第一講：反證法

反證法：在證明一個命題時,人們有時先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,從這樣

的假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾,或者與已知的定理、公理等矛盾,

從而得出假設(shè)的結(jié)論不成立，即所求證的命題的結(jié)論正確.這種證明方法叫做

反證法.

反證法證題的基本步驟：

i.假設(shè)命題的結(jié)論的反面是正確的；（反設(shè)）

2.從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與已知條件或者與已知的定理、

公理等矛盾；（歸繆）

3.由推理判定假設(shè)不正確，從而推出命題的結(jié)論是正確的.（結(jié)論）

疑惑：

思考：在AABC中，已知AB=c,BC=a,CA=b，且NCW90°.

求證；a'+b'Wcl

有些命題想從已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理，得出結(jié)論是很困難的，因此，

人們想出了一種證明這種命題的方法，即反證法.

假設(shè)a2+b2=c2,則由勾股定理的逆定理可以得到NC=90°,這與已知

條件NCW90°產(chǎn)生矛盾，因此，假設(shè)a?+b2=c2是錯誤的.所以l+b'Wc?是

正確的.

什么叫反證法？

學以至用

已知：在Z^ABC中,ABWAC

求證：ZBWNC

證明：假設(shè),則L）

這與矛盾.假設(shè)不成立.

D

A

例題

例1.求證：兩條直線相交只有一個交點.

已知：_____________________________________

求證：_____________________________________

證明：假設(shè)AB,CD相交于兩個交點0與0',那么過0,0'兩點就有

條直線，這與“過兩點”矛盾，所

以假設(shè)不成立,

則.

例2.試證明：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平

行.

己知：；

求證：；

證明：假設(shè)，則可設(shè)它們相交于點A。那么過點A就

有條直線與直線c平行，這與“過直線外一

點1矛盾，則假設(shè)不成立。

例3.求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°。

己知：；

求證：；

證明：假設(shè)___________________________________________________

則O

??9

即O

這與矛盾.假設(shè)不成立.

隨堂練習

1、用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角。

（1）已知：_____________________________

（2）求證：_____________________________

（3）三角形的內(nèi)角和等于

（4）這個命題如果不成立，那么其“反面”

2.求證：在一個三角形中，如果兩個角不等，那么他們所對的邊也不等.

3.否定下列命題的結(jié)論：

（1）在/ABC中如果AB=AC,那么NB=NC。。

（2）如果點P在。0外，則d>r（d為P至U0的距離，r為半徑）

（3）在/ABC中，至少有兩個角是銳角。在

/ABC中，至多有只有一個直角。

4、選擇題：

證明“在/ABC中至多有一個直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)：（）

A,三角形中至少有一個直角或鈍角

B,三角形中至少有兩個直角或鈍角

C,三角形中沒有直角或鈍角

D,三角形中三個角都是直角或鈍角

用反證法證明"三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°”，應(yīng)先假設(shè)這個

三角形中（）

A.有一個內(nèi)角小于60°B.每一個內(nèi)角都小于60°

C.有一個內(nèi)角大于60。D.每一個內(nèi)角都大于60°

知識技能

1.“a〈b”的反面應(yīng)是（）

A.aWbB.a>bC.a=bD.a=b或a>b

2.用反證法證明“若a，c,bj_c,則2〃曠時，應(yīng)假設(shè)（）

A.a不垂直于cB.a,b都不垂直于cC.a_l_b

D.a與b相交

3.用反證法證明命題”在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么

它們所對的角也不相等”時，應(yīng)假設(shè).

4.用反證法證明“若|a|<2,則a<4"時，應(yīng)假

設(shè).

5.請說出下列結(jié)論的反面：(1)d是正數(shù)；(2)a20;

(3)a<5.o

6.完成下列證明.

如右圖，在4ABC中，若NC是直角，那么NB一定是銳角.

證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則NB是或.

當NB是時，則，這與

當NB是時，則,這與_____________芳，

綜上所述，假設(shè)不成立.

...NB一定是銳角.匕----

8.若用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于

45°”時，應(yīng)假設(shè).

數(shù)學理解

1.求證：三角形內(nèi)角中至多有一個內(nèi)角是鈍角，4人

2.求證：一個三角形中不能有兩個直角.|C

拓展應(yīng)用\

己知：如圖，在aABC中，AB=AC,ZAPB#ZAPCo\

求證：PBWPC

第二講：切割線定理

請同學們在練習本上畫。0,在00外一點P引。0的切線PT,切點為T,

割線PBA,以點P、B、A、T為頂點作三角形，可以作幾個三角形呢？它們中

是否存在著相似三角形？如果存在，你得到了怎樣的比例線段？可轉(zhuǎn)化成怎

樣的積式？請同學們打開練習本，按要求作。0的切線PT和割線PBA,后研

究討論一下.

1.切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與

圓交點的兩條線段長的比例中項.

關(guān)系式：PT2=PA?PB

圖7-84

2.切割線定理推論：從圓外一點引圓的兩條割線.這一點到每條割線與

圓的交點的兩條線段長的積相等.

數(shù)量關(guān)系式：PA?PB=PC?PB.

圖7-85

切割線定理及其推論也是圓中的比例線段，在今后的學習中有著重要的

意義，務(wù)必使學生清楚，真正弄懂切割線定理的數(shù)量關(guān)系后，再把握定理敘

述中的“從”、“引”、“切線長”、“兩條線段長”等關(guān)鍵字樣，定理敘

述并不困難.

例1、如圖7-87,已知：Rt^ABC的兩條直角邊AC、BC的長分別為3cm、

4cm,以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D,求BD的長.

圖7-87

此題已知Rt^ABC中的邊AC、BC,則AB可知.容易證出BC切。。于C,

于是產(chǎn)生切割線定理，BD可求.

解：0C1BC1B砌。。于C'

BC經(jīng)過半徑0C的外端BDA是。0割線’

BC2=BD?BA

NACB=Rt/

AC=3，=AB=5>=BD=~^~

BC=4

BC=4

例2、如圖7-88,線段AB和。0交于C、D,AC=BD,AE、BF分別切。0

于E、F.

求證：AE=BF.

本題可直接運用切割線定理.

AE2=AC*AD

證：AE切。OTE'同理BF?=BD?BC-

ACD是。。割線jn>=>AE=BF.

AC=BD=>AD=BC

J

AC=BD

隨堂練習

選擇題：如圖7-86,?0的兩條弦AB、CD相交于點E,AC和DB的延長

線交于點P,下列結(jié)論成立的是()

圖7-86

A.PC-CA=PB?BD

B.CE?AE=BE?ED

C.CE?CD=BE-BA

D.PB?PD=PC?PA

答案：(D),直接運用和圓有關(guān)的比例線段進行選擇.

作業(yè)：

如圖7-89,已知:。。的割線PAB交。0于點A和B,PA=6cm,AB=8cm,

P0=10.9cm.

求。。的半徑.

第三講：一元二次方程根的的判別式

解一元二次方程or?+笈+。=o(a/0)時，可用配方法將它變形為：

2

/b、2b—4ac

4a2

(1)當匕2-4">()時，右端是正數(shù).因此，方程有兩個不相等的實數(shù)根:

-b±\Jb2-4ac

x=-------------------

2a

(2)當—4勿？=。時，右端是零.因此，方程有兩個相等的實數(shù)根:

b

為”一五

(3)當人2一4就<0時，右端是負數(shù).因此，方程沒有實數(shù)根.

由于可以用〃—4ac的取值情況來判定一元二次方程的根的情況.因此,

我們把b2-4ac叫做一元二次方程or?+法+c=0(aw0)的根的判別式，表示

為：△=尸-4ac

【例1】不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)：

(1)2x2-3x+l=0(2)4/+9=12y(3)

5(x2+3)—6x=0

解：(1)?.?△=(-3>-4x2xl=l>0,

...原方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)原方程可化為：4y2—12y+9=0

△=(-12)2-4*4x9=0,

原方程有兩個相等的實數(shù)根.

(3)原方程可化為：5f—6X+15=0

?/A=(-6)2-4x5xl5=-264<0,

/.原方程沒有實數(shù)根.

【例2】已知關(guān)于x的一元二次方程3f—2x+左=0,根據(jù)下列條件，分

別求出人的范圍：

(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)方程有兩個相等的

實數(shù)根

(3)方程有實數(shù)根；(4)方程無實數(shù)根.

解:八=(一2)2—4x3x4=4-12出

(1)4—12k>0nZ<g；(2)4—12Z=0nZ=；；

(3)4—12左20=左2,；(4)4—12攵

33

做一做

已知實數(shù)x、y滿足X?+寸-孫+2x-y+l=0,試求x、y的值.

隨堂練習

1.不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)：

X2-3X+1=O,9X2+6X+1=0,x2+8x+18=O

2.一元二次方程(1-％)/一2彳-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上的取

值范圍是()

A.k>2B.%<2,且女工1C.k<2

D.&>2,且％71

習題

1.如果方程S—c)%2+(c—a)x+(a—Z?)=0的兩根相等，則a,。,c之間的

關(guān)系是______

2.對于二次三項式x2—10x+36,小明得出如下結(jié)論：無論x取什么實

數(shù)，其值都不可能等于10.您是否同意他的看法？請您說明理由.

第四講：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（2）

議一議

(1)方程X2+2X+1=0的根為Xl=X2=,X1+X2=XI

X2=;

(2)方程X2-3X-1=0的根為Xl=,X2=,XI+X2=,XI

X2=；

(3)方程3X2+4X-7=0的根為xi=,X2=xi+X2=,xi

X2=.

由(1)(2)(3)你能得出什么猜想？你能證明你的猜想嗎？

定理：如果一元二次方程加+〃x+c=o(4工0)的兩個根為為,又2，那

么：

bc

一

Xj+%—a,X]/=a

【例1】若再是方程f+2x—2007=0的兩個根，試求下列各式的值：

7911

(1)%「+/；(2)—?----；(3)(%,—5)(X—5)；(4)

玉々2

\xt-x2\.

解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x,+x2=-2,xtx2=-2007

22

(1)龍；+x2=(x,+x2)-2X,X2=(-2)2-2(-2007)=4018

(2)1?1=1+*2=-2=2

%x2x,x2-20072007

(3)(x,一5)(巧一5)=%/—5(%+x2)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

(4)

22

|x,-x2|=7Ui-x2)=7(Xj+x2)-4X1X2=J(-2)2-4(-2007)=2,2008

【例2】已知關(guān)于x的方程優(yōu)+1口+：公+[=0,根據(jù)下列條件，分

別求出人的值.

(1)方程兩實根的積為5；(2)方程的兩實根玉,々滿足以1=X2.

解:(1)?方程兩實根的積為5

A=[-(A:+l)]2-4(-A:2+l)>0

<4=>k>—,k=+4

1,2,c2

X|X2=-k+1=5

所以，當女=4時，方程兩實根的積為5.

(2)由得知:

①當王20時，王=々，所以方程有兩相等實數(shù)根，故△=()=>%=；;

②當王<0時，-玉=X2=>玉+工2=0=>&+1=0=>k=一1，由于

△〉()=>%>—,故左=一1不合題意，舍去.

2

綜上可得，時，方程的兩實根X”/滿足1%1=々.

試一試

已知王,々是一元二次方程4依2-4依+Z+1=0的兩個實數(shù)根.

3

(1)是否存在實數(shù)%,使(2苞-％2)(%-2%2)=-；成立？若存在，求出女的

值；若不存在，請您說明理由.

(2)求使土+2-2的值為整數(shù)的實數(shù)%的整數(shù)值.

x2%

習題

1.若王是方程2f-6x+3=0的兩個根，則'的值為()

19

A.2B.-2C.-D.-

22

2.已知關(guān)于x的一元二次方程/+(4m+l)x+2m-1=0.

(1)若方程的兩根為王,馬，且滿足▲+」■=-：,求，"的值.

x}x22

3.已知關(guān)于x的方程f+3x-加=0的兩個實數(shù)根的平方和等于11.求

證：關(guān)于x的方程(左-3)*2+6/〃-4=0有實數(shù)根.

第五講：括號的使用、用字母表示數(shù)

有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎(chǔ).它要求同學們在理解有理數(shù)

的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進行運算.不

僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合

理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性.

一、括號的使用

在代數(shù)運算中，可以根據(jù)運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此

來改變運算的次序，使

復雜的問題變例1：計算《)47-(18.75-14)x2卷+0.46得較簡

單.LJ

(-2)3x(-l)1998-|-l^]—J

⑵-------——J

(一1)+(一】)xl：

54

分析：中學數(shù)學中，由于負數(shù)的引入，符號“+”與具有了雙重涵

義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質(zhì)符號.因

此進行有理數(shù)運算時，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則，尤其是要注意去

括號時符號的變化.

解：（1）原式447—118—1—x2—4-0.46

23

50

23

50

竺x型

4_(-8)+12X4

(2)原式=

4

25

注意：在本例中的乘除運算中，常常把小數(shù)變成分數(shù)，把帶分數(shù)變成假

分數(shù)，這樣便于計算.

例2：計算下式的值：211X555+445X789+555X789+211X445.

分析：直接計算很麻煩，根據(jù)運算規(guī)則，添加括號改變運算次序，可使

計算簡單.本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結(jié)合起來計算.

解：原式=(211X555+211X445)+(445X789+555X789)

=21IX(555+445)+(445+555)X789

=211X1000+1000X789

=1000X(211+789)

=1000000.

說明：加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用

技巧.

例3：在數(shù)1,2,3,…，1998前添符號“+”和并依次運算,所

得可能的最小非負數(shù)是多少？

分析與解：因為若干個整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，所以在

1,2,3,…，1998之前任意添加符號“+”或不會改變和的奇偶性.在

1,2,3,…，1998中有199892個奇數(shù)，即有999個奇數(shù)，所以任意添加符

號“+”或之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負數(shù)不小于1.

現(xiàn)考慮在自然數(shù)n,n+1,n+2,n+3之間添加符號“+”或顯然

n-(n+l)-(n+2)+(n+3)=0.

這啟發(fā)我們將1,2,3,…，1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組，再按上述規(guī)

則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…

+(]993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.

所以，所求最小非負數(shù)是1.

說明：本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大

大簡化.

二、用字母表示數(shù)：

我們先來計算(100+2)X(100-2)的值：

(100+2)X(100-2)

=100X100-2X100+2X100-4

=1002-22.

這是一個對具體數(shù)的運算，若用字母a代換100,用字母b代換2,上述

運算過程變?yōu)椋?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

于是我們得到了一個重要的計算公式：(a+b)(a-b)=aZb2,①

這個公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個公式計算時，不必重復公式的證

明過程，可直接利用該公式計算.

24690

例4：計算:

123462-12345x12347

分析與解：直接計算繁.仔細觀察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù)：

12345,12346,12347.可設(shè)字母n=12346,那么12345=n-l,12347=n+l,

于是分母變?yōu)閚2-(n-l)(n+l).應(yīng)用平方差公式化簡得：n2-(n2-l2)=n2-n2+l=h

即原式分母的值是1,所以原式=24690.

例5：計算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).

分析：式子中2,22,2、…每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方，若在(2+1)

前面有一個(2-1),就可以連續(xù)遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了.

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)X(2I6+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(2,6+1)X(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(20I)Q32+])

=(232-1)(232+1)

=264-1.

例6：計算：(1一()0一*■卜

分析：在前面的例題中，應(yīng)用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2.

這個公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b).本題就是一個例子.

通過以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計算帶來很大的益處.下

面再看一個例1題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化.

例7：計嗯+6+11+；+1

+?998

1999

+???+1998J

分析：四個括號中均包含一個共同部分3+,+…+―匚

231998

我們用一個字母表示它以簡化計算。

解：設(shè)A，+1+...+I

231998

1

則原式［A+康）(1+A)-1+AH-----A

1999；

+A?+J-+A2A

A+A+1999

19991999

1

1999

練習與作業(yè):

1.計算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；

(3)1991X1999-1990X2000；

(4)4726342+4726352-472633X472635-472634X472636；

(5)計算3001X2999的值.

(6)計算103X97X10009的值.

第六講：觀察算式找規(guī)律

近些年來，全國多數(shù)地市的中招考試都有找規(guī)律的題目，人們開始逐漸

重視這一類數(shù)學題，研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律題的解題思想，不但能夠提高學生的

考試成績，而且更有助于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。這類問題沒有明確的知識方法

可套，在現(xiàn)在的教科書上也很少觸及這類問題。這類題目主要考查學生的綜

合分析問題和解決問題的能力。

找規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量或符合某種形式的一

些式子，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律。揭示它的內(nèi)在規(guī)律，常

常包含著事物的序列號或關(guān)系式。所以，把變量和序列號放在一起或按相同

形式的式子加以比較，就比較容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。

一、觀察算式找規(guī)律：

例8：某班20名學生的數(shù)學期末考試成績?nèi)缦?，請計算他們的總分與平

均分.87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,

86,89,92,95,88.

分析與解若直接把20個數(shù)加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，

這些數(shù)均在90上下，所以可取90為基準數(shù)，大于90的數(shù)取“正”，小于90

的數(shù)取“負”，考察這20個數(shù)與90的差，這樣會大大簡化運算.

所以總分為：

90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)=1800-1=1799,

平均分為：90+(-1)4-20=89.95.

例9：計算1+3+5+7+…+1997+1999的值.

分析：觀察發(fā)現(xiàn)，首先算式中從第二項開始，后項減前項的差都等于2；

其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000,于是

可有如下解法.

解：用字母S表示所求算式，

即S=l+3+5+…+1997+1999.①

再將S各項倒過來寫為：

S=1999+1997+1995+…+3+1.②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+--+2000+2000(1000個2000)

=2000X1000.

從而有S=1000000.

說明：一般地，一列數(shù)，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本

題3-1=5-3=7-5=-=1999-1997,都等于2),那么，這列數(shù)的求和問題，都可

以用上例中的“倒寫相加”的方法解決.

例10：計算1+5+52+53+…+599+510°的值.

分析：觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍.如

果將和式各項都乘以5,所得新和式中除個別項外,其余與原和式中的項相同，

于是兩式相減將使差易于計算.

解：設(shè)S=l+5+5?+…+599+51°°,①

/.5S=5+52+53+?-?+5100+5101.②

②—①得：4S=5l01-l,

「510,-1

4

說明：如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都

等于5),那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決.

例11：」一+」一+」一+...+---------

1x22x33x41998x1999

分析一般情況下，分數(shù)計算是先通分.本題通分計算將很繁，所以我們

I11

不但不通分，反而利用如下一個關(guān)系式:

K(K+1)KK+1

來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法.

11111

解：由于

1x212'2x3233x434'

所以

11、11

原式++1_1

23)3419981999

=1———

1999

_1998

-1999

說明：本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的

項，這種方法在有理數(shù)巧算中很常用.

練習:

1.計算下列各式的值：

八、1111

(1)-----1------1-----F...H-------------

1x33x55x71997x1999

⑵1+4+7+…+244；

(3)l+-+-V+-r+--+1

332332(X)0

⑷mu+3

3122034256

2.某小組20名同學的數(shù)學測驗成績?nèi)缦?，試計算他們的平均?

81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,

76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.

第七講：歸納與發(fā)現(xiàn)

歸納的方法是認識事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)

學中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段.這里的歸納指的是常用的經(jīng)

驗歸納，也就是在求解數(shù)學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取

得一些局部的經(jīng)驗結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗的共同

特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法.下面舉幾個例題，

以見一般.

例1如圖，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；

第二層每邊有兩個點（相鄰兩邊公用一個點）；第三層每邊有三個點，…這個六

邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？

分析與解我們來觀察點陣中各層點數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點陣共有的點

數(shù).第一層有點數(shù)：1;

第二層有點數(shù)：1X6；

第三層有點數(shù)：2X6；第四層有點數(shù)：3X6；……

第n層有點數(shù)：(n-1)X6.

因此，這個點陣的第n層有點(n-1)X6個.n層共有點數(shù)為

l+lX6+2X6+3X6+-+(n-l)X6

=l+6[l+2+-+(n-l)]

[l+(n-l)]x(n-l)

=1+6x-----------------------

2

=1+3(n-l)n.

例2在平面上有過同一點P,并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓

都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：

圖2-100

⑴這n個圓把平面劃分成多少個平面區(qū)域?

⑵這n個圓共有多少個交點？

分析與解(1)在圖2-100中，設(shè)以P點為公共點的圓有1,2,3,4,

5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個？為

此，我們列出表18.1.

表18.1

圓的個數(shù)n12345.??n

平面區(qū)域數(shù)SR2471116????

由表18.1易知S2-SI=2,S3-S2=3,S4-S3=4,SS-S4=5,

……由此，不難推測

Sn-Sn-1=n.

把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-Si=2+3+4+…+r),

因為Si=2,所以

$如=2+2+3+…+n=1+(1+2+3H---bn)

?n(n+1)n2+n+2

=H------=--------.

22

這就證明了當n個圓過P點時，可把平面劃分為二戶個平面區(qū)域.

下面對Sn-Sn-1=n,即Sn=Sn-l+n的正確性略作說明.

因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當再加上一個圓，即當n個

圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1

個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-l+n.

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決.為此，可列

出表18.2.

表18.2

圓的個數(shù)k12345???n

圓的交點數(shù)ak124711%=?

由表18.2容易發(fā)現(xiàn)

ai=1,32~ai=1,B.3~Sl2=2f34-33=3,35~34=4,

3n-1-3n-2-0-2?3n-3n-1=H-1.

n個式子相加

%=1+[1+2+3+…+(n-1)]

(n-l)n_n2-n+2

=1+^—

所以，當有滿足條件的n個圓過P點時，這n個圓共有、一；二2個交點

注意請讀者說明an=ae+(n-1)的正確性.

例3設(shè)a,b,c表示三角形三邊的長，它們都是自然數(shù)，其中aWbWc,

如果b=n(n是自然數(shù))，試問這樣的三角形有多少個？

分析與解我們先來研究一些特殊情況：

⑴設(shè)b=n=1,這時b=1,因為aWbWc,所以a=1,c可取1,2,3,….若

c=1,則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若CN2,由于a+b=2,那么a

+b不大于第三邊c,這時不可能由a,b,c構(gòu)成三角形，可見，當b=n=1

時，滿足條件的三角形只有一個.

(2)設(shè)b=n=2,類似地可以列舉各種情況如表18.3.

表18.3

aC三角形個數(shù)

22,32

121

這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3.

(3)設(shè)b=n=3,類似地可得表18.4.

表18.4

aC三角形個數(shù)

33,4,53

23.42

131

這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2+3=6.通過上面這些特例不難

發(fā)現(xiàn)，當b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：

,ccn(n+1)

1+2+3+…+n=—.

2

這個猜想是正確的.因為當b=n時，a可取n個值(1,2,3,…，

n),對應(yīng)于a的每個值，不妨設(shè)a=k(1WkWn).由于bWcVa+b,即nWc

<n+k,所以c可能取的值恰好有k個(n,n+1,n+2,-,n+k-1).所以，

當b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：

,c,cn(n+1)

1+2+3+―+n=1

2

例4設(shè)1X2X3義…Xn縮寫為n!(稱作n的階乘)，試化簡：1!X1

+2!X2+3!X3+…+n!Xn.

分析與解先觀察特殊情況：

⑴當n=1時，原式=1=(1+1)!-1；

(2)當n=2時，原式=5=(2+1)!-1；

(3)當n=3時,原式=23=(3+1)!-1；

(4)當n=4時,原式=119=(4+1)!1

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)!-1.

下面我們證明這個猜想的正確性.

1+原式=1+(1!X1+2!X2+3!義3+…+n!Xn)

=1!X2+2!X2+3!X3+-+n!Xn

=2!+2!X2+3!X3+…+n!Xn

=2!X3+3!X3+…+n!Xn

=3!+3!X3+—+n!Xn=-

=n!+n!Xn=(n+1)!,

所以原式=(n+1)!-1.

例5設(shè)x>0,試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大小.分析與解本題

直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做

試驗比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路.為此，設(shè)x=0,顯然有

x3<x2+x+2.①

設(shè)x=10,則有x3=1000,x2+x+2=112,所以

x3>x2+x+2.②

設(shè)x=100,則有x3>x2+x+2.

觀察、比較①，②兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當x值較小時，

x3<x2+x+2；當x值較大時，x3>x2+x+2.

那么自然會想到：當x=?時，x3=x2+X+2呢？如果這個方程得解，

則它很可能就是本題得解的“臨界點”.為此，設(shè)x3=x2+x+2,則

x3-x2-x-2=0,

(x3-x2-2x)+(x-2)=0,

(x-2)(x2+x+1)=0.

因為x>0,所以x2+x+1>0,所以x-2=0,所以x=2.這樣

(1)當x=2時，x3=x2+x+2；

(2)當0<x<2時，因為

X-2V0,x2+x+2>0,

所以(x-2)(x2+x+2)<0,

即

x3-(x2+x+2)<0,

所以x3<x2+x+2.

(3)當x>2時，因為

x-2>0,x2+x+2>0,

所以(x-2)(x2+x+2)>0,

即

x3-(x2+x+2)>0,

所以x3>x2+x+2.

綜合歸納(1),(2),(3),就得到本題的解答.

練習

1.試證明例7中：

pn2+1

￡=8+1)2

2.平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相

交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點.試求：

(1)這n條直線共有多少個交點？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？

3.求適合x5=656356768的整數(shù)x.

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505<656356768

<605,所以502VXV602.)

第八講：生活中的數(shù)學（儲蓄、保險與納稅）

儲蓄、保險、納稅是最常見的有關(guān)理財方面的數(shù)學問題，幾乎人人都會

遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關(guān)這方面的知識，以增強理財?shù)淖晕?/p>

保護意識和處理簡單財務(wù)問題的數(shù)學能力.

1.儲蓄

銀行對存款人付給利息，這叫儲蓄.存入的錢叫本金.一定存期（年、月

或日）內(nèi)的利息對本金的比叫利率.本金加上利息叫本利和.利息=本金X利

率X存期，本利和=本金X（1+利率經(jīng)X存期）.

如果用p,r,n,i,s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么

有i=prn,s=p（1+rn）.

例1設(shè)年利率為0.0171,某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少

元？本利和為多少元？

解1=2000X0.0171X3=102.6（76）.

s=2000X（1+0.0171X3）=2102.6（元）.

答某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元.

以上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少年，利息

都不加入本金.相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息加入

本金，這就是復利法，即利息再生利息.目前我國銀行存款多數(shù)實行的是單

利法.不過規(guī)定存款的年限越長利率也越高.例如，1998年3月我國銀行公

布的定期儲蓄人民幣的年利率如表22.1所

表22.1

存期1年2年3年5年

年利率(％)5.225.586.216.66

小?

用復利法計算本利和，如果設(shè)本金是p元，年利率是r,存期是n年，那

么若第1年到第n年的本利和分別是S1,S2,…，Sn,則

si=p(1+r),

S2=si(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2,

S3=S2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3,

......,Sn=p(1+r)n.

例2小李有20000元，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方案，哪種

方案獲利最多？

解按表22.1的利率計算.

(1)連續(xù)存五個1年期，則5年期滿的本利和為

20000(1+0.0522)5心25794(元).

(2)先存一個2年期，再連續(xù)存三個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558X2)?(1+0.0522)3心25898(元).

(3)先連續(xù)存二個2年期，再存一個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558X2)2?(1+0.0552產(chǎn)26003(元).

(4)先存一個3年期，再轉(zhuǎn)存一個2年期，則5年后的本利和為

20000(1+0.0621X3)?(1+0.0558X2)=26374(元).

(5)先存一個3年期，然后再連續(xù)存二個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0621X3)?(1+0.0522)2^26268(元).

(6)存一個5年期，則到期后本利和為

20000(1+0.0666X5)=26660(元).

顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規(guī)定的年利率已經(jīng)充分考慮

了你可能選擇的存款方案，利率是合理的.

2.保險

保險是現(xiàn)代社會必不可少的一種生活、生命和財產(chǎn)保護的金融事

業(yè).例如，火災(zāi)保險就是由于火災(zāi)所引起損失的保險，人壽保險是由于人身

意外傷害或養(yǎng)老的保險，等等.下面舉兩個簡單的實例.

例3假設(shè)一個小城鎮(zhèn)過去10年中，發(fā)生火災(zāi)情況如表22.2所示.

表22.2

總家數(shù)365371385395412418430435440445

被燒家數(shù)1012021202

試問：（1）設(shè)想平均每年在1000家中燒掉幾家？

（2）如果保戶投保30萬元的火災(zāi)保險，最低限度要交多少保險費保

險公司才不虧本？

解⑴因為1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11（家），

365+371+385+395+412+418+430+435+440+

445=4096（家）.114-4096^0.0026.

（2）300000X0.0026=780（元）

答⑴每年在1000家中，大約燒掉2.6家.

（2）投保30萬元的保險費，至少需交780元的保險費.

例4財產(chǎn)保險是常見的保險.假定A種財產(chǎn)保險是每投保1000元財產(chǎn),

要交3元保險費，保險期為1年，期滿后不退保險費，續(xù)保需重新交費.B

種財產(chǎn)保險是按儲蓄方式，每1000元財產(chǎn)保險交儲蓄金25元，保險一年.期

滿后不論是否得到賠款均全額退還儲蓄金，以利息作為保險費.今有兄弟二

人，哥哥投保8萬元A種保險一年，弟弟投保8萬元B種保險一年.試問兄

弟二人誰投的保險更合算些？（假定定期存款1年期利率為5.22%）

解哥哥投保8萬元A種財產(chǎn)保險，需交保險費

80000+1000X3=80X3=240(元).

弟弟投保8萬元B種財產(chǎn)保險,按每1000元交25元保險儲蓄金算,

共交800004-1000X25=2000(元)，

而2000元一年的利息為2000X0.0522=104.4(元).

兄弟二人相比較，弟弟少花了保險費約

240-104.4=135.60(元).因此，弟弟投的保險更合算些.

3.納稅

納稅是每個公民的義務(wù)，對于每個工作人員來說，除了工資部分按國家

規(guī)定納稅外，個人勞務(wù)增收也應(yīng)納稅.現(xiàn)行勞務(wù)報酬納稅辦法有三種：

(1)每次取得勞務(wù)報酬不超過1000元的(包括1000元)，預(yù)扣率為3%,

全額計稅.

(2)每次取得勞務(wù)報酬1000元以上、4000元以下，減除費用800元后的

余額，依照20%的比例稅率，計算應(yīng)納稅額.

(3)每次取得勞務(wù)報酬4000元以上的，減除20%的費用后，依照20%的

比例稅率，計算應(yīng)納稅額.

每次取得勞務(wù)報酬超過20000元的(暫略).

由(1),(2),(3)的規(guī)定，我們?nèi)绻O(shè)個人每次勞務(wù)報酬為x元，y為

相應(yīng)的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關(guān)于勞務(wù)報酬納稅的分段函數(shù)：

[?3%,x<1000；

<y(x)=(x-800)?20%,1000<x<4000；①

x(1-20%)?20%,4000<x<20000.

例5小王和小張兩人一次共取得勞務(wù)報酬10000元，已知小王的報酬是

小張的2倍多，兩人共繳納個人所得稅1560元，問小王和小張各得勞務(wù)報酬

多少元？

解根據(jù)勞務(wù)報酬所得稅計算方法(見函數(shù)①)，從已知條件分析可知

小王的收入超過4000元，而小張的收入在1000?4000之間，如果設(shè)小王的

收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：

x+y=10000,①

'x(1-20%)20%+(y-800)20%=1560.②

由①得y=10000-x,將之代入②得

x(1-20%)20%+(10000-x-800)