第12講長方體和正方體

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、能夠以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3、求一

些不規(guī)則的物體體積時(shí)，可以通過變形的方法來解決。

T0知識(shí)P梳理*

一、專題簡析

在數(shù)學(xué)競賽中，有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點(diǎn)：

1、必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；

3、求一些不規(guī)則的物體體積時(shí)，可以通過變形的方法來解決。

二、常見問題

在長方體、正方體問題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的

物體；把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體

積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點(diǎn)：

1、將一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗），體積不變；

2、兩個(gè)物體熔化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；

3、物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。

解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實(shí)掌握長方體、正方體的特征，熟悉計(jì)算方

法，仔細(xì)分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個(gè)長方體或正方體

沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。

典例分析

考點(diǎn)一：重合或者挖出立體的面積及體積

例1,一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米?

（單位：厘米）

例2、有一個(gè)長方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面

積嗎？（單位：厘米）

例3、一個(gè)正方體和一個(gè)長方體拼成了一個(gè)新的長方體，拼成的長方體的表面積比原來的長方

體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米？

考點(diǎn)二：已知面積求體積或者已知體積求面積

例1、把11塊相同的長方體磚拼成一個(gè)大長方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米，求大

長方體的表面積。

例2、一個(gè)長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長方體的長、寬、高以厘為

為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長方體的體積和表面積各是多少？

考點(diǎn)三：體積轉(zhuǎn)換

例1、有兩個(gè)無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘米，

寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水

倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？

例2、有一個(gè)長方體容器，從里面量長5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分

米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？

例3、有一個(gè)長方體容器（如下圖），長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。

如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？

例4、長方體不同的三個(gè)面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個(gè)長方

體的體積是多少立方厘米?

考點(diǎn)四：分割圖形

例1、一個(gè)棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊，表面積

增加多少厘米？

例2、有一個(gè)正方體木塊，把它分成兩個(gè)長方體后，表面積增加了24平方厘米，這個(gè)正方體

木塊原來的表面積是多少平方厘米?

例3、一個(gè)正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的

小正方體中：

(1)三個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？

(2)二個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？

(3)一個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？

(4)六個(gè)面都沒有涂色的有幾個(gè)？

例4、一個(gè)長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個(gè)體積相等

的小長方體，這三個(gè)小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？

實(shí)戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、一個(gè)長5厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體，被切去一塊后(如圖)，剩下部分的表面積

和體積各是多少？

2、有一個(gè)形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。

3、有一個(gè)棱長是4厘米的正方體，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長是1厘米的正方體后，剩

下物體的體積和表面積各是多少

4、把兩個(gè)完全一樣的長方體木塊粘成一個(gè)大長方體，這個(gè)大長方體的表面積比原來兩個(gè)長方

體的表面積的和減少了46平方厘米，而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24

厘米，那么它的體積是多少立方厘米？

5、一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個(gè)這樣的小正方體所組成的大正方體

的表面積是多少平方厘米？

6、有一個(gè)長方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這

個(gè)長方體的體積是多少？

7、將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大

正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。

＞課后反擊

1、有一個(gè)長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個(gè)正方體（如

圖），求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？

2、一根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個(gè)最大的正方體

后，它的表面積減少了多少平方厘米？

3、有一個(gè)小金魚缸，長4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上

升0.8分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？

4、一個(gè)長方體，不同的三個(gè)面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且長、

寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長方體的體積是多少立方厘米？

5、一個(gè)長方體的體積是48立方厘米，并且長、寬、高是三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)。這個(gè)長方體的表面

積是多少平方厘米？

6、把一個(gè)正方體的六個(gè)面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4個(gè)同樣的小長方體，沒有涂顏

色的面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？

重點(diǎn)回顧

在長方體、正方體問題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的

物體；把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體

積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點(diǎn):

1、將一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗），體積不變；

2、兩個(gè)物體熔化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來物體體積的和;

3、物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。

解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實(shí)掌握長方體、正方體的特征，熟悉計(jì)算方

法，仔細(xì)分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個(gè)長方體或正方體

沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。

學(xué)名師點(diǎn)撥入

蠲學(xué)競賽中，有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點(diǎn)：

1、必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來;

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化;

3、求一些不規(guī)則的物體體積時(shí)，可以通過變形的方法來解決。

峻學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)如

本節(jié)課我學(xué)到

＞我需要努力的地方是

第12講長方體和正方體

教學(xué)目標(biāo)a

1、能夠以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3、求一

些不規(guī)則的物體體積時(shí)，可以通過變形的方法來解決。

旗知識(shí)梳理...

二專題簡析'

在數(shù)學(xué)競賽中，有許多有關(guān)長方體、正方體的問題。解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點(diǎn)：

1、必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時(shí)把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；

2、依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補(bǔ)后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；

3、求一些不規(guī)則的物體體積時(shí)，可以通過變形的方法來解決。

二、常見問題

在長方體、正方體問題中，我們還會(huì)常常遇到這樣一些情況：把一個(gè)物體變形為另一種形狀的

物體；把兩個(gè)物體熔化后鑄成一個(gè)物體；把一個(gè)物體浸入水中，物體在水中會(huì)占領(lǐng)一部分的體

積。解答上述問題，必須掌握這樣幾點(diǎn)：

1、將一個(gè)物體變形為另一種形狀的物體（不計(jì)損耗），體積不變；

2、兩個(gè)物體熔化成一個(gè)物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；

3、物體浸入水中，排開的水的體積等于物體的體積。

解答有關(guān)長方體和正方體的拼、切問題，除了要切實(shí)掌握長方體、正方體的特征，熟悉計(jì)算方

法，仔細(xì)分析每一步操作后表面幾何體積的等比情況外，還必須知道：把一個(gè)長方體或正方體

沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。

覆典例分析籥

考點(diǎn)一：重合或者挖出立體的面積及體積

例1,一個(gè)零件形狀大小如下圖：算一算，它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米?

（單位：厘米）

【解析】（1）可以把零件沿虛線分成兩部分來求它的體積，左邊的長方體體積是10X4X2=80（立

方厘米），右邊的長方體的體積是10X（6—2）X2=80（立方厘米），整個(gè)零件的體積是80X

2=160（立方厘米）；

⑵求這個(gè)零件的表面積，看起來比較復(fù)雜，其實(shí)，朝上的兩個(gè)面的面積和正好與朝下的一個(gè)

面的面積相等；朝右的兩個(gè)面的面積和正好與朝左的一個(gè)面的面積相等。因此，此零件的表面

積就是(10X6+10X4+2X2)X2=232(平方厘米)。

例2、有一個(gè)長方體形狀的零件，中間挖去一個(gè)正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面

積嗎？（單位：厘米）

【解析】（1）先求出長方體的體積，8X5X6=240（立方厘米），由于挖去了一個(gè)孔，所以體積減

少了2X2X2=8（立方厘米），這個(gè)零件的體積是240—8=232（立方厘米）；

（2）長方體完整的表面積是（8X5+8X6+6X5）X2=236（平方厘米），但由于挖去了一個(gè)孔，它的

表面積減少了一個(gè)（2X2）平方厘米的面，同時(shí)又增加了凹進(jìn)去的5個(gè)（2X2）平方厘米的面，因

此，這個(gè)零件的表面積是236+2X2X4=252（平方厘米）。

例3、一個(gè)正方體和一個(gè)長方體拼成了一個(gè)新的長方體，拼成的長方體的表面積比原來的長方

體的表面積增加了50平方厘米。原正方體的表面積是多少平方厘米?

【解析】一個(gè)正方體和一個(gè)長方體拼成新的長方體，其表面積比原來的長方體增加了4塊正方

形的面積，每塊正方形的面積是50+4=12.5（平方厘米）。正方體有6個(gè)這樣的面，所以，原來

正方體的表面積是12.5X6=75（平方厘米）。

考點(diǎn)二：已知面積求體積或者己知體積求面積

例1、把11塊相同的長方體磚拼成一個(gè)大長方體。已知每塊磚的體積是288立方厘米，求大

長方體的表面積。

【解析】要求大長方體的表面積，必須知道它的長、寬和高。我們用a、b、h分別表示小長方

體的長、寬、高，顯然，a=4h,即h=l/4a,2a=3b即b=2/3a,磚的體積是a*2/3a*l/4a=l/6a3。由

l/6a3=288可知，a=12,b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大長方體的長是12X2=24厘米，寬12厘米，

高是8+3=11厘米，表面積就不難求了。

例2、一個(gè)長方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長方體的長、寬、高以厘為

為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長方體的體積和表面積各是多少？

【解析】長方體的前面和上面的面積是長義寬+長義高=長X（寬+高），由于此長方體的長、

寬、高用厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所以有209=11X19=11X（17+2）,即長、寬、高分別為

11、17、2厘米。知道了長、寬、高求體積和表面積就容易了。

考點(diǎn)三：體積轉(zhuǎn)換

例1、有兩個(gè)無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘米，

寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水

倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？

【解析】由于后來兩個(gè)水箱里的水面的高度一樣,我們可以這樣思考:把兩個(gè)水箱并靠在一起，

水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）X水面的高度。這樣，我們只要先求出原來甲

水箱中的體積：40X32X20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40X32+30X

24=2000（平方厘米），就能得到后來水面的高度。

例2、有一個(gè)長方體容器，從里面量長5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分

米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？

【解析】鐵塊的體積是2X2X2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空間，

因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個(gè)體積除以底面積（5X4）就能得到水上升的高度

To

例3、有一個(gè)長方體容器（如下圖），長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。

如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？

【解析】首先求出水的體積：30X20X6=3600（立方厘米）。當(dāng)容器豎起來以后，水流動(dòng)了，但

體積沒有變，這時(shí)水的形狀是一個(gè)底面積是20X10=200平方厘米的長方體。只要用體積除以

底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。

例4、長方體不同的三個(gè)面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個(gè)長方

體的體積是多少立方厘米？

【解析】長方體不同的三個(gè)面的面積分別是長X寬、長X高、寬X高得來的。因此，15X10

X6=（長X寬義高）X（長X寬X高），而15X10X6=900=30X30。所以，這個(gè)長方體的體積是30

立方厘米。

考點(diǎn)四：分割圖形

例1、一個(gè)棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊，表面積

增加多少厘米？

【解析】把棱長為6厘米的正方體鋸成棱長為2厘米的正方體，可以按下圖中的線共鋸6次,

每鋸一次就增加兩個(gè)6X6=36平方厘米的面，鋸6次共增加36X2X6=432平方厘米的面積。

因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。

例2、有一個(gè)正方體木塊，把它分成兩個(gè)長方體后，表面積增加了24平方厘米，這個(gè)正方體

木塊原來的表面積是多少平方厘米？

【解析】把正方體分成兩個(gè)長方體后，增加了兩個(gè)面，每個(gè)面的面積是24+2=12平方厘米,

而正方體有6個(gè)這樣的面。所以原正方體的表面積是12X6=72平方厘米。

例3、一個(gè)正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的

小正方體中：

⑴三個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？

⑵二個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？

(3)一個(gè)面涂有紅色的有幾個(gè)？

(4)六個(gè)面都沒有涂色的有幾個(gè)？

【解析】按題中的要求切，切成的小正方體一共有3X3X3=27個(gè)。

⑴三個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點(diǎn)處，共有8個(gè)；

(2)二個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有IX12=12個(gè)；

(3)一個(gè)面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個(gè)面上，共有1X6=6個(gè);

(4)六個(gè)面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27—(8+12+6)=1個(gè)。

例4、一個(gè)長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個(gè)體積相等

的小長方體，這三個(gè)小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？

【解析】這個(gè)長方體原來的表面積是(6X5+6X4+5X4)X2=148平方厘米，每切割一刀，增

加2個(gè)面。切成三個(gè)體積相等的小長方體要切2刀，一共增加2X2=4個(gè)面。要求表面積和最

大，應(yīng)該增加4個(gè)6X5=30平方厘米的面。所以，三個(gè)小長方體表面積和最大是148+6X5X

4=268平方厘米。

復(fù)實(shí)戰(zhàn)演練...

A2課堂狙擊’

1、一個(gè)長5厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體，被切去一塊后(如圖)，剩下部分的表面積

和體積各是多少？

【解析】表面積與原來相等。體積比原來少了一個(gè)長、寬、高都是1厘米的一塊。原來表面積

=剩下部分的表面積=（5X1+1X3+3X5）義2=46（平方厘米），原來體積=5X1X3=15（立方厘米）,

剩下部分的體積=15-1X1X1=14（立方厘米）。

2、有一個(gè)形狀如下圖的零件，求它的體積和表面積。（單位：厘米）。

【解析】表面積就是正方體與長方體表面積之和減去2個(gè)正方體的底面面積。體積就是長方體

與正方體體積之和。表面積=2X（2X6+2X4+4X6）+2X2X2X3=112（平方厘米），體積=2X6X

4+2X2X2=56（立方厘米）

3、有一個(gè)棱長是4厘米的正方體，從它的一個(gè)頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長是1厘米的正方體后，剩

下物體的體積和表面積各是多少

【解析】表面積沒有發(fā)生變化，體積就是大正方體減去挖去的小正方體。表面積=4X4X6=48（平

方厘米），體積=4X4X4-1XIX1=63（立方厘米）

4、把兩個(gè)完全一樣的長方體木塊粘成一個(gè)大長方體，這個(gè)大長方體的表面積比原來兩個(gè)長方

體的表面積的和減少了46平方厘米，而長是原來長方體的2倍。如果拼成的長方體的長是24

厘米，那么它的體積是多少立方厘米？

【解析】由圖可以看出，減少的表面積就是原來2倍的長方體的寬X高。所以大長方體側(cè)面表

面積是23平方厘米。所以大長方體的體積=23X24=552立方厘米。

5、一塊小正方體的表面積是6平方厘米，那么，由1000個(gè)這樣的小正方體所組成的大正方體

的表面積是多少平方厘米？

【解析】小正方體的表面積是6平方厘米，其長就是1厘米。1000個(gè)這樣的小正方體所組成

的大正方體的長是100X1=100(厘米)，其表面積=100X100X6=6立方米

6、有一個(gè)長方體，它的前面和上面的面積和是88平方厘米，且長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這

個(gè)長方體的體積是多少？

【解析】前面和上面的面積和是88平方厘米。即長義(寬+高)=88=1IX(3+5),所以長方體的體

積=11X3X5=165立方厘米。

7、將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大

正方體(不計(jì)損耗)，求這個(gè)大正方體的體積。

【解析】因?yàn)檎襟w的六個(gè)面都相等，而54=6X9=6X(3X3),所以這個(gè)正方體的棱是3厘米。

用同樣的方法求出另兩個(gè)正方體的棱長：96=6X(4X4),棱長是4厘米；150=6X(5X5),棱長

是5厘米。知道了棱長就可以分別算出它們的體積,這個(gè)大正方體的體積就等于它們的體積和。

＞課后反擊

1、有一個(gè)長8厘米，寬1厘米，高3厘米的長方體木塊，在它的左右兩角各切掉一個(gè)正方體(如

圖)，求切掉正方體后的表面積和體積各是多少？

【解析】表面積減少了4個(gè)1X1,面積=2X(8XI+8X3+1X3)4=66平方厘米。體積=8X1X

3-2X1X1X1=22立方厘米

2、一根長80厘米，寬和高都是12厘米的長方體鋼材，從鋼材的一端鋸下一個(gè)最大的正方體

后，它的表面積減少了多少平方厘米？

【解析】減少了4個(gè)正方體的底面面積即4X12X12=576平方厘米。

3、有一個(gè)小金魚缸，長