專題21.10一元二次方程的應(yīng)用綜合-重難點(diǎn)題型【人教版】【題型1與一元二次方程有關(guān)的三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例1】（2020秋?興城市月考）如圖，在△ABC內(nèi)，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【變式1-1】（2020秋?茶陵縣期末）如圖1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BA方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CA方向運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts（t＞0）．（1）當(dāng)t＝4時(shí)，求△APQ的面積．（2）經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，△APQ的面積是△ABC面積的一半．【變式1-2】（2021?廣州模擬）如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說(shuō)明理由．（2）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，問(wèn)幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？【變式1-3】（2020秋?鶴城區(qū)期末）已知：如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？（2）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于210cm（3）△PQB的面積能否等于7cm2？請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型2與一元二次方程有關(guān)的四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】【例2】（2020秋?天寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)；當(dāng)△PQC的面積等于16cm2時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s．【變式2-1】（2021秋?渭濱區(qū)校級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為6cm正方形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC和CD邊向D點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止．過(guò)了秒鐘后，△PBQ的面積等于8cm2．【變式2-2】（2020秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，A、B、C、D是矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)（1）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2？（2）P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離第一次是10cm？【變式2-3】如圖，菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝8cmBD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向以2cm/s勻速直線運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿BD方向以1cm/s勻速直線運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，若M，N同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，M，N兩點(diǎn)之間的距離是多少？（2）當(dāng)2＜t＜3時(shí)，用含t的代數(shù)式表示OM的長(zhǎng)；設(shè)W＝MN2，求W關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△MON的面積為14cm2【題型3一元二次方程與一次函數(shù)的綜合】【例3】（2020春?平潭縣校級(jí)月考）北京國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的模型深受游客喜愛．圖中折線（AB∥CD∥x軸）反映了某種規(guī)格“鳥巢”模型的單價(jià)y（元）與購(gòu)買數(shù)量x（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）求當(dāng)10≤x≤20時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知某旅游團(tuán)購(gòu)買該種規(guī)格的“鳥巢”模型的總金額為2625元，問(wèn)該旅游團(tuán)共購(gòu)買這種模型多少個(gè)？（總金額＝數(shù)量×單價(jià)）【變式3-1】（2021春?天心區(qū)期末）為積極響應(yīng)新舊功能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，每臺(tái)設(shè)備成本價(jià)為30萬(wàn)元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)售價(jià)為35萬(wàn)元時(shí)，年銷售量為550臺(tái)；每臺(tái)售價(jià)為40萬(wàn)元時(shí)，年銷售量為500臺(tái)．假定該設(shè)備的年銷售量y（單位：臺(tái)）和銷售單價(jià)x（單位：萬(wàn)元）成一次函數(shù)關(guān)系．（1）求年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于60萬(wàn)元，如果該公司想獲得8000萬(wàn)元的年利潤(rùn)，則該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是多少萬(wàn)元？【變式3-2】（2020春?西湖區(qū)校級(jí)月考）某商店代銷一種智能學(xué)習(xí)機(jī)，促銷廣告顯示“如果購(gòu)買不超過(guò)40臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)，則每臺(tái)售價(jià)800元，如果超出40臺(tái)，則每超過(guò)1臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)將均減少5元”該學(xué)習(xí)機(jī)的進(jìn)貨價(jià)與進(jìn)貨數(shù)量關(guān)系如圖所示：（1）當(dāng)x＞40時(shí)，用含x的代數(shù)式表示每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)的售價(jià)；（2）當(dāng)該商店一次性購(gòu)進(jìn)并銷售學(xué)習(xí)機(jī)60臺(tái)，每臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)可以獲利多少元；（3）若該商店在一次銷售中獲利4800元，則該商店可能購(gòu)進(jìn)并銷售學(xué)習(xí)機(jī)多少臺(tái)．【變式3-3】（2020秋?麻城市校級(jí)月考）某商店以20元/千克的單價(jià)新進(jìn)一批商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②若某段時(shí)間內(nèi)該商品的銷售單價(jià)為70元，則銷售利潤(rùn)為多少元？（利潤(rùn)＝（銷售單價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷售量）③要使銷售利潤(rùn)達(dá)到800元，則銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？④在一段時(shí)間內(nèi)，銷售利潤(rùn)能達(dá)到1000元嗎？若能，求出此時(shí)的銷售單價(jià)；若不能，說(shuō)明理由．【題型4與一元二次方程有關(guān)的閱讀探究問(wèn)題】【例4】（2020秋?洛寧縣月考）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的一半，那么稱這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“減半”矩形．任務(wù)：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為8，寬為1時(shí)，它是否存在“減半”矩形？如果存在，請(qǐng)求出“減半”矩形的長(zhǎng)和寬；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式4-1】（2020秋?樂(lè)清市期末）閱讀探究：“任意給定一個(gè)矩形A，是否存在另一個(gè)矩形B，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形周長(zhǎng)和面積的一半？”（完成下列空格）（1）當(dāng)已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為6和1時(shí)，小亮同學(xué)是這樣研究的：設(shè)所求矩形的兩邊分別是x和y，由題意得方程組x+y=72xy=3，消去y化簡(jiǎn)得：2x2∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴滿足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的邊長(zhǎng)分別為2和1，請(qǐng)你仿照小亮的方法研究是否存在滿足要求的矩形B．（3）如果矩形A的邊長(zhǎng)為m和n，請(qǐng)你研究滿足什么條件時(shí)，矩形B存在？【變式4-2】（2020?任城區(qū)三模）閱讀下面材料：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，它通常用字母d表示，我們可以用公式S＝na+n(n?1)2×d來(lái)計(jì)算等差數(shù)列的和．（公式中的n例如：3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝10×3+10(10?1)用上面的知識(shí)解決下列問(wèn)題．（1）計(jì)算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116．（2）某縣決定對(duì)坡荒地進(jìn)行退耕還林．從2009年起在坡荒地上植樹造林，以后每年植樹后坡荒地的實(shí)際面積按一定規(guī)律減少，如表為2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面積的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．問(wèn)到哪一年，可以將全縣所有坡荒地全部種上樹木．2009年2010年2011年2012年植樹后坡荒地的實(shí)際面積（公頃）25200240002240020400【變式4-3】（2020秋?順昌縣校級(jí)月考）實(shí)驗(yàn)與探究：三角點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)計(jì)算．如圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)…第n行有n個(gè)點(diǎn)…容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)的和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點(diǎn)數(shù)的和嗎？如果要用試驗(yàn)的方法，由上而下地逐行的相加其點(diǎn)數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+…+23+24＝300．得知300是前24行的點(diǎn)數(shù)的和，但是這樣尋找答案需我們先探求三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和與n的數(shù)量關(guān)系前n行的點(diǎn)數(shù)的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以發(fā)現(xiàn)．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]＝[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]把兩個(gè)中括號(hào)中的第一項(xiàng)相加，第二項(xiàng)相加…第n項(xiàng)相加，上式等號(hào)的后邊變形為這n個(gè)小括號(hào)都等于n+1，整個(gè)式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n＝n（n+1）這就是說(shuō)，三角點(diǎn)陣中前n項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)的和是n（n+1）．下列用一元二次方程解決上述問(wèn)題設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和為300，則有12n（n+1）＝300