21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.2.根據(jù)一元二次方程的一般形式，確定各項系數(shù).3.理解并靈活運用一元二次方程概念解決有關問題.復習引入1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18沒有未知數(shù)代數(shù)式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我們學過哪些方程？含有未知數(shù)的等式叫做方程.我們學過的方程有一元一次方程，二元一次方程（組）及分式方程，其中前兩種方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么叫一元二次方程呢？問題1:有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周凸出部分折起,就能制作一個無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應切去多大的正方形？100cm50cmx3600cm2解：設切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為（100－2x)cm,寬為(50－2x)cm,根據(jù)方盒的底面積為3600cm2,得化簡，得一元二次方程的概念一該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？問題1:有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周凸出部分折起,就能制作一個無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應切去多大的正方形？100cm50cmx3600cm2解：設切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為（100－2x)cm,寬為(50－2x)cm,根據(jù)方盒的底面積為3600cm2,得化簡，得一元二次方程的概念一該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？問題2:要組織要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據(jù)場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽?解：根據(jù)題意，列方程：化簡，得：該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？問題3

在一塊寬20m、長32m的矩形空地上，修筑寬相等的三條小路（兩條縱向，一條橫向，縱向與橫向垂直），把矩形空地分成大小一樣的六塊，建成小花壇.如圖要使花壇的總面積為570m2，問小路的寬應為多少？3220x1.若設小路的寬是xm，那么橫向小路的面______m2，縱向小路的面積是

m2,兩者重疊的面積是

m2.32x2.由于花壇的總面積是570m2.你能根據(jù)題意，列出方程嗎？整理以上方程可得：思考：2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=5702x2x2-36x＋35=0③3220x想一想：還有其它的列法嗎？試說明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220觀察與思考方程①、②、③都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點呢？特點:①都是整式方程;②只含一個未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.x2-36x＋35=0③只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化為ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.ax2+bx

+c

=0(a

,

b

,

c為常數(shù),

a≠0)ax2稱為二次項,

a

稱為二次項系數(shù).

bx

稱為一次項, b

稱為一次項系數(shù).

c

稱為常數(shù)項.知識要點一元二次方程的概念

一元二次方程的一般形式是想一想為什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以為零嗎？當

a=0時bx＋c=0當

a≠0，b=0時

，ax2＋c=0當

a≠0，c

=0時

，ax2＋bx=0當

a≠0，b

=c

=0時

，ax2

=0總結：只要滿足a≠0，b，c可以為任意實數(shù).典例精析例1

下列選項中，關于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含兩個未知數(shù)化簡整理成x2-3x+2=0少了限制條件a≠0提示

判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再進一步化簡整理后再作判斷.

判斷下列方程是否為一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0

(1)x2+x=36例2:a為何值時，下列方程為一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)將方程式轉化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當a-2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程；

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當a=-1時，原方程是一元二次方程.方法點撥：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數(shù)等于0的字母的值．變式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0,（1）在什么條件下此方程為一元二次方程？（2）在什么條件下此方程為一元一次方程？解（1）當2a－4≠0，即a≠2時是一元二次方程（2）當a=2且b≠0時是一元一次方程一元一次方程一元二次方程一般式相同點不同點思考：一元一次方程與一元二次方程有什么區(qū)別與聯(lián)系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）整式方程，只含有一個未知數(shù)未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是2

例3：將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù).解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數(shù)是3；一次項是-8x,系數(shù)是-8；常數(shù)項是-10.系數(shù)和項均包含前面的符號.注意一元二次方程的根二一元二次方程的根

使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.練一練：下面哪些數(shù)是方程x2–x–6=0

的解?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了嗎？一元二次方程可能不止一個根.

1.

下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項-21313-540-53-24.已知方程5x2+mx-6=0的一個根為4，則ｍ的值為_______．3.關于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,當k

時，是一元二次方程．當k

時，是一元一次方程．≠±1＝－15.(1)

如圖，已知一矩形的長為200cm,寬150cm.現(xiàn)在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的四分之三.求挖去的圓的半徑xcm應滿足的方程（其中π取3）.解：設由于圓的半徑為xcm，則它的面積為3x2

cm2.整理，得根據(jù)題意有，200cm150cm(2)

如圖，據(jù)某市交通部門統(tǒng)計，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x應滿足的方程.解：該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率為x整理，得根據(jù)題意有，6.已知關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值.解：由題意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=04a=-97.若關于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一個根為0，求m的值.二次項系數(shù)不為零不容忽視解：將x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，綜上所述：m=2.拓廣探索

已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)一個根為1,求a+b+c的值.解：由題意得思考:1.若a+b+c=0,你能通過觀察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根嗎?解：由題意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根是