2022年廣東省佛山市禪城區(qū)高考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={x*<2x}，集合B={x|x<l},則ACIB=()

A.(-8,2)B.(-8,I)C.(0,1)D.(0,2)

2.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足”z=2-i,則|z|=()

A.1B.2C.V3D.V5

華(2］：),xVl,則八一2)+/(/〃4)=()

3.(5分)已知函數(shù)/（x）=

A.2B.4C.6D.8

4.（5分）如圖所示，AABC中，點(diǎn)。是線段8c的中點(diǎn)，E是線段AZ）的靠近A的三等分

點(diǎn)，則尾=（）

5T1T2T1-

c.一…d4BD.-+可/8

5.（5分）已知/?>0且加W1,貝ijlog,"”>0是(1-/n)(1-n)>0的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

-1sin(2a+^)-l

6.(5分)若tana=)'則§皿3兀-2a)()

1

A.-B.C.2D.-2

2

7.（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名黨員參加“黨史知識(shí)競(jìng)賽”，決出第一名到第五名的名

次（無并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五.據(jù)此推測(cè)5人的名次排列

情況共有（）種

A.5B.8C.14D.21

8.（5分）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)規(guī)定：駕駛員的100〃也血液中酒精含

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量為［0,20）mg,不構(gòu)成飲酒駕車行為（不違法），達(dá)到［20,80）mg的即為酒后駕車，

80,明及以上為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

l.6mg/mL,若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小時(shí)減少20%,要想不構(gòu)成酒駕行為，

那么他至少經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：0.84=0.41,,,）

A.4小時(shí)B.6小時(shí)C.8小時(shí)D.10小時(shí)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

（多選）9.（5分）下列說法正確的有（）

11

A.若a>b,則一>一B.若a>b,則/

ab

C.若曲=1,貝D.若/+/=［,貝

（多選）10.（5分）給出下列命題，其中正確命題為（）

A.若樣本數(shù)據(jù)xi,X2,xio的方差為2,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…，2xio-1的方

差為4

B.回歸方程為y=0.6-0.45x時(shí)，變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3,。2）,p（X^4）=0.64,則P（2WXW3）=0.07

D.相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，產(chǎn)值越大，說明模型的擬合效果越好

（多選）11.（5分）甲罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球；乙罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白

球和2個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以4,A2和A3表示由甲罐取

出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以M表示由乙罐取出的

球是紅球的事件，下列結(jié)論中正確的是（）

A.P（M|4）=盤

B.P（M）=1

C.事件M與事件Ai不相互獨(dú)立

D.4,AbA3是兩兩互斥的事件

px—1,Y>

一（WGR）,貝U（）

{—（%+2）2,x<m

A.對(duì)任意的機(jī)6R,函數(shù)f（x）都有零點(diǎn)

B.當(dāng)時(shí)，對(duì)VxiW%2,都有（xi-：V2）（f（xi）-f（%2））<0成立

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C.當(dāng)布=0時(shí)，方程*（x）]=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

D.當(dāng)加=0時(shí)，方程/（x）=0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）在（?-/）5的展開式中，含尤項(xiàng)的系數(shù)為.

14.（5分）已知函數(shù)/（x）=ax-ln（炭+1）（aeR）為偶函數(shù)，則“=.

15.（5分）等比數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和為S”數(shù)列｛〃”｝為單調(diào)遞增數(shù)列，且數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞

減數(shù)列，寫出滿足上述條件的一個(gè)數(shù)列僅〃｝的通項(xiàng)公式.

16.（5分）在△48C中，內(nèi)角4,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且△ABC的面積為S=與a2,

且必+02-kbcWG恒成立，則k的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知公差dWO的等差數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為S”55=25,及是m與。5的等比

中項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛"”｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)加=7rJ—,求數(shù)列｛辦｝的前"項(xiàng)和7k

即以九+1

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1

18.(12分)已知函數(shù)/'(x)=2x一,一a，nx.

(1)已知f(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為、=為求實(shí)數(shù)a的值;

(2)已知/(x)在(1,+8)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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19.(12分)在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并

獨(dú)立完成所抽取的3道題.甲能正確完成其中的4題，乙能正確完成每道題的概率為1,

且每道題完成與否互不影響，規(guī)定至少正確完成2道題便可過關(guān).

(1)記所抽取的3道題中，甲答對(duì)的題數(shù)為X,求X的分布列和期望；

(2)記乙能答對(duì)的題數(shù)為匕求丫的分布列、期望和方差.

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B+Cr~

20.(12分)在①3tzsinC=4ccosA；②2公也《一=A/^asinB這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.

在△A2C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知,a=3&.

(1)求sinA；

(2)如圖，/為邊AC上一點(diǎn)，MC=MB,求邊c.

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21.（12分）某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語音

功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很

快找到寶寶想聽的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內(nèi)容，且

云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服

務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品）,

統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：

年優(yōu)售里萬件

20

10

00

90

80

70

60

50

40

30

20

10

1020304050607080年?duì)I稍費(fèi)用工/萬元

圖2

產(chǎn)品的性能指數(shù)在［50,70）的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在［70,90）的適合

小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在［90,110］的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)

品），A,B,C,三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5,3.5,5.5（單位：元）.以這100

件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；

（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用x（單位：萬元）對(duì)年銷售量y（單位：萬件）的影響，

對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用加和年銷售量2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到

的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

%ZF=ivi（u；-u）（Vi-u）SF=i（%-刃2

16.3024.870.411.64

表中vi—lnyi,u=|sf=iui（u=1Xf=i火.

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=〃?）可以作為年銷售量y（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用x（萬元）的回

歸方程.

（/）建立y關(guān)于x的回歸方程；

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（?）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到

最大？

（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，取’59=64）.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（Ml,Ul）,（M2,U2）,…，（Un,U"），其回歸直線U=a+0U

的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為0=￡陶3-五）（外7）,。=5-0小

必（…）

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22.(12分)已知函數(shù)/(x)=^+(a-2e)x-lax1.

(I)當(dāng)〃=0時(shí)，求函數(shù)/(x)的最小值；

(II)若函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,會(huì)內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

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2022年廣東省佛山市禪城區(qū)高考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合4={尤|/<2%},集合B={xb<l},則()

A.(-8,2)B.(…，i)C.(0,1)D.(0,2)

解：因?yàn)榧?=37<2￥}={川7-2.r<0}={x|0<x<2},

集合8={x|x<l}，

所以ACB={x[0<x<l}=(0,1).

故選：C.

2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足"z=2-i,則|z|=()

A.1B.2C.V3D.V5

解：因?yàn)椋?、z=2-i,所以z=掌==一1一2i,

所以|z|二V(-l)2+(-2)2=V5,

故選：D.

3.(5分)已知函數(shù)/(x)=(吸。-x),xVI,則/■(-2)+/1(歷4)=()

\ex,x>1

A.2B.4C.6D.8

e—s,、

解：.?,函數(shù)/(x)=(lo"g2I(2-%)),%<1,

Vex,x>1

?"(-2)=log24=2,

f(加4)=e'"4=4,

???/(-2)4/(加4)=2+4=6.

故選：C.

4.(5分)如圖所示，△ABC中，點(diǎn)。是線段3C的中點(diǎn)，E是線段4。的靠近A的三等分

點(diǎn)，則薪=()

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A

E

5T1一2T1-

A.-zAB+z4CB.一可AB+可71。C.—ZACD.-QAC4-AB

oOoo33

解：據(jù)題意得:

[TT]1T5T1T

BE=AE-AB^AD-AB(4B+AC)-AB—+zAC,

332oo

故選：A.

5.(5分)已知m>0且mW1,則logw”>0是(1-/?)(1-〃)>0的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：若機(jī)>1,由log,”〃>0得此時(shí)1-機(jī)<0,1-n<0,貝ij(1-/n)(1-n)>0

成立,

若0<機(jī)<1,由log,”〃>0得此時(shí)l-w>0,1-n>0,則>0

成立,

即充分性成立,

m>l或THVIm<1

若(1-加(1-〃)>0則,當(dāng)ov次vi,〃=o時(shí)，滿足，但logwH

,71>1nVI.71<1

>0無意義，即必要性不成立,

即log"陰>0是(1-m)(1-n)>0的充分不必要條件,

故選：A.

isin(2(zH—7T)—1

6.(5分)若tcma=亍則.~~今二7=()

2sm(37T-2a)

1

A.一B-C.2D.-2

2

解：*.*tana=

sin(2a+^)-lcos2a-l-2sin2a1

=—tana

sin(37r-2a)sin2a2sinacosa2

故選：B.

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7.（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名黨員參加''黨史知識(shí)競(jìng)賽”，決出第一名到第五名的名

次（無并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五.據(jù)此推測(cè)5人的名次排列

情況共有（）種

A.5B.8C.14D.21

解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①若乙是第五，則丙、丁、戊安排在第一、二、四名，有A33=6種安排方法,

②若乙不是第五，則乙的安排方法有2種，丙的安排方法有2種，剩下2人有422=2種

安排方法,

此時(shí)有2X2X2=8種安排方法，

故有6+8=14種安排方法，

故選：C.

8.（5分）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.根據(jù)規(guī)定：駕駛員的100〃4血液中酒精含

量為［0,20）mg,不構(gòu)成飲酒駕車行為（不違法），達(dá)到［20,80）mg的即為酒后駕車,

80/咫及以上為醉酒駕車.某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

1.6mg/mL,若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小時(shí)減少20%,要想不構(gòu)成酒駕行為，

那么他至少經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)：0.84=0.41,,,）

A.4小時(shí)B.6小時(shí)C.8小時(shí)D.10小時(shí)

解：設(shè)酒后經(jīng)過x小時(shí)后就不構(gòu)成酒駕，

A160X（I-20%）x<20,

.,.0.8J<0.125,

.D10,

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。

（多選）9.（5分）下列說法正確的有（）

11.

A.若a>b,則一>一B.若a>b,則〃

ab

C.若ab=l,貝D.若J+/=1,則"s$

11

解：A.根據(jù)。>b,取。=0,人=-1,則-1不成U,故A不正確；

ab

B.若a>b,則根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，a3>b\故8正確；

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C.根據(jù)〃6=1,a=b=-1,則不成立，故C不正確;

D.根據(jù)/+/=1,可得1=/+.22岫，...浦冬，故。正確.

故選：BD.

（多選）10.（5分）給出下列命題，其中正確命題為（）

A.若樣本數(shù)據(jù)xi,xi,--?,刈）的方差為2,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,…，2xio-I的方

差為4

B.回歸方程為y=0.6-0.45x時(shí)，變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3,。2）,尸（XW4）=0.64,則P（2WXW3）=0.07

D.相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，解值越大，說明模型的擬合效果越好

解：逐一考查所給的選項(xiàng)：

若樣本數(shù)據(jù)xi,X2,…，xio的方差為2,則數(shù)據(jù)2x2-1,…，2xio-l的方差為

2?X2=8,故4錯(cuò)誤，

回歸方程為y=0.6-0.45x時(shí)，由于b=-0.45V0,故變量x與y具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)

系，故8正確，

隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3,。2）,P（XW4）=0.64,由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得：P

（3<XW4）=0.64-0.5=0.14,所以P（2WXW3）=0.14,故C錯(cuò)誤，

相關(guān)指數(shù)解來刻畫回歸的效果，R2值越大，說明模型的擬合效果越好，因此。正確，

故選：BD.

（多選）11.（5分）甲罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)臼球和3個(gè)黑球；乙罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白

球和2個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以Ai,A2和A3表示由甲罐取

出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以M表示由乙罐取出的

球是紅球的事件，下列結(jié)論中正確的是（）

A.P（M|4）=4

B.P（M）=1

C.事件M與事件4不相互獨(dú)立

D.Ai,4，心是兩兩互斥的事件

4?4A12

解：對(duì)于A,P（Ai）=芯=E，PCAiM）=-jgxyj=

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12

；，(M4)=虢?臂幫，故A正確;

對(duì)于B,P(42)=P(43)=畝

P(M|A2)=P(MA2)=缶3乂言5=務(wù)3

：.P(M)=P(Ai)P(M4)+尸(A2)P(MA2)+P(加)P(MA3)

=lxn+^xn+^xn=il,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,P(AiM)中P(Ai)P(M),...事件M與事件Ai不相互獨(dú)立，故C正確;

對(duì)于C,Ai,A2,A3兩兩互不發(fā)生，是兩兩互斥的事件，故。正確.

故選：ACD

px—1,T>171

。一(wieR),則()

{—(x+2)2,x<m

A.對(duì)任意的〃￡R,函數(shù)f(x)都有零點(diǎn)

B.當(dāng)mW-3時(shí)，對(duì)VxiW%2,都有(xi-%2)(/(xi)-f(x2))<0成立

C.當(dāng)膽=0時(shí)，方程咒f(x)]=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

D.當(dāng)機(jī)=0時(shí)，方程f(x)V(-x)=0有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

解：對(duì)于A：作出函數(shù)1和y=-7-4x-4的圖象如圖所示：

y=-x2-4x-4

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，函數(shù)/(x)只有1個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)-2<,〃W0時(shí)，函數(shù)/(x)有2個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)"?W-2時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，故A正確;

對(duì)于B：當(dāng)機(jī)W-3時(shí)，函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

若當(dāng)〃?W-3時(shí)，對(duì)VxiWx2,都有(xi-X2)"(xi)-f(A2))<0成立，則/(x)單調(diào)

第14頁共22頁

遞減，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：〃?=0時(shí)，/(f)=0得fi=-2,a=0,

當(dāng)/(x)=fi=-2時(shí)，方程有兩個(gè)解，

當(dāng)/(x)=12=0時(shí)，方程有兩個(gè)解，

所以方程用'(x)1=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故C正確；

對(duì)于￡＞：當(dāng)〃?=0時(shí)，方程/(x)4/(-x)=0的根為/(x)=-于(-X)的根,

令h(x)=-/(-x),

作出/(x),h(x)的圖象：

可得函數(shù)f(x)與h(x)有三個(gè)交點(diǎn)，其中包括x=0,

即方程f(x)+f(-X)有三個(gè)根，

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)在(女一15的展開式中，含x項(xiàng)的系數(shù)為一慨.

LX——Z——

1_15-3r

解：；(我一給5的展開式中，通項(xiàng)公式為

令一5—73-r=1,求得〃=1,可得展開式中含X項(xiàng)的系數(shù)5X(-11)=-1r,

222

故答案為：-2

1

14.(5分)已知函數(shù)/(x)=or-In(F+l)(〃€R)為偶函數(shù)，則〃=y_

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(冗)=ax-In(e"+l)(aER)為偶函數(shù)，則有f(x)=f(x),

即ax-In(/+1)=-ax-In(eX+1),

變形可得2以=勿(爐+1)-In(一11)=lnex=x,

第15頁共22頁

必有a=I；

故答案為：

15.（5分）等比數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為S”數(shù)列｛如｝為單調(diào)遞增數(shù)列,且數(shù)列｛S｝為單調(diào)遞

減數(shù)列，寫出滿足上述條件的一個(gè)數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式（答案不唯一：滿足

m<0,0<〃<1即可）.

解：?.?等比數(shù)列｛板｝的前〃項(xiàng)和為品，數(shù)列｛加｝為單調(diào)遞增數(shù)列，且數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞減

數(shù)列，

.?.41V0,0<^<1,

滿足上述條件的一個(gè)數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式為：a”=一方（答案不唯一：滿足ai<0,0

<q<\即可）.

故答案為：=—｝（答案不唯一：滿足41V0,OVqVl即可）

16.（5分）在△ABC中，內(nèi)角A,8C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且的面積為S=與心,

4

4V3

且h2+c2-kbcWO恒成立，則k的最小值為.

解：ZViBC的面積為S=^a2,...s=^a2

=^bcsinA,可得：6Z2=詈".

?7,222bcsinA

..2bccos4A=b+c-cr^kbc------尸一.

化為：女22cosA+-^sinA=^^sin(A+5),

Vsin（A+J）<1,A=1時(shí)取等號(hào).

3DO

4\/3

故答案為：-y.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知公差d#0的等差數(shù)列｛“八｝的前”項(xiàng)和為S,S5=25,“2是。I與。5的等比

中項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)力尸二:+J求數(shù)列｛力，｝的前〃項(xiàng)和乙.

解：（1）公差d#0的等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S”，55=25,“2是m與公的等比中項(xiàng).

可得自：豆+3=2：解得｛?=J,

（（%+dy=a1?@+4d）Id=2

第16頁共22頁

所以〃〃=1+2(〃-1)=2n-1.

11ii1

(2)bn—Q九.Q九+i—(2n—l)(2n+l)—2(2n—1

,11、_幾

??7n=2(1-3+3-5+-"+2?I=l_271+1)=271+1-

1

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=2x-亍一出nx.

(1)已知/(x)在點(diǎn)(1,/(l))處的切線方程為>=X，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)已知/(x)在(1,+8)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)f(x)=2x———alnx,?"?=2H—工——(1分)

：.f(1)=3-a,(2分)

又了(X)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為了=犬，f(1)=3-a=\,(3分)

解得a=2：(4分)

(2)/(x)在(1,+8)上為增函數(shù)，.?./(%)=2+5-襄。在(1,+8)上恒成立,

(6分)

...aW2x+1在(1,+8)上恒成立，...a<(2x+3mi”，0分)

11

令9(%)=2%+彳，g'(x)=2-葭，(8分)

人X

當(dāng)(1,+°°)時(shí)，g'(x)>0.；.g(x)=2x+[在(1,+8)上單調(diào)遞增，(10分)

：.g(x)>g(1)=2+1=3,(11分)

故”的取值范圍為(-8,3],(12分)

19.(12分)在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并

獨(dú)立完成所抽取的3道題.甲能正確完成其中的4題，乙能正確完成每道題的概率為1,

且每道題完成與否互不影響，規(guī)定至少正確完成2道題便可過關(guān).

(1)記所抽取的3道題中，甲答對(duì)的題數(shù)為X,求X的分布列和期望；

(2)記乙能答對(duì)的題數(shù)為Y,求V的分布列、期望和方差.

解：(1)主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取

的3道題.

甲能正確完成其中的4題，所抽取的3道題中，甲答對(duì)的題數(shù)為X,

由題意得X的可能取值為1,2,3,

第17頁共22頁

P(X=1)==1

cl5

P(X=2)=筆^=|,

.?.X的分布列為：

X123

P0.20.60.2

E(X)=0.2+1.2+0.6=2.…(6分)

(2)主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3

道題，

乙能正確完成每道題的概率為|,且每道題完成與否互不影響，

2

由題意丫的可能取值為0,1,2,3,且丫?5(3,

p(y=o)=(扔=務(wù)

p(y=i)=程(|)鼾=探

p。=2)=或4)2(》=||,

八￥=3)=旗4)3=捺，

???丫的分布列為：

Y0123

P16128

1————

27272727

E(K)=0x2y+1x+2x2y+3x=2,

D(y)=(0-2)2x+(1-2)2x+(2-2)2x+(3-2)2x(12

分)

B+C"-

20.(12分)在①3asinC=4ccosA；②2bsin—5—=,asinB這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.

在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,a=3蟲.

(1)求sinA；

第18頁共22頁

（2）如圖，M為邊AC上一點(diǎn)，MC=MB,ZABM=求邊c.

解：若選①，則答案為：

(1)在①3asinC=4c、cosA,

由正弦定理可得3sinAsinC=4sinCcosA,因?yàn)閟inCWO,所以可得tanA=*

7144

在△ABC中，所以AE(0,—),所以sinA=/==『；

25

-TT.A.

(2)因?yàn)镹ABM=全設(shè)BM=CM="由圖可得cos/8MC=-cosZBMA=-sinA=一蚩

在△BMC中，由余弦定理可得BC2=-BM2+CM2-2BM?CM?cosNBMC,而BC=a=3近,

所以18=2祖2-2川(-1),解得機(jī)=再，

在中，。=48=爆=卓=￥.

LLtfL/1_T*

3

若選②，則答案為：

(1)因?yàn)?〃sin2=Vs?sinB,所以2加in?=yfSasinB,

由正弦定理可得2sin8cos-=V5sinAsinB=2V5sin-cos-sinB,

222

.A>11A2

因)為sinBWO,cos-WO,所以sin—=-7=,cos—=-7=,

22V52v5

AA124

所以sinA=2sin-cos-=2--7=--7==

22v5y55

(2)答案同選①.

21.（12分）某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語音

功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很

快找到寶寶想聽的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內(nèi)容，且

云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服

務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品）,

第19頁共22頁

統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）:

產(chǎn)品的性能指數(shù)在［50,70）的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在［70,90）的適合

小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱8類產(chǎn)品），在［90,110］的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)

品），A,B,C,三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5,3.5,5.5（單位：元）.以這100

件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；

（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用x（單位：萬元）對(duì)年銷售量y（單位：萬件）的影響，

對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用.，和年銷售量9（i=l,2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到

的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

2

把14(u；-u)(u;-U)3=1-u)

16.3024.870.411.64

表中"i=bw,。i=lnyi,u=%，v=|Zf=i必?

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，），=”?一可以作為年銷售量）'（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用x（萬元）的回

歸方程.

（/）建立y關(guān)于x的回歸方程；

（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到

最大？

（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，取*59=64）.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（MI,u?）,（M2,U2）,…，（??,u”），其回歸直線u=a+0〃

的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為￡=國(guó)工乂與包,a=v-pu.

￡以1（%一正