第1節(jié)平面向量的概念與線性運算對應學生用書P1211.了解平面向量及相關概念.2.掌握平面向量的加、減運算及幾何意義.3.掌握平面向量的數(shù)乘運算,理解向量共線的含義.一、向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量,向量的大小叫作向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零的向量,其方向是任意的記作0

單位向量長度等于1個單位長度的向量與非零向量a共線的單位向量為±a平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量

0與任一向量平行或共線

相等向量長度相等且方向相同的向量

兩向量只有相等或不相等,不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量

0的相反向量為0二、向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律:a+b=b+a;結合律:(a+b)+c=a+(b+c)(續(xù)表)向量運算定義法則(或幾何意義)運算律減法求a與b的相反向量-b的和的運算a-b=a+(-b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|=|λ||a|,當λ>0時,λa與a的方向相同;當λ<0時,λa與a的方向相反;當λ=0時,λa=0

λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb向量線性運算常見的3個結論1.一般地,首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量,即A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An2.若P為線段AB的中點,O為平面內(nèi)任一點,則OP=12(OA+OB)3.在△ABC中,PA+PB+PC=0?P為△ABC的重心.三、共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ,使得b=λa.

與非零向量a共線的單位向量為±a|1.判斷下列結論是否正確.(對的打“√”,錯的打“×”)(1)單位向量的方向無法確定.()(2)零向量的模等于0,沒有方向.()(3)若兩個向量相等,則它們的起點相同,終點相同.()(4)若|a|=|b|,則a=b.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(教材改編)如圖,向量AB=a,AC=b,CD=c,則向量BD可以表示為().A.a+b+cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c答案C解析BD=AD-AB=AC+CD-AB=b-a+c,故選C.3.(2023·湖南模擬)下列說法中正確的是().A.若a=b,則3a>2bB.BC-BA-DC=ADC.a+b=a+b?a與D.若a=b=c,則a=b=c答案B解析對于A,由于任意兩個向量不能比較大小,故A錯誤;對于B,BC-BA-DC=AC+CD=AD,故B正確;對于C,a+b=a+b?a與b的方向相同,故C對于D,雖然a=b=c,但a,b,c的方向不確定,故D錯誤.4.(2022年新高考全國Ⅰ卷)在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2DA.記CA=m,CD=n,則CB=().A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n答案B解析CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(AC+CD)=-2CA+3CD=-2m+3n.故選B.考點一平面向量的概念【例1】給出下列命題:①若兩個向量相等,則它們的起點相同,終點相同;②若a與b共線,b與c共線,則a與c也共線;③若A,B,C,D是不共線的四點,且AB=DC,則四邊形ABCD為平行四邊形;④a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b;⑤已知λ,μ為實數(shù),若λa=μb,則a與b共線.其中真命題的序號是.

答案③解析①錯誤,兩個向量起點相同,終點相同,則兩個向量相等,但兩個向量相等,不一定有相同的起點和終點;②錯誤,若b=0,則a與c不一定共線;③正確,因為AB=DC,所以|AB|=|DC|且AB∥DC,又A,B,C,D是不共線的四點,所以四邊形ABCD為平行四邊形;④錯誤,當a∥b且方向相反時,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件;⑤錯誤,當λ=μ=0時,a與b可以為任意向量,滿足λa=μb,但a與b不一定共線.故填③.有關平面向量概念的注意點:(1)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即平行向量,它們均與起點無關.(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.(4)非零向量a與a|a|的關系:a|a|是與a方向相同的單位向量,-a|a|是與a方向相反的單位向量.(5)兩個向量不能比較大小,設a0為單位向量,有下列命題:①若a為平面內(nèi)的某個向量,則a=|a|·a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0.其中假命題的個數(shù)是().A.0 B.1 C.2 D.3答案D解析向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題.若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況,一是同向,二是反向.反向時,a=-|a|a0,故②③是假命題.綜上所述,假命題的個數(shù)是3.故選D.考點二平面向量的線性運算命題角度1平面向量的加、減運算【例2】(1)(2023·陜西漢中開學考試)如圖所示,已知點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A,B,C的向量分別為a,b,c,則OD=(用a,b,c表示).

答案a-b+c解析OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.(2)化簡:(AM+OM)+(BO+BC)+(MA+MB)=.

答案BC解析因為(AM+OM)+(BO+BC)+(MA+MB)=(AM+MA)+(OM+MB+BO+BC)=0+0+BC=BC,所以(AM+OM)+(BO+BC)+(MA+MB)=BC.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法,兩個法則是統(tǒng)一的,當兩個向量首尾相連時,常選用三角形法則;當兩個向量共起點時,常選用平行四邊形法則.1.化簡:AB+BD-AC-CD=().A.AD B.0 C.BC D.DA答案B解析AB+BD-AC-CD=AD-(AC+CD)=AD-AD=0.故選B.2.(2023·湖北武漢調研)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點,O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點,則OA+OB+OC+OD=().A.OM B.2OM C.3OM D.4OM答案D解析如圖,在△OAC中,M為AC的中點,所以OA+OC=2OM,在△OBD中,OB+OD=2OM,所以OA+OB+OC+OD=4OM.故選D.命題角度2數(shù)乘運算與向量共線【例3】(2023·云南昆明模擬)梯形ABCD中,AB=2DC,設AB=m,AD=n,則AC+BD=().A.-12m+2n B.12m-C.m-2n D.-m+2n答案A解析AC+BD=AD+DC+AD-AB=2AD+12AB-AB=-12AB+2AD=-12m+21.解決平面向量線性運算問題的關鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量,并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.2.在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中,運用平行四邊形法則,三角形法則及三角形中位線,相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質,把未知向量轉化為用已知向量線性表示.(改編)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點,BC=2CD,E為BC的中點,則AE=().A.23AB+13ADC.23AB-13AD答案A解析如圖,BC=2CD,E為BC的中點,所以AE=AB+BE=AB+13BD=AB+13(AD-AB)=23AB+命題角度3根據(jù)平面向量的線性運算求解參數(shù)【例4】(1)(改編)在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,若AB+AD=λAO,則實數(shù)λ=().A.12 B.2 C.13答案B解析在平行四邊形ABCD中,AB+AD=AC=λAO,解得λ=2.故選B.(2)(2023·威海模擬)在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊BC,CD的中點,若AB=xAE+yAF(x,y∈R),則x-y=.

答案2解析由題意得AE=AB+BE=AB+12AD,AF=AD+DF=AD+因為AB=xAE+yAF,所以AB=x+y2所以x+y2=1,x利用向量線性運算求解參數(shù)的思路:(1)利用向量的線性運算得到相關向量的線性表示;(2)對比向量等式求出參數(shù)或建立方程(組)求解.1.(2023·湖北武漢模擬)點C在線段AB上,且|AC|=34|CB|,若AB=λBC,則實數(shù)λ=()A.13 B.-34 C.74答案D解析不妨設|CB|=4a,則|AC|=34|CB|=3a,因為點C在線段AB上,則AB=-74BC,2.(2023·河南八市聯(lián)考)如圖,在直角梯形ABCD中,DC=14AB,BE=2EC,且AE=rAB+sAD,則2r+3s=(A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析由題圖可得AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(BA+AD+DC)=13AB+23(AD+DC)=13因為AE=rAB+sAD,所以r=12,s=2則2r+3s=1+2=3.對應《高效訓練》P49基礎過關1.有下列命題:①兩個相等向量,若它們的起點相同,則終點也相同;②若|a|=|b|,則a=b;③若AB=DC,則四邊形ABCD是平行四邊形;④若m=n,n=k,則m=k;⑤若a∥b,b∥c,則a∥c;⑥有向線段就是向量,向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)是(A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析對于①,兩個相等向量,若它們的起點相同,則終點也相同,①是真命題;對于②,若a=b,但由于a,b的方向不確定,所以a,b不一定相等,②是假命題;對于③,若AB=DC,由②知AB,DC不一定相等,所以四邊形ABCD不一定是平行四邊形,③是假命題;對于④,若m=n,n=k,則m=k,④是真命題;對于⑤,若a∥b,b∥c,則當b=0時,a∥c不一定成立,⑤是假命題;對于⑥,有向線段不是向量,向量可以用有向線段表示,⑥是假命題.綜上所述,假命題是②③⑤⑥,共4個2.如圖,向量a-b=().A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2C.e1-3e2 D.3e1-e2答案C解析a-b=CA-CB=-3e2-(-e1)=e1-3e2.故選C.3.已知AB=a+5b,BC=-3a+6b,CD=4a-b,則().A.A,B,D三點共線 B.A,B,C三點共線C.B,C,D三點共線 D.A,C,D三點共線答案A解析由題意得BD=BC+CD=a+5b=AB,又BD,AB有公共點B,所以A,B,D三點共線.4.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為BC的中點,F為DE的中點,若AF=xAB+34AD,則x=(A.34 B.C.12 D.答案C解析因為F為DE的中點,所以AF=12(AD+AE而AE=AB+BE=AB+12BC=AB+即有AF=12AD+AB+又AF=xAB+34AD,所以x=12.5.八卦是中國文化中的哲學概念,如圖,八卦的平面圖形記為正八邊形ABCDEFGH,其中OA=1,則下列結論錯誤的是().A.BF-HF+HD=0B.OA+OC=-2C.AE+FC-GE=ABD.正八邊形ABCDEFGH的面積是22答案A解析對于A,因為BF-HF+HD=BF+FH+HD=BH+HD=BD,故A錯誤;對于B,因為∠AOC=360°8×2=90°,則以OA,OC為鄰邊的平行四邊形為正方形,又因為OB平分∠AOC,所以OA+OC=2OB=-2OF,對于C,因為AE+FC-GE=AE+EG+FC=AG+FC=AO+OG+FO+OC,且OG=-OC,FO=OB,所以AE+FC-GE=AO+OB=AB,故C正確;對于D,正八邊形ABCDEFGH的面積是8×12×1×1×sin45°=22,故D正確故選BCD.6.已知O是直角三角形ABC內(nèi)的一點,直角三角形ABC的斜邊BC長為4,若點P在BC上,滿足OP=OA+12(AB+AC),則|AP|=()A.4 B.2 C.1 D.1答案B解析由OP=OA+12(AB+AC)可得OP-OA=12(AB+AC),即AP=12(AB+AC),易知P為BC的中點,則|AP|=12|7.設O為△ABC所在平面內(nèi)一點,滿足OA+2OB+2OC=0,則△ABC的面積與△BOC的面積的比值為().A.6 B.83 C.127 D答案D解析如圖,取BC的中點D,由平行四邊形法則,可知OB+OC=2OD,∴2OB+2OC=4OD,又∵OA+2OB+2OC=0,∴OA=-4OD,∴|OA|=4|OD|,∴AD=5OD,∴△ABC中以BC為底的高h1,是△BOC中以BC為底的高h2的5倍,∴S△ABCS△BOC=8.在等邊三角形ABC中,BD=DC,EC=2AE,AD與BE交于點F,則下列結論正確的是().A.AD=13(AB+AC) B.BE=23C.AF=12AD D.BF=1答案C解析因為BD=DC,所以D為BC的中點,所以AD=12(AB+AC),故A錯誤因為EC=2AE,所以BE=BC+CE=BC+23CA=BC+23(CB+BA)=13BC+2由B,F,E三點共線,得AF=λAE+(1-λ)AB=13λAC+(1-λ)AB又AF=xAD=x2(AB+AC),所以x2=13λBF=BA+AF=BA+12AD=BA+12(BD-BA)=12BA+19.在等邊△ABC中,D,E,F分別為BC,AB,AC的中點,寫出一個與向量AB+AC垂直的向量:.(用字母作答)

答案BC(答案不唯一)解析如圖,連接EF,AD,則AB+AC=2AD,因為△ABC為等邊三角形,D為中點,故AD⊥BC,所以與向量AB+AC垂直的向量有BC(答案不唯一,CB,EF,FE,BD,DB,DC,CD也滿足題意).10.已知e1,e2是兩個不共線的向量,而a=k2e1+1-52ke2,b=2e1+3e2是兩個共線向量,則實數(shù)k=.

答案-2或1解析由已知,e1,e2是兩個不共線的向量,a=k2e1+1-52ke2,b=2e1+3e2是兩個共線向量,所以3k2=21-52k,解得k=-2或k=13.能力提升11.已知在△ABC中,AB=BC=3,AC=4,設O是△ABC的內(nèi)心,若AO=mAB+nAC,則m∶n=().A.5∶3 B.4∶3 C.2∶3 D.3∶4答案B解析如圖所示,設三角形的三條內(nèi)角平分線分別為BD,AE,CF,則它們相交于點O,根據(jù)角平分線的性質可知,S△ABOS△ADO=BO∴BO=35∴AO=AB+BO=AB+35BD=AB+35(AD-AB)=2∵D是AC的中點,∴AO=25AB+∴m=25,n=310,則m∶n=4∶3.故選12.如圖,在△ABC中,線段BE,CF交于點P,設向量AB=a,AC=b,AP=c,AF=23a,AE=12b,則向量c可以表示為(A.c=34a+12b B.c=12aC.c=12a+14b D.c=14a答案C解析∵F,P,C三點共線,∴存在實數(shù)λ,使AP=λAF+(1-λ)AC,由AF=23a,得AP=23λa+(1-λ)同理可得,AP=μAB+(1-μ)AE=μa+12(1-μ)b∴23λ∴c=12a+14b.故選13.設M是△ABC所在平面內(nèi)一點,則下列說法不正確的是().A.若AM=12AB+12AC,則B.若AM=2AB-AC,則M在邊BC的延長線上C.若AM=-BM-CM,則M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=12,則△MBC的面積是△ABC面積的答案B解析若AM=12AB+12AC=12(AB+AC),根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知,M是邊BC的中點若AM=2AB-AC,即有AM-AB=AB-AC,即BM=CB,則M在邊CB的延長線上,故B錯誤;若AM=-BM-CM,即AM+BM+CM=0,則M是△ABC的重心,故C正確;如圖,AM=xAB+yAC,且x+y=12,可得2AM=2xAB+2yAC設AN=2AM,即M為AN的中點,則AN=2xAB+2yAC,由2x+2y=1,可知B,N,C三點共線,即點N落在線段BC上,又△MBC與△ABC的底邊BC相等,△MBC的高是△ABC的高的12,所以△MBC的面積是△ABC面積的12,故D14.如圖,在平行四邊形ABCD中,E是CD的中點,F是線段BD上的一動點.若AF=xAE+yDC(x>0,y>0),則2-3x4yA.12 B.C.1 D.2答案A解析如圖所示,設BD,AE交于點O,因為DE∥AB,所以△AOB∽△EOD,所以AOEO=ABED=2,所以AO=2EO,則AE=32AO,所以AF=xAE+yDC=32因為O,F,B三點共線,所以32x+y=1,即2-3x=2y,所以2-3x4y2+1=2y4y2+1=24y+1y,因為x>0,y>0,所以4y+1y≥24y·1y=4,當且僅當4y=1y,即y=12思維拓展15.在如圖所示的圖形中,圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切,A,B,C,D是其中四個圓的圓心,則AB+CD=(A.19 B.19C.27 D.23答案C解析由題圖可得CD=BC,所以AB+CD=AB+BC=AC.在△ACD中,由余弦定理得,AC=A=62+22故選C.16.已知P是△ABC內(nèi)一點,且滿足PA+2PB+3PC=0,記△ABP,△BCP,△ACP的面積依次為S1,S2,S3,則S1∶S2∶S3=().A.1∶2∶3 B.1∶4∶9 C.2∶1∶3 D.3∶1∶2答案D解析如圖,設D,E分別為BC,AC的中點,因為PA+2PB+3PC=0,所以PA-PB=-3(PB+PC),即BA=-3×2PD=-6PD,同理,PA+PC=-2(PB+PC),即2PE=-2×2PD=-4PD,所以BA=3PE,則點P到BC的距離等于點A到BC的距離的16,點P到AC的距離等于點B到AC的距離的1設△ABC的面積為S,則S2=16S,S3=13S,S1=S-S3-S2=12S,所以S1∶S2∶S3=3∶1∶2.培優(yōu)微專題七平面向量之三點共線對應學生用書P124培優(yōu)點1利用三點共線求參數(shù)【例1】(2023·河南模擬)已知△ABC的邊BC上有一點D,滿足AD=mAB+2mAC,則實數(shù)m=().A.1 B.12 C.13答案C解析因為D是BC上一點,AD=mAB+2mAC,所以m+2m=1,解得m=13在平面內(nèi),OP,OA,OB是不共線向量,設OP=xOA+yOB(x,y∈R),P,A,B三點共線?x+y=1.說明:1.上述結論可概括為“起點一致,終點共線,系數(shù)和為1”,利用此結論,可求交點位置向量或者兩條線段長度的比值;2.當條件中出現(xiàn)共起點的兩個向量的線性組合時,應往三點共線方向考慮,特別地,當系數(shù)和不是“1”時,應轉化為“1”;3.遇到條件“兩條線段相交于一點”時,可轉化成兩個向量共線,進而確定交點位置.(2023·山東濟南檢測)如圖,在△ABC中,AN=13NC,P是BN上的一點,若AP=mAB+211AC,則實數(shù)m的值為(A.911 B.511 C.4答案D解析因為AN=13NC,所以AC=4AN,又AP=mAB+211AC,于是得AP=mAB+811AN,而AB,AN不共線,點P在直線BN上,因此m+811=1,培優(yōu)點2不共線與共線的轉化【例2】(1)(2023·湖北開學考試)如圖,在△ABC中,已知D是BC延長線上一點,E是AD的中點,若BC=2CD,且AE=λAB+34AC,則實數(shù)λ=答案-1解析因為E是AD的中點,所以AE=12AD=λAB+34AC,即AD=2λAB+32AC,又因為B,C,D三點共線,所以2λ+32=1(2)(改編)若O是銳角△ABC的外心,AB=6,AC=10,AO=xAB+yAC,且滿足2x+10y=5,則cos∠BAC=.

答案1解析由2x+10y=5得25x+2y=1,將AO=xAB+yAC變形為AO=25x·52AB+2y·12AC.如圖,作AD=52AB,AE=12AC,則D,O,E三點共線,且OE⊥AC.在Rt△ADE中,AD=15在平面內(nèi),OP,OA,OB是不共線向量,設OP=xOA+yOB(x,y∈R),但P,A,B三點不共線.此時的系數(shù)和不為1,需要考慮通過將向量共線轉化為三點共線問題,即化為“1”解答.1.(2023·重慶模擬)如圖,在平行四邊形ABCD中,DE=12EC,F為BC的中點,G為線段EF上一點,且滿足AG=79AB+mAD,則實數(shù)m=(A.23 B.13 C.-13答案A解析因為G,E,F三點共線,所以AG=λAE+(1-λ)AF(其中0≤λ≤1),又AE=AD+DE=AD+13AB,AF=AB+BF=AB+所以AG=λAD+13AB+(1-λ)AB+12所以3-2λ3=2.(2023·河南鄭州三模)如圖,在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在邊BC上,延長AD到P,使得AP=9,若PA=mPB+32-mPC(m為常數(shù)),則答案0或18解析PA=mPB+32-mPC可化為23PA=23mPB+1-23mPC,當m≠0且m≠32時,∵B,D,C三點共線,∴23PA=PD,故DP=6,AD=3,在△ACD中,AD=AC=3當m=0時,PA=32PC,C,D重合,此時CD的長度為當m=32時,PA=32PB,B,D重合,此時PA=12,不合題意綜上所述,CD的長度為0或185培優(yōu)點3利用三點共線求最值或范圍【例3】(改編)如圖,在△ABC中,E為AC上一點,AC=3AE,P為BE上任一點,若AP=mAB+nAC(m>0,n>0),則3m+1n的最小值是(A.9 B.10 C.11 D.12答案D解析因為AC=3AE,AP=mAB+nAC,所以AP=mAB+3nAE,又因為B,P,E三點共線,所以m+3n=1,所以3m+1n=3m+1n(m+3n)=9nm+mn+6≥29nm·mn+6=12,當且僅當m=3n,即m=12,n=在平面內(nèi),若OP,OA,OB是不共線向量,設OP=xOA+yOB(x,y∈R),求關于x,y的最值或范圍問題,常常通過“三點共線”的向量充要條件,探究出x,y間的等量關系,再利用基本不等式或函數(shù)的單調性求解.(2023·天津模擬)如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是BC邊上的一點(不含端點),則AD·BC的取值范圍是.

答案(-5,2)解析在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,所以AB·AC=|AB|·|AC|cos120°=-1,因為B,D,C三點共線,所以存在實數(shù)λ使得AD=λAC+(1-λ)AB(0<λ<1),所以AD·BC=[λAC+(1-λ)AB]·BC=[λAC+(1-λ)AB]·(AC-AB)=λAC2-(1-λ)AB2+(-λ+1-λ)AB·AC=7λ-因為0<λ<1,所以-5<7λ-5<2,所以AD·BC的取值范圍是(-5,2).第2節(jié)平面向量基本定理及坐標表示對應學生用書P1251.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算.4.掌握平面向量共線的充要條件及應用.一、平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.若e1,e2不共線,我們就把{e1,e2}叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.1.若a與b不共線,且λa+μb=0,則λ=μ=0.2.若G是△ABC的重心,則GA+GB+GC=0,AG=13(AB+AC)3.三點共線定理若OA,OB是平面內(nèi)不共線的向量,且存在實數(shù)λ1,λ2使得OC=λ1OA+λ2OB,則當λ1+λ2=1時,A,B,C三點共線.特別地,當λ1=λ2=12時,C是線段AB的中點二、平面向量的坐標運算1.向量的加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),

a-b=(x1-x2,y1-y2),

λa=(λx1,λy1),|a|=x12.向量坐標的求法(1)若向量的起點是坐標原點,則終點坐標即向量的坐標.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x三、平面向量共線的坐標表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.特別地,若x2≠0,y2≠0,則a∥b?x1x21.判斷下列結論是否正確.(對的打“√”,錯的打“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一組基底.()(2)當向量的起點在坐標原點時,向量的坐標就是向量終點的坐標.()(3)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變.()(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件可表示成x1x2=y1y答案(1)×(2)√(3)√(4)×2.(教材改編)已知點A(-1,2),B(3,-6),則線段AB的中點坐標為().A.(2,1) B.(1,-2)C.(1,2) D.(2,-2)答案B解析∵A(-1,2),B(3,-6),∴線段AB的中點坐標為-1+32,2-62,即3.(2023·廣東模擬)已知向量a=(1,3),b=(-6,m),且a∥(a+b),則實數(shù)m=.

答案-18解析∵a=(1,3),b=(-6,m),∴a+b=(-5,3+m),∵a∥a+b,∴1×(3+m)-3×(-5)=0,解得m=-4.(2022年全國乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),則|a-b|=().A.2 B.3 C.4 D.5答案D解析因為a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|=42+(-3)2考點一平面向量基本定理及應用【例1】(2023·濟南質檢)在△ABC中,AN=14NC,若P是直線BN上的一點,且滿足AP=mAB+25AC,則實數(shù)m的值為A.-4 B.-1 C.1 D.4答案B解析根據(jù)題意,設BP=nBN(n∈R),則AP=AB+BP=AB+nBN=AB+n(AN-AB)=AB+n15AC-AB=(1-n)AB+n5又AP=mAB+25AC,AB與AC∴1-n平面向量基本定理的實質及解題思路(1)運用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.提示:在基底未給出的情況下,合理地選取基底能給解題帶來方便.另外,要熟練地運用平面幾何的一些性質及定理.1.(2023·山東濱州檢測)在平行四邊形ABCD中,設CB=a,CD=b,E為AD的中點,CE與BD交于F,則AF=().A.-a+2b3C.-a-2b答案B解析如圖所示,連接AC與BD交于點O,則O為AC的中點,因為E為AD的中點,所以點F為△ACD的重心,所以AF=13(AC+AD)=13(-a-b-a)=-2.(2023·鄭州質量預測)如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB,BC的中點,連接CE,DF,交于點G.若CG=λCD+μCB(λ,μ∈R),則λμ=答案1解析由題圖可設CG=xCE(x>0),則CG=x(CB+BE)=xCB+12CD=x2CD+xCB.因為CG=λCD+μCB,CD與CB不共線,所以λ=x2,μ=x,所以λ考點二平面向量的坐標運算【例2】已知AB=(1,-1),C(0,1),若CD=2AB,則點D的坐標為().A.(-2,3) B.(2,-3) C.(-2,1) D.(2,-1)答案D解析設D(x,y),則CD=(x,y-1),2AB=(2,-2).由CD=2AB,得(x,y-1)=(2,-2),即x=2,y-1=◎同源改編◎若將條件“CD=2AB”改為“四邊形ABCD為平行四邊形”,則點D的坐標為.

答案(-1,2)解析設D(x,y),則CD=(x,y-1),因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以CD=BA=-AB=(-1,1),即CD=(x,y-1)=(-1,1),所以x=-1,y=2,即點D的坐標為(-1,2).平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量的加、減或數(shù)乘運算的法則來進行求解,若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求向量的坐標.要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系,一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去向量始點的坐標.(2)在解題過程中,常利用“若向量相等,則其坐標相同”這一原則,通過列方程(組)來進行求解.1.若向量a,b滿足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),則b=().A.(-3,4) B.(3,4)C.(3,-4) D.(-3,-4)答案A解析因為a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),所以a=(2,1),b=(-3,4),故選A.2.(2023·江蘇模擬)在正方形ABCD中,M是BC的中點.若AC=λAM+μBD,則λ+μ的值為().A.43 B.53 C.答案B解析在正方形ABCD中,以A為原點,直線AB,AD分別為x軸,y軸建立平面直角坐標系,如圖.令|AB|=2,則B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),AC=(2,2),AM=(2,1),BD=(-2,2),所以λAM+μBD=(2λ-2μ,λ+2μ),因為AC=λAM+μBD,于是得2λ-2μ=2,λ+2μ考點三向量共線的坐標表示【例3】(1)(2023·廣西模擬)已知平面向量a=(3,-2),b=(-4,λ),若a∥(a+2b),則實數(shù)λ=.

答案8解析因為a=(3,-2),b=(-4,λ),所以a+2b=(3,-2)+2(-4,λ)=(-5,-2+2λ),又a∥(a+2b),所以3(-2+2λ)-(-2)×(-5)=0,解得λ=83(2)(2022·北師大附中檢測)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-3b共線,則mn=答案-1解析因為2-1≠32,所以a與又a-3b=(2,3)-3(-1,2)=(5,-3)≠0,那么當ma+nb與a-3b共線時,有m1=n-3,即m與平面向量共線的坐標表示有關問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的值時,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便.(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地,在求一個與已知向量a共線的向量時,可設所求向量為λa(λ∈R),然后結合其他條件列出關于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.1.(2023·浙江模擬)已知向量a=(m,m+3),b=(4,m),則“m=6”是“a與b共線”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析向量a=(m,m+3),b=(4,m),則a∥b?m2-4(m+3)=0,解得m=-2或m=6,所以“m=6”是“a與b共線”的充分不必要條件.2.(2023·江西臨川模擬)已知向量a=(m,2)與b=(3,2m+1)的方向相同,那么實數(shù)m的值為.

答案3解析由向量a=(m,2),b=(3,2m+1)共線得m(2m+1)-6=0,即2m2+m-6=0,解得m=-2或m=32當m=-2時,a=(-2,2),b=(3,-3)=-32a,a與b方向相反,不符合題意當m=32時,a=32,2,b=(3,4)=2a,a與b所以實數(shù)m的值為32對應《高效訓練》P51基礎過關1.若i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,則a-b=().A.(2,5) B.(-2,5) C.(4,3) D.(-4,3)答案C解析因為i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,所以a=(3,4),b=(-1,1),所以a-b=(4,3).2.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,則c=().A.133,83 B.-133,-83C.133,43 D.-133,-43答案D解析∵a-2b+3c=0,∴c=-13(a-2b).∵a-2b=(5,-2)-(-8,-6)=(13,4),∴c=-13(a-2b)=-133,-43.故選3.已知a=(1,2),b=(4,k),若(a+2b)∥(3a-b),則下列說法正確的是().A.k=4 B.|b|=43C.a·b=12 D.a∥b答案D解析因為a=(1,2),b=(4,k),所以a+2b=(1,2)+(8,2k)=(9,2+2k),3a-b=(3,6)-(4,k)=(-1,6-k),因為(a+2b)∥(3a-b),所以9(6-k)=(-1)(2+2k),解得k=8,故A錯誤;|b|=42+82=45,a·b=1×4+2×8=20,故C錯誤;因為1×8=2×4,所以a∥b,故D正確.4.如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別為AB,CD的中點,若AD=a,BC=b,則EF=().A.12a+1B.12a-1C.12a+3D.12a-3答案A解析由題意知,EF=EC+CF=EB+BC+CF,EF=ED+DF=EA+AD+DF,因為E,F分別為AB,CD的中點,所以EB=-EA,DF=-CF,所以2EF=AD+BC,所以EF=12AD+12BC,即EF=12a+15.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,設向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,則角C的大小為().A.π6 B.C.π2 D.答案B解析因為p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,整理得a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=126.在平行四邊形ABCD中,A(1,2),B(-2,0),AC=(2,-3),則點D的坐標為().A.(6,1) B.(-6,-1)C.(0,-3) D.(0,3)答案A解析∵AB=(-3,-2),∴AD=BC=AC-AB=(5,-1),則點D的坐標為(6,1).故選A.7.如圖1,蜜蜂的蜂房是由嚴格的正六棱柱構成的,它的一端是平整的六邊形開口.六邊形開口可記為圖2中的正六邊形ABCDEF,其中O為正六邊形ABCDEF的中心,設AB=a,AF=b,若BM=MC,EF=3EN,則MN=().A.56a+76b B.-56aC.-35a+16b D.35a答案B解析因為BM=MC,EF=3EN,由正六邊形的性質可知AB=FO=OC,AF=OE=BO,所以OM=12(OB+OC),ON=OF+FN=OF+23FE=OF+23(OE-OF)=所以MN=MO+ON=-12(OB+OC)+23=-12(-AF+AB)+23AF+13=12AF-12AB=76AF-56AB=-56故選B.8.“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載,西周時期的數(shù)學家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題,比畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年.如圖,在矩形ABCD中,△ABC滿足“勾3股4弦5”,且AB=3,BC=4,E為AD上一點,BE⊥AC.若BA=λBE+μAC,則λ+μ的值為().A.-925 B.725 C.1625答案B解析由題意,以B為原點建立平面直角坐標系,如圖所示,因為AB=3,BC=4,則B(0,0),A(0,3),C(4,0),BA=(0,3),AC=(4,-3),設E(a,3),則BE=(a,3),因為BE⊥AC,所以AC·BE=4a-9=0,解得a=94.由BA=λBE+μAC,得(0,3)=λ94,3+μ(4,-3),所以94λ+4μ=0,3λ-9.已知點A(1,-2),若向量AB與a=(2,3)同向,|AB|=213,則點B的坐標為.

答案(5,4)解析設B(x,y),AB=λa,λ>0,則(x-1,y+2)=(2λ,3λ),故x因為|AB|=λ|a|=λ13=213,所以λ=2,所以x10.已知向量a,b滿足|a|=1,b=(-1,3),b=λa(λ∈R),則|a-b|=.

答案1或3解析∵b=(-1,3),∴|b|=2,又∵|a|=1,b=λa,∴λ=±2.當λ=2時,|a-b|=|a-2a|=|a|=1;當λ=-2時,|a-b|=|a+2a|=|3a|=3.能力提升11.在∠A=90°的等腰△ABC中,E為AB的中點,F為BC的中點,BC=λAF+μCE,則λ=().A.-23 B.-C.-43 D.-答案A解析以A為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系,設B(2,0),C(0,2),則F(1,1),E(1,0),BC=(-2,2).因為λAF+μCE=λ(1,1)+μ(1,-2)=(λ+μ,λ-2μ),所以λ+μ=-2,λ12.在正方形ABCD中,O為對角線的交點,E為邊BC上的動點,若AE=λAC+μDO(λ,μ>0),則2λ+1μ的最小值為(A.9 B.92 C.7 D.答案B解析由題意知,AE=λAC+μDO=2λOC+μOB,又AE=AO+OE=OC+OE,可得OE=(2λ-1)OC+μOB.因為點E在線段BC上,所以2λ-1+μ=1,故2λ+μ=2,μ>0,λ>12,所以2λ+1μ=12(2λ+μ)2λ+1μ=125+2λμ+2μλ≥92,當且僅當2λμ=2μλ,即λ=μ=23時13.已知a,b是單位向量,a·b=0,若向量c滿足|c-a+b|=1,則|c-b|的取值范圍是().A.[2-1,2+1]B.[1,2+1]C.[0,2]D.[5-1,5+1]答案D解析單位向量a,b滿足a·b=0,即a⊥b,作OA=a,OB=b,以射線OA,OB分別作為x軸,y軸的非負半軸建立平面直角坐標系,如圖,則a=(1,0),b=(0,1),設c=(x,y),則c-a+b=(x-1,y+1),由|c-a+b|=1得(x-1)2+(y+1)2=1,令x=1+cosθ,y=-即c=(1+cosθ,-1+sinθ),則|c-b|=(=6=6-其中銳角φ滿足sin所以當sin(θ-φ)=-1時,|c-b|max=6+25=5+1當sin(θ-φ)=1時,|c-b|min=6-25=5所以|c-b|的取值范圍為[5-1,5+1].14.如圖,在△ABC中,D為AB的中點,E,F為BC的兩個三等分點,AE交CD于點M,設AB=a,AC=b,則FM=().A.115a-715b B.115C.215a-415b D.215答案A解析連接FA,FD(圖略).由E,M,A三點共線,可設FM=λFE+(1-λ)FA,由題意知FE=13CB=13(AB-AC),FA=FB+BA=23CB-AB=23(AB-AC)-所以FM=2λ-1同理,由D,M,C三點共線,可設FM=μFD+(1-μ)FC,同上,可得FM=3μ-2所以2λ-13=3μ-26故選A.思維拓展15.瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲線,這是一種分形曲線,它的分形過程是:從一個正三角形(如圖①)開始,把每條邊分成三等份,以各邊的中間部分為底邊,分別向外作正三角形后,抹掉“底邊”線段,這樣就得到一個六角形(如圖②),所得六角形共有12條邊.再把每條邊分成三等份,以各邊的中間部分為底邊,分別向外作正三角形后,抹掉“底邊”線段.反復進行這一分形,就會得到一個“雪花”形狀的曲線,這樣的曲線叫作科赫曲線或“雪花”曲線,如圖2.已知點O是六角形的對稱中心,A,B是六角形的兩個頂點,動點P在六角形上(內(nèi)部以及邊界).若OP=xOA+yOB,則x+y的取值范圍是().A.[-3,3] B.[-4,4] C.[-5,5] D.[-6,6]答案C解析如圖,設OA=a,OB=b,求x+y的最大值,只需考慮圖中以O為起點,6個頂點A,B,C,D,E,F分別為終點的向量即可,討論如下:當點P在A處時,x=1,y=0,故x+y=1;當點P在B處時,x=0,y=1,故x+y=1;當點P在C處時,OC=OA+AC=a+2b,故x+y=3;當點P在D處時,OD=OC+CD=OC+BC=2OC-OB=2a+3b,故x+y=5;當點P在E處時,OE=OA+AE=a+b,故x+y=2;當點P在F處時,OF=OA+AF=a+3b,故x+y=4.所以x+y的最大值為5.根據(jù)其對稱性可知x+y的最小值為-5,故x+y的取值范圍是[-5,5].故選C.16.如圖,定圓C的半徑為3,A,B為圓C上的兩點,且|AC+tAB|的最小值為2,則|AB|=.

答案25解析當t=0時,|AC+tAB|=|AC|=3,不滿足題意;當t>0時,設tAB=AE,延長EA到F,使AF=AE,則tAB=AE=FA,則|AC+tAB|=|AC+FA|=|FC|,取AB的中點D,連接CD,則CD⊥AB,則在Rt△CDF中,|FC|>|AC|=3,不滿足題意;當t<0時,設tAB=GA,則AC+tAB=AC+GA=GC,取AB的中點D,則CD⊥AB,由圖可知,|AC+tAB|=|GC|≥|CD|,∵|AC+tAB|的最小值為2,∴|CD|=2,∴|AB|=2|AC|2-|CD|2拓展視野三等和線定理對應學生用書P128若PA,PB為平面內(nèi)兩個不共線的向量,設PC=xPA+yPB(x,y∈R),則A,B,C三點共線的充要條件為x+y=1.當點C不在直線AB上時,如圖所示,直線DE∥AB,C為直線DE上任一點,設PC=xPA+yPB(x,y∈R).1.平面向量等和線定義(1)當直線DE經(jīng)過點P時,容易得到x+y=0.(2)當直線DE不過點P時,直線PC與直線AB的交點記為F,因為點F在直線AB上,所以由三點共線結論可知,若PF=λPA+μPB(λ,μ∈R),則λ+μ=1.由△PAB與△PED相似知,必存在一個常數(shù)k∈R,使得PC=kPF其中k=|PC||PF|=|PE||PA|=|PD||PB|,則PC=kPF=kλPA+kμPB.又PC=xPA在向量起點相同的前提下,所有以與兩向量終點所在的直線平行的直線上的點為終點的向量,其基底的系數(shù)和為定值,這樣的線,我們稱之為“等和線”.2.平面向量等和線定理平面內(nèi)一組基底PA,PB及任一向量PF滿足:PF=λPA+μPB(λ,μ∈R),若點F在直線AB上或在平行于AB的直線上,則λ+μ=k(定值),反之也成立.我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.3.平面向量等和線性質(1)當?shù)群途€恰為直線AB時,k=1;(2)當?shù)群途€在點P和直線AB之間時,k∈(0,1);(3)當直線AB在點P和等和線之間時,k∈(1,+∞);(4)當?shù)群途€過點P時,k=0;(5)若兩等和線關于點P對稱,則兩線的定值分別為k和-k.【典例】(1)在△ABC中,M為邊BC上任意一點,N為AM的中點,AN=λAB+μAC,則λ+μ的值為().A.12 B.C.14答案A解析如圖,BC為值是1的等和線,過點N作BC的平行線,設λ+μ=k,則k=|AN||AM|.由圖易知,|AN(2)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD,則λ+μ的最大值為().A.3 B.22 C.5 D.2答案A解析過動點P作等和線,設λ+μ=k,則k=|AM||AB|.由圖易知,當?shù)群途€與直線EF重合時,k取最大值,由EF∥BD,可得|AE||AB|1.如圖所示,在△ABC中,D,F分別是AB,AC的中點,BF與CD交于點O,設AB=a,AC=b,向量AO=λa+μb,則λ+μ=.

答案2解析延長AO交BC于點M,如圖,BC為值是1的等和線,過點O作BC的平行線,設λ+μ=k,則k=|AO||AM|.由三角形重心的性質易知,|AO|2.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點.若AB=λAM+μAN,則λ+μ的值為().A.14 B.15 C.4答案C解析如圖,連接MN并延長交AB的延長線于點T,則MT為值是1的等和線,設λ+μ=k,則k=|AB||AT|.因為△MCN≌△TBN,所以BT=CM=12CD,又CD=12AB,所以BT=14AB,3.如圖所示,A,B,C是圓O上的三點,線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點D,若OC=mOA+nOB,則m+n的取值范圍是.

答案(-1,0)解析如圖,作OA,OB的相反向量OA1,OB1,則AB∥A1B1,過點O作直線則直線l,A1B1分別為以OA,OB為基底的值為0,-1的等和線,由題意知,線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點D,所以點C在直線l與直線A1B1之間,所以m+n∈(-1,0).4.(改編)如圖,在邊長為1的正方形ABCD中,E為AB的中點,P為以A為圓心,AB為半徑的圓弧(在正方形內(nèi),包括邊界點)上的任意一點,若AC=xDE+yAP,則x+y的最小值為.

答案1解析由題意,作AK=DE,設AF=λAC,直線AC與直線PK相交于點F,則有AF=λxAK+λyAP,由等和線定理得,λx+λy=1,從而x+y=1λ,當點P與點B重合時,λmax=2,此時,(x+y)min=1第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與應用對應學生用書P1291.掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算.2.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷垂直關系.3.會用向量方法解決簡單的平面幾何與力學問題.一、平面向量的數(shù)量積1.定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|·cosθ.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0·a=0.

2.向量的夾角(1)定義:已知兩個非零向量a和b,如右圖,作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作a與b的夾角,記作<a,b>.(2)當θ=0°時,a與b同向;

當θ=180°時,a與b反向;

當θ=90°時,a與b垂直.

3.投影向量設a,b是兩個非零向量,AB=a,CD=b,過AB的起點A和終點B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A1B1,這種變換稱為向量a向向量b投影,A1B1注:|a|cos<a,b>稱為向量a在向量b方向上的投影數(shù)量.向量a,b的夾角為銳角?a·b>0且a,b不共線;向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0且a,b不共線.二、平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為向量a,b的夾角,則(1)a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2;

(2)|a|=a·a=

x(3)cosθ=a·b|(4)a·b=0?x1x2+y1y2=0;

(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?|x1x2+y1y2|≤x12+三、平面向量數(shù)量積的運算律1.a·b=b·a(交換律).2.λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(數(shù)乘結合律).3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).平面向量數(shù)量積的運算公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.1.判斷下列結論是否正確.(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若a∥b,則必有a·b≠0.()(2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù),向量的加、減、數(shù)乘運算結果是向量.()(3)若a·b<0,則向量a,b的夾角為鈍角.()(4)兩個向量的夾角的范圍是0,π2.((5)若a·b=a·c(a≠0),則b=c.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2.(教材改編)設a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c=.

答案-3解析∵a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=-5×3+6×2=-3.3.(2023·四川瀘縣模擬)如圖,正六邊形ABCDEF中,AB=2,點P是正六邊形ABCDEF的中心,則AP·AB=.

答案2解析在正六邊形中,點P是正六邊形ABCDEF的中心,∴∠PAB=60°,且AP=AB=2,∴AP·AB=AP·AB·cos60°=2×2×12=24.(2022年全國甲卷)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,則m=.

答案-3解析由題意知a·b=m+3(m+1)=0,解得m=-34考點一計算數(shù)量積【例1】(1)(2023·安徽模擬)已知正方形ABCD的邊長為2,以CD為邊作正三角形CDE,使得A,E位于直線CD的兩側,則AC·AE的值為().A.6-23 B.6-22C.6+22 D.6+23答案D解析以A為坐標原點,以AB,AD所在直線為x軸,y軸,建立平面直角坐標系,如圖,由正三角形CDE及正方形ABCD的邊長為2可知,C(2,2),E(1,2+3),所以AC·AE=(2,2)·(1,2+3)=6+23.(2)(2022年全國甲卷)設向量a,b的夾角的余弦值為13,且|a|=1,|b|=3,則(2a+b)·b=答案11解析由題意可得a·b=1×3×13=1,b2=9,則(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11平面向量數(shù)量積的三種計算方法(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.(2021年新高考全國Ⅱ卷)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,則a·b+b·c+c·a=.

答案-9解析由已知可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-92◎同源改編◎若條件不變,則cos<a,b>的值為.

答案-1解析由a+b+c=0得,a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,所以|a+b|2=|c|2,即a2+b2+2a·b=c2,即1+4+2a·b=4,所以a·b=-12,故cos<a,b>=a·b|a考點二數(shù)量積的應用命題角度1向量垂直問題【例2】(1)向量a,b均為非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,則a,b的夾角為().A.π3 B.π2 C.2π答案A解析由題意可知,(a-2b)·a=a2-2a·b=0,(b-2a)·b=b2-2a·b=0,即a2=b2=2a·b.記a,b的夾角為θ,則cosθ=a·b|又θ∈[0,π],所以θ=π3,故選A(2)(2021年全國甲卷)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,則k=.

答案-10解析因為向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb,又a⊥c,所以a·(a+kb)=|a|2+ka·b=32+12+k·(3×1+1×0)=10+3k=0,解得k=-103平面向量垂直問題的類型及求解方法(1)判斷兩向量垂直:第一,計算出這兩個向量的坐標;第二,根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式,計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可.(2)已知兩向量垂直求參數(shù):根據(jù)兩個向量垂直的充要條件,列出相應的關系式,進而求解參數(shù).1.(2020年全國Ⅱ卷)已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中,與b垂直的是().A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b答案D解析由題意得a·b=|a|·|b|cos60°=12.對于A,(a+2b)·b=a·b+2b2=12+2=52≠0,故A不符合題意;對于B,(2a+b)·b=2a·b+b2=1+1=2≠0,故B不符合題意;對于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=12-2=-32≠0,故C不符合題意;對于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=1-1=0,所以(2a-b)⊥2.(2021年全國乙卷)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,則λ=.

答案3解析因為a-λb=(1,3)-λ(3,4)=(1-3λ,3-4λ),所以由(a-λb)⊥b可得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0,解得λ=35命題角度2數(shù)量積求解夾角【例3】(1)(2022年新高考全國Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,則實數(shù)t=().A.-6 B.-5 C.5 D.6答案C解析由已知得c=(3+t,4),cos<a,c>=cos<b,c>,故9+3t+16|c|·5=3+t(2)已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,則cos<a,a+b>=().A.-3135 B.-1935 C.1735答案D解析∵a=5,b=6,a·b=-6,∴a·(a+b)=a2+a·b=52-6=19,a+b=(a+b)2∴cos<a,a+b>=a·(a+b)|a求向量夾角問題的方法(1)當a,b是非坐標形式時,要求a與b的夾角θ,需求出a·b及|a|,|b|或得出它們之間的關系.(2)若已知a=(x1,y1)與b=(x2,y2),則cos<a,b>=x1提醒:<a,b>∈[0,π].1.(2019年全國Ⅰ卷)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,則a與b的夾角為().A.π6 B.π3 C.2π答案B解析因為(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-|b|2=|a|·|b|·cos<a,b>-|b|2=0,又因為|a|=2|b|,所以cos<a,b>=|b|2又<a,b>∈[0,π],所以a與b的夾角為π32.已知向量a=(2,1),b=(1,3),則向量2a-b與a的夾角為().A.135° B.60° C.45° D.30°答案C解析因為a=(2,1),b=(1,3),所以|a|=22+1=5,2a-b=(3,-所以|2a-b|=32+(-(2a-b)·a=(3,-1)·(2,1)=5.記2a-b與a的夾角為θ,則cosθ=(2a-b)又0°≤θ≤180°,所以θ=45°,故選C.命題角度3向量求?！纠?】(1)若向量a,b滿足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,則|b|=.

答案32解析∵|a-b|=5,∴|a-b|2=a2+b2-2a·b=9+|b|2-2=25,∴|b|=32.(2)(開放性題)已知向量a=(3,1),b=(x,y)(xy≠0),且|b|=1,a·b<0,則向量b的坐標可以是.(寫出一個即可)

答案-32,12(答案不唯一)解析因為a=(3,1),b=(x,y),a·b<0,所以|b|=x2+y2=1,a·b=3x+y<0,所以當x=-32,y=12時符合題意,所以向量b的坐標可以是-求平面向量的模的常用方法1.若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的,可直接利用公式|a|=x2+y22.若向量a,b是以非坐標形式出現(xiàn)的,可運用公式|a|2=a2=a·a或|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2求向量的模,即先求向量模的平方,再通過向量數(shù)量積的運算求解.1.(改編)已知平面向量a與b的夾角為120°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=.

答案2解析由題意知|a|=2,則a·b=|a|·|b|cos120°=-1,所以|a+2b|=(a+2b)2=a2.(2020年全國Ⅰ卷)設a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a-b|=.

答案3解析因為a,b為單位向量,所以a=b=1,所以a+b=(a+b)2=a2+2a·b+所以a-b=(a-b命題角度4與數(shù)量積有關的最值或范圍問題【例5】(1)(2023·浙江舟山模擬)已知平面向量a,b,e滿足e=1,a·e=1,b·e=2,a-b=2,則a·b的最小值為答案5解析因為e=1,不妨設e=(1,0),因為a·e=1,b·e=2,不妨設a=(1,m),b=(2,n),所以a-b=(-1,m-n),因為a-b=2,所以1+(m-n)2=4,即(m-n)2=故(m+n)2=(m-n)2+4mn=3+4mn≥0,所以mn≥-34,當且僅當m=-n=±32時等號成立,所以a·b=2+mn≥2-34(2)(2023·山東濰坊開學考試)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值是.

答案2+1解析由a·b=0,得a⊥b,建立如圖所示的平面直角坐標系,則OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),設c=OC=(x,y),由|c-a-b|=1,得(x-1)2+(y-1)2=1,所以點C在以(1,1)為圓心,1為半徑的圓上.所以|c|max=2+1.利用向量的數(shù)量積求最值與范圍問題常常有兩種思路:(1)基底法:利用一組基底,通過向量的運算,轉化為求最值或范圍,此時應注意幾何特征的應用;(2)坐標法:建立合適的平面直角坐標系,通過向量的坐標運算,轉化為關系變量的最值或范圍問題,常常利用函數(shù)的單調性或基本不等式求解.1.(2023·云南階段練)已知向量a=(2t,2),b=(-t-2,-5),若向量a與向量a+b的夾角為鈍角,則t的取值范圍為().A.(-3,1) B.(-3,-1)∪(-1,1)C.(-1,3) D.-1,答案D解析因為a+b=(t-2,-3),又a與a+b的夾角為鈍角,當a與a+b共線時,-6t-2(t-2)=0,解得t=12所以a·(a+b)<0且a與a+b不共線,即t2-2t-3<0且t≠12解得t∈-1,12∪12.(2023·湖南長沙開學考試)如圖,邊長為1的正方形ABCD的頂點A,D分別在x軸、y軸正半軸(含原點)上滑動,則OB·OC的最大值是().A.1B.2C.2D.22答案C解析令∠OAD=θ,由于AD=1,故OA=cosθ,OD=sinθ,∠BAx=π2-θ,AB=1,故xB=cosθ+cosπ2-θ=cosθ+sinθ,yB=sinπ2-θ=cosθ,故OB=(cosθ+sin同理可求得C(sinθ,cosθ+sinθ),即OC=(sinθ,cosθ+sinθ),所以OB·OC=(cosθ+sinθ,cosθ)·(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ.所以當sin2θ=1時,OB·OC取得最大值為2,故選C.考點三平面向量的應用命題角度1向量在平面幾何中的應用【例6】折紙發(fā)源于中國19世紀,折紙傳入歐洲后,與自然科學結合在一起成為建筑學院的教具,并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學的一個分支,我國傳統(tǒng)的一種手工折紙風車是從正方形紙片的一個直角頂點開始,沿對角線部分剪開成兩個角,將其中一個角折疊使其頂點仍落在該對角線上,同樣操作其余三個直角制作而成的,其平面圖形如下,則下列說法不正確的是().A.EH∥FCB.AH·BE=0C.EG=EH+EFD.EC·EH=EC·ED答案A解析選項A,由對稱性知,EH∥FG,而FG與FC不重合,即A錯誤;選項B,設風車的中心為O,AH·BE=(OH-OA)·(OE-OB)=OH·OE-OH·OB-OA·OE+OA·OB=0-OH·OB-OA·OE+0=OF·OB-OA·OE=0,即B正確;選項C,EG=EH+HG=EH+EF,即C正確;選項D,EC·EH=|EC|·|EH|cos∠CEH=|EC|·|OE|,EC·ED=|EC|·|ED|cos∠CED=|EC|·|OE|,即D正確.故選A.平面幾何中的向量問題,主要是注意平面圖形中的數(shù)量關系、角度大小,然后利用向量的相關知識求解即可.(原創(chuàng)新題)在平面直角坐標系中,已知O為坐標原點,△ABC的三個頂點坐標分別為A(3,0),B(0,5),C(7,8),若D為邊AC上一動點,且OD·BA=-5,則點D的坐標為().A.(4,2) B.4,175 C.(5,4) D.(6答案C解析設D(x0,y0),則OD=(x0,y0),BA=(3,-5),依題意可得OD·BA=3x0-5y0=-5,直線AC的方程為y-08-0=x-37∵D為邊AC上一動點,∴2x0-y0-6=0(3≤x0≤7),∴OD·BA=3x0-5(2x0-6)=30-7x0=-5,解得x0=5,∴y0=4,∴點D的坐標為(5,4).故選C.命題角度2平面向量在物理中的應用【例7】(1)(2023·遼寧沈陽模擬)渭河某處南北兩岸平行,如圖所示.某艘游船從南岸碼頭A出發(fā)向北航行到北岸.假設游船在靜水中航行的速度大小為v1=10km/h,水流速度的大小為v2=6km/h.設速度v1與速度v2的夾角為120°,北岸的點A'在碼頭A的正北方向.那么該游船航行到達北岸的位置應(A.在A'東側 B.在A'西側C.恰好與A'重合 D.無法確定答案A解析建立如圖所示的平面直角坐標系,由題意可得v1=(-5,53),v2=(6,0),所以v1+v2=(1,53),說明船有x軸正方向的速度,即向東的速度,所以該游船航行到達北岸的位置應在A'東側,故選A.(2)(2023·內(nèi)蒙古赤峰三模)如圖所示,把一個物體放在傾斜角為30°的斜面上,物體處于平衡狀態(tài),且受到三個力的作用,即重力G,垂直于斜面向上的彈力F1,沿著斜面向上的摩擦力F2.已知F1=803N,G=160N,則F2的大小為答案80N解析由題設知,|F2|=|G|·sin30°=160×12=80N用平面向量方法解決物理問題的步驟1.(2023·福建廈門模擬)長江某地南北兩岸平行,一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.假設游船在靜水中的航行速度v1的大小為v1=10km/h,水流的速度v2的大小為v2=4km/h.設v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°),北岸的點A'在A的正北方向,則游船正好到達點A'處時,cosθ=答案-2解析設船的實際速度為v,v1與南岸上游的夾角為α,如圖所示,要使得游船正好到達A'處,則|v1|cosα=|v2|,即cosα=|v2||v又因為θ=π-α,所以cosθ=cos(π-α)=-cosα=-252.(2023·福建泉州模擬)如圖所示,一個物體被兩根輕質細繩拉住,且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是F1,F2,且F1,F2與水平夾角均為45°,F1=F2=42N,則物體的重力大小為答案8解析設F1,F2的合力為F,則F=F1+F2,∵F1,F2的夾角為90°,∴F2=(F1+F2)2=F12+F22+2F∴|F|=8N.∵物體處于平衡狀態(tài),∴物體的重力大小為|G|=8N.對應《高效訓練》P53基礎過關1.已知向量a,b滿足a=1,a·(a-2b)=-5,則a·b=().A.2 B.2 C.3 D.3答案D解析由向量a,b滿足a=1,a·(a-2b)=a2-2a·b=1-2a·b=-5,解得a·b=3.故選D.2.若非零向量a,b滿足a=2b且a-b2=a·b,則a與b的夾角為A.π3 B.π4 C.π6答案B解析因為a=2b,a-b2=a·b,設a與b的夾角為θ,所以a2-2a·b+b2=a·b,即2b2+b2=32b2·cosθ,解得