第20講計(jì)數(shù)綜合四興趣篇1、在的方格表中，取出一個(gè)如圖所示的由3個(gè)小方格組成的“L”形，共有多少種不同的取法？【分析】每個(gè)2×2的小方塊有4種取法，∴共有7×7×4=196種取法。2、冬冬媽媽每天讓冬冬吃1個(gè)雞蛋或者1個(gè)鴨蛋，那么冬冬吃完家里的4個(gè)雞蛋和4個(gè)鴨蛋共有多少種吃法？答案：140種【分析】總共8個(gè)蛋，選其中4個(gè)蛋為雞蛋，=70種。3、常昊與古力兩人進(jìn)行圍棋“棋圣”冠軍爭(zhēng)霸賽，比賽沒有平局，誰(shuí)先勝4局即獲得比賽的勝利。請(qǐng)問：比賽過(guò)程一共有多少種不同的方式？答案：70種【分析】7盤比賽中選4盤作為勝方，有種排序；可以常昊或古力勝利，所以共×2=70種。4、10只相同的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，每個(gè)盤子至少放1只，一共有多少種不同的放法？答案：36種【分析】利用插板法，=36種。5、一部電視連續(xù)劇共8集，電視臺(tái)要在周一到周四這4天內(nèi)按順序播放，其中可以有若干天不播，共有多少種安排播出的方法？答案：165種【分析】類似于分橘子問題，先加4集，共12集，然后插板法，=165。6、某班40名學(xué)生參加了一項(xiàng)關(guān)于“超市是否應(yīng)該提供免費(fèi)塑料袋”的調(diào)查，每人均在“應(yīng)該提供”、“不應(yīng)該提供”和“無(wú)所謂”三個(gè)選項(xiàng)中做出了選擇。請(qǐng)問：三個(gè)選項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)字共有多少種不同的可能？答案：861種【分析】40個(gè)人分到3個(gè)選項(xiàng)中，可以有選項(xiàng)不選，插板法；=861。7、海淀大街上一共有18盞路燈，區(qū)政府為了節(jié)約用電，打算熄滅其中的7盞。但為了行路安全，任意相鄰的兩盞燈不能同時(shí)熄滅，請(qǐng)問：一共有多少種熄燈方案？答案：792種【分析】其中6盞作為熄滅7盞燈的間隔先去掉，然后在12盞中選7盞滅掉，。8、數(shù)字和為9，而且不含數(shù)字0的三位數(shù)共有多少個(gè)？四位數(shù)共有多少個(gè)？答案：28個(gè)；56個(gè)【分析】類似插板法，；。9、有一批規(guī)格相同的均勻圓棒，每根劃分成相同的5節(jié)，每節(jié)用紅、黃、藍(lán)3種顏色中的一種來(lái)涂，相鄰兩節(jié)不能同色，那么可以染成多少種不同的圓棒？【分析】對(duì)稱的3×2×2=12種，不對(duì)稱的3×2×2×2×2-12=36種，36÷2+12=30。10、給一個(gè)正四面體的4個(gè)面染色，每個(gè)面只允許用一種顏色，且4個(gè)面的顏色不相同?，F(xiàn)有5種顏色可選，共有多少種不同的染色方式？（旋轉(zhuǎn)后是一樣的染色情況算是同一種方式）【分析】5種顏色選4種，種，把選中的某種顏色朝下放置，剩下3種顏色的排列有2種：順時(shí)針和逆時(shí)針。共5×2=10種。拓展篇1、在的方格棋盤中，一共可以數(shù)出多少個(gè)如圖所示的由4個(gè)單位小正方形組成的“L”形？答案：336個(gè)【分析】每個(gè)2×3的長(zhǎng)方形中，有4個(gè)“L”形，共6×7×4=168個(gè)，兩個(gè)方向：168×2=336個(gè)2、一次射擊比賽中，7個(gè)泥制的靶子掛成3列（如圖）。一位射手按下列規(guī)則去擊碎靶子：先挑選一列，然后擊碎這列中尚未被擊碎的靶子中最下面的一個(gè)。若每次都遵循這一原則，則擊碎全部7個(gè)靶子共有多少種不同的順序？答案：210種【分析】①7個(gè)靶子排序種；對(duì)于第1列的3個(gè)，第2列的2個(gè)，第3列的2個(gè)，只能有一種順序，所以共②7個(gè)打擊的順序中，選3個(gè)作為第1列3個(gè)，再選2個(gè)作為第2列。。3、（1）一只青蛙沿著一條直線跳躍4次后回到起點(diǎn)。如果它每一次跳躍的長(zhǎng)度都是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？（2）如果這只青蛙在一個(gè)方格邊長(zhǎng)為1分米的方格紙上沿格線跳躍4次后回到起點(diǎn)，每次跳躍的長(zhǎng)度仍是1分米，那么這只青蛙共有多少種可能的跳法？【分析】（1）令青蛙跳的方向?yàn)榍昂秃?，則4跳中必是2前2后，；（2）令青蛙跳的方向?yàn)榍昂笞笥?，?前2后，；ⅱ2左2右，；ⅲ1前1后1左1右，4×3×2＝24。共36種。4、如圖1所示，有兩條平行線，如果每條直線上有3個(gè)點(diǎn)，連出3條線段，從圖中最多可以數(shù)出5個(gè)三角形；如圖2所示，如果每條直線上有4個(gè)點(diǎn)，連出4條線段，從圖中最多可以數(shù)出16個(gè)三角形。如果每條直線上有10個(gè)點(diǎn)，連出10條線段，從圖中最多可以數(shù)出多少個(gè)三角形？【分析】共有12條直線，每3條構(gòu)成一個(gè)三角形。組成個(gè)三角形，但平行線加1條直線不能構(gòu)成三角形，220-10＝210個(gè)。5、把20個(gè)蘋果分給3個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少分1個(gè)，共有多少種分蘋果的方法？如果可以有小朋友沒有分到蘋果，共有多少種分法？【分析】插板法：；借3個(gè)蘋果，。6、冬冬有10塊大白兔奶糖，他從今天起，每天至少吃一塊，直到吃完。請(qǐng)問一共有多少種不同的吃法？【分析】把10塊糖排成一排，共有9個(gè)空隙，選擇其中的一些空隙插上板，然后把隔開的糖按順序分天吃完。9個(gè)空隙可插可不插，都有2種選擇，所以共29＝512個(gè)。7、美國(guó)眾議院435名議員對(duì)“拒絕繳納聯(lián)合國(guó)會(huì)費(fèi)”的提案進(jìn)行投票，每名議員都可以選擇投贊同票、反對(duì)票和棄權(quán)票中的某一種，并且只要贊成票多于總票數(shù)的一半，提案就會(huì)被通過(guò)，否則不能通過(guò)。表決結(jié)果是拒絕繳納。試問共有多少種可能的三種票數(shù)的統(tǒng)計(jì)情況？【分析】拒絕繳納，說(shuō)明贊成票多于一半，即不小于218票。先從總數(shù)減217票贊成票，那么贊成票至少1票。再加棄權(quán)和反對(duì)各1票，這兩種也至少1票，就變成普通插板法了。435-217+2＝220。8、有10個(gè)小朋友排成一列，要從中選出3個(gè)互不相鄰的小朋友，有多少種不同的選法？答案：56種【分析】把間隔的2個(gè)去掉10-2＝8，剩下8人選3人，種。9、一次自助餐，共有10種菜，每個(gè)人都有4個(gè)盤子可以選菜，每個(gè)盤子只能放1種菜，但可以重復(fù)選菜，請(qǐng)問：共有多少種選菜方案？答案：715種【分析】不重復(fù)選：重復(fù)1種：重復(fù)2種：1種重復(fù)3次：1種重復(fù)4次：共715種10、3個(gè)男生和7個(gè)女生站成一排，要求每2個(gè)男生之間至少有2個(gè)女生，共有多少種排列方法？如果站成一圈呢？【分析】一排：7個(gè)女生中選4個(gè)作為男生的間隔并排序，種，剩下3男3女隨意排序：種。共種。一圈：3男排序：，女生必然分成3，2，2共3組，選3人排序種，剩下4人選2人排序種，剩下2人排序種，共種。11、一個(gè)正方體的各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，并且它的體積是2310，那么這樣的長(zhǎng)方體有多少個(gè)？（如果兩個(gè)長(zhǎng)方體經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)可以重合，則認(rèn)為它們是同一長(zhǎng)方體。）答案：41個(gè)【分析】2310=2×3×5×7×11，共5個(gè)不同的質(zhì)因子。用數(shù)字組（a，b，c）表示一條邊含a個(gè)質(zhì)因子，第2條邊含b個(gè)質(zhì)因子，第3條邊含c個(gè)質(zhì)因子，那么①（5，0，0）有1種，②（4，1，0）有種，③（3，2，0）有種，④（3，1，1）有種，⑤（2，2，1）有種，共41種。12、用4種顏色為一個(gè)正方體的6個(gè)面染色，要求每個(gè)面只能用1種顏色，且相鄰面的顏色必須不相同。如果將正方體經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后顏色相同，就認(rèn)為是同一種染色方法，那么共有多少種不同的染色方法？答案：230種【分析】①選取3種顏色種。②選取4種顏色，必然是兩種顏色各1面，另兩種顏色各染兩面。種。共10種。超越篇1、某工廠生產(chǎn)一批玩具，玩具為一條圓環(huán)上均勻安裝著13個(gè)小球，其中3個(gè)是紅球，10個(gè)是白球。如果2個(gè)圓環(huán)通過(guò)翻轉(zhuǎn)后可以疊放在一起，使得紅球?qū)t球、白球?qū)Π浊?，這樣的兩個(gè)圓環(huán)就認(rèn)為是相同的。那么一共可以生產(chǎn)多少種不同的圓環(huán)？答案：14種【分析】按照白球個(gè)數(shù)分類。共14種。2、對(duì)于由1至6組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1，那么可以進(jìn)行如下的1次操作：記首位數(shù)字為，則將數(shù)字與第位上的數(shù)字對(duì)換。例如，245136可以進(jìn)行兩次操作：。請(qǐng)問：可以進(jìn)行5次操作的六位數(shù)有多少個(gè)？【分析】倒推回去，1可以和任何一位交換，5種，記換過(guò)來(lái)的是a1，a1除了第1位和a1位都能換，有3種……，共有5×4×3×2×1=120種。3、大小形狀相同的紅、黃、藍(lán)三種顏色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，現(xiàn)在要將它們穿成一串，要求相同顏色的珠子不能相鄰，共有多少種不同實(shí)質(zhì)的穿法？如果要穿成一個(gè)圈呢？答案：21種；2種【分析】枚舉：按照藍(lán)球位置分類，位置對(duì)稱的只考慮一種。①（1，3，5）共2×2=4種②（1，3，6）共2×2=4種③（1，3，7）2種④（1，4，6）共2×2=4種⑤（1，4，7）3種⑥（2，4，6）4種共21種。排成圈時(shí)，藍(lán)球間的間隔是1，1，2，此時(shí)只有2種。4、有8個(gè)對(duì)參加比賽，采用如圖所示的淘汰制方式。問：在比賽前抽簽時(shí)，可以得到多少種實(shí)質(zhì)不同的比賽安排表？答案：315種【分析】8隊(duì)排序共種，但第1層4場(chǎng)比賽之間交換順序無(wú)影響，第2層2場(chǎng)比賽交換順序無(wú)影響，第3層1場(chǎng)比賽交換順序無(wú)影響。40320÷24÷22÷2=315。5、平面上8個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)凸八邊形，將這8個(gè)點(diǎn)種任意2個(gè)點(diǎn)之間連接一條線段，已知任意3條線段都沒有交于一點(diǎn)，請(qǐng)問：（1）八邊形內(nèi)共連接了多少條線段？（2）這些線段在八邊形內(nèi)共有多少個(gè)交點(diǎn)？（3）所形成的圖形中最多可以數(shù)出多少個(gè)三角形？答案：（1）20條；（2）70個(gè)；（3）644個(gè)【分析】（1），其中8條是八邊形的邊所以28-8=20（2）由4個(gè)點(diǎn)組成的四邊形產(chǎn)生1個(gè)交點(diǎn)。共個(gè)四邊形，有70個(gè)交點(diǎn)。（3）三角形分4類ⅰ三個(gè)頂點(diǎn)為原頂點(diǎn)：，ⅱ兩個(gè)頂點(diǎn)為原頂點(diǎn)：，ⅲ一個(gè)頂點(diǎn)為原頂點(diǎn)：每5個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)5個(gè)，，ⅳ都不是原頂點(diǎn)：每6個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)1個(gè)，，共664個(gè)。6、動(dòng)物園的門票5元1張，每人限購(gòu)1張?，F(xiàn)在有10個(gè)小朋友排隊(duì)購(gòu)票，其中5個(gè)小朋友只有5元的鈔票，另外5個(gè)小朋友只有10元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢。請(qǐng)問：有多少種排隊(duì)方法，使售票員總能找得開零錢？答案：604800種【分析】如圖，以向右一格代表1個(gè)1元去排隊(duì)，向上一格代表1個(gè)2元去排隊(duì)。排隊(duì)方式有42種，小朋友不同，∴42×5！×5！=604800種。7、經(jīng)理將要打印的信件交給秘書，每次給一封，且放在所有信件的最上面，秘書一有空就從最上面拿一封信來(lái)打。有一天共有7封信要打印，經(jīng)理按1號(hào)信，2號(hào)信，……，7號(hào)信的順序交給秘書。午飯時(shí)，秘書告訴同事，經(jīng)理已經(jīng)給了5封信，她已經(jīng)把5號(hào)信打好了，但未透露上午工作的其他情況。問：（1）如果上午秘書已經(jīng)把五封信打完了們那么上午打印信的順序有多少種可能？（2）如果上午秘書還沒有把信打完，那么下午打印信的順序有多少種可能？答案：（1）42種；（2）152種【分析】（1）每封信都有放信，打信兩步，每次打信的數(shù)目都不能超過(guò)放信的數(shù)目，如圖，往右一格代表放一封信，往上一格代表打一封信。共42種可能。（2）由于給了5封信，打了1封信，所以至少向右走了5步，向上走了31步。中午可能開始的位置有A、B、C、D4種情況，①?gòu)腁出發(fā)：留1～4號(hào)信，1種情況，A到F點(diǎn)20種，所以共20種情況。②從B出發(fā)：留3封信，種，B到F點(diǎn)：14種，共4×14=56種，③從C出發(fā)：留2封信，種，C到F點(diǎn)：9種，共6×9=54種。④從D出發(fā)：留1封信，種，D到F點(diǎn)：5種，4×5=20種。共150種情況。8、（1）將8個(gè)黑球和20個(gè)白球排成一圈，每2個(gè)黑球之間至少有2個(gè)白球的排列方法有多少種？（2）8名女生，20名男生站成一