第七節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2，10，eq\f(1,2)的對數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù).1.對數(shù)的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1).(2)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0).(3)對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).3.對數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)定義函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時，y＝0，即過定點(1，0)當(dāng)0＜x＜1時，y＜0；當(dāng)x＞1時，y＞0當(dāng)0＜x＜1時，y＞0；當(dāng)x＞1時，y＜0在(0，＋∞)上為增函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0.2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對數(shù)函數(shù).()(2)log2x2＝2log2x.()(3)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x)的定義域相同.()(4)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，(eq\f(1,a),-1)，函數(shù)圖象不在第二、三象限.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改編1.(log29)·(log34)＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.2D.4答案為：D.解析：(log29)·(log34)＝eq\f(lg9,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝4.故選D.]2.已知a＝2eq\s\up5(－\f(1,3))，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，則()A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.c＞b＞a D.c＞a＞b答案為：D.解析：因為0＜a＜1，b＜0，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23＞1.所以c＞a＞b.故選D.]3.函數(shù)y＝eq\r(logeq\s\up-5(\f(2,3))（2x－1）)的定義域是________.(eq\f(1,2)，1][由logeq\s\up-5(\f(2,3))(2x﹣1)≥0，得0＜2x﹣1≤1.∴eq\f(1,2)＜x≤1.∴函數(shù)y＝eq\r(logeq\s\up-5(\f(2,3))（2x－1）)的定義域是(eq\f(1,2)，1].]4.函數(shù)y＝loga(4﹣x)＋1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點________.(3，1)[當(dāng)4﹣x＝1即x＝3時，y＝loga1＋1＝1.所以函數(shù)的圖象恒過點(3，1).]考點1對數(shù)式的化簡與求值對數(shù)運算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并.(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算.1.設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于()A.eq\r(10)B.10C.20D.100答案為：A.解析：由已知，得a＝log2m，b＝log5m，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝eq\r(10).]2.計算：(lgeq\f(1,4)﹣lg25)÷100eq\s\up5(－\f(1,2))＝________.﹣20[原式＝(lg2﹣2﹣lg52)×100eq\s\up5(\f(1,2))＝lg(eq\f(1,22×52))×10＝lg10﹣2×10＝﹣2×10＝﹣20.]3.計算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.1[原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.]4.已知log23＝a，3b＝7，則log3eq\r(7)2eq\r(21)的值為________.eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)[由題意3b＝7，所以log37＝b.所以log3eq\r(7)2eq\r(21)＝logeq\r(63)eq\r(84)＝eq\f(log284,log263)＝eq\f(log2（22×3×7）,log2（32×7）)＝eq\f(2＋log23＋log23·log37,2log23＋log23·log37)＝eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab).]對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的，因此經(jīng)常會用到換底公式及其推論.在對含有字母的對數(shù)式進行化簡時，必須保證恒等變形.考點2對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.(1)(浙江高考)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x＋eq\f(1,2))(a＞0，且a≠1)的圖象可能是()ABCD(2)當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)時，4x＜logax，則a的取值范圍是()A.(0，eq\f(\r(2),2)) B.(eq\f(\r(2),2)，1)C.(1，eq\r(2)) D.(eq\r(2)，2)(1)D(2)答案為：B.解析：(1)對于函數(shù)y＝loga(x＋eq\f(1,2))，當(dāng)y＝0時，有x＋eq\f(1,2)＝1，得x＝eq\f(1,2)，即y＝loga(x＋eq\f(1,2))的圖象恒過定點(eq\f(1,2)，0)，排除選項A、C；函數(shù)y＝eq\f(1,ax)與y＝loga(x＋eq\f(1,2))在各自定義域上單調(diào)性相反，排除選項B，故選D.(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當(dāng)a＞1時不滿足條件，當(dāng)0＜a＜1時，畫出兩個函數(shù)在(0，eq\f(1,2)]上的圖象，可知f(eq\f(1,2))＜g(eq\f(1,2))，即2＜logaeq\f(1,2)，則a＞eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范圍為(eq\f(\r(2),2)，1).][母題探究]1.(變條件)若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2﹣logax＜0對x∈(0，eq\f(1,2))恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.[解]由x2﹣logax＜0得x2＜logax，設(shè)f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈(0，eq\f(1,2))時，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在(0，eq\f(1,2))上的圖象在f2(x)＝logax圖象的下方即可.當(dāng)a＞1時，顯然不成立；當(dāng)0＜a＜1時，如圖所示.要使x2＜logax在x∈(0，eq\f(1,2))上恒成立，需f1(eq\f(1,2))≤f2(eq\f(1,2))，所以有(eq\f(1,2))2≤logaeq\f(1,2)，解得a≥eq\f(1,16)，所以eq\f(1,16)≤a＜1.即實數(shù)a的取值范圍是[eq\f(1,16)，1).2.(變條件)若本例(2)變?yōu)椋寒?dāng)0＜x≤eq\f(1,4)時，eq\r(x)＜logax，求實數(shù)a的取值范圍.[解]若eq\r(x)＜logax在x∈(0，eq\f(1,4)]成立，則0＜a＜1，且y＝eq\r(x)的圖象在y＝logax圖象的下方，如圖所示，由圖象知eq\r(\f(1,4))＜logaeq\f(1,4)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,aeq\s\up5(\f(1,2))＞\f(1,4)，))解得eq\f(1,16)＜a＜1.即實數(shù)a的取值范圍是(eq\f(1,16)，1).1.函數(shù)y＝ln(2﹣|x|)的大致圖象為()ABCD答案為：A.解析：令f(x)＝ln(2﹣|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域為{x|﹣2＜x＜2}，且f(﹣x)＝ln(2﹣|﹣x|)＝ln(2﹣|x|)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選項C，D.當(dāng)x＝eq\f(3,2)時，f(eq\f(3,2))＝lneq\f(1,2)＜0，排除選項B，故選A.]2.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A.a＞1，c＞1 B.a＞1，0＜c＜1C.0＜a＜1，c＞1 D.0＜a＜1，0＜c＜1答案為：D.解析：由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換知0＜a＜1，0＜c＜1.]3.設(shè)方程10x＝|lg(﹣x)|的兩個根分別為x1，x2，則()A.x1x2＜0 B.x1x2＝0C.x1x2＞1 D.0＜x1x2＜1答案為：D.解析：作出y＝10x與y＝|lg(﹣x)|的大致圖象，如圖.顯然x1＜0，x2＜0.不妨令x1＜x2，則x1＜﹣1＜x2＜0，所以10x1＝lg(﹣x1)，10x2＝﹣lg(﹣x2)，此時10x1＜10x2，即lg(﹣x1)＜﹣lg(﹣x2)，由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故選D.]考點3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)問題的3個關(guān)注點(1)定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論.(2)底數(shù)與1的大小關(guān)系.(3)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.比較大小(1)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a＜c＜b B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b(2)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.c＞b＞a D.c＞a＞b(1)A(2)答案為：D.解析：(1)因為a＝log52＜log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝(eq\f(1,2))0.2＞eq\f(1,2)，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故選A.(2)因為a＝log2e＞1，b＝ln2∈(0，1)，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故選D.]對數(shù)值大小比較的主要方法(1)化同底數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性.(2)化同真數(shù)后利用圖象比較.(3)借用中間量(0或1等)進行估值比較.解簡單對數(shù)不等式(1)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是________.(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則a的取值范圍是________.(1)(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞)(2)(eq\f(1,2)，1)[(1)當(dāng)0＜a＜1時，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)；當(dāng)a＞1時，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1.∴實數(shù)a的取值范圍是(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞).(2)由題意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，同時2a＞1，所以a＞eq\f(1,2).綜上，a∈(eq\f(1,2)，1).]對于形如logaf(x)＞b的不等式，一般轉(zhuǎn)化為logaf(x)＞logaab，再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而對于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來解.和對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟已知函數(shù)f(x)＝loga(3﹣ax).(1)當(dāng)x∈[0，2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.[解](1)因為a＞0且a≠1，設(shè)t(x)＝3﹣ax，則t(x)＝3﹣ax為減函數(shù)，x∈[0，2]時，t(x)的最小值為3﹣2a，當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)恒有意義，即x∈[0，2]時，3﹣ax＞0恒成立.所以3﹣2a＞0.所以a＜eq\f(3,2).又a＞0且a≠1，所以a∈(0，1)∪(1，eq\f(3,2)).(2)t(x)＝3﹣ax，因為a＞0，所以函數(shù)t(x)為減函數(shù).因為f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，所以y＝logat為增函數(shù)，所以a＞1，當(dāng)x∈[1，2]時，t(x)最小值為3﹣2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3﹣a)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a＞0，,loga（3－a）＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域、最值和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用.1.已知函數(shù)f(x)＝log0.5(x2﹣ax＋3a)在[2，＋∞)單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A.(﹣∞，4] B.[4，＋∞)C.[﹣4，4] D.(﹣4，4]答案為：D.解析：令g(x)＝x2﹣ax＋3a，因為f(x)＝log0.5(x2﹣ax＋3a)在[2，＋∞)單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且恒大于0，所以eq\f(1,2)a≤2且g(2)＞0，所以a≤4且4＋a＞0，所以﹣4＜a≤4.故選D.]2.函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________.2或eq\f(1,2)[分兩種情況討論：①當(dāng)a＞1時，有l(wèi)oga4﹣loga2＝1，解得a＝2；②當(dāng)0＜a＜1時，有l(wèi)oga2﹣loga4＝1，解得a＝eq\f(1,2).所以a＝2或eq\f(1,2).]3.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,logeq\s\up-5(\f(1,2))（－x），x＜0.))若f(a)＞f(﹣a)，則實數(shù)a的取值范圍是________.(﹣1，0)∪(1，＋∞)[由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞－log2a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,logeq\s\up-5(\f(1,2))（－a）＞log2（－a），))解得a＞1或﹣1＜a＜0.]對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、選擇題1.函數(shù)y＝eq\r(log3（2x－1）＋1)的定義域是()A.[1，2] B.[1，2)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.(eq\f(2,3)，＋∞)答案為：C.解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3（2x－1）＋1≥0，,2x－1＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3（2x－1）≥log3\f(1,3)，,x＞\f(1,2)，))解得x≥eq\f(2,3).]2.若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝()A.log2x B.eq\f(1,2x)C.logeq\f(1,2)x D.2x﹣2答案為：A.解析：由題意知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1).∵f(2)＝1，∴l(xiāng)oga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.]3.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則()A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.c＜a＜b D.b＜c＜a答案為：B.解析：∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0.20.3∈(0，1)，∴a<c<b.故選B.]4.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2﹣m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2).已知太陽的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.10﹣10.1答案為：A.解析：由題意知，m1＝﹣26.7，m2＝﹣1.45，所以eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)＝﹣1.45﹣(﹣26.7)＝25.25，所以lgeq\f(E1,E2)＝25.25×eq\f(2,5)＝10.1，所以eq\f(E1,E2)＝1010.1.故選A.]5.設(shè)函數(shù)f(x)＝loga|x|(a＞0，且a≠1)在(﹣∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是()A.f(a＋1)＞f(2) B.f(a＋1)＜f(2)C.f(a＋1)＝f(2) D.不能確定答案為：A.解析：由已知得0＜a＜1，所以1＜a＋1＜2，又易知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故可以判斷f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(a＋1)＞f(2).]二、填空題6.計算：lg0.001＋lneq\r(e)＋2eq\s\up8(－1＋log23)＝________.﹣1[原式＝lg10﹣3＋lneeq\s\up8(\f(1,2))＋2log2eq\s\up10(\f(3,2))＝﹣3＋eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＝﹣1.]7.函數(shù)f(x)＝loga(x2﹣4x﹣5)(a＞1)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.(5，＋∞)[由函數(shù)f(x)＝loga(x2﹣4x﹣5)，得x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5.令m(x)＝x2﹣4x﹣5，則m(x)＝(x﹣2)2﹣9，m(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，又由a＞1及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5，＋∞).]8.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________.[0，＋∞)[當(dāng)x≤1時，由21﹣x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；當(dāng)x＞1時，由1﹣log2x≤2，解得x≥eq\f(1,2)，所以x＞1.綜上可知x≥0.]三、解答題9.設(shè)f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3﹣x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間[0，eq\f(3,2)]上的最大值.[解](1)∵f(1)＝2，∴l(xiāng)oga4＝2(a＞0，且a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x＞0，,3－x＞0，))得﹣1＜x＜3，∴函數(shù)f(x)的定義域為(﹣1，3).(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3﹣x)＝log2[(1＋x)(3﹣x)]＝log2[﹣(x﹣1)2＋4]，∴當(dāng)x∈(﹣1，1]時，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1，3)時，f(x)是減函數(shù)，故函數(shù)f(x)在[0，eq\f(3,2)]上的最大值是f(1)＝log24＝2.10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)x＞0時，f(x)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2﹣1)＞﹣2.[解](1)當(dāng)x＜0時，﹣x＞0，則f(﹣x)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))(﹣x).因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(﹣x)＝f(x).所以x＜0時，f(x)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))(﹣x)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(logeq\s\up-2(\f(1,2))x，x＞0，,0，x＝0，,logeq\s\up-2(\f(1,2))（－x），x＜0.))(2)因為f(4)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))4＝﹣2，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x2﹣1)＞﹣2可化為f(|x2﹣1|)＞f(4).又因為函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以0＜|x2﹣1|＜4，解得﹣eq\r(5)＜x＜eq\r(5)且x≠±1，而x2﹣1＝0時，f(0)＝0＞﹣2，所以﹣eq\r(5)＜x＜eq\r(5).1.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，則()A.(a﹣1)(b﹣1)＜0 B.(a﹣1)(a﹣b)＞0C.(b﹣1)(b﹣a)＜0 D.(b﹣1)(b﹣a)＞0答案為：D.解析：由a，b＞0且a≠1，b≠1，及l(fā)ogab＞1＝logaa可得，當(dāng)a＞1時，b＞a＞1，當(dāng)0＜a＜1時，0＜b＜a＜1，代入驗證只有D項滿足題意.]2.已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10﹣x)，則()A.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)D.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)答案為：D.解析：函數(shù)f(x)的定義域為(﹣10，10)，又∵f(﹣x)＝lg(10﹣x)＋lg(10＋x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).又f(x)＝lg(100﹣x2)，令t＝100﹣x2，易知t在(0，10)上是減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)可知，故f(x)在(0，10)上是減函數(shù)，故選D.]3.關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0，x∈R)有下列命題：①函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；②在區(qū)間(﹣∞，0)上，函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最小值為lg2；④在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)是增函數(shù).其中是真命題的序號為________.①③④[∵函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0，x∈R)，顯然f(﹣x)＝f(x)，即函