必修四平面向量

一、向量的相關(guān)概念：

1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量

注意：1。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2、向量的表示方法：幾何表示法：①用有向線段表示；②用字母之、1等表示；③用有向

線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB；坐標(biāo)表示法：a=xi+yj=（x,y）.

3、向量的模：向量而的大小一一長(zhǎng)度稱為向量的模，記作ABI.

4、特殊的向量：①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作。.6的方向是任意的.②長(zhǎng)度為1個(gè)單位

長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.

5、相反向量：與°長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作-a

6、相等的向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量1與6相等，記作：=力；

7、平行:向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作力〃.平行向量也稱

為共線向量.規(guī)定零向量與任意向量平行。

8、兩個(gè)非零向量夾角的概念：已知非零向量）與就作方=1，OB=b,則

NAOB=。（0V。叫之與1的夾角.

_>_>->77_>

說(shuō)明：（1）當(dāng)。=0時(shí)，a與人同向；（2）當(dāng)6=4時(shí)，a與人反向；（3）當(dāng)6=—時(shí)，a

2

T—>T

與b垂直，記規(guī)定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向

量必須是同起點(diǎn)的?范圍0°^0^180°

9、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量1的積是一個(gè)向量，記作/lW,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如

下:

（I）Aa=|/||a|：（H）當(dāng)之>0時(shí)，2I的方向與1的方向相同；當(dāng)幾<0時(shí)，的

方向與"的方向相反；當(dāng)2=0時(shí)，Aa=0,方向是任意的

10、兩個(gè)向量的數(shù)量積：

已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為6,貝Ija/=|a||匕|cos6

叫做之與了的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定，W=0

11、向量的投影：定義：lOcos。叫做向量W在1方向上的投影，投影也是一個(gè)數(shù)量，不是

向量；當(dāng)。為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)。為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)。為直角時(shí)投影為0；當(dāng)。=0。

->T

時(shí)投影為IbI;當(dāng)。=180。時(shí)投影為-\b.

->->

羨osO="eR，稱為向量辦在1方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影

1。1

二、重要定理、公式：

1、平面向量基本定理：￡,e；是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)

—?—>—>

任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)4,4,使a=4q+&/

（1）.平面向量的坐標(biāo)表示

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量；、7作為基

底.任作一個(gè)向量之，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得

->—>—>

a=xi+yj.......（D

—>

我們把（x,y）叫做向量。的（直角）坐標(biāo)，記作

—>

a=（x,y）.......②

->

其中x叫做。在x軸上的坐標(biāo)，y叫做。在y軸上的坐標(biāo)，②式叫做向量的坐標(biāo)表示.

—>

與。相等的向量的坐標(biāo)也為（X,y）.

—>—>

特別地,i=（1,0）,j=（0,1）,0=（0,0）.

（2）若A（X|,y）,B（x2,y2）,則A3=—f，必一必）

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

2、兩個(gè)向量平行的充要條件

向量共線定理：向量］與非零向量之共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使力=21

->—->Tf->

設(shè)4=（%，必），b=（x2,y2）,則a〃匕Oa=丸00一馬必=0

3、兩個(gè)向量垂直的充要條件

->->->fff

設(shè)4=（占,必），b=（x2,y2）,則a_L〃=。8=0O藥々+,必=。

4、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

（1）設(shè)1=（x,y）,則|a|2=/+y2或

—>

（2）如果表示向量。的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（$，M）、8（々,乃），那么

IAB|=JN-J+G-7］（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）

5、兩向量夾角的余弦（0W6W萬(wàn)）Z-標(biāo)_「X也+y%

f->I22I22

\a\-\b\++%

三、向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算

的坐標(biāo)表示和性質(zhì)

a=(X],yJ,石=(%,必)

運(yùn)算

幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)

類型

向

量

1.平行四邊形法則a+b=b+a

的—>T

2.三角形法則（首尾相接，首尾連）a+Z?=(x+x,y+y)—>->—>—>—>->

加12l2(4+8)+C=Q+(/?+C)

法

AB+BC=AC

向->—>—>—>

〃

量a-b=+(-/?)

三角形法則（首首相接，尾尾相連，

的—>—>

指向被減）Q=_麗

減a-b=(xl-y2)

法

OB-OA=AB

實(shí)數(shù)人與向量力的積是一個(gè)向量，

記作：

Za4Qza)=\A./S)a

向

（1）Aa=\^\a-

量(2+a=4。+//。

心)

的=(Zr

（2）九>0時(shí)，與1同向；-->->

乘X(a+b)=4a+X>

法T->

當(dāng)/1<0時(shí)，與a異向；

a//boa=Ab

當(dāng)2=0時(shí)，4a=0。任意方向,

ffTT

a-b=b-a

—>—>—>—>

a-b=|Q|?|〃|COS6,—>一(4〃)?8=〃?(2b)=b)

ab=xtx2+M%

—>—>—>—>—>—>—>

(0<6><^-).向量的數(shù)量積的幾何意

向(?+/?)?c=a-c+/?-c

義：

量

1工=0或7=0時(shí)，|a『=a或latjf+y?

的數(shù)量積1。等于］的

數(shù)f->