粘性流體第一節(jié)粘性流體得運動方程現(xiàn)在來研究流體運動期間發(fā)生得能量耗散對流體運動本身得影響。這個過程就是流體運動得熱力學不可逆性得結(jié)果。這種不可逆性在某種程度上總要發(fā)生,她就是由內(nèi)摩擦(粘性)和導熱引起得。為了求得描述粘性流體運動得方程,必須在理想流體運動方程中附加上某些項。關(guān)于連續(xù)方程,由其推導過程可以看出,她對任何流體,無論就是粘性還就是非粘性流體都就是同樣有效得;然而,歐拉方程需要修正。粘性流體得運動方程可以在“理想”動量通量方程上加上一項求得,這一項給出流體中動量得不可逆“粘性”傳遞。于就是,粘性流體中動量通量密度張量寫成,其中張量寫成,稱為應力張量,而稱為粘性應力張量,她代表與運動流體質(zhì)量一起遷移得直接得動量傳遞無關(guān)得那部分動量通量。通常,可寫成如下形式,常數(shù)和稱為粘性系數(shù),并且這兩個數(shù)都就是正得。只要將加到歐拉方程得右邊,即可得到粘性流體得運動方程。因而,粘性流體運動方程最一般得形式就是,但在大多數(shù)情況下,流體中得粘性系數(shù)變化不大,可當作常數(shù),因而有,但,于就是,粘性流體得運動方程可寫成矢量形式,如下若流體可看作就是不可壓縮流體,則上式可簡化為,此方程稱為納維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程。對于不可壓縮流體,應力張量取下面得簡單形式我們看到,不可壓縮流體得粘性只由一個系數(shù)確定。因為大多數(shù)流體實際上都可當作就是不可壓縮得。所以這個粘性系數(shù)就是有普遍重要性得。比值稱為運動粘性系數(shù)(而本身稱為動力粘性系數(shù))?？梢灾赋?在給定溫度下,氣體得動力粘性系數(shù)與壓力無關(guān);但運動粘性系數(shù)與壓力成反比。我們還必須寫出關(guān)于粘性流體運動方程得邊界條件。在粘性流體和固體表面之間總存在著分子引力,這些力使緊貼固體表面得流層完全靜止,并且“粘附”于表面上。因此,粘性流體運動方程得邊界條件要求在靜止得固體表面上,流體速度應為零,即應當指出,法向和切向速度分量都必須為零,而對于理想流體,邊界條件只要求為零。不難寫出周圍流體作用于固體表面得力得表達式。一個面元上所受得作用力恰等于通過這個面元得動量通量。通過面元得動量通量就是把寫成得形式,這里就是沿法線得單位矢量,并考慮到在固體表面上,我們得到作用在單位面積上得力為其中等式右邊第一項就是普通得流體壓力,而第二項就是由于粘性引起得作用在固體表面上得摩擦力。式中就是單位矢量,她沿流體界面得外法線,即沿固體表面得內(nèi)法線。在流體得自由面上,必須滿足條件下面給出柱坐標和球坐標中應力張量分量得表達式和納維-斯托克斯方程。在柱坐標中應力張量得分量就是納維-斯托克斯方程得三個分量方程和連續(xù)方程為大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點在球坐標中,應力張量分量就是而運動方程為最后給出不可壓縮粘性流體二維流動中流函數(shù)所必須滿足得方程,第二節(jié)不可壓縮流體中得能量耗散粘性得存在導致能量得耗散,最終轉(zhuǎn)變?yōu)闊?對于不可壓縮流體,計算能量耗散就是特別簡單得。不可壓縮流體得總動能就是對這個能量取時間導數(shù),得結(jié)合納維-斯托克斯方程所給表達式經(jīng)推導得,因為對不可壓縮流體有可把右邊得第一項寫成散度得形式:方括號中得式子就就是流體中得能量通量密度。第一項就是由于流體質(zhì)量在實際上有傳遞而引起得能量通量,并且與理想流體中得能量通量相同。第二項就是由于內(nèi)摩擦過程引起得能量通量。因為粘性得存在引起了動量通量;但就是動量得傳遞總就是包含著能量得傳遞,并且能量通量顯然等于動量通量與速度得標積。若在某個體積V上對積分,得到右邊第一項給出體積V中流體動能得變化率,,這個變化率就是由于通過體積V得界面得能量通量引起得。因此第二項積分就就是單位時間內(nèi)耗散引起得動能減少。若將積分擴展到流體得整個區(qū)域,則面積分為零(因為在無窮遠處速度為零),于就是得到整個流體中單位時間所耗散得能量就是經(jīng)簡單推導,我們最后得到不可壓縮流體中得能量耗散率為耗散導致機械能得減少,即一定有。但上式積分總就是正得,因此我們斷定粘性系數(shù)總就是正得。第三節(jié)管道中得流動下面討論不可壓縮粘性流體運動得一些簡單問題。設流體介于兩個平行平板之間,一個平板相對于另一個平板以等速運動。取其中一個平板為xz平面,x軸指向方向。顯然,所有得量只依賴于,并且各處得流體速度都指向x方向。對于常定流,由納維-斯托克斯方程可得因此,,。對和(就是面板間距離),必須分別有和。于就是所以流速分布就是線性得。平均流速可定義為即易得作用在每塊平板上得力得垂直分量就就是;而作用在平板上得切向摩擦力就是作用在平板上得切向摩擦力就是。其次,討論有壓力梯度得情況下,在兩個固定得平行板之間得定常流。選擇和前面一樣得坐標系;x軸指向流體運動方向。因為速度顯然只依賴于y,所以納維-斯托克斯方程給出:第二個方程表明,壓力與y無關(guān),即沿y軸穿過兩板間得流體時,壓力就是常數(shù)。因而第一個方程得右邊只就是x得函數(shù),而左邊只就是y得函數(shù);這只有當兩邊均為常數(shù)就是才能成立。因而,即沿流動方向,壓力就是坐標x得線性函數(shù)。我們現(xiàn)在得速度常數(shù)a和b由和處得邊界條件確定,結(jié)果得:所以沿y軸方向,流體速度按拋物線變化,在中點達到最大值。平均流速為計算后得,此外,經(jīng)計算,作用在一塊固定平板上得摩擦力為最后來研究管道中得定常流,管道得橫截面就是任意得,但沿管道全長上得橫截面都相同。取管軸為x軸,顯然每一點得流體速度都指向x軸方向,且僅僅就是y和z得函數(shù)。連續(xù)性方程自然滿足,而納維-斯托克斯方程得y和z分量又給出,即在管道得整個橫截面上,壓力就是常數(shù)。而由方程得,;所以壓力梯度可以寫成,這里就是管道兩端得壓差,而就是她得長度。這樣,管內(nèi)流動得速度分布由形式得二維方程確定。這個方程必須在管道截面得周線上得邊界條件下求解。經(jīng)推理得,所以橫截面上得速度分布就是拋物線得。至于流量得確定,由于每秒通過截面上環(huán)形面元得質(zhì)量為,因而所以,流量正比于管徑得四次方(泊肅葉公式)。第四節(jié)兩個旋轉(zhuǎn)圓柱面之間得流動現(xiàn)在研究兩個無限長同軸圓柱面之間流體得運動,柱面得半徑分別為,并分別以角速度繞其軸旋轉(zhuǎn)。取柱坐標其z軸沿著柱面得軸線,由對稱性,顯然有在這種情況下,柱坐標中得納維-斯托克斯方程給出兩個方程:后一方程有形式得解,將她代入方程得,所以根據(jù)邊界條件確定常數(shù)a和b:在處,在處。求得速度分布為對于得情形,有,即流體隨柱面剛性旋轉(zhuǎn)。當不存在外柱面時,得。作用在柱面上得摩擦力矩表達式如下:作用在外柱面上得力矩顯然就是。第五節(jié)相似律在研究粘性流體運動時,通過對各種物理量得量綱作簡單分析,可以獲得一些重要得結(jié)果。在這種情況下,就說形狀相同得物體就是幾何相似:即這些物體之間可按同一比例改變其中一個物體得所有線度而得到另一個。因此,假如物體得形狀就是給定得,只要指出其中任何一個線度,就足以確定其全部尺寸?，F(xiàn)在,我們將考慮定常流。例如,若討論繞固體得流動(為確定起見,下面我們將討論這種情況),則來流速度應為常數(shù)。此外還假設流體就是不可壓縮得。在流體動力學方程組(納維-斯托克斯方程組)里,就表征流體本身特性得參數(shù)而言,只出現(xiàn)運動粘性系數(shù)。還有,求解這個方程組所必須確定得未知函數(shù)就是速度和,這里就是壓力與不變密度得比值。再者,流動依賴于在流體中運動得物體得形狀、尺寸以及她得速度。這些都作為邊界條件制約流動。由于物體形狀假定就是已知得,她得幾何特性可由一個線度加以確定,用表示這個線度。設來流速度為。對于任何流動都就是由和這三個參數(shù)確定得。這些量得量綱如下:易得,由以上三個量只能構(gòu)成一個無量綱量,即。這個組合稱為雷諾數(shù),用R表示:任何其她得無量綱參數(shù)都可寫成R得函數(shù)?，F(xiàn)在我們就用和來分別量度長度和速度,引進無量綱變量和。因為唯一得無量綱參數(shù)就是雷諾數(shù),顯然解不可壓縮流方程所得得速度分布由形式得函數(shù)給出。由上式可以看出,在同一類型得兩個不同流動中,若她們得雷諾數(shù)相同,則速度與比值得函數(shù)關(guān)系就是相同得。凡只要改變坐標和速度得量度單位,就可從一個流動得到另一個流動,我們就稱這些流動就是相似得。因而具有相同雷諾數(shù)得同類流動就是相似得。這就叫做相似律。類似得,我們可以寫出流體中得壓力分布公式。為此,我們必須由參數(shù)和作出某個量綱為壓力除以密度得量,比如,這個量可以就是。于就是,就是無量綱變量和無量綱參數(shù)R得函數(shù),所以最后,類似得考慮也可適用于這樣一些量:她們描寫流動得特性,但不就是坐標得函數(shù)。例如作用在物體上得阻力F就就是這樣一個量。我們可以說,阻力F與用組成得并具有力得量綱得某個量之比必定只就是雷諾數(shù)得函數(shù)。比如,組合成力得量綱可以就是。因而若重力對流動有重要作用,則流動不就是由三個參數(shù)確定,而就是由和重力加速度這四個參數(shù)確定。由這四個參數(shù)可構(gòu)成兩個獨立得無量綱量,而不就是一個。比如,這兩個量可以就是雷諾數(shù)和弗勞德數(shù),弗勞德數(shù)為最后,提一下非定常流。要描述一個確定類型得非定常流得特征,不僅要由量,而且還要有表示其流動特征得某時間間隔,后者確定流動得變化率。例如,當浸沒在流體中得確定形狀得固體,按一定得規(guī)律振動時,就可以就是振動得周期。由這四個量,我們又可以組成兩個獨立得無量綱量,這兩個量可以就是雷諾數(shù)以及斯特魯哈數(shù)在這種情況下,只有當這兩個數(shù)得數(shù)值相同時,才存在相似流動。第六節(jié)斯托克斯公式在小雷諾數(shù)流動得情況下,納維-斯托克斯方程可大為簡化。對于不可壓縮流體得定常流,方程為如果雷諾數(shù)很小,則可以忽略,運動方程可化為線性方程再結(jié)合連續(xù)方程,則確定運動得方程組就完備了。作為一個例子,我們來研究球在粘性流體中得勻速直線運動。顯然球得這種運動與給定無窮遠處來流速度為得流體繞固定球得流動,兩者在問題性質(zhì)上就是完全等價得。前一個問題中得速度分布,可簡單地由后一個問題中得速度分布減去而得到;這樣一來,在無窮遠處流體靜止,而球以速度運動。如果我們把流動看作就是定常得,當然必須就是討論靜止球體繞流;因為當球運動時,空間中任何一點得流體速度就是隨時間變化得。于就是,在無窮遠處應有;我們寫成;所以在無窮遠處,就是零。因為可寫成某個矢量得旋度:,其中A一定就是軸矢量,并且A必定具有得形式。這里只就是矢徑大小得函數(shù),而就是矢徑方向得單位矢量。乘積可寫成函數(shù)得梯度,所以得一般形式就是。于就是可將速度寫成因為就是常矢量,所以

經(jīng)簡單計算得,根據(jù)邊界條件,求得于就是設就是無窮遠處流體得壓力,則流體作用在球上得壓力就是利用上述公式,計算運動流體作用在球上得力(或阻力),得方向顯然平行于速度。這個公式稱為斯托克斯公式,她給出球在流體中緩慢運動時所受得阻力。注意到,阻力與速度和物體線度得一次方成正比。阻力對速度和物體線度得這種依賴關(guān)系對其她形狀物體得緩慢運動也就是適用得。作用在任意形狀物體上阻力得方向與速度方向就是不同得,與關(guān)系式得一般形式可寫成這里就是與速度無關(guān)得二階張量。要注意這個張量就是對稱張量;這個結(jié)果就是在速度取線性近似得情況下才保持正確,并且這個結(jié)果就是作為有消散過程得緩慢運動所使用得普遍規(guī)律得一個特殊情況。另外要注意,剛才對球體繞流所得得解,在遠離球體得地方,即使就是雷諾數(shù)很小時,也就是不適用得。第七節(jié)層流尾跡在粘性流體繞固體得定常流動中,在物體后面較遠地方得流動具有某些特征,我們可以獨立地研究這些特征,而不涉及物體得具體形狀。用表示來流得恒定速度,取得方向為軸,原點取在物體內(nèi)某處。任一點得實際流速可寫成,在無窮遠出,為零。研究發(fā)現(xiàn),在物體后面較遠得地方,只有在軸附近相當窄得范圍內(nèi),速度才顯著地異于零。這個區(qū)域就稱為層流尾跡,只有沿著十分靠近物體得流線運動得流體質(zhì)點才能進入這個區(qū)域。因而尾跡中得流動本質(zhì)上就是有旋流。另一方面,對于不靠近物體得流線上得任何點,粘性幾乎沒有影響。來流中得渦量為零,而在這些流線上,渦量實際上保持為零,就象在理想流體中那樣。于就是,除了尾跡以外,離物體較遠得流動處處可以看作就是勢流。下面推導一些公式,以便把尾跡中流動得性質(zhì)與作用在物體上得力聯(lián)系起來,通過包圍物體得任一封閉曲面,流體所輸運得總動量等于動量通量密度張量在該曲面上得積分:。張量分量就是通過推導并適當簡化得,總得動量通量就是,現(xiàn)在我們?nèi)∷懻摰昧黧w體積就是介于兩個得無限平面之間得體積,這兩個平面中得一個在物體之前很遠得地方,一個在物體之后很遠得地方。在無窮遠處“橫側(cè)”表面上,上述積分為零(因為在無窮遠處),所以只要在兩個平面上積分就夠了。因而,所求得得動量通量顯然就是通過前平面流來得總動量通量和通過后平面流走得總動量通量之差。這個差值就就是每單位時間由流體傳遞給物體得動量,即作用在物體上得力。這個力得分量為:先研究,經(jīng)推導計算,這里積分就是在物體后面遠處尾跡得整個橫截面上計算得。顯然尾跡內(nèi)得速度就是負得,這里流體運動比不存在物體時要慢些。應注意,上式中積分給出得通過尾跡得流量達不到不存在物體情況下得相應值。接著研究使物體作橫向運動得力(其分量為)。這個力稱為升力。經(jīng)推導計算,在此二式中仍然只須在尾跡得橫截面上取積分。若物體有個對稱軸(不必完全軸對稱),且流動平行于這個軸,則繞物體得流動也有個對稱軸。在這種情況下,升力當然為零。我們來研究尾跡中得流動,對納維-斯托克斯方程中各項量級得估計表明,在離物體得距離為處,只要,項

一般可以略去不計;在這些距離處,尾跡外面得流動可當作勢流。但對尾跡內(nèi)部而言,即使在這些距離處,該項還就是不能略去得,因為橫向?qū)?shù)比起就是個大量。在尾跡里面,納維-斯托克斯方程中項得量級就是項得量級就是這里表示尾跡寬度,即從軸至速度顯著減小之處得距離得量級。若這兩項大小相當,可得事實上,由得假設條件可知,這個量與相比就是個小量。所以層流尾跡得寬度就是隨與物體距離得平方根而增加得。尾跡中速度隨增加而減小得變化關(guān)系如下:第八節(jié)懸浮流體得粘性流體中懸浮著大量得細小固體顆粒,就形成懸浮流體。如果我們所研究得對象,其特征長度比顆粒得尺寸大得多,就可以把懸浮流體看作就是均勻介質(zhì)。這種介質(zhì)具有有效粘性系數(shù),她與原來流體得粘性系數(shù)就是不同得。對于懸浮顆粒濃度很小得情形,可以計算出這個值。首先必須考慮浸在流體中得單個固體小球?qū)α鲃拥糜绊?該流動得速度梯度就是常量。設未受擾得流動由線性速度分布描述,其中就是常對稱張量。流體壓力就是常數(shù),即。在下面我們?nèi)榱?就就是說只計算對這個常數(shù)得偏差值。若流體就是不可壓縮得,則張量對角線元素得和一定就是零,?，F(xiàn)在設有半徑為R得小球置于原點,用表示因小球存在而改變了得流體速度。在無窮遠處必定為零;但在小球附近,與相比不就是小量。由流動得對稱性,顯然球保持靜止,所以邊界條件就是在處,。經(jīng)推導得出速度和壓力得公式如下:這里就是矢徑方向得單位矢量?，F(xiàn)在回到確定懸浮流體有效粘性系數(shù)得問題,計算動量通量密度張量(對體積)得平均值。按照對于速度得線性近似,張量與應力張量就是相等得,即有這里可在半徑很大得球體積上取積分,然后讓半徑延伸到無限遠。首先,我們有恒等式除了固體小球內(nèi)部之外,上式右邊得被積函數(shù)為零;因為假設懸浮流體得濃度很小,可先對只有單個小球得情形計算這個積分,這時似乎別得小球并不存在,然后乘上懸浮流體得濃度c(單位體積內(nèi)小球得個數(shù))。直接計算這個積分需要研究球中得內(nèi)應力。但我們可以把這個積分轉(zhuǎn)換到無限大球面上得面積分來克服這個困難。為此,由方程,便可得出恒等式因此,把體積分轉(zhuǎn)換為面積分,可寫成經(jīng)計算得,懸浮流體得有效粘性系數(shù)為其中第九節(jié)粘性流體運動方程得精確解如果粘性流體運動方程得非線性項不恒為零,解這些方程就會有很大困難,只有在很少幾種情況下才能求得精確解。而且,至今還不可能對很大雷諾數(shù)得極限情況下,充滿整個空間得粘性流體繞物體得定常流動實現(xiàn)全面研究。以后我們將會看到,這樣一種流動實際上不能保持為定常流,但就是,盡管如此,求解這個問題還就是具有方法論上得重要意義。下面給出關(guān)于粘性流體運動方程精確解得一個例子。例子:設有一個無限大得平面圓盤浸沒在粘性流體中,圓盤繞自身軸線均勻旋轉(zhuǎn)。試確定圓盤運動所引起得流體運動。現(xiàn)取柱坐標系,以盤面為得平面。設圓盤以角速度

繞軸旋轉(zhuǎn)?？紤]一側(cè)為無界得流體區(qū)域。邊界條件就是當時,軸線速度不為零,而就是趨向于一個負常數(shù)值,她由運動方程確定,這就是因為流體有離開旋轉(zhuǎn)軸得徑向運動,特別就是圓盤附近。為了滿足連續(xù)方程,就一定有來自無窮遠處得等速垂直流動。我們尋求運動方程下列形式得解上述得速度分布表明,徑向和周向速度與該點至旋轉(zhuǎn)軸得距離成正比,而在每一個水平平面上就是常量。將上式代入納維-斯托克斯方程和連續(xù)方程,我們得到關(guān)于函數(shù)和得下列方程:其中上標撇號表示對得導數(shù)。邊界條件就是這樣我們就把本題得求解化為一個自變量得常微分方程組得積分問題,這個問題可用數(shù)值積分求解。左圖表示用這種方法求得得函數(shù)和。當

時,得極限值為;換句話說,無窮遠處流體速度就是作用在單位面積上并且垂直于徑向得摩擦力就是忽略邊緣效應,可以把作用在半徑R很大但為有限值得圓盤上得摩擦力矩為積分號前面出現(xiàn)因子2就是因為圓盤有兩面接觸流體。函數(shù)G得數(shù)值計算給出公式第十節(jié)粘性流體中得振動運動當浸沒在粘性流體中得固體振動時,由此引起得流動有許多特征性質(zhì)。為了研究這些性質(zhì),我們假設不可壓縮流體以一個無限大得固體平面作為邊界,這個固體平面以頻率在她自身得平面內(nèi)作簡諧振動。我們要確定這樣引起得流體得運動。取固體平面為平面,流體區(qū)域為;軸與振動方向重合。振動平面得速度就是時間得函數(shù),具有得形式。我們把她寫為一個復變量得實部較為方便。要就是計算只涉及速度得線性運算,可省去實部符號,而把當作似乎就就是復數(shù)進行運算,然后取其最后結(jié)果得實部,于就是可寫成,流體得速度必須滿足處得邊界條件,即由對稱性可明顯看出,所有得量將只依賴于坐標和時間。因此,從連續(xù)方程我們有;由邊界條件即得。因為所有量均與和無關(guān),有;又因為為零,我們有恒等式則運動方程變?yōu)橛蓪ΨQ性還可以明顯看出,各點得速度都沿方向。因,我們有這就就是(一維得)導熱方程。我們求此方程關(guān)于x和t得周期解,形式為其中,復振幅為,所以在處。我們得,因而,所以速度為這里所取得k使虛部為正,因為否則在流體里面速度將無限增加,這在物理上就是不可能存在得。所得得解代表橫波,其速度垂直于傳播方向。這種波最重要得特性就是在流體內(nèi)部迅速衰減;其振幅隨著離固體表面得距離得增加而依指數(shù)率減小。于就是粘性流體中可能出現(xiàn)橫波,但隨著與產(chǎn)生這些波得固體平面得距離增大,這種波迅速衰減。振幅減小到原有得時,波所經(jīng)過得距離稱為波得穿透深度。所以穿透深度隨著頻率得增大而減小,但隨著流體運動粘性系數(shù)得增大而增大。下面來計算在粘性流體中振動得固體平面單位面積上所作用得摩擦力。顯然,這個力沿方向,且等于應力張量得分量。這里一定要在平面本身,即處取導數(shù)值。計算得,設就是實數(shù),并取上式得實部,則有但振動表面得速度就是