2.2.2等差數(shù)列的性質(zhì)[讀教材·填要點]等差數(shù)列的常見性質(zhì)有am＋an＝ap＋aq(n－m)d(2)m＋n＝p＋q?

；(4)若m，p，n成等差數(shù)列，則am，ap，an也成等差數(shù)列；(1)an＝am＋

；(3)對稱性：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…；(5)若數(shù)列{an}成等差數(shù)列，則an＝

pn＋q(p、q∈R)；(6)若數(shù)列{an}成等差數(shù)列，則數(shù)列{λan＋b}(λ，b為常數(shù))仍為等差數(shù)列；(7){an}和{bn}均為等差數(shù)列，則{an±bn}也是等差數(shù)列；[例1]

已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為26，中間兩項的積為40，求這四個數(shù)．法一：法二：[悟一法]對于項數(shù)有限的等差數(shù)列，用“對稱設項”的方法來設項能達到化多為少的目的(特別是在已知其和時)，三個數(shù)的“對稱設項”是x－d，x，x＋d；五個數(shù)是x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d；四個數(shù)則是x－3d，x－d，x＋d，x＋3d等等．跟蹤訓練

1．三個數(shù)成等差數(shù)列，和為6，積為－24，求這三個數(shù)．解析：法一：設等差數(shù)列的等差中項為a，公差為d，則這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d.依題意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化簡得d2＝16，于是d＝±4，故三個數(shù)為－2,2,6或6,2，－2.法二：設首項為a，公差為d，這三個數(shù)分別為a，a＋d，a＋2d，依題意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24.得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三個數(shù)為－2,2,6或6,2，－2.

利用等差數(shù)列的通項公式或性質(zhì)解題

等差數(shù)列{an}中，如果a5＝11，a8＝5，求數(shù)列的通項公式．跟蹤訓練2．數(shù)列{an}各項的倒數(shù)組成等差數(shù)列，如果a3＝－1，a5＝＋1，求a11.

3.在等差數(shù)列{an}中，ar＝s，as＝r(r≠s，r，s∈N*)，

求ar＋s.法二：

利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題

已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項公式．解析：法一：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得：d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.法二：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5，∴a2＋a6＝2a4＝10.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，從而a2，a6可看成方程x2－10x＋9＝0的兩根，∴an＝2n－3或an＝13－2n.跟蹤訓練4．在等差數(shù)列{an}中，a5＋a13＝40，則a8＋a9＋a10的值為(

)A．72

B．60

C．48

D．36解析：法一：設此數(shù)列的首項為a1，公差為d，則a5＋a13＝a1＋4d＋a1＋12d＝2a1＋16d＝40，即a1＋8d＝20.a8＋a9＋a10＝a1＋7d＋a1＋8d＋a1＋9d＝3a1＋24d＝3(a1＋8d)＝60.B法二：可以應用等差數(shù)列的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，所以有a8＋a10＝a5＋a13＝2a9＝40，故a8＋a9＋a10＝60.故選B.5.(2011·重慶高考)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝37，則a2＋a4＋a6＋a8＝________.解析：∵a2＋a8＝a4＋a6＝a3＋a7，∴a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案：746．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9的值為(

)A．30

B．27

C．24

D．21答案：B

等差數(shù)列的綜合

已知無窮等差數(shù)列{an}，首項a1＝3，公差d＝－5，依次取出項數(shù)被4除余3的項組成數(shù)列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求{bn}的通項公式；(3){bn}中的第110項是{an}的第幾項？題型四：解析：(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.數(shù)列{an}中項數(shù)被4除余3的項是{an}的第3項，第7項，第11項，…，這些項組成一個新的等差數(shù)列(第二問中加以證明)，其首項b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)設{an}中的第m項是{bn}的第n項，即bn＝am，則m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n(n∈N*).∵bn－bn－1＝－20(n≥2，n∈N*)，∴{bn}是等差數(shù)列，其通項公式為bn＝13－20n.(3)b110＝13－20×110＝－2187，設它是{an}中的第m項，則－2187＝8－5m，則m＝439.點評：數(shù)列的項數(shù)相當于函數(shù)的自變量，通項公式相當于對應法則，對數(shù)列的研究應很好地把握項數(shù)，研究數(shù)列的子數(shù)列一定要研究二者項數(shù)的關系．1．在做等差數(shù)列題時，注意利用結(jié)論