試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)【初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽】專(zhuān)題05幾何競(jìng)賽綜合-35題真題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（全國(guó)競(jìng)賽專(zhuān)用）一、單選題1．（2015·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）矩形中，，，、分別為矩形外的兩點(diǎn)，，，則（

）A． B．15 C． D．【答案】C【詳解】易知，，∴.延長(zhǎng)，交于點(diǎn).∵，，∴，且，∴，，∴，，∴.2．（2013·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知是圓的直徑，為圓上一點(diǎn)，，的平分線交圓于點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【詳解】連接，作于點(diǎn)，則可得，所以，所以．3．（2013·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）矩形的邊長(zhǎng)，，為的中點(diǎn)，在線段上，且，分別與，交于點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】易知，所以，所以．延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則，所以，所以．因此．4．（2018·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】不妨設(shè)，則，．設(shè)，則，．作于點(diǎn)．因?yàn)?，，公共，所以，所以．由得，解得．所以，?．（2018·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，在矩形中，的平分線交于點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為．由已知得，，．設(shè)，則，．因?yàn)?，所以，解得．所以?．（2017·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)是以為直徑的圓上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，滿足．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，因?yàn)椋?，即．又因?yàn)?，故．而，，所以，所以，．從而?．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，已知的邊長(zhǎng)分別為，正六邊形網(wǎng)格由24個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形組成，以這些正三角形的頂點(diǎn)畫(huà)，使得，相似比為，那么k的不同值共有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】作圖知與相似的三角形，而相似比不同的三角形只有如圖所示的三種，故選C．二、填空題8．（2016·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知的最大邊上的高線和中線恰好把三等分，，則__________．【答案】2【詳解】依題意得，，故．（1）若時(shí)，如答案圖1所示，，∴，又平分，∴，在中，即，∴，從而，．在中，，．在中，．（2）若時(shí)，如答案圖2所示．同理可得．綜上所述，．9．（2016·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）在四邊形中，，平分，為對(duì)角線的交點(diǎn)，，，則__________．【答案】【詳解】設(shè)，，∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，解得，，∴，∴，∴，故．10．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上且，點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)，與的交點(diǎn)為F．設(shè)，與四邊形的面積和為，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是________．【答案】【詳解】解

由得．又，即，所以．故應(yīng)填．11．（2014·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知為等腰內(nèi)一點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，如果點(diǎn)為的內(nèi)心（三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），則_____．【答案】【詳解】由題意可得，而所以從而可得又，所以，從而．所以，，所以．12．（2015·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）、兩點(diǎn)在以為直徑的半圓周上，平分，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】4【詳解】連接，，作于，于.∵平分，∴.又，∴，∴，∴.設(shè)，則，在中，由勾股定理得.在中，，即，解得.∴.13．（2015·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知銳角的外心為，交于，、分別為、的外心，若，，則__________.【答案】【詳解】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn).∵、分別為、的外心，∴、分別為、的中點(diǎn).又，∴，∴.又，，∴.又，∴.14．（2018·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，在平行四邊形中，，于，為的中點(diǎn)，若，則______．【答案】【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接交于，由題設(shè)條件知為菱形．由及為的中點(diǎn)，知為的中點(diǎn)．又，所以，所以垂直平分，故．所以．15．（2017·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)是銳角三角形的外心，，分別為線段，的中點(diǎn)，，，則__________．【答案】10【詳解】如圖，設(shè)，則，，，，所以，，所以，所以，從而可得．16．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）某廣場(chǎng)地面鋪滿了邊長(zhǎng)為的正六邊形地磚，現(xiàn)向上拋擲半徑為的圓碟，圓碟落地后與地面不相交的概率大約是_________．【答案】【詳解】解

要使圓碟與地磚的邊緣不相交的條件是落地后圓碟的中心到正六邊形地磚的任何一邊的距離不小于圓的半徑，也就是圓碟的中心必落在與地磚同中心且邊與地磚邊彼此平行、距離為的小正六邊形內(nèi)（圖6－1）．作于，交于且，所以，．而，所以，故．設(shè)正六邊形和的面積分別為和，則所求概率為．故應(yīng)填．17．（2018·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知是內(nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，，則__________．【答案】4【分析】延長(zhǎng)至，使，則有A，F(xiàn)，B，四點(diǎn)共圓，得到△BCF是等腰三角形，利用三線合一可得，進(jìn)而用勾股定理求出，再利用中位線性質(zhì)求出．【詳解】延長(zhǎng)至，使，則且，∴，∴A，F(xiàn)，B，四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，∴．又，∴，∴．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠構(gòu)建四點(diǎn)共圓．三、解答題18．（2013·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知點(diǎn)在以為直徑的圓上，過(guò)點(diǎn)、作圓的切線，交于點(diǎn)，連，若，求的值．【答案】【詳解】解：連，因?yàn)?，為圓的切線，所以．又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，所以，所以．又，所以，所以．又，，（為圓的半徑），代入可求得，．在中，由勾股定理可求得．所以．19．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)是凸五邊形，將沿方向平移，使移到得到凸五邊形．證明：中至少有兩個(gè)圖形，它們有公共內(nèi)點(diǎn)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明

如圖，以為位似中心，以為相似比作的位似圖形M，則M仍為凸五邊形且在M內(nèi)．下面我們證明都在M內(nèi)，例如先證在M內(nèi)．設(shè)P是內(nèi)任意一點(diǎn)，它是內(nèi)的點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)平移得到的，于是，故為平行四邊形，又R是的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，因Q和屬于，且是凸五邊形，故R屬于M，而，故P屬于M．又P是M，內(nèi)任意一點(diǎn)，所以包含在M之內(nèi)，同理都包含在M內(nèi)，設(shè)及M的面積分別為及S，則．于是，由圖形重疊原理知，中至少有兩個(gè)圖形，它們有公共內(nèi)點(diǎn)．20．（2017·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，為四邊形內(nèi)一點(diǎn)，，，，求證．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明由題設(shè)條件可知，又，所以所以，從而又，所以，所以設(shè)和交于點(diǎn)，則，所以所以21．（2017·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖：中，，，是的外角平分線與的外接圓的交點(diǎn)．點(diǎn)在上且，已知，，求的面積．【答案】【詳解】解在上取點(diǎn)，使，連接并延長(zhǎng)，交的外接圓于點(diǎn)，由，知是等腰三角形，所以所以，所以，所以又，所以，所以的邊上的高，所以，的面積22．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為、，與軸的交點(diǎn)為．設(shè)的外接圓的圓心為點(diǎn)．（1）證明：與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn)．（2）如果恰好為的直徑且，求和的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），【詳解】解（1）易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，則，．設(shè)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，由于、是的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)，所以，則．因?yàn)椋渣c(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)在軸的正半軸上，所以點(diǎn)為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)?，如果恰好為的直徑，則、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．又，所以，解得．23．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖①，有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為，內(nèi)有深的溶液，現(xiàn)將此容器傾斜一定角度（圖②），且傾斜時(shí)底面的一條棱始終在桌面上（圖①，②均為容器的縱截面）．（1）當(dāng)時(shí)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此溶液是否會(huì)溢出；（2）現(xiàn)需要倒出不少于的溶液，當(dāng)?shù)扔跁r(shí)，能實(shí)現(xiàn)要求嗎？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【答案】（1）不會(huì)溢出，理由見(jiàn)解析；（2）不能實(shí)現(xiàn)要求，見(jiàn)解析．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，如圖a，過(guò)C作交所在直線于F．在中，，所以點(diǎn)F在線段上，，此時(shí)容器內(nèi)能容納的溶液量為．而容器中原有溶液量為．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)溶液不會(huì)溢出．（2）如圖b，當(dāng)時(shí)，過(guò)C作交所在直線于F．在中，，，所以點(diǎn)F在線段上，故溶液縱截面為．因，容器內(nèi)溶液量為，倒出的溶液量為，所以不能實(shí)現(xiàn)要求．24．（2013·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）在中，，、分別是的外心和內(nèi)心，且滿足．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【詳解】證明（1）作于，于．設(shè)，，．易求得，，所以，又恰好是兩條平行線，之間的垂線段，所以也是兩條平行線，之間的垂線段，所以，所以．（2）由（1）知是矩形，連接，，設(shè)（即為的內(nèi)切圓半徑），則．25．（2015·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，且，．過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的平分線分別交、于點(diǎn)、．（1）證明：；（2）如果，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【詳解】證明

（1）在上取一點(diǎn)，使得，則，∴.又，∴，∴，∴，∴.（2）設(shè)，則，，，在上截取，連接，則.又，∴，又，∴，∴.又∵，∴，∴，∴.又，，∴，∴，又，∴.∵平分，∴，∴.∴，∴.26．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）證明：一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正方形可以被3個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形所覆蓋．【答案】見(jiàn)解析．【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為5，先放置一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，其中為原正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，在邊上，在正方形內(nèi)，在邊上．連，再放置第二個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，其中是原正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，且使在射線上（如圖），由勾股定理有：．故在線段內(nèi)，且．設(shè)與交于，則，故在線段內(nèi)，從而被正方形覆蓋．又，即在內(nèi)，且，故也被正方形覆蓋，這就證明了梯形可以被一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形所覆蓋．同理，梯形也可以被一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形所覆蓋，于是正方形可被3個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形所覆蓋．27．（2015·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，且，.過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的平分線分別交、于點(diǎn)、．（1）證明：；（2）如果，證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【詳解】證明

（1）在上取一點(diǎn)，使得，則，∴.又，∴，∴，∴，∴.（2）設(shè)，則，.∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵平分，∴.在上截取，連接，則.又∵，，∴，∴，∴，∴.又∵，∴.又∵，，∴，∴.∴.28．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）把長(zhǎng)為的線段任意分成3條線段，求這3條線段能夠構(gòu)成一個(gè)三角形的3條邊的概率．【答案】【詳解】解

設(shè)其中兩條線段的長(zhǎng)為，則第3條線段的長(zhǎng)為，于是的取值范圍是

①要使3條線段構(gòu)成一個(gè)三角形的3條邊，其充要條件是其中任意一條線段的長(zhǎng)度小于其余兩條線段的長(zhǎng)度之和．這等價(jià)于每條線段的長(zhǎng)度都小于，即

②將視為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)，則滿足條件①的點(diǎn)在以為頂點(diǎn)的內(nèi)．而滿足條件②的點(diǎn)在以為頂點(diǎn)的內(nèi)，故所求概率為．答：3條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊的概率為．29．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)的時(shí)間是等可能的，如果甲的停泊時(shí)間是1小時(shí)，乙的停泊時(shí)間是2小時(shí)，求它們中任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率（精確到0.001）．【答案】0.879．【詳解】設(shè)自當(dāng)天零時(shí)算起，甲、乙兩船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別是和，則必須．我們視為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，于是點(diǎn)落在一個(gè)面積為的正方形的內(nèi)部或邊界上（如下圖）．如果輪船不需要等候碼頭空出，那么當(dāng)船甲先到時(shí)，船乙應(yīng)遲來(lái)1個(gè)小時(shí)以上，即，即；當(dāng)船乙先到時(shí)，船甲應(yīng)遲來(lái)2個(gè)小時(shí)以上，即，即，即點(diǎn)應(yīng)在直線的上方且在直線的下方，也就是點(diǎn)應(yīng)在如圖所示的兩個(gè)三角形和中某一個(gè)的內(nèi)部或邊界上，故所求概率．而，所以．答：兩船中任何一艘都不需要等候碼頭空出的概率為0.879．30．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）平面上給定了若干個(gè)圓，它們覆蓋的面積為1．證明：從中可選出若干個(gè)兩兩不重疊的圓，使它們覆蓋的面積不小于．【答案】見(jiàn)解析．【詳解】從給定圓中選出半徑最大的圓，其半徑為，面積為，則與圓有重疊的圓連同圓一起覆蓋的面積，即．然后去掉與圓重疊的圓，再?gòu)氖Ｏ碌膱A（圓除外）選出半徑最大的圓，其半徑為，并將與圓有重疊的圓去掉．這樣經(jīng)過(guò)有限步可得有限個(gè)兩兩不重疊的圓，，…，它們覆蓋的面積為．31．（2014·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)，且滿足，的延長(zhǎng)線與的外接圓交于點(diǎn).證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明

由是平行四邊形及已知條件知.又、、、四點(diǎn)共圓，所以，所以，所以.又，所以，故.32．（2018·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）如圖，點(diǎn)在四邊形的邊上，和都是等腰直角三角形，，．（1）證明：；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，如果，求．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】解（1）由題意知，，，所以，，所以，故，所以，所以．

（2）設(shè)，因?yàn)椋傻?，，．因?yàn)?，，所以，故可得?/p>

又，，于是可得，．

所以．33．（2016·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）（A）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，四邊形是正方形，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．證明：．（B）已知：，，．求的值．【答案】（A）證明見(jiàn)解析；（B）625【詳解】【證明】連接、．∵為的直徑，于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴，由四邊形是正方形及于點(diǎn)可知：點(diǎn)在上，，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，以點(diǎn)為圓心、為半徑作，與直線交于另一點(diǎn)，則與切于點(diǎn)，即是的切線，直線是的割線，故由切割線定理得，∴，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，∴．（注：上述最后一段得證明用了“同一法”）（B）．由已知得，由恒等式得，，∴，又，同理可得，，∴原式．【注：恒等式】34．（2016·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）（A）已知正實(shí)數(shù)，，滿足：，且．（1）求的值．（2）證明：．（B）如圖，在