旋轉(zhuǎn)變換通常結(jié)合全等三角形探索角的數(shù)量關(guān)系，線段與線段之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，經(jīng)常作為作為中等偏難一點的題型出現(xiàn)．★★★○○○○旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：①旋轉(zhuǎn)角是對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角是旋轉(zhuǎn)角；②旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；③對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．如圖，△ABC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠AOA′到△A′B′C′的位置，則①旋轉(zhuǎn)角是∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′；②△ABC≌△A′B′C′；③OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′．1.注意旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角；2.抓住旋轉(zhuǎn)只是改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；3.能夠用旋轉(zhuǎn)解題的圖形的基本特征是有公共端點且相等的兩條線段，這個公共端點往往會是旋轉(zhuǎn)中心．例1.如圖，將Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，使得點C，A，B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角等于()A.55°B.70°C.125°D.155°【答案】C例2.如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補，若∠MPN在繞點P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM＋ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長不變，其中正確的個數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1【答案】B學(xué)科@網(wǎng)【精細(xì)解讀】因為角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以存在著隱性的有公共端點的相等線段的特征，故可考慮過點P作∠AOB的兩邊的垂線，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解．如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．例3.如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，點P為△ABC內(nèi)一點.（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點B，C，P的對應(yīng)點分別為點D、A、E，連接CE.①依題意，請在圖2中補全圖形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的長．（2）如圖3，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當(dāng)AC＝3，AB＝6時，根據(jù)此圖求PA＋PB＋PC的最小值．【答案】（1）（2）∵△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC＝AD，∵∠ACB＝90°，∴四邊形BCAD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵BP＝3，∴DE＝BP＝3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，；（2）證明：如圖所示，1.把邊長為3的正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB′C′D′，邊BC與D′C′交于點O，則四邊形ABOD′的周長是()A.62B.6C.32D.3＋32【答案】A【解析】試題解析：連接BC′，∵旋轉(zhuǎn)角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在對角線AC′上，∵B′C′＝AB′＝3，在Rt△AB′C′中，AC′＝A'B'2+B'C'2=32，∴在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝32－3，在直角三角形OBC′中，OC′＝2（32－3）＝6－32，∴OD′＝3－OC′＝32－3，∴四邊形ABOD′的周長是：2AD′＋OB＋OD′＝6＋32－3＋32－3＝62．故選A．2.兩個全等的三角尺重疊放在△ACB的位置，將其中一個三角尺繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點A恰好落在邊DE上，AB與CE相交于點F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，則CF＝_________cm．【答案】3.如圖，菱形ABCD中，邊長為2，∠B＝60°，將△ACD繞點C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC（即A′C）與AB交于一點E，CD（即CD′）同時與AD交于一點F時，點E，F(xiàn)和點A構(gòu)成△AEF．試探究△AEF的周長是否存在最小值，如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值.【答案】2＋（每道試題10分，總計100分）1.如圖，在□ABCD中，AE⊥BC于點E，以點B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC，把△BAE順時針旋轉(zhuǎn)，得到△BA′E′，連接DA′，若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，則∠DA′E′的大小為（）A.130°B.150°C.160°D.170°【答案】C【解析】根據(jù)平行四邊形對角相等、鄰角互補，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可運用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，從而得到答案．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，∵∠ADA′＝50°，∴∠A′DC＝10°，∴∠DA′B＝130°，∵AE⊥BC于點E，∴∠BAE＝30°，∵△BAE順時針旋轉(zhuǎn)，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝∠DA′B＋∠BA′E′＝160°．故選C．學(xué)科@網(wǎng)2.如圖，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB1C1，當(dāng)點C1、B1、C三點共線時，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB1，交AC于點D．下面結(jié)論：①△AC1A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】B3.三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，三角板繞直角頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A的對應(yīng)點A′落在AB邊的起始位置上時即停止轉(zhuǎn)動，則B點轉(zhuǎn)過的路徑長為（）A.πB.πC.2πD.3π【答案】C4.如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′C′B，且BC＝2，那么CC′的長是___________.【答案】2；【解析】試題解析：∵△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′C′B，∴BC＝BC′＝2，∠CBC′＝60°，∴△BCC′為等邊三角形，∴CC′＝BC＝BC′＝2.學(xué)科@網(wǎng)5.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝12cm，將△ABC以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB邊延長線上的點D處，則AC邊掃過的圖形（陰影部分）的面積是_____cm2．（結(jié)果保留π）．【答案】36π6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，點O為Rt△ABC內(nèi)一點，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，則OA＋OB＋OC＝__________．【答案】【解析】試題解析：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，∴tan∠ABC＝ACBC∴∠ABC＝30°，∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，∴A′B⊥CB，∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB＋∠BOO′＝∠BO′A′＋∠BO′O＝120°＋60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點共線，在Rt△A′BC中，A′C＝BC2+A'B2=7，∴OA＋OB＋OC＝A′O′＋OO′＋OC7.如圖，⊙P的半徑為5，A、B是圓上任意兩點，且AB＝6，以AB為邊作正方形ABCD（點D、P在直線AB兩側(cè)）．若AB邊繞點P旋轉(zhuǎn)一周，則CD邊掃過的面積為____．【答案】9π8.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ADF按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE，若AF＝4，AB＝7.（1）旋轉(zhuǎn)中心為______；旋轉(zhuǎn)角度為______；（2）DE的長度為______；（3）指出BE與DF的位置關(guān)系如何？并說明理由.【答案】（1）A，90°；（2）3；（3）BE⊥DF，理由見解析.9.如圖（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過A的一條直線，且B、C在A、E的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）試說明：BD＝DE＋CE．（2）若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果；（3）若直線AE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時（BD＞CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）DE＝BD＋CE．10.（1）探究：如圖，四邊形中，已知，，點分別在邊上，；①如圖1，若都是直角，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，則能證得，請寫出推理過程；②如圖2，若不是直角，則當(dāng)滿足數(shù)量關(guān)系時，仍有；（2）拓展：如圖3，在中，，，點均在邊上，且，若，求的長．【答案】（1）①證明見解析；②當(dāng)∠B＋∠ADC＝180°時，EF＝BE＋DF；(2)DE＝.【解析】試題分析:（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)好勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3?x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．②當(dāng)∠B＋∠ADC＝180°時，EF＝BE＋DF；把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，則∠FAB＝∠CAE.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，又∵∠FAB＝∠CAE，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，則在△ADF和△ADE中，，∴△ADF≌△ADE，∴DF＝DE，∠C＝∠ABF＝45°，∴∠BDF＝90°，∴△BDF是直角三角形，∴，∴．∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝4，∵BD＝1，∴DC＝3，EC＝3－DE，∴，解得DE＝．學(xué)科@網(wǎng)_________________________________________________________________________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