高三2020年秋第四次診斷檢測數(shù)學(xué)試題

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

1.已知集合4={幻％2一》_6<0},集合3={x|x-l>0},則（CRA）CB=（）

A.（1,3）B.（1,3]C.[3,-K?）D.（3,-^o）

2

2.若/=。+砥a,0eR）,則（）

1+z

A.-IB.OC.ID.2

3.記S“為等差數(shù)列{%}的前“項和，已知$5=5,4=10，則4=（）

A.15B.16C.19D.20

4.己知a=2°，8]=dr03,c=4n5則a,b,c的大小關(guān)系為（）

22

A.h<a<cB.a<b<cC.c<a<hD.c<b<a

5.已知非零向量￡石滿足口=2%,且&-分，九則Z與A的夾角為（）

兀c兀-2兀n5兀

A4.-B.-C.—D.—

3636

6.函數(shù)/“）=吐學(xué)巴的圖象大致為（）

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個直角邊為2的等腰直角三角形，側(cè)視

圖是兩直角邊分別為2和1的直角三角形，俯視圖為一矩形，則該多面體的外接球的表

面積為（）

A.7nB.8nC.9nD.10n

8.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.如

圖，若四棱錐尸-4比9為陽馬，側(cè)棱為，底面485，PA=AB=AD,6為棱陽的中點，

則異面直線4B與以所成角的正弦值為（）

Bc

A.f-T-TD-2

9.已知函數(shù)/（力=唾0（%+3）-1（a>0且aHl）的圖象恒過定點兒若點/在直線

12

〃優(yōu)+%>+4=。上，其中m〃>0,則一+一的最小值為（）

mn

24

A.-B.—C.2D.4

33

10.已知拋物線C:y2=4x的焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線C交于P,Q兩點，且

FP+3FQ=Q,則△8。（。為坐標(biāo)原點）的面積S等于（）

A.V3B.273C.-D.正

33

11.已知函數(shù)/（x）=sin（3。），其中/>0,6e（0目，其圖象關(guān)于直線x=?對稱,

對滿足|/（石）-/（9）|=2的不馬，有|內(nèi)-引疝小］，將函數(shù)7（X）的圖象向左平

移；個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

冗冗冗

A.kjr^kTi+—(左￡Z)B.kjr――.kjr(4WZ)

262

,71,37V,71.7萬

C.—(AGZ)D.k汽+—+——(Ae

3o1212

Z)

|2'-l|,x<2

12.若函數(shù)f(x)=I〉？，則函數(shù)g(x)=/[/(x)]-2的零點個數(shù)為()

.x—1

A.3B.4C.5D.6

二、填空題(每小題5分，共4小題，共20分)

13.將一顆均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為5的概率是

4x-y—1>0,

14.若實數(shù)滿足約束條件?丁21,則z=lny-Inx的

x+y<4

最小值是一.

22

15.已知橢圓E:二+與=1(。>?！?)的左焦點為人經(jīng)過原點

a~b-

。的直線/與橢圓E交于P,Q兩點，若|依|=3|Q同，且

N尸產(chǎn)。=120°,則橢圓E的離心率為.

16.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=e*M-e'+x?+2/n(x-l)(m>0),當(dāng)用+馬=1時，不等式

〃占”〃石)恒成立，則實數(shù)占的取值范圍為.

三、解答題(本大題共6個題，共70分)

17.(本小題滿分12分)已知S“是數(shù)列｛叫的前"項和，且2s“+3=3a“

(1)求｛叫的通項公式；(2)設(shè)勿-----\------，求數(shù)列也｝的前〃項和

10§3an*10§3an+l

■7T

18.(本小題滿分12分)-^/(%)=cos2x-2cos2(x+—)+1.

6

(1)求/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

A

(2)在銳角中角4B,C的對邊分別為a,b,c,若/(萬)=1,。=1,求XABC

面積的最大值.

19.（本小題滿分12分）如圖甲，在AABC中，AB1BC,AB=6,BC=3,D,E分

ArAn

別在A。,.上,且滿足正=比=2,將AADE沿帆折到△小位置，得到四棱錐

P-BCDE,如圖乙.

（1）已知M,N為PB,PE上的動點，求證：MN上DE；

（2）在翻折過程中，當(dāng)二面角P-瓦）-3為60。時，求直線CE與平面PCO所成角的

正弦值.

20.（本小題滿分12分）基于移動互聯(lián)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，

短時間內(nèi)就風(fēng)靡全國，帶給人們新的出行體驗，某共享單車運(yùn)營公司的市場研究人員為

了解公司的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計，設(shè)月份代碼為

x，市場占有率為＞（%）,得結(jié)果如表

年月2018.102018.112018.122019.12019.22019.3

X123456

y111316152021

（1）觀察數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合丁與％的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明

（精確到0.001）；

（2）求y關(guān)于X的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2019年4月份的市場占有率；

（3）根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購一批單車擴(kuò)大市場，現(xiàn)有采購成本分別為1000

元/輛和800元/輛的甲，乙兩款車型報年限各不相同.考慮到公司的經(jīng)濟(jì)效益，該公

司決定先對兩款單車各100輛行科學(xué)模擬測試，得到兩款單車使用壽命表如下

車型報廢年限1年2年3年4年總計

甲款10304020100

乙/p>

經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以為公司帶來收入500元，不考慮除采購成本之外的其

他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，且用頻率估計每單車使用壽命的概率,

以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù).如果你是該公司的負(fù)責(zé)人，你會選擇采購

哪款車型？

參考數(shù)據(jù)：

￡(X廠滅)(毛-蘇

參考公式：相關(guān)系數(shù)，=,回歸方程了=%+4中斜率和截距的

Z(X,-對z/斤

V/=1/=1

1(X,-石氏-歹)

最小二乘估計公式分別為3=上1r------------,a=y-bx.

Z(x,-x)2

i=l

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=ln(ar+1)-士工(?>0,x>0).

x+2

(1)當(dāng)時，討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

2

(2)若不等式在xe[O,a)時恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)證明：—?11--------<—ln(H+l)(nGN).

3572”+12

(-)選考題：共10分，請考生在22、23題中任選一題作答。

22.【選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程】(本小題滿分10分)在直角坐標(biāo)系無0y中，以坐

標(biāo)原點為極點，》軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為

0sin6=2.(1)M為曲線G上的動點，點P在線段OM上，且滿足AOOA/=-4,

TT

求點P的軌跡G的直角坐標(biāo)方程；(2)曲線上兩點4月()與點8(22，])，求

AQ4B面積的最大值.

23.【選修4-5不等式選講】(本小題滿分10分)已知函數(shù)/(x)=|x-1|-|3-2x|.

(1)求不等式/(x)zg(x-l)的解集；

(2)若函數(shù)的最大值為〃，且2a+b=〃3>0/>0),求*2+；1的最小值.

ab

高三2020年秋第四次診斷檢測數(shù)學(xué)試題

理科數(shù)學(xué)(參考答案)

1.C：解：A={x\-2<x<3],CR4={X|XW-2或x>3},(CRA)nB={x|x23}=[3,+°°).

22092020

2.D解：因為=-=。+初，所以l—i=a+初，所以。=1,匕=一1,^VXa'+b=2

1+z

5X4

3.B設(shè)等差數(shù)列{a〃}的公差為d,由W=5,a6=10,可得：54+2d=5,&+5d=10,

5X4

解出即可得出。設(shè)等差數(shù)列仿』的公差為d,V^=5,桀=10,...5a+亍4=5,

&+5d=10,解得：&=-5,d=3,則48=—5+7><3=16.

4.DJW：,.，b=(y)-0-3=20-3<20-8=a--'-\<b<a,

又Ine=l,故選：D.

5.A解:因為(Z-W_Ll,所以0—由)石=￡出一日=0,所以7石=片，所以cos6=

ah\b\21萬

尸舊=77訐=5,所以[與B的夾角為w，故選A.

1n

6.A解：函數(shù)的定義域為{xlXH0},因為/(-X)=卜""1?'="I"I=f(x),

(r)-d

所以/（X）為偶函數(shù)，所以排除C,〃

又因為當(dāng)x>°時'/（上學(xué)--詈’當(dāng)時，小）-+8,所以排除

B,故選:A.

7.C由三視圖可得，該幾何體為一個三棱錐，如圖三棱錐。一力比；

放在長、寬、高分別為2,1,2的長方體中，易知外接球的直徑27?=后不彳=3,

故S球=4n匯=9n.

8.B解：因為A8〃CO,即NECO為所求,

連接E￡?,則三角形CZ）E為直角三角形，

不妨設(shè)A8=2a,則OE=相“，EC=3a,

則sin/ECQ=1^=返，故選：B.

EC3

9.C解：令x+3=l,x=-2,/(-2)=-1,A(-2,-l),點A在直線如+到+4=0

上，則一2/n—〃+4=0,即2加+〃=4,*.*mn>0,2m+n=4,m>Q,n>0,

當(dāng)且僅當(dāng)277=?4-7竺77，即根=1,〃=2時等號成立.故選：c.

mn

10.口解：設(shè)「（西,乂），。（%2，%），直線/的方程為％=由+1，將

x=6+l代入y2=4x,消去X可得/一46」4=0,所以

X+%=4%，%%=-4.

因為尸戶=3。尸，所以乂=-3%，所以-3%+%=4%,則丫2=-2%,yt=6k,所以

-2k-6k=-4,所以|幻=*,

又|O/1=1,所以△OPQ的面積S=JoF*x-y2l=gxlx8伙|=芋.

故選：D.

11.A解：已知函數(shù)/(X)=sin(u)x+0),其中u)>0,06(0,,其圖象關(guān)于直線工=

JTir10JT

一丁對稱，對滿足，(元1)-f(X2)|=2的修，必有M-、21加〃=一丁=7；?二丁，???3=2.再根

6223

據(jù)其圖象關(guān)于直線jI對稱，可得2義411+e=也+\冬I，依Z.

662

.?.(p=3，..j(x)=sin(2x+J).將函數(shù),f(x)的圖象向左平移烏個單位長度得到函數(shù)g

666

ITJTIT

(x)=sin(2x+----+-----)=cos2x的圖象.令2mrW2xW2E:+n,求得---,則函數(shù)

362

jr

g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是km加+-^-]，ZWZ,故選：A.

鼻<2

12.B解：函數(shù)/(x)=1I〉？，g(x)=/[f(x)]-2的零點即/[〃x)]=2的

X—1

根，設(shè)"/(X),則阿=2,先解方程/⑺=2的根￡,再計算，=/(%)的解.

35

f<2時12,-11=2得，=log,3；z'22時----=2得「=—.

t-]2

|2A-l|,x<2

如圖所示，函數(shù)/。)=3的圖像，

-------,x>2

lx-1

方程/(x)=log23G(1,3)和方程/(x)=ge(l,3)各有兩個解，即方程/"(力]=2共有4

個解，故g(x)=/[/(x)]-2的零點有4個.故選：B.

二.填空題

13.根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為6x6=36個.

點數(shù)和為5的基本事件有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)共4個.

41

，出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為

369

4x-y-l>0,

x+y=4

14.-In3解:由實數(shù)x,y滿足約束條件｛y>l作出可行域如圖所示，聯(lián)立｛,,,解

y=1

x+y<4

得B(3,1),

vv,I

由目標(biāo)函數(shù)z=lnyTnx=ln上,而二的最小值為女緲=r，

xx3

/.z=lny-Inx的最小值是Tn3.

故答案為-ln3.

_-4

64解：取橢圓的右焦點/，連接QP,PF,,

由橢圓的對稱性，可得四邊形PFQ尸為平行四邊形，

則|P用=|QF|,ZFPF=n-ZPF(2=180°-120°=60°,

\PF]^3\QF],而|用+尸尸|=2°,所以產(chǎn)用=幸所以|叩=手

在尸中，cosNFPF|PF|2+|PF，|2一產(chǎn)

2|PF||PFZ|P4

解得：e=Y2,故答案為：叵.

44

2x：+12

16.解：由,可得e'H-e'+x,+2^(%,-l)>e+x2+2w(x2-1),

X|+1v2

即(e-e*川)-(e'-*)+(<-x2)+2/M(x,-x2)>0.

因為西+々=1,所以問題可轉(zhuǎn)化為(e"'-e?』)-(爐-*“)+(2”+1)(24-1)“恒成立，記

g(x)=(e*+i-e>2-t)-(er-^'-A)+(2m+l)(2x-l),

=e，（e-l）+e2T（1--）+2（2加+1）＞0所以g（x）在R上單調(diào)遞增.

又g［；］=o,所以當(dāng)時，g（x"O恒成立，即實數(shù)為的取值范圍為；,+8

三、解答題（本大題共6個題，共70分）

33

17.解：⑴因為5“=5（%-1）,所以S.M=5（4+「1）.

相減得S.+「S”=］（a”+「可），2分

所以=5（4加一4,），所以4川=X.

又S1=q=z（q—1）,解得q=3,

所以｛4｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以4=a13"T=3”,

即的通項公式為4=3".6分

,1

(2)由(1)可得d有,二-z-7V=--一—.8分

?(?+!)nn+\

log3anlog3an+i

所以北=偽+b2=1+=J-L='-.12分

U\nn+ljn+1〃+l

rrJT、71、

18.解：(1)f(x)=cos2x-2cos2(x+-—)+I=cos2x-cos2(/+---)=cos2x-cos(2九+——)

663

01c,Vs-010.VJ

=cos2x---cos2x+--sinlr=—cos2x+—-sin2x=sin(2x+-^-),3分3分

22226

J1J1J1

貝ij由2kli---W2AH---W2%TCH---,攵WZt

262

ITIT

得Anr---------------,k￡Z,

36

jrTT

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為伙TT-§，內(nèi)什-—],kEZ.3分6分

6

AAjrIT

(2)若旦)=1,則sin(2X—H-)=sin(AH-)=1,

2266

JI11JI

「A是銳角，.?.A+^=U-,得A==-.2分8分

623

'：a=1,由余弦定理得a2=b2+c2-26ocosA,

B|Jl—^+c2-bc^2bc-bc=bc,:.bcWl,當(dāng)且僅當(dāng)。=c時取等號，2分10分

則三角形的面積S=LbcsiMw!X1又返=瓜，

2224

即三角形面積的最大值為Y3.2分12分

4

19.【詳解】

(1)證明：在圖甲中，

V—==J.DEHBC,

BEDC

又二且3E_LAE，

即在圖乙中，DE工BE，DE工PE，又BEcPE=E，

故有￡>E_L平面

而MNu平面PBE,故有MN工DE；

(2)解：VDEYBE，DELPE,

所以NPEB為二面角尸一瓦)一3的平面角，則NP￡B=60°,

在中，BE=2,PE=4,ZPEB=60°,

由余弦定理，可知P3=26，滿足PB?+BE?=PE?，則有尸8_LB￡，

由(1)知，BCJ_平面PBE,則PB_LBC,

如圖，以點B為坐標(biāo)原點，分別以BE,BC,BP為x,y,z軸正方向建立坐標(biāo)系,

則磯2,0,0）,P僅,0,2⑹,C（0,3,0）,D（2,2,0）,

則定=（0,3,-2間,CD=（2,-1,0）,CE=（2,-3,0）,

設(shè)平面PCO的法向量為〃=（x,y,z）,

4V26

所以直線CE與平面PC。所成角e滿足sin6=.=丁一『=王-.

CE?同vl3-2V213

20.解：（1）由參考數(shù)據(jù)可得尸*=/,算展此=0.959,接近1，

417.5X76V133036.5

.」，與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合：4分4分

.八35-1+2+3+4+5+611+13+16+15+20+21

⑵?匕=仃匚=2,X：-----7-----=3.5，y--------------------=16-

17.5bb

a=3-bq=16-2X3.5=9'

關(guān)于x的線性回歸方程為,.

y=zxryQ

2019年4月份代碼x=7,代入線性回歸方程得于是2019年4月份的市場占有率預(yù)報值

y-zo

為23%；4分8分

（3）用頻率估計概率，甲款單車的利潤X的分布列為

X-50005001000

P0.10.30.40.2

E（X）=-500X0.1+0X0.3+500X0.4+1000X0.2=350（元）.

乙款單車的利潤y的分布列為

Y-3002007001200

P0.150.40.350.1

E(K)=-300X0.15+200X0.4+700X0.35+1200X0.1=400(元).

以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，故應(yīng)選擇乙款車型.4分12分

1r/X114X-2

21.解：(1)因為a=5所以-%)=/*5一時=為承

所以y=/?(%)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減；在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增3分

(2)求導(dǎo)數(shù)可得y--------=江+4"-4

“’水守雙」傳.ax+1(x+2)2(ax+l)(x+2)2'

當(dāng)a21時，f&)20,?..函數(shù)y=/(x)在［。，+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<a<l時，由/6)>0可得x>2』-l,

，函數(shù)在［2。］i,+j上單調(diào)遞增，在。，2夕］上單調(diào)遞減；

5分

①當(dāng)a21時，函數(shù)y=f(x)在［0，+8)上單調(diào)遞增,

.??/(%)>/(0)=1,即不等式在xe[0,+8)時恒成立,

②當(dāng)0<。<1時，函數(shù)在上單調(diào)遞減,

存在/e0,2小--1］使得f(&)<f(0)=l,所以不合題意，舍去。

綜上可知實數(shù)”的取值范圍為［1,+8)；7分

(3)由(2)得當(dāng)a=1時,不等式f(%)>1在xe(0,a)時恒成立,

2Yi2

B|Jln(x+1)>----,?,./〃(一+1)>-----,(Z￡N').分

x+2k1+2k9

國[例(Z+l)—/〃燈，

—<一(/〃2—InV),—<一(/H3—/〃2),—<一(/M4—加3),...----<—+1)—lnn\

325272