第四章向量組的線性相關(guān)性本章要點一、向量組的線性相關(guān)性判定定理二、向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系三、線性方程組解的結(jié)構(gòu)

§4.1向量組及其線性組合一、向量的定義二、向量組與矩陣的關(guān)系三、線性組合與線性表示四、等價向量組五、向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定義1分量中有復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.分量全為實數(shù)的向量稱為實向量，一、向量的定義

1、維向量的概念2、維向量的表示方法

維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示，如：

維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：注意：

１．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩陣的運算法則進行運算；

３．當沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當作列向量.

若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如二、向量組與矩陣的關(guān)系向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．

反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣.定義1線性組合三、線性組合與線性表示

向量能由向量組線性表示．定義2定理1：定義２向量組能由向量組線性表示向量組等價．四、等價向量組從而

§4.2向量組的線性相關(guān)性一、線性相關(guān)的概念二、線性相關(guān)的判定與齊次方程組解之間的關(guān)系三、小結(jié)注意定義3一、線性相關(guān)性的概念則稱向量組是線性相關(guān)的，否則，稱它線性無關(guān)．定理1向量組（當時）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個向量可由其余個向量線性表示．證明充分性

設(shè)中有一個向量（比如）能由其余向量線性表示.即有三、線性相關(guān)性的判定故因這個數(shù)不全為0，故線性相關(guān).必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使因中至少有一個不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示.證畢.定理4下面舉例說明定理的應(yīng)用.結(jié)論:解例１解例２分析證定理五證明說明

1.線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；（重點）

2.線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：兩個定理．（難點）四、小結(jié)§4.3向量組的秩一、最大線性無關(guān)組二、矩陣與向量組秩的關(guān)系三、向量組秩的重要結(jié)論四、小結(jié)定義１最大線性無關(guān)向量組最大無關(guān)組一、最大線性無關(guān)向量組結(jié)論說明二、矩陣與向量組秩的關(guān)系定理１最大無關(guān)組的等價定義１．最大線性無關(guān)向量組的概念：

最大性、線性無關(guān)性．２．矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：

矩陣的秩＝矩陣列向量組的秩＝矩陣行向量組的秩3．求向量組的秩以及最大無關(guān)組的方法：

將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個矩陣，然后進行初等行變換．四、小結(jié)§4.4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)二、基礎(chǔ)解系及其求法三、非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)四、小結(jié)（1）若為的解，則

也是的解.證明一、齊次線性方程組解的性質(zhì)（2）若為的解，為實數(shù)，則也是的解．證明

由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對于加法和數(shù)乘運算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間．證畢.１．基礎(chǔ)解系的定義二、基礎(chǔ)解系及其求法定理1例1

求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚仃嚕校玻€性方程組基礎(chǔ)解系的求法證明三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)證明證畢．其中為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.非齊次線性方程組Ax=b的通解為例4

求解方程組解()()nBRAR==()()nBRAR<=２．線性方程組解的情況四、小結(jié)１．線性方程組基礎(chǔ)解系的求法思考題思考題解答§4.5向量空間一、向量空間的概念二、子空間三、向量空間的基與維數(shù)四、小結(jié)說明2．維向量的集合是一個向量空間,記作.一、向量空間的概念定義1設(shè)為維向量的集合，如果集合非空，且集合對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合為向量空間．1．集合對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉指例2

判別下列集合是否為向量空間.解例3

判別下列集合是否為向量空間.解試判斷集合是否為向量空間.一般地，為定義2

設(shè)有向量空間及，若向量空間，就說是的子空間．實例二、子空間設(shè)是由維向量所組成的向量空間，那末，向量組就稱為向量的一個基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為

維向量空間．三、向量空間的基與維數(shù)定義3

設(shè)是向量空間，如果個向量，且滿足

（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，因此它沒有基．說明

（3）若向量組是向量空間的一個基，則可表示為

（2）若把向量空間看作向量組