(l—(7),所以正確；

D選項中，取4=1，匕=_,則1。8“(1+/=10813=]081匹1080+。)=1081(^

939333*39

2茫610、ilog(1+/?)=log4<log(l+a)=log10

又口丁§，故“13biy,所以不正確。

三、填空題

13141516

5(2,+￥)4［—1,1］或［0,1］或［-1,0］,14「<2

13.【解析】答案5。二次函數(shù)的對稱軸為X=1€[0,3],且實數(shù)3離對稱軸遠，故最大值為/(3)=5。

14.【解析】答案(2,+8)。函數(shù)/(x)=In，—4)的定義域為(一叫―2)u(2,+8),函數(shù)y=/—4在

(-00,-2)上單調(diào)遞減，在(2,+oo)上單調(diào)遞增，又函數(shù)y=ln/單調(diào)遞增，所以根據(jù)口訣“同增異

減”，函數(shù)/(x)=ln(x2-4)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(2,+oo)上單調(diào)遞增。

15.【解析】答案4。由題：2(lna+In/>)=ln(a+2b)=>\n(ab)2=ln(a+2b)=>(ab)2=a+2b,

(a+2b}2、(a+2/?)4

a>0,b>0,又a-2b&\)2K-------------

464

故a+2b?(°鐘尸=+2b)3>64=>a+2b>4,當且僅當a=2b=2時取等號。

64

16.【解析】⑴由題，令N=xnx=0,x=l,x=-1,所以或[0,1]或中任意一個均可；

123

(2)函數(shù)/(X)=2J7TT-Z在x1[T,+￥)上單調(diào)遞增，若存在共鳴區(qū)間，則方程2471-%=X，

分離參數(shù)即為方程Z=2j7il-X在xf[T，+￥)上至少有兩個不等實根，令g(x)=2而萬-X，

利用換元法，令/=而？30口8=產(chǎn)-1,則y=+2f+1(73。)，結合函數(shù)圖象，欲使直線

了=%與函數(shù)丁=-產(chǎn)+2?+1的圖象有兩個不同的交點，貝打4%<2。

四、解答題

17.【答案】(1)Ac(C8)=(-1,」]51,5);(2)0<〃?<4

R2

【解析】

由題，A=(—1,5),8=(=1,1),C=[m-l,m+1]

2

(1)由于C8=1x4-1時211，所以Ac(C8)=(-1,—..................................5分

R<?鼻卜R2

m—1〉一1

(2)由AUC=A得CqA,則有<=>0<m<4............................5分

m+1<5

18.【答案】(1)3;(2)-3

【解析】

(1)原式=3-坨^)^?+坨4lg3x31g2+lglO=3-l+l=3

6分

4^-

lg2逅

⑵原式=樽+嚴一(24。2力—)+(-8+2=—3.....................6分

19.【答案】(1)。=—1；(2)-24“<1

【解析】

⑴由奇函數(shù)的定義可知：/(-x)=-/(%),即皿巫顯:-皿絲士之二,工土？，

-x+2x+2ax+2

則：ax+2=x+2Q4-x2=4-a2x2CJa=±1,

-x+2ax+2

又當。=1時，/(元)恒為0,矛盾，所以。=-1。.....................................5分

(2)?.?g(x)=?/a)在41(0，1)上單調(diào)凰%

在xT(0,l)上恒成立，且g(x)="t2=a+"2^在xT(0,l)上單調(diào)遞減,

x+2x+2x+2

.??,(幻二8⑴二：2"且2-2a>0,解得：-2<a<l..........................7分

20.【答案】(1)/(。)=2：(2)略；(3)(定義法或復合函數(shù)法都可說明函數(shù)的單調(diào)性，均不扣分)

4

【解析】

⑴取4=6=0,有：/(0)=2..................................................2分

(2)設占，々€A且用>%,a=xt-x2,b=x2,則有：/(Xj)=/(xt-x2)+/(x2)-2

即：f(x})-f(x2)=f(x-x2)-2,由于再一々>0,則〃再一電)>2,

即：/(XI)-/(X2)=/(XI-X2)-2>0,由增函數(shù)的定義可知/(x)是R上的增函數(shù)。......4分

(3)不等式/0x47)+/(l-27)>4等價于，(fx47+1-2一、)>2=/(0),由⑵可知/(%)

是R上的增函數(shù)，故/x4-x+]_2-x>0CJf>-4x+2x在R上恒成立，下面求函數(shù)，=一4'+2'

的最大值：令m=2X,y=-m2+m,其對稱軸為儂=1,故有：

2

-1C

當xI(-￥,-1)口機v_時，函數(shù)〃2=2人遞增，函數(shù)y=-帆。+〃2遞增，故函數(shù)y=-4"+2"遞

2

增，當xI(-1,+￥)口機〉L時，函數(shù)加=2”遞增，函數(shù)了=-//+加遞減，故函數(shù)

2

y=-4、+2X遞減，

因此，函數(shù)y=-4，+2、在x=-l時有最大值J,即所求范圍為/>2...................6分

44

21.【答案】(1)/(月=*2+%+1(2)。=2或-3

【解析】

(1)用一X替換X有：/(-x)+2/(x)=3f+x+3,又/(%)+2/(-x)=3/-x+3,

聯(lián)立方程可得：f(x)=x2+x+l.....................................................4分

t%2+2x+1-6T,x3a

(2)由(1)可知g(x)=\,則：

fx2+1+67,X<a

①當々3。時：

<i>當13。，函數(shù)y=/+2x+l-Q的對稱軸X=-1<0￡Q,所以g(x)在工7口,+￥)上遞增，

其最小值為g(a)=a2+a+1；

vii>當x<a,函數(shù)y=x2+1+a的對稱軸x=0￡a,所以g(x)在xI(-￥,〃)上的最小值

為g(0)=a+l；

綜合vi>、Vii>以及6f2+4Z+13a+1可知：尤IR時，gmin(%)=g(0)=0+1=3口4=2

②當-1vavO時：

<i>當天3。，函數(shù)y=X?+2x+1-a的對稱軸x=-1<a,所以g(x)在xI[〃,+￥)上遞增，

其最小值為g(a)=/+a+1；

<打>當不<。,函數(shù)y=x2+l+a的對稱軸X=O>Q,所以g(x)在xI(-￥,〃)上遞減，

無最小值，且g(x)>g(。)=CT+4+1在XI(-￥,a)上恒成立；

綜合vi＞、＜ii＞可知：xi/?時，&而(％)=g(a)=標+。+1=3口a=-2或1,故無解

③當“￡-1時：

＜i＞當函數(shù)y=/+2x+1-a的對稱軸x=-134,所以g(x)在xT[a,+￥)的最小值

為g(-l)=-a；

＜ii＞當xva,函數(shù)y=》2+1+a的對稱軸o＞a,所以g(x)在xI(-￥,a)上遞減，無最小值

且g(x)＞g(a)=/+a+1在xI(-￥,a)上恒成立;

綜合＜i＞、＜ii＞以及a2+a+\3-a可知：xIR時，gmin(x)=g(0)=-a=3Pa=-3,

綜合①②③可知：a=2或-3..............................................................................................8分

22.【答案】(l)〃z=l；(2)1；(3)〃z31(定義法或復合函數(shù)法都可說明函數(shù)的單調(diào)性，均不扣分)

【解析】

1

(1)由/(1)=1得：4""=1,令k=2-?＞0,則一=1Q2k2-k-1=0

221-?+12k+15

所以上=1或％=-1(舍)，則加=1..................................................................................3分

2

(2)由(1)知函數(shù)/(x)=4--1+[=2"?[_]

2，"+12，”+1

令t=2\"+1＞1,y=r±?-2(/＞1),則：

t

-1_

當xIR時r=2*T+1遞增，函數(shù)y=r+_-2在fI(1,+￥)上遞增，所以函數(shù)/'(x)在R上遞增,

t

-14

則當xl[,]時，/W=1乎.

I?-八廣?一萬’

另一方面，函數(shù)g(x)=1L)產(chǎn)的圖象關于x=1對稱，且先增后減，

2

…14

則當無“_,J時，g(X)=1五，

23扁82T

所以，當且僅當x=[時，/%)的最小值為〃；+g(1)=11.............................................4分

22

AX-m1

(3)法1：與問題(2)同理，易知函數(shù)/(九)=/____=(2(-,n+1)+-'--2在R上單增，

2"'"+1T-'n+1

f(x)x[1,)4'-">g(x)BA

,,六fV口V話M,r----------、八-a的值域為B,貝ljI,

故在I+￥上1的l值域為A=[,,+￥)，設

2'""+1

①當加￡0時，當xT[0,l]時，函數(shù)g(x)=(l)xr"在xT[0,l]上遞減，故8

22''"'2'm

4-11J_

設函陽(x)==(2+1)+-2)令“=2』+1>1，y=u+M-2(M>1),則:

2-+12|(+1"

.在〃1(1,+￥)上遞增，所以函數(shù)7(%)在R上遞減,

當xlR時，〃=2"+1遞減，函數(shù)y=〃+-2

u

41m4111m

故當加￡0時，_7(加)3)(0),即-------3>3()-，不滿足BiA;

2bm+1322

②當0<〃z￡1時，g(幻=(1)產(chǎn)網(wǎng)的圖象關于x=m對稱，且在[0,m)遞增，在[加,1]上遞減，

22

故gmax(X)=g(M=l，又”m3m,故g而/x)=g(l)=擊，B=[^,1]

由情況①知L/(加)3/(立即4""32(6I)>遮=/)2-3(不滿足3以；

22hm+1222

③當L〃，￡l時，g(x)=的圖象關于尤=機對稱，且在[0,〃。遞增，在的』】上遞減，

22

故gmax(*)=gS)=1，又1-〃?<機，故gmiB。)=g(0)=J/§=g,l]，

，

1341m3

由8IA有：—2，,?，+1m1,所以此時m=l；

④當機>1時，當xT[0,l],函數(shù)g(x)=(5"T在上遞增，故B=J。,