9.4平面閉區(qū)域上的二重積分Green公式Gauss公式高斯公式通量與散度邊界曲線上的曲線積分空間閉區(qū)域上的三重積分邊界曲面上的曲面積分1一、高斯公式

定理1

設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數(shù)P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有或（1′）這里Σ是Ω的整個邊界曲面的外側(cè)，cosα、cosβ、cosγ是Σ上點(x，y，z)處的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。2關(guān)于Ω的邊界曲面的外側(cè)：如：Ω是單連通區(qū)域時取外側(cè)；

Ω是兩個同心球面之間的區(qū)域（一維單連通區(qū)域）時外層取外側(cè)，內(nèi)層取內(nèi)側(cè)。高斯公式的說明:3（2）高斯公式成立的條件：Σ光滑或分片光滑，P、Q、R在Ω上一階偏導(dǎo)連續(xù)。（3）Σ不閉合時，采取“補面”的方法：Σ+Σ1封閉，所圍區(qū)域Ω。前提：易于計算（4）P、Q、R在Ω內(nèi)的某個點不是一階偏導(dǎo)連續(xù)，則采取“挖洞”的方法4例1用Gauss公式計算其中為柱面閉域的整個邊界曲面的外側(cè).解這里利用Gauss公式,得原式=對稱性及平面z=0,z=3所圍空間思考

若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?用柱坐標(biāo)5例2

利用Gauss公式計算積分其中為錐面解

作輔助面取上側(cè)介于z=0及

z=h之間部分的下側(cè).所圍區(qū)域為

,則6例2利用Gauss公式計算積分

z=h之間部分的下側(cè).其中為錐面介于z=0及7例3設(shè)

為曲面取上側(cè),求解

作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)8例4.計算曲面積分其中,解:思考:

本題

改為橢球面時,應(yīng)如何計算?提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.9例5.計算曲面積分其中,解:所以除原點外處處有

10在橢球面內(nèi)作輔助小球面取外側(cè)。

1112二、通量與散度引例

設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1,速度場為理意義可知,設(shè)為場中任一有向曲面,單位時間通過曲面的流量為則由對坐標(biāo)的曲面積分的物由兩類曲面積分的關(guān)系,流量還可表示為13定義設(shè)向量場其中P,Q,R

具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),是場內(nèi)的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場通過有向曲面的通量(流量)。若為方向向外的閉曲面,

則單位時間通過的流量為也稱為單位時間里從

所圍區(qū)域流出或者散發(fā)出的量。

14定義設(shè)有向量場其中P,Q,R

具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),M(x,y,z)是場中任意一點，是場內(nèi)包含該點的一個分片光滑的封閉曲面,它所圍區(qū)域的體積為V。如果當(dāng)以任意方式向點M

收縮

時，極限都存在，則稱此極限為向量場A在點M的散度(divergence)。記作1516例7

已知向量，Σ為圓柱的全表面，求A穿過曲面Σ而流向其外側(cè)的通量解：17思考與練習(xí)所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)為18內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計算曲面積分(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:192.通量與散度設(shè)向量場P,Q,R,在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則向量場通過有向曲面的通量為G內(nèi)任