單元滾動(dòng)專題卷（六）一、選擇題(每題4分，共40分)1．下列結(jié)論正確的是 (B)A．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧B．半圓是弧C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等D．弧是半圓【解析】A．根據(jù)圓的某些概念的相關(guān)定義，能夠完全重合的弧是等弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓，故本選項(xiàng)正確；C.根據(jù)在同圓或等圓內(nèi)，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．2．[2015·寶雞模擬]如圖1，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，連結(jié)AD，BC，BD，下列結(jié)論中不一定正確的是 (C)圖1A．AE＝BE B．AD＝BDC．OE＝DE D．∠DBC＝90°3．[2015·溫州模擬]在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的度數(shù)之比可能是 (B)A．1∶2∶3∶4 B．4∶2∶1∶3C．4∶2∶3∶1 D．1∶3∶2∶44．[2014·邵陽(yáng)]如圖2，△ABC的邊AC與⊙O相交于C，D兩點(diǎn)，且經(jīng)過圓心O，邊AB與⊙O相切，切點(diǎn)為B.已知∠A＝30°，則∠C的大小是 (A)A．30° B．45° C．60° D．40°圖2第4題答圖【解析】連結(jié)OB，如答圖，∵AB與⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∵∠AOB＝2∠C，∴∠C＝eq\f(1,2)∠AOB＝30°.5．如圖3是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm，水的最大深度為2cm，則該輸水管的半徑為 (C)A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm圖3第5題答圖【解析】如答圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連結(jié)OA.∵OD⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．設(shè)OA＝r，則OD＝r－2，在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝(r－2)2＋42，解得r＝5cm.故選C.6．[2014·襄陽(yáng)]用一個(gè)圓心角為120°，半徑為3的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為 (B)A.eq\f(1,2) B．1 C.eq\f(3,2) D．2【解析】設(shè)圓錐底面的半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝eq\f(120π×3,180)，解得r＝1.7．如圖4，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙O于A，B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，若PA＝15，則△PCD的周長(zhǎng)為 (D)A．15 B．12 C．20 D．30【解析】∵P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙O于A，B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，∴AC＝EC，BD＝DE，AP＝BP，∵PA＝15，∴△PCD的周長(zhǎng)為PA＋PB＝30.圖4圖58．如圖5，AC是汽車擋風(fēng)玻璃前的刮雨刷．如果AO＝65cm，CO＝15cm，當(dāng)刮雨刷AC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，刮雨刷AC掃過的面積為 (B)A．25πcm2 B．1000πcm2C．25cm2 D．1000cm2【解析】∵OA＝OA′，OC＝OC′，AC＝A′C′，∴△AOC≌△A′OC′.故刮雨刷AC掃過的面積＝扇形AOA′的面積－扇形COC′的面積＝eq\f(90π,360)(652－152)＝1000πcm2.9.如圖6，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為eq\o(AN,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為 (B)A．2eq\r(2) B.eq\r(2) C．1 D．2圖6圖710．[2014·金華]一張圓心角為45°的扇形紙板和圓形紙板按如圖7方式分別剪得一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)都為1，則扇形和圓形紙板的面積比是 (A)A．5∶4 B．5∶2C.eq\r(5)∶2 D.eq\r(5)∶eq\r(2)【解析】如答圖①，連結(jié)OD，第10題答圖∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB＝∠ABO＝90°，AB＝BC＝CD＝1，∵∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝1，由勾股定理得OD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴扇形的面積為eq\f(45π·（\r(5)）2,360)＝eq\f(5,8)π；∵正方形ABCD是⊙M的內(nèi)接正方形，如答圖②，連結(jié)MB，MC，∴∠BMC＝90°，MB＝MC，∴∠MCB＝∠MBC＝45°，∵BC＝1，∴MC＝MB＝eq\f(\r(2),2)，∴⊙M的面積是π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)π，∴eq\f(5,8)π÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π))＝eq\f(5,4).二、填空題(每題5分，共30分)11．[2014·揚(yáng)州]如圖8，以△ABC的邊BC為直徑的⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，連結(jié)OD，OE，若∠A＝65°，則∠DOE＝__50__°.圖8圖912．如圖9，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，切線CD與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.若∠A＝30°，CD＝2eq\r(3)，則⊙O的半徑長(zhǎng)為__2__．【解析】由圓周角定理得，∠COD＝2∠A＝60°.CD是切線，則∠OCD＝90°，∴OC＝2.13．[2015·黃石模擬]如圖10，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)D，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn).若AC＝6，AB＝10，則⊙O的半徑為__eq\f(15,4)__．圖10第13題答圖【解析】連結(jié)OD.設(shè)⊙O的半徑為r.∵BC切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥BC.∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.∴eq\f(OD,AC)＝eq\f(OB,AB)，即10r＝6(10－r)．解得r＝eq\f(15,4).圖1114．[2014·南京]如圖11，沿一條母線將圓錐側(cè)面展開并展平，得到一個(gè)扇形．若圓錐的底面圓的半徑r＝2cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長(zhǎng)l為__6__cm.圖11【解析】圓錐的底面周長(zhǎng)＝2π×2＝4πcm，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則eq\f(120π×l,180)＝4π，解得l＝6cm.圖1215．在△ABC中，∠C為銳角，分別以AB，AC為直徑作半圓，過點(diǎn)B，A，C作弧eq\o(BAC,\s\up8(︵))，如圖12所示，若AB＝4，AC＝2，S1－S2＝eq\f(π,4)，則S3－S4的值是__eq\f(5,4)π__.圖12【解析】∵AB＝4，AC＝2，∴S1＋S3＝2π，S2＋S4＝eq\f(π,2)，∵S1－S2＝eq\f(π,4)，∴(S1＋S3)－(S2＋S4)＝(S1－S2)＋(S3－S4)＝eq\f(3,2)π，∴S3－S4＝eq\f(5,4)π.16.[2014·溫州]如圖13，在矩形ABCD中，AD＝8，E是邊AB上一點(diǎn)，且AE＝eq\f(1,4)AB.⊙O經(jīng)過點(diǎn)E，與邊CD所在的直線相切于點(diǎn)G(∠GEB為銳角)，與邊AB所在直線相交于另一點(diǎn)F，且EG∶EF＝eq\r(5)∶2.當(dāng)邊AD或BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，AB的長(zhǎng)是__12或4__．圖13第16題答圖【解析】邊AB所在的直線不會(huì)與⊙O相切；邊BC所在的直線與⊙O相切時(shí)，如答圖，過點(diǎn)G作GN⊥AB，垂足為N，連結(jié)OE，∴EN＝NF，又∵EG∶EF＝eq\r(5)∶2，∴EG∶EN＝eq\r(5)∶1，又∵GN＝AD＝8，∴設(shè)EN＝x，則GE＝eq\r(5)x，根據(jù)勾股定理，得(eq\r(5)x)2－x2＝64，解得x＝4，GE＝4eq\r(5)，設(shè)⊙O的半徑為r，由OE2＝EN2＋ON2，得r2＝16＋(8－r)2，∴r＝5.∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又AE＝eq\f(1,4)AB，∴AB＝12.同理，當(dāng)邊AD所在直線與⊙O相切時(shí)，AB＝4.三、解答題(共80分)圖1417．(8分)如圖14，⊙O的直徑AB長(zhǎng)為6，弦AC長(zhǎng)為2，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求四邊形ADBC的面積．圖14解：∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝4eq\r(2).∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，∴∠DCA＝∠BCD，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DB,\s\up8(︵))，∴AD＝BD.∵在Rt△ABD中，AB＝6，∴AD＝BD＝3eq\r(2)，∴四邊形ADBC的面積＝S△ABC＋S△ABD＝eq\f(1,2)AC·BC＋eq\f(1,2)AD·BD＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＋eq\f(1,2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)＝9＋4eq\r(2).故四邊形ADBC的面積是9＋4eq\r(2).圖1518．(8分)[2014·婁底]如圖15，在⊙O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點(diǎn)，連結(jié)AD，BC，BD.圖15(1)求證：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度數(shù)．解：(1)證明：∵AB，CD是直徑，∴∠CBD＝∠ADB＝90°，AB＝CD，又∵∠A＝∠C，∴△ABD≌△CDB；(2)∵BE是切線，∴∠ABE＝90°，∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB＝53°，∴∠ADC＝90°－53°＝37°.19．(8分)如圖16，已知⊙O的半徑為1，DE是⊙O的直徑，過D作⊙O的切線，C是AD的中點(diǎn)，AE交⊙O于B點(diǎn)，四邊形BCOE是平行四邊形．(1)求AD的長(zhǎng)；(2)BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由．圖16第19題答圖解：(1)如答圖，連結(jié)BD，則∠DBE＝90°.∵四邊形BCOE是平行四邊形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，C為AD的中點(diǎn)，∴BC＝eq\f(1,2)AD＝1.∴AD＝2；(2)連結(jié)OB，由(1)得BC∥OD，且BC＝OD，∴四邊形BCDO是平行四邊形．∵AD是⊙O的切線，∴OD⊥AD.∴四邊形BCDO是矩形．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線．20．(8分)[2014·威海]如圖17，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F，⊙O是△BEF的外接圓．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，求證：CD＝HF.圖17第20題答圖解：(1)證明：如答圖，連結(jié)OE.∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C＝90°，∴OE⊥AC.∴AC是⊙O的切線；(2)如答圖，連結(jié)DE.∵∠OBE＝∠CBE，∴eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(EF,\s\up8(︵))，∴DE＝EF，∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EH⊥AB，∴EC＝EH，又∵∠C＝∠EHF＝90°，DE＝EF，∴Rt△DCE≌Rt△FHE.∴CD＝HF.21．(10分)如圖18，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，∠DBC＝∠BAC.(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為2，∠BAC＝30°，求圖中陰影部分的面積．圖18第21題答圖解：(1)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAC＝90°，又∵∠DBC＝∠BAC，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；(2)如答圖，連結(jié)OD，∵∠BAC＝30°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴S陰影＝S扇形BOD－S△OBD＝eq\f(60,360)·π·22－eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(2,3)π－eq\r(3).22．(12分)如圖19，公路MN與公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m．假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否受到噪音影響？說明理由；如果受影響，且知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間是多少秒？圖19第22題答圖解：學(xué)校受到噪音影響．理由如下：作AH⊥MN于H，如答圖，∵PA＝160m，∠QPN＝30°，∴AH＝eq\f(1,2)PA＝80m＜100m，∴拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校受到噪音影響．以點(diǎn)A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于B，C，如答圖，∵AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，AB＝100m，AH＝80m，BH＝60m，∴BC＝2BH＝120m，∵拖拉機(jī)的速度＝18km/h＝5m/s，∴拖拉機(jī)在線段BC上行駛所需要的時(shí)間＝eq\f(120,5)＝24s，∴學(xué)校受影響的時(shí)間為24s.23．(12分)如圖20，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，AT平分∠BAD交⊙O于點(diǎn)T，過點(diǎn)T作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.(1)求證：CT為⊙O的切線；(2)若⊙O半徑為2，CT＝eq\r(3)，求AD的長(zhǎng)．圖20第23題答圖解：(1)證明：連結(jié)OT.∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA.∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT.∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC.又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT.∴CT為⊙O的切線；(2)過O作OE⊥AD于E，則E為AD中點(diǎn)．又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四邊形OTCE為矩形．∵CT＝eq\r(3)，∴OE＝eq\r(3).又∵OA＝2，∴在Rt△OAE中，AE＝eq\r(OA2－OE2)＝eq\r(22－3)＝1，∴AD＝2AE＝2.24．(14分)如圖21，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，AC平分∠DAB，