第五章標(biāo)量湍流本章將討論不可壓縮流體中溫差較低或被輸送物質(zhì)的濃度較小的傳熱和傳質(zhì)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，流體運(yùn)動(dòng)是主動(dòng)的，標(biāo)量輸運(yùn)是被動(dòng)的。

本章主要內(nèi)容5.1均勻湍流中的被動(dòng)標(biāo)量輸運(yùn)5.2標(biāo)量湍流的結(jié)構(gòu)5.3湍流普朗特?cái)?shù)5.4標(biāo)量湍流的結(jié)構(gòu)函數(shù)方程5.5標(biāo)量湍流擴(kuò)散的拉格朗日隨機(jī)模型5.1均勻湍流中的被動(dòng)標(biāo)量輸運(yùn)被動(dòng)標(biāo)量輸運(yùn)的控制方程譜空間中標(biāo)量脈動(dòng)的輸運(yùn)均勻湍流場(chǎng)中標(biāo)量輸運(yùn)規(guī)律

被動(dòng)標(biāo)量輸運(yùn)的控制方程譜空間中標(biāo)量脈動(dòng)的輸運(yùn)

均勻脈動(dòng)速度場(chǎng)中的湍流輸運(yùn)過(guò)程可用譜分解描述譜空間中標(biāo)量脈動(dòng)的輸運(yùn)把展開(kāi)式(5.3a)和(5.3b)代人式(5.2),得譜空間中標(biāo)量輸運(yùn)方程如下：右邊第一項(xiàng)是脈動(dòng)速度攜帶標(biāo)量的對(duì)流輸運(yùn)項(xiàng)；右邊第二項(xiàng)是分子擴(kuò)散項(xiàng)。

譜空間中標(biāo)量脈動(dòng)的輸運(yùn)定義：標(biāo)量脈動(dòng)的譜標(biāo)量的擬能譜

脈動(dòng)標(biāo)量譜的輸運(yùn)方程

用脈動(dòng)標(biāo)量譜來(lái)表示，上式可寫作標(biāo)量能譜的輸運(yùn)方程

是對(duì)流作用在譜空間的貢獻(xiàn)，稱作標(biāo)量能量的傳輸譜；是分子耗散項(xiàng)，它和波數(shù)平方及擴(kuò)散系數(shù)成正比。其中，譜空間中標(biāo)量脈動(dòng)的輸運(yùn)均勻湍流場(chǎng)中標(biāo)量輸運(yùn)規(guī)律

為了對(duì)比湍流的動(dòng)量輸運(yùn)和標(biāo)量輸運(yùn)，把湍流運(yùn)動(dòng)方程和標(biāo)量輸運(yùn)方程寫成無(wú)量綱形式，并加以比較：貝克來(lái)數(shù)

它表示標(biāo)量輸運(yùn)過(guò)程中對(duì)流輸運(yùn)和擴(kuò)散輸運(yùn)的量級(jí)比

表示對(duì)流占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)；表示分子擴(kuò)散占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。

均勻湍流場(chǎng)中標(biāo)量輸運(yùn)規(guī)律標(biāo)量能譜的經(jīng)典理論

分別分析各種輸運(yùn)過(guò)程的標(biāo)量能譜

慣性-對(duì)流標(biāo)量輸運(yùn)慣性-擴(kuò)散標(biāo)量輸運(yùn)粘性-對(duì)流標(biāo)量輸運(yùn)粘性-擴(kuò)散標(biāo)量輸運(yùn)5.2標(biāo)量湍流的結(jié)構(gòu)標(biāo)量梯度方程

方程表明：標(biāo)量脈動(dòng)梯度和標(biāo)量脈動(dòng)不同，除了被流體質(zhì)點(diǎn)攜帶，在流場(chǎng)中遷移(方程左邊)、分子擴(kuò)散(方程最后一項(xiàng))以外；標(biāo)量梯度的變化還來(lái)自脈動(dòng)速度場(chǎng)的變形和旋轉(zhuǎn)作用，變形作用將改變標(biāo)量梯度的大??；旋轉(zhuǎn)作用只改變標(biāo)量梯度的方向，對(duì)其大小沒(méi)有影響。

標(biāo)量能量方程

說(shuō)明:標(biāo)量脈動(dòng)能量的輸運(yùn)過(guò)程中，有分子擴(kuò)散和耗散項(xiàng)；耗散項(xiàng)和脈動(dòng)標(biāo)量梯度的平方成正比：

方程左端表示標(biāo)量梯度平方的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，或標(biāo)量耗散的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)，它來(lái)自右端各項(xiàng)的貢獻(xiàn)：標(biāo)量脈動(dòng)梯度與脈動(dòng)應(yīng)變率的相互作用、標(biāo)量湍流耗散的擴(kuò)散，以及標(biāo)量脈動(dòng)梯度自身的耗散。

標(biāo)量梯度片狀結(jié)構(gòu)的實(shí)例

第一個(gè)實(shí)例是在各向同性湍流中由平均等梯度標(biāo)量場(chǎng)產(chǎn)生的均勻標(biāo)量湍流場(chǎng)；第二個(gè)實(shí)例是槽道湍流中的非均勻標(biāo)量湍流場(chǎng)，在槽道兩個(gè)壁面上施加恒定的溫度差。

標(biāo)量梯度片狀結(jié)構(gòu)的實(shí)例

假設(shè)標(biāo)量湍流梯度等值面表面積為

，它包容的體積等于

，做一個(gè)當(dāng)量的圓盤，其體積和表面積分別等于

和

，當(dāng)量圓盤的厚度定義為片狀結(jié)構(gòu)的當(dāng)量厚度。槽道湍流中片狀結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)寬比大于各向同性湍流中片狀結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)寬比它有一個(gè)強(qiáng)壓縮(第3主軸，負(fù)值)、一個(gè)強(qiáng)拉伸和一個(gè)弱拉伸。強(qiáng)壓縮導(dǎo)致片狀結(jié)構(gòu)，一個(gè)強(qiáng)拉伸和一個(gè)弱拉伸產(chǎn)生長(zhǎng)寬比比較大的片狀結(jié)構(gòu)。5.3湍流普朗特?cái)?shù)定義湍流普朗特?cái)?shù)和湍流施密特?cái)?shù)如下：湍流普朗特?cái)?shù)由于不同分子普朗特?cái)?shù)的標(biāo)量輸運(yùn)機(jī)制不同，因此湍流普朗特?cái)?shù)和分子普朗特?cái)?shù)有關(guān)，而不應(yīng)當(dāng)采用目前工程中常用的常數(shù)湍流普朗特?cái)?shù)的模型。以各向同性湍流中加平均等梯度標(biāo)量和槽道湍流加恒定溫差為例來(lái)研究湍流普朗特?cái)?shù)。由于在槽道垂直方向湍流的泰勒雷諾在變化，因此湍流普朗特?cái)?shù)也沿槽道垂直方向變化可以看到：當(dāng)分子普朗特?cái)?shù)在0.3～1.2之間變化時(shí)，同一泰勒雷諾數(shù)下湍流普朗特?cái)?shù)改變達(dá)20％。和各向同性湍流中的情況相同，槽道湍流中湍流普朗特?cái)?shù)也和分子普朗特?cái)?shù)的倒數(shù)成線性關(guān)系湍流普朗特?cái)?shù)是分子普朗特?cái)?shù)倒數(shù)的線性函數(shù)雷諾平均湍流普朗特?cái)?shù)與分子普朗特?cái)?shù)的倒數(shù)呈線性關(guān)系，既在無(wú)剪切的各向同性湍流場(chǎng)中存在，也在有剪切的湍流場(chǎng)中存在，它是充分發(fā)展湍流場(chǎng)中標(biāo)量輸運(yùn)的特性。5.4標(biāo)量湍流的結(jié)構(gòu)函數(shù)方程

——Yaglom方程

如果結(jié)構(gòu)函數(shù)中的位移長(zhǎng)度位于慣性子區(qū)，上式表示慣性子區(qū)中標(biāo)量能量的傳輸特性。如果貝克來(lái)數(shù)很小，上式右邊第一項(xiàng)可以忽略，這時(shí)表示標(biāo)量能量的串級(jí)關(guān)系，慣性子區(qū)標(biāo)量能量通量和標(biāo)量能量耗散性平衡。5.5標(biāo)量湍流擴(kuò)散的拉格朗日隨機(jī)模型5.5.1標(biāo)量點(diǎn)源的湍流擴(kuò)散5.5.2湍流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)位移的均方根公式5.5.3標(biāo)量點(diǎn)源的湍流擴(kuò)散系數(shù)標(biāo)量點(diǎn)源的湍流擴(kuò)散

點(diǎn)源標(biāo)量的定義假定在各向同性湍流場(chǎng)中某一局部很小的體積中恒定地注入染色物質(zhì)，由于它的體積很小，以至于可以認(rèn)為它是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，并稱它為點(diǎn)源標(biāo)量。標(biāo)量點(diǎn)源的湍流擴(kuò)散實(shí)際計(jì)算結(jié)果表明，歐拉方法不可能獲得在點(diǎn)源附近(稱為近場(chǎng))的濃度分布，因?yàn)椋瑲W拉方法不可能準(zhǔn)確計(jì)算濃度梯度非常大的對(duì)流、擴(kuò)散過(guò)程。另一方面，點(diǎn)源擴(kuò)散的物理過(guò)程的本質(zhì)是湍流脈動(dòng)攜帶質(zhì)點(diǎn)的遷移過(guò)程。標(biāo)量擴(kuò)散的拉格朗日描述和處理方法更具物理本質(zhì)。湍流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)位移的均方根公式在第1章中已經(jīng)導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)位移的Taylor公式：定義湍流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)位移的均方根公式利用上式可得以下結(jié)果

(1)初始的擴(kuò)散過(guò)程，由于在短時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)位移和當(dāng)時(shí)的速度與時(shí)間乘積成正比，經(jīng)系綜平均后，質(zhì)點(diǎn)位移的均方根和脈動(dòng)速度均方根與時(shí)間的乘積成正比。（2）長(zhǎng)時(shí)間的擴(kuò)散過(guò)程標(biāo)量點(diǎn)源的湍流擴(kuò)散系數(shù)

在點(diǎn)源的遠(yuǎn)場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)群的湍流擴(kuò)散和拉格朗日積分時(shí)間尺度成正比，在均勻各向同性湍流中湍流擴(kuò)散系數(shù)等于常數(shù)。第1章中已經(jīng)論述過(guò)，在均勻湍流場(chǎng)中，歐拉統(tǒng)計(jì)量和拉格朗日統(tǒng)計(jì)量相等，因此，用歐拉描述法計(jì)算點(diǎn)源的空間擴(kuò)散時(shí)，有湍流擴(kuò)散系數(shù)。對(duì)于標(biāo)量和粒子群的擴(kuò)散過(guò)程，可以用拉格朗日描述方法建立