2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ參考公式：棱錐的體積，其中為底面積，為高．1．已知集合，，則▲．2．個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取▲名學(xué)生．開始k←13．設(shè)，（i為虛數(shù)單位），則的值開始k←1為▲．4．右圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是▲．k←k+1Nk2－5k+4>05k←k+1Nk2－5k+4>0Y6．現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，為公比的Y輸出k輸出k的概率是▲．結(jié)束（第4題）結(jié)束（第4題）DABC7．，，DABC則四棱錐的體積為▲cm3．8．在平面直角坐標系中，若雙曲線的離心率（第7題）ABCEF（第7題）ABCEFD9．如圖，在矩形ABCD中，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值是▲．10．設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，（第9題）其中．若，（第9題）則的值為▲．11．設(shè)為銳角，若，則的值為▲．12．在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是▲．13．解集為，則實數(shù)c的值為▲．14．已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是▲．15．（本小題滿分14分）在中，已知．（1）求證：；（2）若求A的值．16．（本小題滿分14分）F不同于點C），且為的中點．FE求證：（1）平面平面；E（2）直線平面ADE．ACACDDBB（第（第16題）17．（本小題滿分14分）曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．（1）求炮的最大射程；（2）不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．xx（千米）y（千米）O（第17題）18．（本小題滿分16分）若函數(shù)在x=x0取得極大值或者極小值則x=x0是的極值點已知a，b是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點．（1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)．19．（本小題滿分16分）ABPOxy（第19題）．已知和ABPOxy（第19題）（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線與直線平行，與交于點P．（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值．20．（本小題滿分16分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：．（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值．★此卷上交考點保存★★此卷上交考點保存★姓名準考證號2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)注意事項注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求：1．2．3．4．作答試題必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其它位置作答一律無效。5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。21．[選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修41：幾何證明選講]（本小題滿分10分）AEBDCO如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點，連結(jié)BD并延長至點C，使BD=DC，連結(jié)ACAEBDCO求證：．（第21A題）B．[選修42：矩陣與變換]（本小題滿分10分）已知矩陣A的逆矩陣，求矩陣A的特征值．C．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）點，求圓C的極坐標方程．D．[選修45：不等式選講]（本小題滿分10分）已知實數(shù)x，y滿足：求證：．出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，．（1）求概率（2）求．23．（本小題滿分10分）設(shè)集合，．記為同時滿足下列條件的集合A的個數(shù)：①；②若，則；③若，則．（1）求；（2）求的解析式（用n表示）．2012年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．（5分）（2012?江蘇）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，則A∪B={1，2，4，6}．考點：并集及其運算．專題：集合．分析：由題意，A，B兩個集合的元素已經(jīng)給出，故由并集的運算規(guī)則直接得到兩個集合的并集即可解答：解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案為{1，2，4，6}點評：本題考查并集運算，屬于集合中的簡單計算題，解題的關(guān)鍵是理解并的運算定義2．（5分）（2012?江蘇）某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3：3：4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級抽取15名學(xué)生．考點：分層抽樣方法．專題：概率與統(tǒng)計．分析：根據(jù)三個年級的人數(shù)比，做出高二所占的比例，用要抽取得樣本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人數(shù)．解答：解：∵高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3：3：4，∴高二在總體中所占的比例是=，∵用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，∴要從高二抽取，故答案為：15點評：本題考查分層抽樣方法，本題解題的關(guān)鍵是看出三個年級中各個年級所占的比例，這就是在抽樣過程中被抽到的概率，本題是一個基礎(chǔ)題．3．（5分）（2012?江蘇）設(shè)a，b∈R，a+bi=（i為虛數(shù)單位），則a+b的值為8．考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)相等的充要條件．專題：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．分析：由題意，可對復(fù)數(shù)代數(shù)式分子與分母都乘以1+2i，再由進行計算即可得到a+bi=5+3i，再由復(fù)數(shù)相等的充分條件即可得到a，b的值，從而得到所求的答案解答：解：由題，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案為8點評：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，解題的關(guān)鍵是分子分母都乘以分母的共軛，復(fù)數(shù)的四則運算是復(fù)數(shù)考查的重要內(nèi)容，要熟練掌握，復(fù)數(shù)相等的充分條件是將復(fù)數(shù)運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算的橋梁，解題時要注意運用它進行轉(zhuǎn)化．4．（5分）（2012?江蘇）圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是5．考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)．專題：算法和程序框圖．分析：利用程序框圖計算表達式的值，判斷是否循環(huán)，達到滿足題目的條件，結(jié)束循環(huán)，得到結(jié)果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0，不滿足判斷框．則k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不滿足判斷框的條件，則k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，則k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，則k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，所以結(jié)束循環(huán)，輸出k=5．故答案為：5．點評：本題考查循環(huán)框圖的作用，考查計算能力，注意循環(huán)條件的判斷．5．（5分）（2012?江蘇）函數(shù)f（x）=的定義域為（0，]．考點：對數(shù)函數(shù)的定義域．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)開偶次方被開方數(shù)要大于等于0，真數(shù)要大于0，得到不等式組，根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性解出不等式的解集，得到結(jié)果．解答：解：函數(shù)f（x）=要滿足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案為：（0，]點評：本題考查對數(shù)的定義域和一般函數(shù)的定義域問題，在解題時一般遇到，開偶次方時，被開方數(shù)要不小于0，；真數(shù)要大于0；分母不等于0；0次方的底數(shù)不等于0，這種題目的運算量不大，是基礎(chǔ)題．6．（5分）（2012?江蘇）現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，﹣3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是．考點：等比數(shù)列的性質(zhì)；古典概型及其概率計算公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；概率與統(tǒng)計．分析：先由題意寫出成等比數(shù)列的10個數(shù)為，然后找出小于8的項的個數(shù)，代入古典概論的計算公式即可求解解答：解：由題意成等比數(shù)列的10個數(shù)為：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的項有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6個數(shù)這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是P=故答案為：點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及古典概率的計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題7．（5分）（2012?江蘇）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，則四棱錐A﹣BB1D1D的體積為6cm3．考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．分析：過A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出幾何體的體積即可．解答：解：過A作AO⊥BD于O，AO是棱錐的高，所以AO==，所以四棱錐A﹣BB1D1D的體積為V==6．故答案為：6．點評：本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力與計算能力．8．（5分）（2012?江蘇）在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線的離心率為，則m的值為2．考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由雙曲線方程得y2的分母m2+4＞0，所以雙曲線的焦點必在x軸上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根據(jù)雙曲線的離心率為，可得c2=5a2，建立關(guān)于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴雙曲線的焦點必在x軸上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵雙曲線的離心率為，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案為：2點評：本題給出含有字母參數(shù)的雙曲線方程，在已知離心率的情況下求參數(shù)的值，著重考查了雙曲線的概念與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）（2012?江蘇）如圖，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若=，則的值是．考點：平面向量數(shù)量積的運算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，做出要用的向量的模長，表示出要求得向量的數(shù)量積，注意應(yīng)用垂直的向量數(shù)量積等于0，得到結(jié)果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案為：點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的運算．本題解題的關(guān)鍵是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本題是一個中檔題目．10．（5分）（2012?江蘇）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，則a+3b的值為﹣10．考點：函數(shù)的周期性；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由于f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，由f（x）的表達式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解關(guān)于a，b的方程組可得到a，b的值，從而得到答案．解答：解：∵f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案為：﹣10．點評：本題考查函數(shù)的周期性，考查分段函數(shù)的解析式的求法，著重考查方程組思想，得到a，b的方程組并求得a，b的值是關(guān)鍵，屬于中檔題．11．（5分）（2012?江蘇）設(shè)α為銳角，若cos（α+）=，則sin（2α+）的值為．考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦．專題：三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：先設(shè)β=α+，根據(jù)cosβ求出sinβ，進而求出sin2β和cos2β，最后用兩角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：設(shè)β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案為：．點評：本題要我們在已知銳角α+的余弦值的情況下，求2α+的正弦值，著重考查了兩角和與差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題．12．（5分）（2012?江蘇）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0，若直線y=kx﹣2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是．考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定；直線與圓的位置關(guān)系．專題：直線與圓．分析：由于圓C的方程為（x﹣4）2+y2=1，由題意可知，只需（x﹣4）2+y2=1與直線y=kx﹣2有公共點即可．解答：解：∵圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx﹣2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，∴只需圓C′：（x﹣4）2+y2=1與直線y=kx﹣2有公共點即可．設(shè)圓心C（4，0）到直線y=kx﹣2的距離為d，則d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案為：．點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為“（x﹣4）2+y2=4與直線y=kx﹣2有公共點”是關(guān)鍵，考查學(xué)生靈活解決問題的能力，屬于中檔題．13．（5分）（2012?江蘇）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），則實數(shù)c的值為9．考點：一元二次不等式的應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：根據(jù)函數(shù)的值域求出a與b的關(guān)系，然后根據(jù)不等式的解集可得f（x）=c的兩個根為m，m+6，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，解之即可．解答：解：∵函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一個根，即△=a2﹣4b=0則b=不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），即為x2+ax+＜c解集為（m，m+6），則x2+ax+﹣c=0的兩個根為m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案為：9點評：本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及根與系數(shù)的關(guān)系，同時考查了分析求解的能力和計算能力，屬于中檔題．14．（5分）（2012?江蘇）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是[e，7]．考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；不等式的綜合．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由題意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由clnb≥a+clnc可得0＜a≤cln，從而≥，設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞1），利用其導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的極小值，也就是的最小值，于是問題解決．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴≤2．從而≤2×4﹣1=7，特別當=7時，第二個不等式成立．等號成立當且僅當a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc，∴0＜a≤cln，從而≥，設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞1），∵f′（x）=，當0＜x＜e時，f′（x）＜0，當x＞e時，f′（x）＞0，當x=e時，f′（x）=0，∴當x=e時，f（x）取到極小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等號當且僅當=e，=e成立．代入第一個不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，從而e可以取得．等號成立當且僅當a：b：c=1：e：1．從而的取值范圍是[e，7]雙閉區(qū)間．點評：本題考查不等式的綜合應(yīng)用，得到≥，通過構(gòu)造函數(shù)求的最小值是關(guān)鍵，也是難點，考查分析與轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力，屬于難題．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（14分）（2012?江蘇）在△ABC中，已知．（1）求證：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．考點：解三角形；平面向量數(shù)量積的運算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．專題：三角函數(shù)的求值；解三角形；平面向量及應(yīng)用．分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡已知的等式左右兩邊，然后兩邊同時除以c化簡后，再利用正弦定理變形，根據(jù)cosAcosB≠0，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C為三角形的內(nèi)角，及cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，進而再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式求出tan（A+B）的值，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后，將tanB=3tanA代入，得到關(guān)于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．解答：解：（1）∵?=3?，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式兩邊同時除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，則tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，將tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A為三角形的內(nèi)角，則A=．點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運算法則，正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．16．（14分）（2012?江蘇）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D不同于點C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點．求證：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直線A1F∥平面ADE．考點：平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．分析：（1）根據(jù)三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，從而AD⊥CC1，結(jié)合已知條件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線，得到AD⊥平面BCC1B1，從而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先證出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用類似（1）的方法，證出A1F⊥平面BCC1B1，結(jié)合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根據(jù)線面平行的判定定理，得到直線A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD?平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD?平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，∴直線A1F∥平面ADE．點評：本題以一個特殊的直三棱柱為載體，考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定等知識點，屬于中檔題．17．（14分）（2012?江蘇）如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。滹w行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）與x軸的橫坐標，求出后應(yīng)用基本不等式求解．（2）求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，由一元二次方程根的判別式求解．解答：解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由實際意義和題設(shè)條件知x＞0，k＞0．∴，當且僅當k=1時取等號．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮彈可以擊中目標等價于存在k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即關(guān)于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韋達定理滿足兩根之和大于0，兩根之積大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此時，k=＞0．∴當a不超過6千米時，炮彈可以擊中目標．點評：本題考查函數(shù)模型的運用，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．18．（16分）（2012?江蘇）若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f（x）的極值點．已知a，b是實數(shù)，1和﹣1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點．（1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點；（3）設(shè)h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函數(shù)y=h（x）的零點個數(shù)．考點：函數(shù)在某點取得極值的條件；函數(shù)的零點．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)1和﹣1是函數(shù)的兩個極值點代入列方程組求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解討論即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2討論關(guān)于的方程f（x）=d的情況；再考慮函數(shù)y=h（x）的零點．解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函數(shù)f（x）的兩個極值點，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵當x＜﹣2時，g′（x）＜0；當﹣2＜x＜1時，g′（x）＞0，∴﹣2是g（x）的極值點．∵當﹣2＜x＜1或x＞1時，g′（x）＞0，∴1不是g（x）的極值點．∴g（x）的極值點是﹣2．（3）令f（x）=t，則h（x）=f（t）﹣c．先討論關(guān)于x的方程f（x）=d根的情況，d∈[﹣2，2]當|d|=2時，由（2）可知，f（x）=﹣2的兩個不同的根為1和一2，注意到f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=2的兩個不同的根為﹣1和2．當|d|＜2時，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2都不是f（x）=d的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，于是f（x）是單調(diào)增函數(shù)，從而f（x）＞f（2）=2．此時f（x）=d在（2，+∞）無實根．②當x∈（1，2）時，f′（x）＞0，于是f（x）是單調(diào)增函數(shù)．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的圖象不間斷，∴f（x）=d在（1，2）內(nèi)有唯一實根．同理，在（一2，一1）內(nèi)有唯一實根．③當x∈（﹣1，1）時，f′（x）＜0，于是f（x）是單調(diào)減函數(shù)．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的圖象不間斷，∴f（x）=d在（一1，1）內(nèi)有唯一實根．因此，當|d|=2時，f（x）=d有兩個不同的根x1，x2，滿足|x1|=1，|x2|=2；當|d|＜2時，f（x）=d有三個不同的根x3，x4，x5，滿足|xi|＜2，i=3，4，5．現(xiàn)考慮函數(shù)y=h（x）的零點：（i）當|c|=2時，f（t）=c有兩個根t1，t2，滿足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三個不同的根，f（x）=t2有兩個不同的根，故y=h（x）有5個零點．（ii）當|c|＜2時，f（t）=c有三個不同的根t3，t4，t5，滿足|ti|＜2，i=3，4，5．而f（x）=ti有三個不同的根，故y=h（x）有9個零點．綜上所述，當|c|=2時，函數(shù)y=h（x）有5個零點；當|c|＜2時，函數(shù)y=h（x）有9個零點．點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強，難度大．19．（16分）（2012?江蘇）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P．（i）若AF1﹣BF2=，求直線AF1的斜率；（ii）求證：PF1+PF2是定值．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；直線的斜率；橢圓的標準方程．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知（1，e）和（e，），都在橢圓上列式求解．（2）（i）設(shè)AF1與BF2的方程分別為x+1=my，x﹣1=my，與橢圓方程聯(lián)立，求出|AF1|、|BF2|，根據(jù)已知條件AF1﹣BF2=，用待定系數(shù)法求解；（ii）利用直線AF1與直線BF2平行，點B在橢圓上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由題設(shè)知a2=b2+c2，e=，由點（1，e）在橢圓上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．由點（e，）在橢圓上，得∴，∴a2=2∴橢圓的方程為．（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），又∵直線AF1與直線BF2平行，∴設(shè)AF1與BF2的方程分別為x+1=my，x﹣1=my．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴，（舍），∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=，∴，解得m2=2．∵注意到m＞0，∴m=．∴直線AF1的斜率為．（ii）證明：∵直線AF1與直線BF2平行，∴，即．由點B在橢圓上知，，∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得，，，∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．20．（16分）（2012?江蘇）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1=，n∈N*，（1）設(shè)bn+1=1+，n∈N*，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)bn+1=?，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．考點：數(shù)列遞推式；等差關(guān)系的確定；等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）由題意可得，an+1===，從而可得，可證（2）由基本不等式可得，，由{an}是等比數(shù)列利用反證法可證明q==1，進而可求a1，b1解答：解：（1）由題意可知，an+1===∴從而數(shù)列{}是以1為公差的等差數(shù)列（2）∵an＞0，bn＞0∴從而（*）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an＞0可知q＞0下證q=1若q＞1，則，故當時，與（*）矛盾0＜q＜1，則，故當時，與（*）矛盾綜上可得q=1，an=a1，所以，∵∴數(shù)列{bn}是公比的等比數(shù)列若，則，于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1，b2，b3至少有兩項相同，矛盾∴，從而=∴點評：本題主要考查了利用構(gòu)造法證明等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是反證法的應(yīng)用．三、附加題(21選做題：任選2小題作答，22、23必做題）（共3小題，滿分40分）21．（20分）（2012?江蘇）A．[選修4﹣1：幾何證明選講]如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使BD=DC，連接AC，AE，DE．求證：∠E=∠C．B．[選修4﹣2：矩陣與變換]已知矩陣A的逆矩陣，求矩陣A的特征值．C．[選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程]在極坐標中，已知圓C經(jīng)過點P（，），圓心為直線ρsin（θ﹣）=﹣與極軸的交點，求圓C的極坐標方程．D．[選修4﹣5：不等式選講]已知實數(shù)x，y滿足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求證：|y|＜．考點：特征值與特征向量的計算；簡單曲線的極坐標方程；不等式的證明；綜合法與分析法(選修）．專題：不等式的解法及應(yīng)用；直線與圓；矩陣和變換；坐標系和參數(shù)方程．分析：A．要證∠E=∠C，就得找一個中間量代換，一方面考慮到∠B，∠E是同弧所對圓周角，相等；另一方面根據(jù)線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到．從而得證．B．由矩陣A的逆矩陣，根據(jù)定義可求出矩陣A，從而求出矩陣A的特征值．C．根據(jù)圓心為直線ρsin（θ﹣）=﹣與極軸的交點求出的圓心坐標；根據(jù)圓經(jīng)過點P（，），求出圓的半徑，從而得到圓的極坐標方程．D．根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求證．解答：A．證明：連接AD．∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定義）．又∵BD=DC，∴AD是線段BC的中垂線（線段的中垂線定義）．∴AB=AC（線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)）．又∵D，E為圓